高等代数第四章整环里的因子分解
【高等代数】04-多项式环
【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。
虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。
以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。
先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。
要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。
a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。
系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。
另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。
有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。
为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。
系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。
由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。
环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。
ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
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而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
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做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
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近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
2020/3/2
高等代数
问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
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证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
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高等代数
高等代数
若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
近世代数习题第四章
第四章 整环里的因子分解
1、求出Gauss 整环][i Z 中所有的单位及5在][i Z 中所有真因子.
2、证明：9在有单位元的整环 {}Z b a i b a i Z ∈+=,|5]5[
中不能唯一分解.
3、环中的素元一定是不可约元.
4、证明：在Gauss 整环][i Z 中，如果p =2||α为素数，则α必是环][i Z 的不可约元.
5、证明：在有单位元的整环中，二元素相伴的充要条件是二者互相整除.
6、求出][x Z 中的单位与不可约元.
7、证明：在Gauss 整环][i Z 中，5可以唯一分解，并给出一种分解.
8、证明：整数环上的多项式环是唯一分解环..
9、设K 是有单位元的整环，证明：a a K >⇔=<是K 的是单位.
10、设K 是有单位元的整环，K b a ∈,，证明：b a b a ,>⇔>=<<相伴.
11、证明：Gauss 整环][i Z 是主理想环.
12、证明：在主理想环中，P 是素理想当且仅当P 由素元生成.
13、问：主理想环的子环是否仍为主理想环？
14、证明：整环]2[i Z 是主理想环.
15、设K 为有单位元的整环，K a ∈≠0，证明：在.K 中有且仅有有限个理想包含a .
16、证明：整数环Z 是欧氏环.
17、证明：域F 上的多项式环是欧氏环.
18、证明：域一定是欧氏环.
19、证明：Gauss 整环][i Z 关于映射
2
2:b a bi a ++ φ
作成一个欧氏环.
20、假定R 是模16的剩余类环. ][x R 的多项式2x 在R 中有多少个根.。
抽象代数基础2.6整环的因子分解教案
（1）a是单位 （a）=R
（2）
（3）a与b相伴 （a）=（b）
（4）b是a的真因子
（5）a是既约元 （a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使
命题3设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。
证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。
定义3设R是整环， 且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由 必有 或者 ，则称p是素元。
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第30次课
授课章节
2.6整环的因子分解
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
6
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7
教学目的与要求：
明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环
例如：在Z中，素数是素元，F[x]中，不可约多项式是素元。
命题4设R是整环， 且p不是单位，则p是素元 （p）是素理想
定义3设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。
命题5设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则I是素理想 I是极大理想
命题6设R是主理想整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定义4设R是整环，假设从R的非零元的集合 到非负整数集合有一个映射 使得对 ， 都存在 使 ，其中 或 ，（*）则称 是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。
定理1欧式环一定是主理想整环
证明：设 是欧式环，I是R的任意一个理想，若I={0}，则显然I是主理想。假设 ，则集合 非空，且存在最小数，设 使得 是这个集合中的最小数，则对 都有 ，下证I=（a）。
第四章 整环里的因子分解
第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积. 在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.*.本章中的环I均表示整环，I的单位元均记为1，I中的非零元记为}0{\II=第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元ε称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群, 称为I的单位群，记为U(I) .定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I里找得出元c，使得a=bc. 假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用b a来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理4.1.1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理4.1.2：单位ε同素元p的乘积pε也是一个素元.ε;证明：(1) 0pε,0≠≠p≠⇒pε.(2) 不是单位p p I )()(1εεεεε‘‘‘使得若不然，==∈∃是素元矛盾是单位与p p ⇒.(3) 只有平凡因子p ε.定理4.1.3： 整环中一个不等于零的元a 有真因子的充分而且必要条件是：bc a =，c b ,都不是单位元.证明：(⇒) 的相伴元不是且使得有真因子a b a b I U b a )(∉∃⇒.bc a I c =∈∃⇒使得.若)(),(I U c b a I U c ∉∈是相伴关系，故与则.(⇐) 假定bc a =，的相伴元不是a b I U c b ⇒∉)(,，否则)(1I U c c bc a b ∈⇒=⇒==εεε,矛盾.故a 有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I 的一个元a 在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1) 中的素元是其中I r i p p p a i r ),1(,1ΛΛ==;(2) 若又有中的素元是其中I s j q q q a j s ),1(,1ΛΛ==，那么的一个排列是其中且n i i r i q p s r r i i i j ,,1,,,,,1,1ΛΛΛ===ε.例： 设则},,3{]3[Z b a b a Z ∈-+=- (1) 是整环]3[-Z . (2) }1,1{])3[(-=-Z U设''1]3[]),3[(3εεεε=-∈∃-∈-+=使得则Z Z U b a .则 2'222')3(1εεεb a +==10,11322±=⇒=±=⇒=+⇒εb a b a . (3) 为素元，则＝若ααα4],3[2-∈∀Z . (4) 的相伴元都不是231-±. (5) 中两种不同的分解在是]3[4)31)(31(224----+=⋅=Z .作业：1．设I 刚好包含所有复数(,)a bi a b +是整数的整环. 证明5不是I 的素元. 5有没有唯一分解？第二节 唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质. 公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点: 唯一分解环.正 文定义4.2.1：整环I 叫做一个唯一分解环(UFD), 如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：(3) 若一个素元ab p , 那么b p a p 或.证明：当b a ,中有一个是零或是单位时，定理显真.现设b a ,皆非零元，也非单位. 也非单位c c pc ab ab p ,0,≠=⇒ .)(之积矛盾可写成两个非单位的元是素元与是单位，则否则若pc pc c于是皆素元诸i n p p p p c ,21Λ=.又令皆素元诸',''2'121,,k j s r q q q q q b q q q a ΛΛ==.于是p q q q q q q s r ＝''2'121ΛΛn p p p Λ21.由分解唯一性知的相伴元或是某个'j i q q p , 如a p p q 则,1ε=；如b p p q 则ε='1.推论：在一个UFD 中，若素元i n a p a a a p 必整除某一个则,21Λ.定理4.2.2：若整环I 满足：(1) 解式；中每一个元均有一个分)(\I U I *(2) 若I b a b p a p ab p I p ∈∀⇒,,,或则必有的素元是.那么I 一定是唯一分解环.定义4.2.2：n i n a a d n i a d I a a d ,,,,,1,,,,11ΛΛΛ为则称如果假定=∈ 的一个公因子；d a a a a d n n 除的每一个公因子都能整若的一个公因子为假定,,,,,11ΛΛ，则称的一个最大公因子为n a a d ,,1Λ.定义4.2.3：，则称中的最大公因子是单位在如果假定I a a I a a n n ,,,,11ΛΛ∈ 互素n a a Λ,1.定理4.2.3：假定I 是唯一分解环, 那么有,,I b a ∈(1)在I 中, 有最大公因子；和b a(2)是相伴关系的最大公因子，则和均为若d d b a d d '',,.作业：1. 假定,()().()()I a b I a b =是一个整环和是的两个主理想证明：当且仅当b 是a 的相伴元的时候.2．证明：10.⎡⎤⎣⎦不是唯一分解环Z第三节 主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系. 重点、难点: 主理想、极大理想.正 文定义4.3.1：如果整环I 中的每一个理想都是主理想，则称I 是一个主理想环，记为P.I.D.例 1：是主理想环整数环)1,0,,,(⋅+Z .证明：设A a a A Z A ⊆⊂)(,}0{则中的最小正整数为的理想，记是）（. 另一方面，若a a m A m 则),(,∉∈∃,0,,a r e as m m <<+=设则)().(a A a A a A as m r =⊆∈-=从而的最小性矛盾，故此与.例 2：是主理想环是域，则)1,0,,],[(⋅+x F F .证明：设的理想，是）（][}0{x F A ⊂A x f x f A ⊆))((),(则中次数最低的多项式为记.另一方面，若)()),(()(,)(x f x f x g A x g 则∉∈∃),(x g次数最小矛盾此与而设)()())(())((),()()()(x f A x v x f x v x v x u x f x g ∈∂<∂+=. 故))(()),((x f A x f A =⊆从而.引理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 中的每一个真因子序列一定是有限序列. 即若序列)(,,,21I a a a i ∈Λ中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.证明：由于i i a a 1+，所以Λ⊂⊂)()(21a a令)(Y ii a A =，则的一个理想是I A . 事实上：A a ra I r i ⊆∈∈∀)(,.)()()(),()(,,j i j i a a a a b a a j i j i A b a ⊂∈⇒∈∈≤∃⇒∈∀使得不妨设A a b a j ⊆∈-⇒)( .而PID I 是，则存在).(,d A I d =∈使得 而Y ii a A d )(=∈，则)(n a d n ∈∃使得，我们断言，n a 为序列中的最后一个，如若不然，设还有一个的真因子为使得n n n a a a 11++. 由于111,)(),(+++⇒⇒∈∈n n n n n n a a a d d a d a a d 又n n a a 1+，则n a 是1+n a 相伴关系，这与的真因子矛盾为n n a a 1+.故原结论成立.引理4.3.2：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID,p I 是中的素元， 则(p)为I 的极大理想. 证明：设()()()()A a I p A I p a a p =⊂⊆⇒∈⇒是的理想，.()().1a p p a p a p a A a εε⎧=⇒⊂⇒=⇒⎨=⇒∈⇒⎩是的相伴元()()矛盾是单位()=I.故(p)为I 的极大理想.定理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 是UFD .证明：(1) \(),.a I U I a a *∀∈一定有分解式事实上，若是素元，则不用再证. 现设,a a bc b c =有真因子，若皆素元，则不用再证. 对a 的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止（否则会得到无穷序列12,,,a a a L 后面的元是前面一个元的真因子，这与I 是PID 的前提矛盾）,此时已把a 分解成有限个素元之积.(2) 设素元()(),0.p ab ab a b ==⋅I I 于是在中有但是域p p 因此 ()()00a b a p b p p a p b ==⇒∈∈⇒或或或.由定理4.2.2知I 是UFD.注：定理的逆不成立. 例如[].x UFD PID ¢是但不是作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.第四节 欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系.重点、难点: 欧氏环.正 文定义4.4.1：设I 是整环，若(1) 存在映射{}::0.I n n ϕ*→∈≥=Z Z(2) ,,0,,a b I a q r I ∀∈≠∈则存在使,b qa r =+其中0()().(..)r r a I E D ϕϕ=<或则称是一个欧氏环.例1．整环(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z证明：令:;,.a a a ϕ**→∀∈a Z Z Z则,,,,a b q r ϕ*∀∈∈是一个映射且一定存在使得Z Z,0()().b aq r r r r a a ϕϕ=+==<=或故(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z例2．数域F 上的多项式环([],,,0,1)F x +⋅是一个欧氏环.例3．Gauss 整数环([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z证明：易证([],,,0,1)i +⋅Z 是整环. 令22:[]\{0};i a bi a b ϕ→++a Z Z ，则ϕ是一个映射.设[]\{0},[]a bi i c di i αβ=+∈=+∈Z Z ，,,k li k l βα=+∈Z ，则存在'',k l ∈Z 使得''11,22k k l l -≤-≤.令''[],k l i i γδβαγ=+∈=-Z ，则βαγδ=+. 若20,βδϕδϕβαγϕαγα≠则（）＝（－）＝（）－ 22''1()()()2k k l l ϕϕαϕα-+-≤<＝. 因此([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z定理 4.4.1：任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环.证明：设{0},.A I ϕ≠是欧氏环的一个理想是欧氏环的映射 令a A a ϕϕ∈≠∈使（）=min{(x)x(0)A}，则()A a =. 事实上, ,,b A q r I ∀∈∃∈使得,0b qa r r a ϕϕ=+=∈或（r ）<(),r A .若0().r a a a ϕ≠∈则与（）的最小性矛盾. 故r=0,b=q 注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D 未必是欧氏环. 如复数域的子环,R a b ⎧⎫⎪⎪=+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z 是一个P.I.D 但不是欧氏环. 定理4.4.2：(,,,0,1)+⋅是欧氏环,从而是唯一分解环.Z引理4.4.1：假定[][]I x I I x 是整环上的一元多项式，的元1110()n n n n g x a x a x a x a --=++++L的最高系数(),()[],(),()[]n a U I f x I x q x r x I x ∈∀∈∈那么对存在使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n定理4.4.3：域F 上的一元多项式环[].F x 是一个欧氏环证明：显然[]F x 是一个整环，令[];()deg(()),()[].F x f x f x f x F x ϕ*→∈a ：Z则ϕ是一个映射. ()[],()[],g x F x f x F x *∀∈∈()0()0,,.n n n g x g x a a F a *≠⇒≠∈的最高项系数而则可逆由引理4.4.1可知，(),()[]q x r x F x ∃∈使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n即()0(())(()).[].r x r x g x F x ϕϕ=<或故是唯一分解环作业：1.下列环是否是欧氏环，并证明之：(1) {},.a b =+∈Z Z(2) {},.a b =+∈Z Z 2. 证明：一个域一定是一个欧氏环.附注 本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：其中，例①可取Z ； 例②可取[]x Z ；例③可取12⎡+⎢⎣⎦Z ； 例④可取Z 或数域F 上的一元多项式环[]F x ；例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节 多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点:多项式的可约性判断.正 文设..I U F D 为，[]I x F 为上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1) ([])(),[]U I x U I I x =且为整环;(2)[]()()I x f x f x 中多项式称为本原多项式，如果系数的最大公因子是单位.(3) 若本原多项式(),f x 可约则()()(),(),()[]deg ()deg ()0f x g x h x g x h x I x f x g x =∈>>且.(4) ()()()()();f x g x h x g x h x =⇔是本原的和均是本原的(5) ()[],deg ()0,()()([])f x I x f x f x f x U I x ∈=⇔∈若则是本原的.引理4.5.1: ,0()[],I f x x ≠∈设是的商域则Z Z (1) 00()(),,,()[];b f x f x a b I f x I x a=∈是中的本原多项式 (2) 0000()()(),,,,,(),()b d f x f x g x a b c d I f x g x a c ==∈若 []I x 均为中的本原 多项式，则00()([])()().U I U I x f x g x εε∃∈==使得引理4.5.2: 假设00()[],()[]f x I x f x I x 是中的一个本原多项式在中可约的充分必要条件是0()[].f x x I 在Q 中可约，其中Q 为的商域引理 4.5.3: []()[]I x f x I x 的任一个次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.定理4.5.1: 若..,[]...I U F D I x U F D 是则也是定理 4.5.2: 若1212..,[,,,]...,,,,n n I U F D I x x x U F D x x x L L 是则也是其中是 I 上的无关未定元.作业：1． 假定[].()[],()I x I f x I x I f x 是整环上的一元多项式环属于但不属于并且的最高系数是I 的一个单位. 证明：()[].f x I x 在里有分解2. 设12,()1,().p p p x x x x x ϕϕ--=++++L 为素数判断在上是否可约Z第六节 因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点: 多项式和多项式的根.正 文定义4.6.1: 设()[],()0,().f x I x a I f a a f x ∈∈=如果存在使得则称是的根 定理 4.6.1: 假定,()[],,()I f x I x a I a f x ∈∈是整环那么是的根的充分必要条件是()().x a f x -定理4.6.2： 12()[],,,,,k f x I x a a a I k ∈L 是中个不同的元素则12,,,()k a a a f x L 均是的根1()()().k x a x a f x ⇔--L推论：()[],()f x I x n f x I n 若是中的次多项式则在中至多有个根.定义4.6.2:,()[],1,a I f x I x k ∈∈∃>如果使得()(),()k x a f x a f x -则称为的一个重根.定理4.6.3：()(),,f x I x a I ∈∈设那么'()()().a f x x a f x ⇔-为的重根推论：...,()[],,I U F D f x I x a I ∈∈若为那么'()()()()a f x x a f x f x ⇔-为的重根能整除与的最大公因子.作业：1. 假定216.[]I I x x I 是模的剩余类环的多项式在里有多少个根？2. 假定F 是模3的剩余类环, 我们看[]F x 的多项式3().f x x x =-证明：不管是的哪一个元f a a F()0,.11。
整环里的因子分解讲解
不可约元。 由此可知，环 Z[ 5i]中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。
由于 3 2 5i 2 5i ，但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。
证明 对任意 a,b G ，有 a,b K ，存在 a1,b1 K ，因
aa1 1， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1) a(bb1)a1 1。
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以1G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。
约元。
定理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。
证明 若 a 有真因子 b ,那么 a=bc 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
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第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
定理1一个唯一分解环有以下性质：(iii)若素元p|ab，那么p|a或p|b。
定理2 假定一个整环I有以下性质：(i) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解a=p1p2…p r（p i是I的素元）(iii)若I的素元p|ab，那么p|a或p|b则I是唯一分解环。
由定理1和定理2可得：假定一个整环I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解a=p1p2…p r（p i是I的素元）那么I是唯一分解环 若I的素元p|ab那么p|a或p|b。
二、最大公因子、互素定义元c叫做元a1，a2，…，a n的公因子，假如c同时能整除a1，a2，…，a n。
元a1，a2，…，a n的一个公因子d叫做a1，a2，…，a n的最大公因子，假如d能被a1，a2，…，a n的每一个公因子整除。
记为d=（a1，a2，…，a n）。
定理3 一个唯一解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。
a和b的任两个最大公因子必相伴。
若d是元a和b的最大公因子，d＇与d相伴，则d＇也是a和b的最大公因子。
推论一个唯一分解环I的n个元a1，a2，…，a n在I里一定有最大公因子。
a1，a2，…，a n的两个最大公因子必相伴。
定义一个唯一分解环的元a1，a2，…，a n说是互素的，假如它们的最大公因子是单位。
§3、主理想环定义一个整环I叫做一个主理想环，假如I的每一个理想都是一个主理想。
注在整环中，主理想（b）⊂（a）⇔b∈（a）⇔a|b；（a）=（b）⇔a与b相伴。
引理1 （因子链条件）假定I是一个主理想环，若在序列a1，a2，…，a n，…（a n∈I）里，a n+1是a n的真因子（n=1，2，…），那么这个序列一定是一个有限序列。
引理2 假定I是一个主理想环，那么I的一个素元p生成一个最大理想。
定理一个主理想环I一定是唯一分解环§4、欧氏环定义一个整环I叫做一个欧氏环，假如（i）存在一个映射φ：I*→N（非负整数集）；（ii）给定a∈I*，I∀都可以写成b∈b=aq+r（q，r∈I）的形式，这里或是r=0或是φ（r）＜φ（a）。
例1整数环Z是一个欧氏环。
例2 数域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。
定理１任何欧氏环I一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。
定理2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。
引理假定I[x]是整环I上的一元多项式环，I[x]的元g(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a0的最高系数a n是I的一个单位，那么I[x]的任意多项式f（x）都可以写成f(x)=g(x)q(x)+r(x) （q(x),r(x)∈I[x]）的形式，这里或是r(x)=0或是r(x)的次数小于g(x)的次数n。
推论假定F[x]是域F上的一元多项式环，F[x]的元g(x)0≠,那么F[x]的任意多项式f(x)都可以写成f(x)=g(x)q(x)+r(x) (q(x),r(x)F∈[x])的形式，这里或是r(x)=0或是))r∂<∂。
gx(x((())定理 3 一个域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。
例3 高斯整数环Z[i]是一个欧氏环。
§5、多项式环的因子分解在本节中，I 是唯一分解环。
一、本原多项式定义 ∈)(x f I[x ]叫做一个本原多项式，假如f (x )的系数互素。
（A ） I 的单位是I [x ]的仅有的单位。
（B ） 一个本原多项式不会等于零。
（C ） 如果本原多项式f (x )可约，那么f (x )可写成f (x )=g (x )h (x )这里g (x )和h (x )的次数都大于零，因而都小于f (x )的次数。
（D ） I [x ]的非零多项式()x f 可以写成())(0x af x f =的形式，其中f 0(x )是本原多项式，I a ∈ （E ）∈p I 是I [x ]的不可约多项式⇔p 是I 的素元。
p (x )∉I 是I [x ]的不可约多项式⇔p (x )是I [x ]的不可约本原多项式。
引理1 （高斯引理）假定f (x )=g (x )h (x ),那么f (x )是原本多项式，当且只有g (x )和h (x )都是本原多项式。
以下用Q 表示唯一分解环I 的商域。
引理 2 Q [x ]的每一个不等于零的多项式f (x ) 都可以写成f (x )=()x f a b0的样子，这里a ,b )(,0x f I ∈是I [x ]的本原多项式。
若是g 0(x )也有f 0(x )的性质，那么g 0(x )=()x f 0ε (ε是I 的单位)引理3 I [x ]的一个本原多项式f 0(x )在I [x ]里可约()x f 0⇔在Q [x ]里可约。
引理4 I [x ]的一个本原多项式f 0(x )在I [x ]里有唯一分解。
二、唯一分解定理1 若I 是唯一分解环，那么I[x ]也是。
定理 2 若I 是唯一分解环，那么I []n x x x ,,21也是，这里n x x x ,,21是I 上的无关未定元。
艾森斯坦判断法 设()[]x I x a x a a x f nn ∈+++= 10,如果存在I 的素元p ，使（i ）n a p ; (ii)p i a ,i ∀<n ;(iii)02a p 那么f (x )在Q [x ]里不可约。
§6、因子分解与多项式的根在本节中，I 是整环。
一、根与一次因式的关系定义 I a ∈叫做f (x )][x I ∈的一个根，假如f (a )=0定理1 a 是f (x )的一个根⇔)(x f a x -定理2 I 的k 个不同的元k a a a ,,21都是f (x )的根)()())((21x f a x a x a x k ---⇔推论 若f (x )的次数是n ,那么f (x )在I 里至多有n 个根。
二、重根、导数定义 I a ∈叫做f (x )的一个重根，假如()k x f a x k),(-是大于１的整数。
定义 多项式f (x )=0111a x a x a x a n n n n ++++--的导数指的是多项式1211)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='--- 定理３ f (x )的一个根a 是一个重根⇔)(x f a x '-推论 假定I [x ]是唯一分解环，I 的元a 是f (x )的一个重根的充要条件是：x -a 能整除f (x )和()x f '的最大公因子。
利用定理１及本原多项式性质，可得如下结论：假定I 是唯一分解环。
[]x I a x a x a x f n n n ∈+++=- 110)(,若∈vuQ 是f (x )的一个根，这里u ,v 是I 中互素的元，Q 是I 的商域。
那么(i);,0n a u a v(ii)f (x )=)(x q v u x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-,这里q (x )[]x I ∈。