高中数学新学案同步 必修1人教A版 全国通用版 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2
几类已知函数模型 函数解析式
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ k＋b(k，b为常数且k≠0) x f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
对数型函数模型 幂函数型模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，
打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面
图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2
的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其 其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
[思考辨析 判断正误] 1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( × ) 2.用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点.( × ) 3.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.( × ) 4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存 在意义了.( × )
题型探究
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
解答
造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值. 100 2 解 令 t＝x ，则 Q＝38 000＋4 000t＋ t ，且 0<t<200.
第三章 §3.2
函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 函数模型
一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型
所以当x＝11时，ymax＝270元.
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.
解答
类型三 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所
获纯利润列成下表. 投资A种商品金 额(万元) 获纯利润(万元) 投资B种商品金 额(万元) 获纯利润(万元) 1 0.65 1 0.30 2 1.39 2 0.59 3 1.85 3 0.88 4 2 4 1.20 5 1.84 5 1.51 6 1.40 6 1.79
跟踪训练2
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的
费用是每日 115 元 .根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行 车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1 元，租不出去的自行车就增 加3辆. 旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于 3元并且不超过20元，每辆自行 车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入 .(日净收入 即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y＝f(x)的解析式；
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开
出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀 速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程. 11 11 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷ 120 ＝ 5 (h)， 所以 0≤t≤ 5 . 因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km， 所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是 11 S＝13＋120t0≤t≤ 5 . 10 2 － 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120× ＝233(km). 60
知识点二
应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤 (1)审题 —— 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择 模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题.
100 ∵函数 u＝t＋ t 在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当 x＝ 10时，Qmin＝118 000(元).
解答
反思与感悟
自建模型时主要抓住四个关键： “求什么，设什么，列
什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心 因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、 不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了 要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.
标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式
为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a· 22，
1 1 2 ∴a＝－2，∴y＝－2x .
当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，
1 2 将 B 点的坐标代入到 y＝－2x 中，得 b＝± 6，因此水面 2 6米.
解析 答案
解答
反思与感悟 函数性质.
在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函
数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱 顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽
2 6 米. _____
解析
以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为 x轴，建立平面直角坐
解答
(2) 试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最 多为多少元？ 解 当3≤x≤6，且x∈N时，因为y＝50x－115是增函数， 所以当x＝6时，ymax＝185元. 当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝－3x
2 34 811 2 ＋68x－115＝－3x－ 3 ＋ 3 ，
新人教A版高中数学必修一3.2.3.1《函数的性质应用》课件
f ( x) 2 x 2 4 x 3.
时，
（1） 求f (1) 的值.
因为 x 1 0,
所以 f (1) 2(1 ) 2 4(1 ) 3 1.
（2） 求 f (1) 的值.
因为 y f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，
所以 f (1) f (1), f (1) f (1) 1.
（3）写出 f ( x) 的解析式并画出函数图象.
例2 已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当x＜
0
f ( x) 2 x 2 4 x 3.
时，
（3）写出 f ( x) 的解析式并画出函数图象.
f (x)的定义域为R.
例2 已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当x＜
10
8
当x＞0时，y =
6
= .
x x
4
偶函数，关于y轴对称.
20
15
10
2
5
5
2
4
6
8
10
12
例1 试画出函数
y=
x
当x＞0时，y =
10
的图象，并讨论函数的单调性.
8
6
= .
x x
4
2
偶函数，关于y轴对称.
x
20
15
10
5
5
2
4
6
8
10
12
例1 试画出函数
y=
x
10
的图象，并讨论函数的单调性.
1
y=
x
x
的图象，并讨论函数的单调性.
高中数学 第三章 函数的应用学案 新人教A版必修1
第三章函数的应用学案新人教A版必修1_3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．[提出问题]函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3.问题2：判断f (0)·f (2)与f (2)·f (4)的符号． 提示：∵f (0)＝3，f (2)＝－1，f (4)＝3， ∴f (0)·f (2)<0，f (2)·f (4)<0. [导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x－3；(4)f (x )＝1－log 3x . [解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是x ＝－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x ＝log 23.所以函数f (x )＝2x－3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝x －x 2－4x ＋x －3；(3)f (x )＝4x＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．解：(1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2，所以函数的零点为x ＝－2. (2)令x －x 2－4x ＋x －3＝0，解得x ＝1，所以函数的零点为x ＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点． (4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，所以函数的零点为x ＝0. 3.1 函数与方程 第三章 函数的应用[例2] (1)不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10)[解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－0>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.[例3] (1)函数f (x )＝ln x －x －1的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2. [答案] C(2)[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点，又f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点． [类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行判断； 法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]判断函数f (x )＝x －3＋ln x 的零点个数． 解：法一：令f (x )＝x －3＋ln x ＝0， 则ln x ＝3－x ，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象， 如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x只有一个零点．法二：因为f (3)＝ln 3>0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e<0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点． 又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．10.因函数图象不连续造成判断失误[典例] 函数f (x )＝x ＋1x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点，故选A.[答案] A [易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f (－1)<0，f (1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f (a )·f (b )<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0有2个零点．[随堂即时演练]1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：选A 观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点． 2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2、3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12、－13，即为函数g (x )的零点．答案：－12，－134．方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析：令f (x )＝ln x ＋2x －8，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (3)＝ln 3－2<0，f (4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k ＝3. 答案：35．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是( ) A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B 设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( )A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0解析：选B 函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a ，b 必在α，β之间，只有C 满足． 5．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析：令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案：27．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0.答案：(－1,0)8．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x－x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？ 解：因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f＝5－2a >0，a >1，解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝4>0，f＝5－2a <0，f＝40－12a <0，f＝68－16a >0，解得103<a <174.3．1.2 用二分法求方程的近似解[提出问题]在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？ 提示：应猜400与800的中间值600. 问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示：能． [导入新知] 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： 第一步，确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε. 第二步，求区间(a ，b )的中点c . 第三步，计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二至四步．[化解疑难]利用二分法求方程近似解的过程图示[例1] (1)) A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x－1C ．y ＝log 3xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )[解析] (1)(2)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．[答案] (1)D (2)C[类题通法]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[活学活用]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析：选D 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.[例2][解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.[类题通法]利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[活学活用]证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解.因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.[例3] 0.1)．[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[类题通法]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[活学活用]求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．解：分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)；因为2.625－2.562 5＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.11.对精确度的理解不正确导致错误[典例] 用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[解析] 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．[答案] 0.75(答案不唯一)[易错防范]1．由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.75－0.625|>0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误．2．利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(a n，b n)的长度应小于精确度．[活学活用]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由表中数据可知：f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.而|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.1.∴零点x0∈(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)．答案：1.556 2或(1.562 5)[随堂即时演练]1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：选C 因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：选A ∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．A.3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课时达标检测]一、选择题1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A正确．2．用二分法求图象是连续不断的函数f (x )在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：选B 因为f (1.5)>0，f (1.25)<0，所以f (1.5)·f (1.25)<0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)．3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：选A ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375D ．1.437 5解析：选D 由参考数据知，f (1.406 25)≈－0.054，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.406 25)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.5．已知曲线y ＝(110)x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A ．(0，12)B.12 C ．(12，1)D ．(1,2)解析：选A 设f (x )＝(110)x－x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12－12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然有f (0)·f (12)<0.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由3－12n <0.1，得2n －1>10，∴n －1≥4，即n ≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：48．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确到0.1)”时，设f (x )＝lgx ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8.那么他再取的x 的4个值依次是________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5 三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝0.073>0.∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.3.2函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值有什么共同的变化趋势？ 提示：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值增大． 问题2：函数f (x )，g (x )，h (x )增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f (x )＝2x增长的最快，其次是g (x )＝x 2，最慢的是h (x )＝log 2x .[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x <x n<a x(a >1，n >0)． [化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234[解析] 从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．故填y 2.[答案] y 2 [类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.1y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 011)，g (2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x.(2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴f (2 011)>g (2 011)． 又g (2 011)>g (6)，∴f (2 011)>g (2 011)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形如指数函数．又e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的。
高中数学第三章函数的应用3.2.1函数模型及其应用课堂导学案新人教A版必修1(2021年整理)
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3.2。
1 函数模型及其应用课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】（一次函数模型）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法:（1）买一个茶壶赠送一个茶杯;（2)按总价的92％付款。
某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算。
思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可。
解:由优惠办法(1）可得函数关系式：y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4),由优惠办法（2）可得函数关系式:y2=（5x+4×20）×92%=4.6x+73。
6.比较：y1-y2=0.4x—13。
6(x≥4)。
①当0.4x-13。
6＞0,即x＞34时,y1＞y2,即当购买茶杯个数大于34时，优惠办法(2)合算。
②当0。
4x-13。
6=0，即x=34时,两种优惠办法一样合算.③当0.4x—13。
2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：3.2 3.2.1 第一课时 函数
A．(－∞，－4)
B．(－4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(－∞，4)
()
解析：作出函数 y＝(x＋4)2 的图象，由图象知，y＝ (x＋4)2 的递减区间是(－∞，－4)．
答案：A
第七页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型一 用定义法证明(判断)函数的单调性
单调性的两个特性
[学透用活]
(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性 质是相同的．
2．[图象法求函数的单调区间]求 f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间． 解：作出函数 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x＜，－－11或≤xx＞≤33， 的图象， 如图所示．
所以 f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间为(－∞，－1]，[1,3]； 单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
第十页，编辑于星期日：点 二十九分。
[对点练清]
1．[函数单调性的判断]下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函
数的是
()
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
解析：函数 y＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案：C
第十一页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．[函数单调性的证明]利用单调性的定义，证明函数 y＝xx＋＋21 在(－1，＋∞)上是减函数．
第十八页，编辑于星期日：点 二十九分。
(2)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[1,2]上不单调，则实数 a 的取值范围为________．
[解析] 函数 f(x)的对称轴方程为 x＝－a2，要使函数 f(x)在 区间[1,2]上不单调，则 1＜－a2＜2，解得－4＜a＜－2.
新人教A版必修一第三章《 函数的应用》教案
§3.1.1 方程的根与函数的零点1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.8688复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法. 判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ； 当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ； （2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理 问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b g 0； 在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c g 0； 在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d g 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b g <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.※ 典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式：求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．※ 动手试试练1. 求下列函数的零点： （1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+.练2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.三、总结提升 ※ 学习小结①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理※ 知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.推论：函数在区间[,]a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间[,]a b 上至少有一个零点..※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >g ．则函数()f x 在[],a b 上（ ）. A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)4. 函数220=-++的零点为 .y x x5. 若函数()+∞上有一个零点．则()f x的零点个f x为定义域是R的奇函数，且()f x在(0,)数为 .1. 求函数32=--+的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.22y x x x2. 已知函数2=+++-.()2(1)421f x m x mx m（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m值.§3.1.2 用二分法求方程的近似解1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.8991复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数()=的零点.y f xy f x=，我们把使的实数x叫做函数()方程()0=的图象与x轴⇔函数y f xf x=有实数根⇔函数()= .()y f x如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法：第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln 26y x x =+-的零点所在区间？如何找出这个零点？新知：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()f a f b g <0的函数()y f x =，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <g ，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <g ，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．※ 典型例题例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.变式：求方程237x x +=的根大致所在区间.※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）练3. .三、总结提升 ※ 学习小结① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※ 知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上（ ）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.3. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)4. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5)5.625f =，那么下一个有根区间为 .5. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为 ，大致所在区间为 .课后作业1. 求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.2. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.§3.1 函数与方程（练习）1. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件；2. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；3. 初步形成用图象处理函数问题的意识.8694 复习1：函数零点存在性定理.如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.复习2：二分法基本步骤.①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <g ，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <g ，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．二、新课导学 ※ 典型例题例1已知3()2log (19)f x x x =+≤≤，判断函数22()()()g x f x f x =+有无零点?并说明理由．例2若关于x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，求实数a 的取值范围.小结：利用函数图象解决问题，注意|()|f x 的图象.例3试求()f x ＝381x x -+在区间[2,3]内的零点的近似值，精确到0.1．小结：利用二分法求方程的近似解. 注意理解二分法的基本思想，掌握二分法的求解步骤. ※ 动手试试练1. 已知函数()()14,4x f x e g x x -=-=，两函数图象是否有公共点?若有，有多少个?并求出其公共点的横坐标．若没有，请说明理由.练2. 选择正确的答案.（1）用二分法求方程在精确度ε下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间(),a b 且()()0f a f b <g ，此时不满足a b ε-<，通过再次取中点2a bc +=，有()()0f a f c <g ，此时a c ε-<，而,,a b c 在精确度ε下的近似值分别为123,,x x x (互不相等)．则()f x 在精确度ε下的近似值为（ ）.A. 1xB. 2xC. 3xD. ε（2）已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若12()()0g x g x <g ，则（ ）. A. 1x ，2x 介于3x 和4x 之间 B. 3x ，4x 介于1x 和2x 之间 C. 1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻 D. 1x ，2x 与3x ，4x 相间相列三、总结提升 ※ 学习小结1. 零点存在性定理；2. 二分法思想及步骤；※ 知识拓展若函数()f x 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数()f x 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．二分法的条件()()f a f b g 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若()y f x =的最小值为2，则()1y f x =-的零点个数为（ ）. A. 0 B. 1 C. 0或l D. 不确定2. 若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <g ，()()02a bf a f +>g ．则（ ）. A. ()f x 在[,]2a ba +上有零点 B. ()f x 在[,]2a bb +上有零点C. ()f x 在[,]2a ba +上无零点D. ()f x 在[,]2a bb +上无零点3. 方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个4. 方程24x x +=的一个近似解大致所在区间为 .5. 下列函数：① y =lg x ； ② 2x y =； ③ y = x 2；④ y = |x | －1. 其中有2个零点的函数的序号是 .1.已知2()22f x x x =+-，（1）如果2()(2)g x f x =-，求()g x 的解析式； （2）求函数()g x 的零点大致所在区间.2. 探究函数0.3x y =与函数0.3log y x =的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过0.1的点．§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.9598阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、新课导学※典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =. 问：其中哪个模型能符合公司的要求？反思：① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？ ※ 动手试试练1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y 与净化时间t （月）的近似函数关系：t y a =(t ≥0，a >0且a ≠1)．有以下叙述① 第4个月时，剩留量就会低于15；② 每月减少的有害物质量都相等；③ 若剩留量为111,,248所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.其中所有正确的叙述是 .练2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n 个月，对某种商品需求总量()f n (万件)近似地满足关系4(2,)9y1 t (月)()()()()113521,2,3,,12150f n n n n n =+-=L ． 写出明年第n 个月这种商品需求量()g n (万件)与月份n 的函数关系式.三、总结提升 ※ 学习小结1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）；※ 知识拓展解决应用题的一般程序：① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）. A ．12x y += B. y =21x - C. y =2x D. y =2x2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用（ ）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）. A. y =20-2x （x ≤10） B. y =20-2x （x <10） C. y =20-2x （5≤x ≤10） D. y =20-2x （5<x <10）4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成 .5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. （用式子表示）某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.§3.2.1几类不同增长的函数模型(2)1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.98101复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.复习2：三个变量,,y y y 随自变量x 的变化情况如下表：呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的单调性如何？增长有差异吗？实验：函数2x y =，2y x =，log y x =，试计算： x 1 2 3 4 5 6 7 8y 1y 2y 311.5822.32 2.58 2.813思考：22log ,2,x x x 大小关系是如何的？增长差异？ (1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和结论：在区间(0,)+∞上，尽管(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会个“档次”上，随着x 的增大，超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度．而log (1)a y x a =>的增长存在一个0x ，当0x x >时，就有速度则越来越慢．因此，总会log n x a x x a <<．※ 典型例题例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数. 已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.小结：待定系数法求解函数模型；优选模型. ※ 动手试试练 1. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t a y -=（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.练2. 某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格. 经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数.（1）试求y 与x 之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？三、总结提升 ※ 学习小结直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.※ 知识拓展在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域. 中.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是（ ）.2. 下列函数中随x 增大而增大速度最快的是（ ）. A ．2007ln y x = B ．2007y x =C ．2007xe y = D ．20072x y =⋅3. 根据三个函数2()2,()2,()log x f x x g x h x x ===给出以下命题： （1）(),(),()f x g x h x 在其定义域上都是增函数； （2）()f x 的增长速度始终不变；（3）()f x 的增长速度越来越快； （4）()g x 的增长速度越来越快；（5）()h x 的增长速度越来越慢。
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用互动课堂学案新人教A版必修1(2021年整理)
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3.2 函数模型应用举例互动课堂疏导引导一、函数的应用1。
数学建模的地位和作用数学来源于生活，又服务于生活。
在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之路.掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性。
在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用。
2.数学模型的种类第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.第二类探究的内容来源于物理、化学等学科。
主要是利用CBL（基于图形计算器的掌上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题。
如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题(怎样存钱能获得更多利息）、绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题(草食动物和肉食动物的平衡)等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料,我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系,用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形\，计算器对数学模型处理,从而解决问题.3。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 函数的应用(一) (2)
B.42元
C.54元
D.越高越好
解析 设每天的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,整理得y=
-3(x-42)2+432,当x=42时,y取得最大值.故每件商品的售价定为42元时,每天
才能获得最大的销售利润.
2.[2024福建高三模拟]某公司市场营销部员工的个人月收入y(单位:元)与
解 (1)由已知可得 P=
+ 20,0 < < 25,∈N* ,
- + 100,25 ≤ ≤ 30,∈N* .
(2)日销售量Q与时间t的函数关系式为Q=-t+40(0<t≤30,t∈N*).
2
(3)由题意 y=
-(-10) + 900,0 < < 25,∈N* ,
(-70)2 -900,25 ≤ ≤ 30,∈N * .
当0<t<25,t=10时,y取最大值900;
当25≤t≤30,t=25时,y取最大值,此时y=(25-70)2-900=1 125.
∴第25天时,该商品日销售金额的最大值为1 125元.
规律方法
1.分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当
作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段
5
35
10
30
20
20
30
10
(1)根据提供的图象(如图),写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关
系式;
(2)根据上表提供的数据,且已知Q与t之间为一次函数关系,写出日销售量Q
与时间t的函数关系式;
(3)求该商品日销售金额y(单位:元)的最大值,并指出日销售金额最大的一
高中数学 第三章 函数的应用教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案
第三章函数的应用教学设计一、教学内容解析函数是描述事物运动变化规律的基本数学模型，在社会学、经济学和物理学领域有着广泛的应用．本章的基本内容是函数与方程和利用函数解决实际问题．函数与方程的紧密联系表达在函数f(x)的零点与相应方程f(x)＝0的实根的联系上．不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律．例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．函数模型的应用，一方面是利用函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理．在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术．因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用．本章既加深了学生对已学过的基本初等函数定义、图象、性质的理解，又能够让学生进一步体验函数是描述客观事物变化规律的基本数学模型、初步形成用函数观点理解和处理现实社会中的问题的意识和能力．二、目标和目标解析(1)通过本节课的教学活动，使学生进一步理解和掌握本章知识，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．(2)让学生养成对学过的知识和方法及时归纳整理的习惯，培养学生运用所学知识分析问题、认识问题和解决问题的能力．(3)创设问题情境，引导学生归纳总结本章知识和方法，师生共同探究应用它们解决简单问题的步骤与方法，体会数学建模的基本思想．(4)通过学习，感受数学在社会生活中的应用价值，培养学生学习数学的兴趣，发展学生的数学应用意识，提高学生的数学素养．三、教学问题诊断分析本节课之前学生已经系统学习了一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数和简单的幂函数，对于函数的概念、图象及性质有了一定程度的理解．并通过本章的学习，对于函数与方程的紧密联系以及建立函数模型解决实际问题有了一定的体验．初步感受到了函数与方程、转化与化归、数形结合的数学思想和方法，增强了数学应用意识．但是学生对动态和静态的认识还比较薄弱，对函数和方程的区别和联系认识还不够深刻，对应用函数的思想方法分析解决问题还不够熟练．因此，在教学过程中应该适当创设问题情境，尽可能多的给学生动手实践的机会，让学生从亲身体验中理解和掌握知识和方法．此外，由于学生总结归纳的能力还不够，在自己独立完成归纳任务时还有一些困难，学生还不能从一定高度去体会和感悟数学学习中的一些思想，这就需要老师适当的引导和帮助．四、教学支持条件分析本节课内容的教学中会有大量的复杂计算，需要精确的作出图象．而要方便的作出函数的图象，把学生从烦琐的计算和画图中解脱出来，将精力集中在本章知识结构的归纳和建立函数模型解决实际问题的研究上，就必须充分的利用计算机中的函数工具软件。
高中数学新学案同步 必修1人教A版 全国通用版 第三章 函数的应用 3.1函数与方程 3.1.2
√
1 x D.y＝ －x 2
1
2
3
4
5
答案
2.下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是
√
1 2 3 4 5
答案
3.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) √ D.(3,4)
1
2
3
4
5
答案
4.定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线， 已知函数 f(x)在区间(a，
可以要求利用二分法缩小零点所在区间.
跟踪训练 3
函数 f(x)＝2x＋x3－2 在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在
1 1 0 ， ， 1 内还是在 内？ 2 2
解
∵f(x)为R上的增函数且f(0)＝20＋03－2<0，f(1)＝21＋13－2>0，
跟踪训练2 度0.1).
借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确
解答
类型三 二分法思想的考查
1＋ 3 1 ＋ 3 < x 2 0 2 函数 f(x)＝ln x＋x －3 的零点 x0 与 2 的大小关系为__________.
例3
解析
答案
反思与感悟
在实际考查中，不一定要求把二分法进行多少次，但
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异
号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
[思考辨析 判断正误] 1.如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值. ( √ ) 2.要用二分法，必须先确定零点所在区间.( √ ) 3.用二分法最后一定能求出函数零点.( × ) 4.达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值.( √ )
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 3.2 函数的基本性质 教案 (2)
3．2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(√)2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(×)3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(×)4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(×)一、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1 x；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x ＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R . ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}． ∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：①定义域关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x ； (2)f (x )＝1－x 2x；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解 (1)函数f (x )的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )＝x 是非奇非偶函数． (2)f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称． f (－x )＝1－x 2－x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D .分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________. 答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________. 答案 0解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 答案 0解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |.又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |. 又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 答案 12解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3， ∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3， ∴m ＝12.1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝x D ．y ＝x 2，x ∈(－1,1]答案 B2．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 答案 C解析 ∵f (x )＝1x －x 是奇函数，∴f (x )＝1x－x 的图象关于原点对称．3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )考点 函数的奇偶性概念 题点 函数奇偶性概念的理解 答案 B4．f (x )＝x 2＋|x |( )A ．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C ．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断函数的单调性、奇偶性 答案 D5．若已知函数f(x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x1＋x 2解析 ∵f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (0)＝a ×0＋b1＋02＝0，∴b ＝0.即f (x )＝ax1＋x 2，又f ⎝⎛⎭⎫12＝25，∴a21＋⎝⎛⎭⎫122＝25. ∴a ＝1，∴函数f (x )＝x 1＋x 2.1．知识清单： (1)函数奇偶性的概念． (2)奇函数、偶函数的图象特征． 2．方法归纳：特值法、数形结合法．3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x ＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1.∴b ＝12或1，由于b ∈Z ， ∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.。