2020-2021学年青海省西宁市大通回族土族自治县高一上学期期末联考数学试题 解析版

青海省大通县2020～2021学年度第一学期期末联考高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效．．．．．．．，．在试题卷．．．．、．草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

4．本卷命题范围：人教版必修1，必修4。

一、选择题：本题共12小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．13πcos6=（ ）A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 2．设全集U 为实数集R ，已知集合{}3A x x =≥，{}03B x x =<<，则()UA B ⋃=（ ）A ．(),0-∞B ．()()0,33,⋃+∞C ．(],0-∞D ．(]{},03-∞⋃3．函数()π2sin 24x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称轴方程为（ ）A ．3ππ82k x =+（k ∈Z ）B ．ππ8x k =+（k ∈Z ） C ．ππ42k x =+（k ∈Z ）D ．ππ82k x =+（k ∈Z ）4．已知a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为π3，则2a b -=（ ）A ．1B C D ．25．函数()25log 2x x x f =-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,56．计算：123log 279-+=（ ）A ．23-B ．0C ．103 D ．2837．已知扇形的弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π2 D ．9π48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()34x f x =+，则()()10f f -+=（ ）A ．7-B ．7C ．1-D ．19．已知函数()()sin A x f x ωϕ==+（0A >，0ω>，π2ϕ≤）的图象如图所示，则()f x =（ ）A ．π2sin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．π2sin 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．π2sin 23x ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π2sin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭10．函数()22xf x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知ABC △外接圆圆心为O ，G 为ABC △所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若52AB AC AO +=，则sin BOG ∠=（ ） A ．12 B ．14C ．154．315812．已知函数()224,0,log ,0,x x x x f x ⎧->=+≤⎪⎨⎪⎩存在a b c <<，使得()()()f a f b f c ==，现有以下三个结论：①1bc =；②116c <<；③20abc -<≤．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 二、填空题：本题共4小题． 13．函数()tan f x x =在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为__________．14．设函数()4,0,2,0,x x x x f x -≤⎧=⎨>⎩则()()1f f -=__________．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，若()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()41f =，则满足()351f a ->的a 的取值范围是__________． 16．已知函数()ππ1sin 36x f x ⎛=⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合1393x A x⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a x a =<>+或． （1）当1a =-时，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 18．已知sin 13sin cos ααα=-．（1）若α为锐角，求4πcos 3α⎛⎫+⎪⎝⎭； （2）求πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭．19．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =． （1）若25c =，且//c a ，求向量c 的坐标；（2）若()1,b m =（m ∈R ），且()a ab ⊥+，求a 与b 的夹角θ的余弦值． 20．已知函数()()()log 22log 4a a f x x x =-++，其中1a >．（1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值．21．已知向量()sin ,cos x m a x =-，()cos ,cos b x x =，函数()2f x a b m =⋅+（m ∈R ）．（1）若1m =，求()f x 的单调减区间；（2）若m =()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． 22．定义在区间D 上的函数()f x ，如果对于任意的x 属于D ，存在常数m ，M 使得()m f x M ≤≤，则称()f x 是区间D 上的有界函数．其中m 称为()f x 在区间D 上的下界，M 称为()f x 在区间D 上的上界．已知函数()1221x x f x a ++-=（()0,x ∈+∞，0a ≥）．（1）若1a =，试判断()f x 在区间[]1,2上是否为有界函数？（2）若函数()()2x f x g x =在[]1,2上是以a 为下界的有界函数，求实数a 的取值范围．青海省大通县教学研究室2020～2021学年度第一学期 期末联考·高一数学参考答案、提示及评分细则1．A 13π3cosπcos 2πcos 666π⎛⎫=+==⎪⎝⎭．故选A ．2．C 由{}3A x x =≥，{}03B x x =<<，∴()0,A B ⋃=+∞．画出数轴可知，()(],0U A B ⋃=-∞．故选C ．3．D 结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足ππ2π42x k +=+（k ∈Z ），解得对称轴方程为ππ82k x =+（k ∈Z ）．故选D ． 4．C ()2223a b a b-=-=．故选C ．5．B 易知()f x 是增函数，因为()251log 202224f -=-<+=，()2log 1033f ->=，所以()()230f f <，根据零点存在性定理，可知()f x 的零点所在的大致区间是()2,3．故选B ．6．A 原式121123434339=+-=+-=-．故选A ．7．D 扇形的圆心角3ππ22l r r θ===，所以3r =，则扇形的面积113π93π2224S lr ==⨯⨯=．故选D ．8．A 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =．又()()()111347f f -=-=-+=-，所以()()10707f f -+=-+=-．故选A ．9．A 由图知2A =，π5π332π31244T ω⎛⎫--==⋅ ⎪⎝⎭，所以2ω=．又π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而π2π6k ϕ=-．因为π2ϕ≤，所以π6ϕ=-．故选A ． 10．D 函数()22xf x x =-+为偶函数，故A 错误；()1121f =-+=，故B 错误；当x 无限增大时，2x增长得比2x 快，所以()0f x >，故C 错误．故选D ．11．C 取BC 的中点D ，由0GA GB GC ++=知G 为ABC △的重心，则()1233AG AB AC AD =+=，而()2455AB AC A AD O +==，所以A ，G ，O ，D 四点共线，所以AB AC =．不妨令5AD =，则4AO BO ==，1OD =，所以15sin sin 4BD BOG BOD BO ∠=∠==．故选C ．12．B 作直线y m =与函数()f x 的图象交于三个点，从左向右横坐标依次为a ，b ，c ．由于0x ≤时，()f x 的最大值为4，因此()4f c ≤，即2log 4≤，且由图可知，1c >，所以116c <≤，故②错误；由图象可知，22log log b c -=，所以1bc =，故①正确；由图象可以得到20a -<≤，所以20abc -<≤，故③正确．故选B ．13．1 ∵函数()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴其最大值为π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．． 14．32 因为()15f -=，所以()()()515232f f f -===．15．1,33⎛⎫⎪⎝⎭由条件知，函数()f x 在(),0-∞上单调递增，且()41f -=，所以要使()351f a ->成立，则4354a -<-<，解得133a <<．16．2020 易知函数()ππ1sin 36f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期6T =，而()()()()1234f f f f +++()()()()1111111111115662222f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--+--+--+-=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎣⎦++，由周期可知，这样连续六项的和均为6，而()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅共有2020项，是6的336倍再加4项，则()()()()()()()()()112320203366123420161112f f f f f f f f ⎛⎫+++⋅⋅⋅=⨯++++=+-+-+⎪⎝⎭()111120202⎡⎤⎛⎫--+--=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．17．解：（1）由12333x -<≤，得12x -<≤，所以集合{}12A x x =-<≤； 当1a =-时，{}11B x x x =<->或，所以{}12A B x x ⋂=<≤． （2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以2a >或21a +≤-，解得2a >或3a ≤-． 故当A B B ⋃=时，实数a 的取值范围是(](),32,-∞-⋃+∞．18．解：由sin 13sin cos ααα=-，得cos 2sin αα=．（1）由22cos 2sin ,sin cos 1,αααα=⎧⎨+=⎩解得sin ,5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 5cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵α为锐角，∴sin 5α=，cos 5α=． ∴4πππcos cos πcos 333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππcos cos sin sin 33αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12==．（2）由cos 2sin αα=，得1tan 2α=， 则22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴41πtan 213tan 27441tan 213ααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-．19．解：（1）设(),c x y =，由25c =，//c a ，可得2220,20,x y x y -=⎧⎨+=⎩所以4,2,x y =-⎧⎨=-⎩故4,2,x y =⎧⎨=⎩故()4,2c =--或()4,2c =．（2）因为()3,1a b m +=+，由()a ab ⊥+， 所以()()23110a m a b ⨯=⋅++⨯=+， 所以7m =-，故()1,7b =-， 因为5a =，52b =，所以1217cos 105a b a bθ⨯+⨯-⋅===-． 20．解：（1）要使函数有意义，则有220,40,x x ->⎧⎨+>⎩解得41x -<<，所以函数()f x 的定义域为()4,1-．（2）函数可化为()()()log 22log 4a a f x x x =-++()22325268log 22lo 2g a a x x x ⎡⎤⎛⎫--+=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢=⎥⎣⎦，因为141x -<<，所以23252502222x ⎛⎫<-++≤⎪⎝⎭． 因为1a >，所以232525log 2log 222a a x ⎡⎤⎛⎫-++≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即()max 25log 2af x =，由25log 22a =，解得2a =． 21．解：()2sin cos cos x x m x f x =-()2sin 22cos 1sin 2cos2x m x x m x =--=-，（1）∵1m =，∴()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，k ∈Z ，得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ． ∴函数()f x 的单调区间为3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．（2）当m =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象对应的函数为()π2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ266x -=-，即0x =时，()g x 取最小值1-； 当ππ262x -=，既π3x =时，()g x 取最大值2．22．解：（1）当1a =时，()12121x x f x ++=-，设1212x x ≤<≤，则()()1212111221212121x x x x x f x f ++++-=---()()()()()()12211211212121212121x x x x x x+++--+-=--())()(21121322221x x x x--=-． 因为12x x <，所以2122x x>，即()()120f x f x ->，所以()f x 在[]1,2上单调递减，所以()()max 15f x f ==，()()min 23f x f ==，则()35f x ≤≤，所以函数()f x 在[]1,2上有界函数．（2）由题意得，对于任意[]1,2x ∈，()22f x a ≥⋅，即12221x x xaa ++≥⋅-对于[]1,2x ∈恒成立， 即()()22220xxa a a -+-≤对于[]1,2x ∈恒成立．令2x t =（[]2,4t ∈），则()()220g t at a t a =-+-≤（[]2,4t ∈）恒成立． ①0a =时，()2gt t =-，[]2,4t ∈时，20t -<，符合题意；②0a ≠时，()()20,40,g g ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得()()4220,16420,a a a a a a -+-≤⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩所以811a ≤．综上所述，实数a 的取值范围为0811a ≤．。