最大公约数和最小公倍数奥数

最大公约数和最小公倍数

例1、一个长方体木块，长米，宽分米，高分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米

【思路导航】米=270厘米，分米=18厘米，分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。

（270,18,15）=3 3厘米=分米

答：正方体的棱长最大是分米。

练习1、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组

练习2、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米

例2、一个数除200余4，除300余6，除500余10。求这个数最大是多少

【思路导航】200-4=196，300-6=294，500-10=490；

196、294和490都是这个数的倍数。

196=2×2×7×7

294=2×3×7×7

490=2×5×7×7

则196、294和490的最大公因数是：2×7×7=98。

答：这个数最大是98。

练习1、一个数除425余5，除500少4，除300余6，这个数最大是多少

练习2、如果把110本练习本平均分给五(1)班同学，则多5本；如果把210本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240本练习本平均分给这班同学，还少5本，五(1)班最多有多少名同学

例3、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米

【思路导航】因为要在甲、乙，乙、丙两村的中点栽上树，甲、乙，乙、丙两村距离的一半分别是360÷2=180（米），675÷2=（米）；

因为360与675的最大公因数为45，且360÷2=180、675÷2=，所以180与的最大公因数为45÷2=，

也就是说相邻两棵树之间的最大距离是米。

答：相邻两棵树之间的距离最多是米。

练习1、一条公路由A经B到C.已知A、B相距300米,B、C相距200米.现在路边植树,要求相邻两树间的距离相等,并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵,那么两树间的距离最多有多少米

练习2、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少

例4、已知两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少【思路导航】这是一道关于最大公因数和最小公倍数的题目，根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。根据题意，先分别把15和90分解质因数；

再根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，找出原来两数分别是多少；

然后进一步分析，是否还有其它的可能，把所有可能的情况找全即可。

15=3×5

90=2×3×3×5

则这两个数分别是：

15×2＝30

15×3＝45

或者是：

3×5＝15

15×2×3＝90

答：这两个数分别是30、45或者是15、90。

练习1、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少练习2、两个自然数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144.这两个自然数各是多少

例5、今年祖父的年龄是小明的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明的5倍，又过几年以后，祖父的年龄是小明年龄的4倍．问祖父今年多少岁

【思路导航】于祖父与小明的年龄差是一定的，今年二者的年龄差是小明年龄的6-1=5倍，以后是5-1=4倍，4-1=3倍，这说明年龄差是5，4，3的倍数，能被5，4，3整除，所以其最小公倍数是60，这个数是60的倍数，显然120和180是不可能的，所以只能是60，因此今年小明的年龄是60÷5=12（岁），则祖父的年龄是12×6=72岁．

练习1、有一堆苹果，无论是5个一数，还是8个一数，或是12个一数，都正好数完，而没有剩余.这堆苹果至少有多少个

练习2、甲、乙、丙三人沿一环形跑道跑步，甲跑一圈要60秒，乙跑一圈要40秒，丙跑一圈要50秒.三人同时从起点出发后，保持速度不变，至少再过多长时间，他们又在起点相遇

例6、一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米,要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块

【思路导航】正方体的棱长应该是长方体长宽高的公倍数，

20、12、6的最小公倍数是60

堆成正方体至少需要这样的砖头：60×60×60÷（20×12×6）=150（块）

练习1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块

练习2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米

例7、有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个数最小是多少【思路导航】由题意得，有一个自然数除以10余7，除以7余4，除以4余1就是：这个自然数除以10缺3，除以7缺3，除以4缺3，求出10、7、4的最小公倍数，再减去3即可.

【10,7,4】=140 140-3=137

答：这个自然数最小是137.

练习1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人，六年级最少有多少人

练习2、一个数能被3，5，7整除，但被11除余1.这个数最小是多少