高中数学北师大版必修五1.2.1等差数列一课时作业

2.1 等差数列(一) 课时目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d 表示．
2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的__________，并且A ＝________.
3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝____________.
4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为______数列；若公差d <0，则数列{a n }为________数列．
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．－3
2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( )
A ．30° B．60° C ．90° D．120°
3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 101的值为( )
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于( )
A.14
B.12
C.13
D.23
5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．a n ＝2n －2 (n ∈N ＋)
B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N ＋)
C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N ＋)
D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N ＋)
二、填空题
7．已知a ＝13＋2，b ＝13－2
，则a 、b 的等差中项是__________． 8．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________．
9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2
的值为________．
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1
(n ≥2)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
能力提升
13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．不确定
14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n
，n ∈N ＋.
(1)求证：数列{b n }为等差数列．
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．
2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个 量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .
§2 等差数列
2．1 等差数列(一)
答案
知识梳理
1．等差 公差 2等差中项 a ＋b 2 3.a 1＋(n －1)d 4．递增 递减
作业设计
1．C 2.B 3.D
4．C [⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13.] 5．B [设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.] 6．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，
d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)×(－2)，得a n ＝－2n ＋10.] 7. 3
8．a n ＝14
n ＋1 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，
∴a ＝54
. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74
. ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4
＋1. 9.43
解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13
(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14
(n －m )． ∴d 1d 2＝13(n －m )14
(n －m )＝43. 10.83
<d ≤3 解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3. 11．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得
⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1
(n ≥2)， ∴a n ＋1＝4－4a n
(n ∈N ＋)． ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n
－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12. ∴b n ＋1－b n ＝12
，n ∈N ＋. ∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12
. (2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12
. ∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n 2
. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n
. 13．B [由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，
d ＝40n －1
为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．]
14．(1)证明 当n >1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n
－1a n －1
＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1
＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5. (2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1
，n ∈N ＋. ∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145
. 令a n ＝14n ＋1＝145
， ∴n ＝11.
即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．。