数学(理)：专题4.1+数列的通项公式与求和(解析版)

2017年高考备考之 3年高考2年模拟1年原创【三年高考】1. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .【答案】 1212. 【2016高考山东理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【解析】（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n .3．【2016高考江苏卷】记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥ . 【解析】（1）由已知得1*13,n n a a n N -=∙∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=.又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）因为{1,2,,}T k ⊆ ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-< .因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+= . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥ .③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D = ，U F D C C = 则E φ≠，F φ≠，E F φ= .于是C E C D S S S =+ ，D F C D S S S =+ ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤ ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ，即21C C D D S S S +≥+ .综合①②③得，2C C D D S S S +≥ .4．【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑5． 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n =-． 6.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++= ，所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 7. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前项和. 8.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】（I ）因为233n n S =+ ，所以，1233a =+ ，故13,a = 当1n > 时，11233,n n S --=+此时，1122233,nn n n n a S S --=-=- 即13,n n a -= 所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩（II ）因为3log n n n a b a = ，所以113b =，当1n > 时，()11133log 313n n nn b n ---==-⋅ ，所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++- ，所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++- ，两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623n n +=-⨯ ，所以13631243n n n T +=+⨯，经检验，1n = 时也适合， 综上可得：13631243n n n T +=+⨯ 9.【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++10．【2014高考广东理第19题】设数列{}n a 的前项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =.（1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.11．【2014高考湖南理第20题】已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】 (1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或, 当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =. (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为12．【2014高考全国1第17题】已知数列{}n a 的前项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.【解析】（I ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=．由于10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续两年大题没涉及数列,故预测2017年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．【2017年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系．【考点1】数列的概念与表示【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看 “各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】1. 【2016年4月河南八市高三质检卷】已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈，观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 42lg 2lg3a a ∙=∙=∙=；123456237lg3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7a a a a a a ∙∙∙∙∙=∙=∙= ，…；若*1232016()m a a a a m N ∙∙∙∙=∈ ，则m 的值为（ ）A ．201622+ B ．20162 C ．201622- D ．201624-【答案】C【解析】由题意：1223lg3lg 4log 3log 42lg 2lg3a a ∙=∙=∙=；123456237lg3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7a a a a a a ∙∙∙∙∙=∙=∙= ，…；12345613142315lg3lg 4lg16log 3log 4log 1616,lg 2lg3lg15a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅= …；据此可知，*1232016()m a a a a m N ∙∙∙∙=∈ ，则m 的值为201622-2.数列 ,817,275,31,31--的一个通项公式是A ．n n a n n 312)1(1--=+ B ．n n a n n 312)1(--= C ． n n n n a 312)1(1--=+ D ． nn n n a 312)1(--= 【答案】C.【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法． 【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥.⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥.⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】1. 【2016届榆林市高三二模】在数列{}n a 中，()1111,114n n a a n a -=-=->，则2016a 的值为（ ） A ．14-B ．5C ．45D ．以上都不对 【答案】C2. 【2016湖北省八校高三.二联】数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前项和，则120S = . 【答案】7280【解析】由()()1=11n n na n a n n ++++得，111n n a a n n +=++，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为公差的等差数列，且111a =，所以n a n n =，2n a n =，22cos 3n n b n π=，所以222222212011111234561202222S =-⨯-⨯+-⨯-⨯+-+22222221(1223456120)2=-+-⨯++-+- 222222221[(123120)3(369120)]2=-++++-⨯++++ 22222221139(1240)(123120)22=⨯⨯⨯++-⨯++++ 140418111201212413972802626⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯= 【考点3】数列求和 【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()30122nn n nn n C C C C ++++= . 2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()31k=；()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的．【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】1. 【2016年江西九江高三第三次联考】设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若12,21344672==S S ，则=2016S （ ）A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【答案】C【解析】由134420166721344672,,S S S S S --成等差数列，得1221022016-+=⨯S ，即=2016S 30,故选C.2. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数()()()()1210log 110ax x f x x x ⎧->⎪=⎨+-<≤⎪⎩且334f f ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，在各项为正的数列{}n a 中，{}1112,,2n n n a a f a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的前项和为n S ，若126n S =，则n =____________． 【答案】6【应试技巧点拨】1. 由递推关系求数列的通项公式 （1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n naa +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. 特征二：n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. 特征三：1n n nC a b =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. 特征四：nn n n C C a =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式. 数列{n a }的前项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：12)n n n a S S n -=-≥（，根据题目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥5.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n naa +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.1. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则+++ (1)121a a =20161a （ ） A ．20162015 B ．20172016 C ．20174034 D ．20174032【答案】D2. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】若数列{n a }满足11n a －－1na ＝d （n ∈N ﹡，d 为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 【答案】B【解析】由题意知1n n x x d --=-（常数），所以数列{}n x 是以1x 为首项，d -为公差的等差数列，则有()122051610200x x x x x +++=⋅+= ，51620x x +=.故选B.3. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的*∈N n m ,，都有mn a a a n m n m ++=+，则=+⋅⋅⋅+++20143211111a a a a （ ） A ．20142013 B ．10072013 C ．20152013 D ．20154028【答案】D【解析】因为mn a a a n m n m ++=+，则可得10,6,3,14321====a a a a ，则可猜得()21+=n n a n ，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=1112121n n n n a n ，∴12320141111111112122320142015a a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-+- ⎪⎝⎭ 40282015=，故选D ． 4. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列{}n a 满足m n n a n ++-=3453123，若数列{}n a 的最小项为，则实数m 的值为（ ） A ．41 B ．31 C ．41- D ．31- 【答案】B5. 【2016年淮北一中高三模考】数列 {}n a 中，()11126,212n n n a a a a n n n--=-=++≥，则此数列的通项公式n a =___________．【答案】()()1121n n ++-【解析】由11221n n n a a a n n ---=++得1211n n a a n n -=++，所以112(1)1n n a an n -+=++，又1142a +=，所以{1}1n a n ++是等比数列，所以1114221n n n a n -++=⨯=+，即1(1)(21)n n a n +=+-．6. 【2016年河北石家庄高三二模】数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.【答案】10217. 【2016年江西省南昌市高三一模测试】数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +S n 一1=2n-l (n>2)，且S 2 =3，则a 1+a 3的值为 。