勾股定理相关知识
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
物理勾股定理知识点总结
物理勾股定理知识点总结一、勾股定理的概念勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理广泛应用于物理学中的各个领域，如力学、光学、电磁学等。
它不仅是物理学的基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
在直角三角形ABC中，若角C为90度，则有a²+b²=c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。
这是勾股定理的基本表达形式。
二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并给出了一种几何证明。
这种证明方法是通过构造一个正方形，利用三角形的相似性和面积相等来证明。
在直角三角形ABC中，作a和b为直角边的正方形，其边长分别为a和b。
然后再构造一个以c为边长的正方形。
根据相似三角形的性质和面积相等，可以得出a²+b²=c²。
2. 代数证明：勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
假设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。
则可以利用勾股定理进行代数运算。
首先，将直角三角形的两直角边分别表示为a 和b，根据毕达哥拉斯定理，得：a²+b²=c²然后，对两边取平方根，得：c=√(a²+b²)因此，可以通过代数方法证明勾股定理的成立。
三、物理学中勾股定理的应用1. 力学：在力学中，勾股定理常常用于解决叠加物体受力的问题。
例如，一个物体受到两个力的作用，可以利用勾股定理计算合成力的大小和方向。
另外，勾股定理也可用于解决斜面上物体滑动的问题。
2. 光学：在光学中，勾股定理常常用于计算光的反射和折射。
例如，当光线入射到一个介质边界上时，可以通过勾股定理计算入射角和折射角之间的关系。
另外，勾股定理也可以用于计算物体在镜子中的像的位置和大小。
3. 电磁学：在电磁学中，勾股定理常常用于计算电场和磁场的合成和分解。
例如，两个电荷之间的相互作用力可以通过勾股定理计算合成力的大小和方向。
勾股定理公式知识点总结
勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法，下面介绍其中比较常见的几种证明方法：1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一，它利用几何图形和性质进行推理。
一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质，将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边，利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。
2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。
一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形，通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法，通过证明当n=k时定理成立，再证明当n=k+1时定理也成立，从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。
勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。
4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。
通过分析直角三角形和斜边的关系，利用函数的性质进行推导，可以证明勾股定理成立。
以上是勾股定理的几种常见的证明方法，它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。
在学习和掌握勾股定理时，可以通过比较不同的证明方法，增加对定理的理解和掌握。
二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理，它被广泛地应用于各种实际问题中。
下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景：1. 地理测量在地理测量中，经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。
例如，利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离，或者计算某一点的具体位置等。
2. 建筑设计在建筑设计中，经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。
例如，在设计楼梯的高度和跨度，或者在设计房屋的墙角和斜面等方面，都需要用到勾股定理。
3. 机械制造在机械制造中，勾股定理也有广泛的应用。
例如，在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面，都需要用到勾股定理来进行计算和设计。
4. 航空航天在航空航天领域，勾股定理也有重要的应用。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理知识点总结梳理
勾股定理知识点总结梳理一、概念勾股定理是指直角三角形中，直角边上的两个小正方形的面积之和等于斜边上的一个大正方形的面积。
具体来说，设直角三角形的斜边长为 c，直角边长分别为 a 和 b，则有 a^2 + b^2 = c^2。
这就是著名的勾股定理。
这个定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的，因而也被称为毕达哥拉斯定理。
二、证明方法勾股定理的证明方法有很多种，其中比较经典的是几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明几何证明是从图形的角度出发，通过构造几何图形来证明勾股定理。
一种经典的几何证明是通过构造一个边长为 a+b，边长为 a，b的三个正方形，然后利用这三个正方形的关系来证明勾股定理。
具体步骤如下：（1）首先，我们分别在直角三角形的两条直角边上分别构造正方形，假设它们的边长分别为 a 和 b。
（2）然后再对边长为 a+b 的正方形进行构造，使得它的面积等于 a^2 + b^2，这样就构成了一个大正方形。
（3）最后，我们可以通过计算其中每个三角形的面积，再将它们相加，就可以得到大正方形的面积，从而证明 a^2 + b^2 = c^2。
2. 代数证明代数证明是通过代数方程式来推导和证明勾股定理。
一种经典的代数证明方法是利用平面直角坐标系，假设直角三角形的顶点分别为（0,0）、（a,0）和（0,b），斜边的顶点为（a,b）。
然后根据两点间的距离公式，可以推导出 a^2 + b^2 = c^2。
这种方法比较直观和简单，适合初学者理解和掌握。
三、应用勾股定理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
主要体现在以下几个方面：1. 测量和建筑在测量和建筑领域，勾股定理被广泛应用于测量三角形的边长和角度，以及设计相应的建筑结构。
例如，在房屋建筑中可以利用勾股定理来确定墙角是否垂直，以及计算各种角落的长度。
2. 航空航天在航空航天领域，勾股定理被应用于导航、飞行轨迹规划和飞行器设计等方面。
例如，飞行员需要根据勾股定理计算飞机的飞行距离和高度，以确保飞行过程中的安全。
勾股定理补充知识点
勾股定理补充知识点一、勾股定理的基本内容1. 定义- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c满足3^2+4^2=c^2，即9 +16=c^2，c^2=25，所以c = 5。
2. 勾股定理的历史- 在西方，古希腊数学家毕达哥拉斯也发现了这个定理，所以勾股定理在西方也被称为毕达哥拉斯定理。
二、勾股定理的证明方法1. 赵爽弦图证明法（中国古代证法）- 赵爽利用“弦图”对勾股定理进行证明。
他把四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形。
- 大正方形的面积可以表示为(a + b)^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。
四个直角三角形的面积为4×(1)/(2)ab=2ab，中间小正方形的边长为(b - a)，其面积为(b - a)^2。
- 所以(a + b)^2=2ab+(b - a)^2，展开得到a^2+2ab + b^2=2ab+b^2-2ab+a^2，化简后可得a^2+b^2=c^2。
2. 欧几里得证法（西方古代证法）- 设 ABC为直角三角形，∠ C = 90^∘，以AB、BC、CA为边向外作正方形ABDE、BCFG、ACHK。
连接CD、KB等线段，通过证明 ACD≅ ABK等三角形全等关系，再根据面积关系得到AC^2+BC^2=AB^2。
三、勾股定理的逆定理1. 定义- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如，三角形三边为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169 =13^2，所以这个三角形是直角三角形。
2. 作用- 勾股定理的逆定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
在实际应用中，比如在建筑测量、工程设计等领域，如果知道了一个三角形的三边长度，就可以用逆定理来判断这个三角形的形状是否为直角三角形，从而确定是否符合相关的设计要求或者测量标准。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
勾股定理知识点整理
勾股定理知识点整理1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即：a²+b²＝c²要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一。
其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理知识点总结
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角 三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2， 则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜 边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图， 避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．2，3，5
B．1，2，3
C．1，2，5
D．12，16，20
2．下列线段不能组成直角三角形的是 【 D 】
A．3，4，5
B．1，43
，5
3
C．9，12，15
D．6，2，3
3．在下列长度的三条线段中不能组成直角三角形的是【 C 】
A．8，15，17
B．n2＋1，n2－1，2n
C．a，2a，3a
D．m2－n2，，m2＋n2
∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
例 2.在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求
此三角形的面积。
C
解 152 82 172
a2 c2 b2
15 ∴△ＡＢＣ为直a c 1 158 60.
2
2
B
17 8A
例1
2．如图2，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC为12m， 中柱AD为2.5m，中柱AD⊥BC于D，为防雨需在厂房顶部铺上 油毡，已知厂房长10m，需用油毡 130 m2 ．
B C
图1
A
中柱
B A
跨D度
C
图2
例9
如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处， 已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长．
斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
古埃及人的做法： A
△ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5 5 4
C
3
A′
4
B
我们作RT △ABC，使 B′C′=3 ，A′C′=4
这两个三角形有什么关系？
C′
B′
3
A
A′
5
4
4
C
3
B
在 RTABC中根据
勾股定理有 AB2 AC2 BC2 BC 3, AC 4
2．如图2，互相垂直的两条公路从A、B两村穿过，A村到路 口C的距离为9千米，B村到路口C的距离为12千米．现要在 AB间修一条公路，若此种公路的造价为50元/米，则这条公 路的总投资最少为 75 万元．
例6
1．如图1，隔湖有两点B、C，从与CB成直角的CA方向上的点A 处测得AB＝130m，AC＝120m，则B、C两点的距离为 50 m．
例3
1．如图1，已知正方形ABCD的面积为12，AE＝2ED，则AE＝ 4．
2．如图2，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，
DC＝2，则BD的长为 6 ．
E
A
A
D
D
B
C
图1
B 图2 C
例4
1．在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝13，AD＝12， AC＝20，则BC等于【 B 】 A．20 B．21 C．22 D．23
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289
C a B C′ a B′ 证明： ∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’ ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∴ ∠ C= ∠ C’=90°
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
AB2 32 42 52
AB 5
′C
3
B′
ABC≌ ABC
C C 90
勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
A
′
A
bc b
在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’
1．如图1，阴影部分的是一个正方形，它的面积是 41 .
B
c
5
a
4
C
b
A
图1
图2
2．如图2， Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对 的边分别是a、b、c． ⑴ 若a＝12，b＝16，则c＝ 20 ； ⑵ 若b＝24，c＝25，则a＝ 7 ； ⑶ 若a＝5，c＝13，则b＝ 12 ； ⑷ 若a＝9，b＝40，则c＝ 41 ．
解：由折叠可知： AF＝AD＝10， A
AB＝8，在Rt△ABF中，根据勾股 8 定理，得BF＝6
所以，FC＝10－6＝4
B
设EC＝x ，则DE＝EF＝ 8－x
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得
x2＋42＝(8－x)2
解得： x＝3cm
10
D
8－x
10
E 8－x x
6
F4C
例10
1．下列线段能组成直角三角形的是 【 D 】
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42= 52
常见的直角三角形
2
1 1
13 5
12
1
2
3
5
3
4
25 7
24 41 9
40
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
例11
如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝24，BC＝20， CD＝15，DA＝7．求∠C的度数和四边形ABCD的面积．
2．直角三角形的两边长分别是6和8，则以第三边为边长的正 方形的面积是 【 D 】 A．10 B．100 C．28 D．100或28
例5
1．如图1，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距 8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这 只小鸟至少要飞行 10 m．
B
图1
A 图2 C
例2
1．Rt△ABC中，两条直角边的长分别是16和30，则斜边的长 应为【 A 】
A．34
B．40
C．45
D．50
2．直角三角形的两条直角边的比为3∶4，斜边长25cm，则斜 边上的高为【 B 】
A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
3．等腰三角形的腰长为20cm，底边长24cm，则它底边上的高 长 16 ，面积为 192 ．
勾股定理相关 知识
美丽的勾股树
概念
❖ 1.直角三角形有哪些性质? 2.如何判断三角形是直角三角形?
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段, 然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？