18年高中数学课时跟踪检测(十四)演绎推理新人教A版选修2_2
高中数学选修22人教A课时跟踪检测：第2章 推理与证明阶段性测试题二 含解析
阶段性测试题二第二章 推理与证明 (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是由一般到特殊的推理 B ．演绎推理得出的结论一定是正确的 C ．类比推理是由特殊到特殊的推理 D ．演绎推理是由特殊到一般的推理 答案：C2．三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误 D.是正确的答案：A3．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D.100解析：由题意可知，S 13＝S 14＝S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝…＝S 97＝S 98＝0，共14个，其余均为正数，故共有100－14＝86个正数．答案：C4．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4·5k －2kB ．5(5k －2k )＋3·2kC．(5－2)(5k－2k)D．2(5k－2k)－3·5k解析：5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.答案：B5．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由椭圆定义可知当平面内一动点P的轨迹为椭圆时有平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数，反之不成立，所以是必要不充分条件．答案：B6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a x－a－x，C(x)＝a x＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④ D.②③解析：∵S(x)＝a x－a－x，C(x)＝a x＋a－x，∴S(y)＝a y－a－y，C(y)＝a y＋a－y，∴S(x)C(y)＝(a x－a－x)(a y＋a－y)＝a x＋y＋a x－y－a－x＋y－a－x－y，C(x)S(y)＝(a x＋a－x)(a y－a－y)＝a x＋y－a x－y＋a－x＋y－a－x－y，∴S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(a x＋y－a－x－y)＝2S(x＋y)，S(x)C(y)－C(x)S(y)＝2(a x－y－a－x＋y)＝2S(x－y)．∴③④正确．答案：B7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面(侧面)，所以边的中点对应正四面体的各正三角形的中心．答案：C8．用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1324(n>2)”的过程中，归纳递推由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边()A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1＋12(k＋1)C．增加了两项12k＋1＋12(k＋1)，又减少了一项1k＋1D．增加了一项12(k＋1)，又减少了一项1k＋1解析：当n＝k时，不等式的左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式的左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两个式子，可知由n＝k到n＝k＋1，不等式的左边减少了一项1k＋1，增加了两项12k＋1＋12k＋2，故选C.答案：C9．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D.由a的取值范围决定解析：∵P2－Q2＝2a(a＋7)－2(a＋3)(a＋4)＝2a2＋7a－2a2＋7a＋12＜0，∴P＜Q.答案：C10．(2019·成都外国语学校高二考)将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D.1 011×2 015解析：a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n－5＝(n－1)(n＋6)2，∴a2 016－5＝2 015×2 0222＝2 015×1 011. 答案：D11．用反证法证明：若a≥b＞0，则1a＋2－a≤1b＋2－b的假设为()A.1a ＋2－a ＜1b ＋2－b B ．1a ＋2－a ≥1b ＋2－b C.1a ＋2－a ＞1b ＋2－b D.1a ＋2－a ≤1b ＋2－b答案：C12．设函数f ′n (x )是f n (x )的导函数，f 0(x )＝e x (cos x ＋sin x )，f 1(x )＝f ′0(x )2，f 2(x )＝f ′1(x )2，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )2(n ∈N *)，则f 2 018(x )＝( )A ．e x (cos x ＋sin x )B ．e x (cos x －sin x )C ．－e x (cos x ＋sin x )D.－e x (cos x －sin x )解析：∵f 0(x )＝e x (cos x ＋sin x )，∴f ′0(x )＝e x (cos x ＋sin x )＋e x (－sin x ＋cos x )＝2e x cos x ， ∴f 1(x )＝f ′0(x )2＝2e x cos x ， ∴f ′1(x )＝2e x (cos x －sin x )， ∴f 2(x )＝f ′1(x )2＝e x(cos x －sin x )， ∴f ′2(x )＝e x (cos x －sin x )＋e x (－sin x －cos x )＝－2e x sin x ， ∴f 3(x )＝－2e x sin x ， ∴f ′3(x )＝－2e x (sin x ＋cos x )， ∴f 4(x )＝－e x (cos x ＋sin x )， ∴f ′4(x )＝－2e x cos x ， ∴f 5(x )＝－2e x cos x ， ∴f 6(x )＝－e x (cos x －sin x )， ∴f 7(x )＝2e x sin x ， ∴f 8(x )＝e x (cos x ＋sin x )， …故周期T ＝8，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝e x (cos x －sin x )，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制(分为A ，B ，C 三个层次)，得A 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A .三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B 或C ； 乙说：我肯定得A ；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A 的同学是________．解析：由甲与丙的观点一致，而三人中，只有一人预测不准确，故而甲、丙预测准确，而乙预测不准确，所以得A 的同学为甲．答案：甲14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为____________________________________________________________________________________________________________________________________. 解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝115．如图所示，坐标系上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y62 017解析：由题意知，a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，a9＝3，a10＝5，a11＝－3，a12＝6.观察可得奇数项均为点的横坐标，a2 017是第1 009个奇数，在y轴右边，可得a2 017＝505.答案：50516．观察下列各式：1＝1,1＋11＋2＝43，1＋11＋2＋11＋2＋3＝32，1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＝85，由此可猜想，若1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋10＝m，则m＝________.解析：观察各式右侧的结果：1＝22，43，32＝64，85，…，推测第n个等式的右侧结果为2nn＋1，∴1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋10＝2×10 10＋1＝2011，∴m＝2011.答案：20 11三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设m 为实数，用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：∵一元二次方程中的判别式Δ＞0，则方程有两个相异实根，(大前提) 又方程x 2－2mx ＋m －1＝0中的Δ＝4m 2－4(m －1)＝ 4(m 2－m ＋1)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫m －122＋34＞0，(小前提) ∴方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．18．(12分)(2019·吉林省实验中学高二期中)点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1 交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解：(1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， 又PM ∩PN ＝P ，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角． 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1，S ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α.19．(12分)如图，正方形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，且EM＝2MD，AB＝3AN，(1)求证：MN∥平面BEC；(2)若H是EB边上的点，且AH⊥EB，求证：BE⊥DH.证明：(1)如图，在CE上取一点F，使EF＝2FC，连接FB、MF.由题意知，∵EM＝2MD，∴MF∥CD，且MF＝23CD，又已知正方形ABCD中，AB＝3AN，∴BN∥CD且BN＝23CD，∴MF∥BN且MF＝BN，∴四边形BNMF为平行四边形，∴MN∥BF，又MN⊄平面BEC，BF⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(2)∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD⊂平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，∵BE⊥AH，AD∩AH＝A，AH⊂平面AHD，AD⊂平面AHD，∴BE⊥平面ADH，∵DH⊂平面ADH，∴BE⊥DH.20．(12分)请你把不等式“若a1，a2是正实数，则有a21a2＋a22a1≥a1＋a2”推广到一般情形，并证明你的结论．解：推广的结论：若a1，a2，…，a n都是正数，则a21 a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a1＋a2＋…＋a n.证明：∵a1，a2，…，a n都是正数，∴a21a2＋a2≥2a1；a22a3＋a3≥2a2；…a2n－1a n＋a n≥2a n－1；a2na1＋a1≥2a n，上式相加得a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a1＋a2＋…＋a n.21．(12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d全不是负数．∵a＋b＝c＋d＝1，∴a，b，c，d∈[0,1]∴ac≤ac≤a＋c2，bd≤bd≤b＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d 2＝1，这与已知ac ＋bd ＞1相矛盾，所以原假设不成立， 即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a 2n －2a n ＋22a n，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 21－2a 1＋22a 1， 得a 1＝－1±3，又a n >0，故a 1＝－1＋ 3.同理a 2＝5－3，a 3＝7－ 5.(2)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1.证明：当n ＝1时，由(1)可知，a 1＝－1＋ 3. 假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立， 那么a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a 2k ＋1－2a k ＋1＋22a k ＋1－a 2k －2a k ＋22a k . 所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，又a n >0，得a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N *恒成立．。
人教版新课标A版高中选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷
人教版新课标A版选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列命题中正确的是（）A . 类比推理是一般到特殊的推理B . 演绎推理的结论一定是正确的C . 合情推理的结论一定是正确的D . 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的2. （2分）下图是某光缆的结构图,其中数字为某段的最大信息量,则从M到N的最大信息量为（）A . 6B . 7C . 12D . 213. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a∈R，a*0=a；②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）* 的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 84. （2分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A . aB . aC . aD . a5. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81256. （2分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行．某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路．由此可知，下列推测一定正确的是（）A . 今天是周六B . 今天是周四C . A车周三限行D . C车周五限行7. （2分）根据下边给出的数塔猜测1234569+8=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 11111138. （2分） (2016高二下·钦州期末) “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x2+x是偶函数，所以f（x）=x2+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提与推理形式都错误9. （2分）下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
(新课程)高中数学《2.1.2演绎推理》课件 新人教A版选修2-2
所研究的 特殊情况 ；③结论——根据一般原理，对 特殊情况做
出的判断． (2)“三段论”的表示：①大前提—— S是M —— ③结论 . S是P M 是P ；②小前提 —— ；
(3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元
素都具有性质 P，② S 是M 的一个子集，③那么 S 中所有元素也
即 S2 S△BCD.(10 分) △ABC＝S△BOC· 同理可证：S2 S△BCD，S2 △ACD＝S△COD· △ABD ＝S△BOD· S△BCD.
2 2 ∴S2 (S△ BOC＋S△ COD ＋S△ BOD)＝S△ BCD· S△ △ABC＋ S △ACD ＋ S △ABD ＝ S △ BCD· 2 BCD＝S△BCD.(12
∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG，
又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D. 又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.
(2)连接 GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC，∴GE∥DC， 1 ∵GE＝DC＝ a，∴四边形 GECD 为平行四边形， 2 ∴EC∥GD. 又∵EC⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D， ∴EC∥平面 AB1D.
2100＋1是奇数，
2100＋1不能被2整除． (3)三角函数都是周期函数， y＝tan α是三角函数， y＝tan α是周期函数．
小前提
结论 大前提 小前提 结论
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段 论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊
情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联
被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
2018年高中数学人教A版选修2-2第2章推理与证明 检测A习题含解析
第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案B2用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()A.将结论与条件同时否定,推出矛盾B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件答案B3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面”.()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案C4已知c>1,a=,b=-,则正确的结论是()A.a>b C.a=b解析∵a=B.a<bD.a,b大小不定,b=-,而-,∴a<b.-答案B5下列结论正确的是() A.当x>0,且x≠1时,lg x+≥2B.当 x>0 时,≥2C.当 x ≥2 时,x+ 的最小值为 2D.当 0<x ≤2 时,x- 无最大值解析选项 A 错在 lg x 的正负不明确;选项 C 错在等号成立的条件不存在;根据函数 f (x )=x- 的单调性,当 x=2 时,f (x )取最大值 ,故选项 D 错误.答案 B6 观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则 a 10+b 10=()A.28C.123B.76D .199解析利用归纳法:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5=7+4=11,a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9+b 9=47+29=76,a 10+b 10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案 C7 设 x i ,a i (i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两位同学由命题“若 x 1+x 2=1,则推理得出了新命题:≤( )2”分别甲:若 x 1+x 2+x 3=1,则 ≤( )2;乙:若 x 1+x 2+x 3+x 4=1,则 ≤()2.他们所用的推理方法是()A.甲、乙都用演绎推理B.甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理,乙用类比推理D.甲用归纳推理,乙用类比推理 答案 B8 已知数列{a n }的前几项为,…,则猜想数列{a n }的通项公式为( )A.a n =B.a n =- --C.a n =D.a n =---解析,…,于是猜想数列{a n }的通项公式为a n =-.答案 C9 已知数列{a n }的前 n 项和 S n =n 2· a n (n ≥2,n ∈N ),而 a 1=1,通过计算 a 2,a 3,a 4,猜想 a n 等于()A.C.B.-D.-解析∵S n =n 2· a n (n ≥2),a 1=1,∴S 2=4a 2=a 1+a 2⇒a 2=,S 3=9a 3=a 1+a 2+a 3⇒a 3=,S 4=16a 4=a 1+a 2+a 3+a 4⇒a 4=答案 B.故猜想 a n = .10 用数学归纳法证明“1++…+时,左边应增加的项数是()-<n(n ∈N *,n>1)”时,由 n=k (k>1)不等式成立,推证 n=k+1 A.2k -1 B.2k -1 C.2kD.2k+1答案 C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 已知 x ,y ∈R ,且 x+y<2,则 x ,y 中至多有一个大于 1,在用反证法证明时,假设应为.解析“至多有一个大于 1”包括“都不大于 1 和有且仅有一个大于 1”,故其对立面为“x ,y 都大于 1”. 答案 x ,y 都大于 112 观察数列,3, ,3 ,…,写出该数列的一个通项公式为.解析将各项统一写成根式形式为 ,…即,…,被开方数是正奇数的 3 倍,故 a n =- (n ∈N *).答案 a n =- (n ∈N *)13 以下是对命题“若两个正实数 a 1,a 2 满足=1,则 a 1+a 2≤”的证明过程:证明:构造函数 f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2=2x 2-2(a 1+a 2)x+1,因为对一切实数 x ,恒有 f (x )≥0,所以 Δ≤0,从而 得 4(a 1+a 2)2-8≤0,所以 a 1+a 2≤ . 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足+…+ =1,你能得到的结论为 (不必证明).解析依题意,构造函数 f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2,则有 f (x )=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+1,Δ= - …-4n=4(a 1+a 2+…+a n )2-4n ≤0,即有 a 1+a 2+…+a n ≤ .答案 a 1+a 2+…+a n ≤14 若等差数列{a n }的前 n 项之和为 S n ,则 S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12 成等差数列.类比以上结论有:若等比数列{b n }的前 n 项之积为 T n ,则 T 4,, ,成等比数列.解析本题是数列与类比推理相结合的问题,既考查了等差数列与等比数列的知识,又考查了通过已知 条件进行类比推理的方法和能力.答案15 设 C 1,C 2,C 3,…为一组圆,其作法如下:C 1 是半径为 a 的圆,在 C 1 的圆内作四个相等的圆 C 2(如图),每个圆 C 2 和圆 C 1 都内切,且相邻的两个圆 C 2 均外切;在 C 2 的每一个圆中,用同样的方法作四个相等 的圆 C 3,依此类推作出 C 4,C 5,C 6,….(1)其中 C 2 中每个圆的半径长等于 (用 a 表示);(2)猜想 C n 中每个圆的半径长为 (用 a 表示,不必证明).答案(-1)a ( -1)n-1a三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8 分)若 x ,y>0,且 x+y>2,求证:<2 和 <2 中至少有一个成立.证明假设≥2,且 ≥2,则 1+x ≥2y ,1+y ≥2x ,所以(1+x )+(1+y )≥2y+2x ,即 x+y ≤2,与题设矛盾.故假设不成立,原命题成立.17(8 分)已知命题“若数列{a n }是等比数列,且 a n >0,则数列{b n },b n =… (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.解类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n }是等差数列,则数列…也是等差数列.证明如下:{b n },b n =设等差数列{a n }的公差为 d ,则 b n =…-=a 1+ (n-1),所以数列{b n }是以 a 1 为首项, 为公差的等差数列.18(9 分)设 n ∈N *,x n 是曲线 y=x 2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)记 T n =-,证明:T n ≥ .(1)解 y'=(x 2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线 y=x 2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2,从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1).令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 x n =1-(2)证明由题设和(1)中的计算结果知.T n =--.当 n=1 时,T 1= .当 n ≥2 时,因为--- - - - -,所以 T n > ×…× -.综上可得对任意的 n ∈N *,均有 T n ≥ .19(10 分)如图,设抛物线 y 2=2px (p>0)的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A ,B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥x 轴.求证:直线 AC 经过原点 O.证明因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程,可得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.因为BC∥x轴,且点C在准线x=-上,所以点C的坐标是-,,故直线CO的斜率为k=-即k也是直线OA的斜率.故直线AC经过原点O.20(10分)设f(n)=1++…+,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.解当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],=2,得g(2)=--当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],=3,得g(3)=--猜想g(n)=n(n≥2).下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设当n=k时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]恒成立.-则当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)·-k=(k+1)[f(k+1)-1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n≥2的自然数n,等式都成立,故存在函数g(n)=n,使等式成立.。
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第2章 推理与证明2.1.1 精品
这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学 习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过 本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好 习惯．
第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
[解析] 本小题主要考查抽象概括能力和推理能力．由前 三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的 连续正整数的立方和，且个数依次加 1，等号的右边是从 1 开 始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加 1，因此，第四 个等式为 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过
观察 、________ 分析 、比较、________ 联想 ，再进行 ________ 含 归纳 、________ 类比 ，然后提出________ 猜想 的推 ________ 义 理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合
情推理是指“合乎情理”的推理 过 从具体问 观察、分析、 归纳、 → → → 提出猜想 比较、联想 类比 程 题出发
面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比，发现可以研
究的问题及其研究方法． (3)类比推理的关键点．由于类比推理的前提是两类对象之 间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关 键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征．
1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|＋|y|＝2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|＋|y|＝3 的不 同整数解(x，y)的个数为 12，……，则|x|＋|y|＝20 的不同整数 解(x，y)的个数为 导学号 10510469 ( A．76 C．86
高中人教A数学选修课时跟踪检测：第2章 推理与证明 21 2 含解析
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理课时跟踪检测一、选择题1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是()A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)解析：在“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.答案：B3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的() A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：证明中省略了大前提，大前提应为“在同一个三角形中，大角对大边”，因此画线部分应为小前提．答案：B4．对a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab，大前提x＋1x≥2x·1x，小前提所以x＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误解析：在小前提中，缺少条件x∈(0，＋∞)，因此小前提不正确．答案：B5．(2019·武城期中)演绎推理“因为f′(x0)＝0时，x0是f(x)的极值点，而对于函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，所以0是函数f(x)＝x3的极值点．”所得结论错误的原因是()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．全不正确答案：A6．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：取DC的中点O，连接EO，ON，不妨设AB＝1，∴ED＝DC＝CE＝1，∴EO＝32，ON＝12，∵平面ECD⊥平面ABCD，EO⊂平面ECD，∴EO⊥底面ABCD，又∵ON⊂平面ABCD，∴EO⊥ON，∴EN＝EO2＋ON2＝1，连接MC，∵平面ECD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ECD，∴BC⊥CM，∴BM＝BC2＋CM2＝1＋34＝72，∴EN≠BM.连接BE，∵在△DBE中，M、N分别为DE、BD的中点，BM与EN都在平面DBE中，∴BM，EN是相交直线，故选B.答案：B二、填空题7．由“(a2＋1)x>3，得x>3a2＋1”的推理过程中，其大前提是__________________________________________．答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变8．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，其中a ，b ，c 是互不相等的常数，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝________. 解析：∵f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )．∴f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )．∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c (c －a )(c －b ) ＝a (b －c )＋b (c －a )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0. 答案：09．关于函数f (x )＝ln x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值为ln 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )为增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f (－x )＝f (x )，又定义域关于原点对称，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故①正确；当x ＞0时，f (x )＝ln x 2＋1x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而当x ＝1时，f (x )有最小值ln 2，故③正确；由偶函数的对称性知，④正确，⑤不正确．答案：①③④三、解答题10．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；(2)已知 2和 3是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数．证明：依题设， 2和 3是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，故 2＋ 3也是无理数．解：(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题的四边形改为了矩形．(2)错误．结论虽然正确，但是证明是错误的．这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如 3和－ 3都是无理数，但3＋(－3)＝0,0是有理数．11．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项是1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1.故对任意的n ∈N ＋，有S n ＋1＝4a n .12．设f (x )对x ＞0有意义，f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0.(1)求f (1)与f (4)的值；(2)当f (x )＋f (x －3)≤2时，求x 的取值范围．解：(1)∵f (2)＝1，且对于x ＞0，y ＞0，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝1，y ＝2，得f (2)＝f (1)＋f (2)，∴f (1)＝0；令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)＝2.(2)由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )．又f (4)＝2，由f (x )＋f (x －3)≤2，得f (x 2－3x )≤f (4)．由f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0，得⎩⎨⎧ x 2－3x ≤4，x ＞0，x －3＞0.解得3＜x ≤4.13．(2019·太原五中检测)已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝() A ．b B ．－bC.1b D ．－1b解析：若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)．f (－x )＝lg 1＋x1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b ，故选B.答案：B。
2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 2-
2.1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理类型一演绎推理与三段论例1(1)“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B(2)将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为大前提：________________________________________________________________________.小前提：________________________________________________________________________.结论：________________________________________________________________________. 答案(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 小前提 所以EF ∥BD .结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行， 大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ， 小前提 所以EF ∥平面BCD .结论命题角度2 用三段论证明代数问题例3 设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ，大前提 因为f (x )的定义域为R ， 小前提 所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0， 所以0<a <4.即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究若例3的条件不变，求f (x )的单调递增区间． 解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0. ∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)． 当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当2<a <4时，2－a <0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)； 当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明 方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝2xa ＋x 2－2x 2＋1－1xa －x 1－2x 1＋1＝2x a －1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x x a-－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.于是得，f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝13log x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log x是增函数(结论)．”下列说法正确的是()13A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错误．3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③答案 D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；小前提：____________；结论：____________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．课时作业一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负答案 A解析不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.5．下面几种推理中是演绎推理的是()A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 答案 A6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.7．设?是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ?b ∈A ，则称A 对运算?封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A ．自然数集 B ．整数集 C ．有理数集 D ．无理数集 答案 C解析 A 错，因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭． 二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________． 答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4. 9．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 答案 大前提10．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [0,2]解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解， 则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R . ∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2]．11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2018)f (2017)＝________.答案 2018 解析 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)， 大前提 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2，小前提∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，结论∴原式＝ 1 00922⋅⋅⋅+++2个＝2018.三、解答题12．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，(22015＋1)是奇数，所以(22015＋1)不能被2整除； (2)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数； (3)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形． 解 (1)一切奇数都不能被2整除， 大前提 22015＋1是奇数，小前提22015＋1不能被2整除． 结论 (2)三角函数都是周期函数， 大前提 y ＝tan α是三角函数， 小前提 y ＝tan α是周期函数．结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC 三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形． 结论四、探究与拓展13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 14.如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴旋转．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论． 解 (1)取AB 的中点E ，连接CE ，DE . 因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以CE ⊥AB . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB . 又平面ADB ⊥平面ABC ， 且平面ADB ∩平面ABC ＝AB ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥CE . 由已知得DE ＝32AB ＝3，CE ＝1. 所以在Rt △CDE 中，CD ＝DE 2＋CE 2＝2.(2)当△ADB 以AB 为轴转动时，总有AB ⊥CD . 证明如下：当D 在平面ABC 内时，因为BC ＝AC ，AD ＝BD ， 所以C ，D 都在AB 的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.。
2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2课时作业
6．以下推理过程省略的大前提为：________________________________________________________________________.因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .答案：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为__________判断．解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．答案：否定8．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 ②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9.(2)f (5,1)＝16.(3)f (5,6)＝26.其中正确结论为__________．解析：由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)9．用三段论的形式写出下列演绎推理：(1)正整数是自然数，3是正整数，所以3是自然数；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332·是有理数．解析：(1)大前提：正整数是自然数．小前提：3是正整数．结论：3是自然数．(2)大前提：每一个矩形的对角线相等．小前提：正方形是矩形．结论：正方形的对角线相等．(3)大前提：所有的循环小数是有理数． 小前提：0.332·是循环小数．结论：0.332·是有理数．10．已知α∥β，l ⊥α，l ∩α＝A (如图)，求证：l ⊥β.证明：如图，在平面β内任取一条直线b ，设平面γ是经过点A 与直线b 的平面，且γ∩α＝a .∴2[(b1＋b2＋…＋b n)－n]＝nb n，①2[(b1＋b2＋…＋b n＋b n＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)b n＋1.②②－①，得2(b n＋1－1)＝(n＋1)b n＋1－nb n，即(n－1)b n＋1－nb n＋2＝0，③nb n＋2－(n＋1)b n＋1＋2＝0.④④－③，得nb n＋2－2nb n＋1＋nb n＝0，即b n＋2－2b n＋1＋b n＝0，∴b n＋2－b n＋1＝b n＋1－b n(n∈N*)．∴{b n}是等差数列．。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理与演绎推理》示范教案1
第二章推理与证明本章概览教材分析本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以此培养学生言之有理、论证有据的习惯．本章将结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍两种基本的推理——合情推理与演绎推理；两类证明方法——直接证明和间接证明；学习数学归纳法的基本原理和步骤．课标要求(1)合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，体会合情推理在数学中的应用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．(2)直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点．(3)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．教学建议1．教学中应尽量从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，从中挖掘、提炼出合情推理与演绎推理的含义和推理方法，帮助学生了解合情推理与演绎推理的含义，为学生示范如何规范地应用这两种推理解决问题．2．通过实例引导学生分析综合法、分析法和反证法的思考过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习生活中，能自觉地有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的好习惯．3．数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的命题，通过对数学命题的证明巩固对数学归纳法原理的认识．课时分配本章约需9课时，具体分配如下：2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理整体设计教材分析合情推理所蕴含的数学思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一节内容出现在高中数学教材中尚属首次．合情推理是新课标教材的亮点之一，本节内容对合情推理的一般方法进行了必要的归纳和总结，同时也对后继知识的学习起到了引领的作用．教材的设计是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化．教材紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免了空泛地讲数学思想、方法；以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习合情推理，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，让学生在学知识的同时充分体会数学的发展过程．课时分配2课时．第1课时内容为归纳推理；第2课时内容为类比推理．第1课时教学目标1．知识与技能目标结合生活实例了解推理的含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用．2．过程与方法目标通过探索、研究、归纳、总结等方式，使归纳推理全方位地呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；培养学生发散思维能力，充分挖掘学生的创新思维能力．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学生的学习兴趣；认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维方式和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：掌握归纳推理的特点和推理过程，体会归纳推理在科学发现中的作用．难点：归纳推理的应用；如何培养学生发现问题、解决问题的能力．教学过程引入新课某市为了解本市的高中生数学学习状态，对四所学校做了一个问卷调查，其中有两方面问题的统计数据如下：根据这四所学校的情况，你能推测全市高中生对数学的印象吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：你的推测一定正确吗？活动结果：有的学生可能会说“正确”；有的学生可能会说“不正确”；有的学生可能会说“不确定”．教师：推测不一定正确．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，为课堂结尾“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔．探究新知生活中我们经常会遇到这样的情形：看见柳树发芽，冰雪融化，……看见花凋谢了，树叶黄了，……看见乌云密布，燕子低飞，……引导学生做一些简单的推理：1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n边形内角和为(n－2)·180°.提出问题：像上面这样的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？活动设计：学生先自由发言，教师逐步引导学生发现推理的结论是通过猜想得到的．学情预测：学生开始的回答可能不全面、不准确，但在其他同学的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动结果：推理的概念：根据一个或几个已知的事实(或假设)来确定一个新的判断的思维方式就叫推理．注意：一个完整的推理是由前提和结论两部分构成的．设计意图从大量的生活实例出发，让学生充分体会推理的含义和推理的构成，使推理概念的形成更自然、更生动，并训练和培养学生的抽象概括和表达能力．看下面两个推理：1．金受热后体积膨胀；银受热后体积膨胀；铜受热后体积膨胀；铁受热后体积膨胀．由此猜想：金属受热后体积膨胀．2.1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，1＋3＋5＋7＋9＝25，……由此猜想：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论．活动结果：共同特点：部分推出整体，个别推出一般．归纳推理的概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的全部对象都具有这种性质的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．设计意图引导学生观察两个推理的前提与结论，根据前提与结论的关系由学生作出进一步分类并尝试命名．提出问题：你在生活中遇到过归纳推理吗？(学生自由发言)活动设计：学生分小组讨论：将学生划分为两大部分，一部分学生讨论生活中运用归纳推理的例子，另一部分学生讨论学习中使用归纳推理的例子．学情预测：学生会举出大量的归纳推理的实例，也可能举出这样的例子：“地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，猜想：火星上也有生命．”设计意图通过学生所举的例子，教师可以了解学生对归纳推理的理解程度，通过正反实例明确概念的内涵和外延，加深对关键词、重点词的理解，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固归纳推理的定义．理解新知教师举例：介绍歌德巴赫猜想．观察下列等式：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30.你们能从中发现什么规律？学情预测：学生的回答可能很杂，甚至会五花八门．如果换一种写法呢？10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17.活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论．教师适时介入全班引导：提醒学生注意各等式左边的数是什么数？各等式右边是几个数？均是什么数？这反映了一个什么样的规律？活动结果：偶数＝奇质数＋奇质数．提出问题：这个规律对于其他偶数是否成立？可以先从几个较小的偶数开始，具体验证一下．活动设计：学生独立思考，独立举例．教师：全班学生交流研究成果．共同得到，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6，即6＝3＋3.其他结果略．教师：根据上述过程，哥德巴赫大胆地猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功．但我国著名数学家陈景润、王元、潘承洞等均分别取得了很好的结果，做出了巨大的贡献．当然也曾经有人作了些具体的验证工作，例如：6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7＝3＋11,16＝5＋11,18＝5＋13，…，1 000＝29＋971,1 002＝139＋863，等等．有人对3.3×108以内且大过6的偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立，但依然没有严格的数学证明．因此，我们仍然不能说：“哥德巴赫猜想”成立，即这个规律对于其他偶数是否成立还不得而知．(教师还可以介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现)提出问题：请同学们根据前面所列举的归纳推理的例子，总结归纳推理的作用．活动设计：全班学生先在老师的带领下共同回顾前面所列举的归纳推理的例子，然后独立思考，小组讨论后汇报结果．活动结果：归纳推理的作用：1．发现新事实；2．提供研究方向．设计意图通过学生主动探究规律，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用．在学生独立思考时教师不做任何提示，培养学生探究能力和合作精神．介绍费马猜想：已知221＋1,222＋1,223＋1,224＋1都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？教师：22n ＋1(n ∈N )都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪后欧拉发现：225＋1＝4 294 967 297＝641×6 700 417.这说明了什么？教师：费马猜想是不成立的．后来人们又发现226＋1,227＋1,228＋1都是合数，又能得到什么样的结论？教师：任何形如22n ＋1(n ∈N ，n ≥6)的数都是合数．设计意图教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程，同时说明归纳推理的结论不一定正确，有待进一步证明．活动结果：归纳推理的一般步骤：1．通过观察个别情况发现某些相同性质；2．从已知的相同性质中推出一个表述明确的一般性命题；(即猜想)3．检验猜想．运用新知例题 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＋1＝a n a n ＋1，试归纳出数列的通项公式． 思路分析：数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项与序号之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝1n. 点评：掌握归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用．我们通过归纳得到了关于数列的通项公式的一个猜想，虽然猜想是否正确还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．巩固练习设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( ) A ．一定是零 B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数答案：C变练演编设f(n)＝n 2＋n ＋11，n ∈N ，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、…，你有什么发现？ 思路分析：分别计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)的具体数值，进行观察，发现这组数据的局部特征，从而对整体作出推断．解：当n ＝1时，f(1)＝12＋1＋11＝13；当n ＝2时，f(2)＝22＋2＋11＝17；当n ＝3时，f(3)＝32＋3＋11＝23；当n ＝4时，f(4)＝42＋4＋11＝31；当n ＝5时，f(5)＝52＋5＋11＝41.观察可得，f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)都是质数，由此猜想，任何f(n)＝n 2＋n ＋11，n ∈N 都是质数．变式1：设f(n)＝n 2＋n ，n ∈N ，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、…，你有什么发现？ 变式2：设f(n)＝n 2＋n ＋11，n ∈N ，计算f(2)－f(1)、f(3)－f(2)、f(4)－f(3)、f(5)－f(4)、…，你有什么发现？变式3：设f(n)＝n 2＋n ，n ∈N ，计算f(2)－f(1)、f(3)－f(2)、f(4)－f(3)、f(5)－f(4)、…，你有什么发现？提出问题：归纳推理所得的结论有时是正确的，但有时也是错误的，那么我们为什么还要进行归纳推理呢？活动设计：学生自己进行计算研究，将所有发现的结果一一列举，并由学生相互之间予以评价．活动成果：变式1：f(n)(n ∈N )都是偶数；变式2：f(n ＋1)－f(n)＝2(n ＋1)(n ∈N )都是偶数；变式3：f(n ＋1)－f(n)＝2(n ＋1)(n ∈N )都是偶数．达标检测1．根据下面给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )A ．1 111 110 1×9＋2＝11B ．1 111 111 12×9＋3＝111C ．1 111 112 123×9＋4＝1 111D ．1 111 113 1 234×9＋5＝11 1112．在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，试归纳出这个数列的通项公式． 3．观察下面的“三角阵”，试找出相邻两行数间的关系．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……1 10 45 …… 45 10 1答案：1.B2．数列的通项公式a n ＝1(n ∈N )．3．相邻两行数间的关系是每一行首尾的数都是1，其他的数等于上一行中与之相邻的两个数的和．课堂小结1．知识收获：了解了归纳推理的含义；2．方法收获：掌握了归纳推理的方法和步骤；3．思维收获：归纳推理是进行猜测发现结论、探索和提供思路的常用的思维方法． 布置作业1．课本习题2.1 A 组 1题、3题．2．实习作业：登陆网站，选择两个猜想探究来源．补充练习基础练习1．观察下列数列的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，第100项是( )A ．10B ．13C ．14D ．1002．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为( )A ．nB ．n ＋1C ．2nD ．2n －13．由710>58，911>810，1328>921，…，若a>b>0，m>0，则b ＋m a ＋m 与b a之间的大小关系为( ) A ．相等 B ．前者大C ．后者大D ．不确定4．1，13，17，115，131，…的一个通项公式a n ＝__________. 5．f(x)＝12x ＋2，通过计算f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)的值，猜想f(－n)＋f(n ＋1)＝__________.答案：1.C 2.C 3.B 4.a n ＝12n－1(n ∈N *) 5.22 拓展练习6．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°·cos60°＝34； sin 240°＋cos 270°＋sin40°·cos70°＝34； sin 215°＋cos 245°＋sin15°·cos45°＝34. 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明． 解：反映一般规律的等式是sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sinθ·cos(θ＋30°)＝34. 证明：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sinθ·cos (θ＋30°)＝sin 2θ＋(cosθcos30°－sinθsin30°)2＋sinθ(cosθcos30°－sinθsin30°)＝sin 2θ＋(32cosθ－12sinθ)2＋sinθ(32cosθ－12sinθ) ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－32cosθsinθ＋32cosθsinθ－12sin 2θ ＝34(sin 2θ＋cos 2θ)＝34. 设计说明以问题驱动为指导，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生获得知识，完成教学．给学生创建一个开放、有活力、有个性的数学学习环境．感受数学美和发现规律的喜悦，激励学生更积极地去寻找规律、认识规律．同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事．以学生熟悉的例子为载体，引导他们提炼、概括、归纳推理的含义和归纳推理的方法，自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”．创造和谐积极的学习气氛．让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应该如何应用归纳推理．备课资料哥德巴赫(1690.3.18～1764.11.20)是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格；曾在英国牛津大学学习；原学法学，但由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣.1725年到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年～1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职．1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数(只能被1和它本身整除的数)之和．如6＝3＋3,12＝5＋7等等．哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)大致可以分为两个猜想(前者为“二重哥德巴赫猜想”，后者为“三重哥德巴赫猜想”)：(1)每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇质数之和；(2)每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和．连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明其正确性，这个猜想便引起了许多数学家的注意．从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功．当然也曾经有人作了些具体的验证工作，例如：6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7＝3＋11,16＝5＋11,18＝5＋13，…….有人对3.3×108以内且大于6的偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立．但还没有严格的数学证明．目前“最佳”的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积．”通常都简称这个结果为大偶数．但目前没有任何人对哥德巴赫猜想作出过实质性的贡献．所有的证明都存在问题．一件事物之所以引起人们的兴趣，因为我们关心它，假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的兴趣，我们就会闭上眼睛，假如这个问题对我们的知识毫无帮助，我们就会认为它没有价值．哥德巴赫猜想是数的一种表现次序，人们持久地喜欢它，是因为如果没有这种次序，人们就会丧失对更深刻问题的信念——因为无序是对美的致命伤，假如哥德巴赫猜想是错误的，它将限制我们的观察能力，使我们难以跨越一些问题并无法欣赏．一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活，就会使我们的感受趋向丑陋，引起自卑和伤感．哥德巴赫猜想实际是说，任何一个大于3的自然数n ，都有一个x ，使得n ＋x 与n －x 都是质数，因为，(n ＋x)＋(n －x)＝2n.这是一种质数对自然数形式的对称，代表一种秩序，它之所以意味深长，是因为质数这种似乎杂乱无章的东西被人们用自然数n 对称地串联起来，正如牧童一声口哨就把满山遍野乱跑的羊群唤在一起一样，它使人心旷神怡，又像生物基因DNA ，呈双螺旋结构绕自然数n转动，人们从玄虚的质数看到了纯朴而又充满青春的一面．对称不仅是视觉上的美学概念，它还意味着对象的统一．人类的精神威信建立在科学对迷信和无知的胜利之上，人类的精神健康依赖于一种自信，只有自信才能导入完美的信念使理想进入未来中，完美的信念使人生的辛劳和痛苦得以减轻，这样任何惊心动魄的灾难，荡气回肠的悲怆都难以摧毁人的信念，只有感到无能时，信念才会土崩瓦解，肉体在空虚的灵魂诱导之下融入畜类，人类在失败中引发自卑．哥德巴赫猜想的哲学意义正是如此．(设计者：赵海彬)。
2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2课时作业
C. D．不可类比
解析：类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，猜想S扇＝ .
答案：C
5．下面使用类比推理，得出正确结论的是()
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“ ＝ ＋ (c≠0)”
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
7．观察下列等式
(1＋1)＝2×1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
A. ＋ ＝2
B. ＋ ＝2
C. ＋ ＝2
D. ＋ ＝2
解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．
答案：A
3．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()
第一个图案
解析：根据题意，由于 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…，那么可知 ＝6 ，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.
答案：41
9．已知f(x)＝ ，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
解析：f(x)＝ ，
所以f(0)＋f(1)＝ ＋ ＝ ，
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
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课时跟踪检测（十四）演绎推理层级一学业水平达标1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C ①③④都正确．2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理解析：选A ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB ＝AC，(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：选B 由三段论的一般模式知应选B.4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错解析：选A 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A．①④ B．②④C．①③ D．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．6．求函数y＝log2x－2 的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2 有意义，结论是____________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥07．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．答案：否定8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________________.小前提：___________________________________________________________________.结论：_____________________________________________________________.解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．答案：①一次函数的图象是一条直线②y＝2x＋5是一次函数③函数y＝2x＋5的图象是一条直线9．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)；菱形是平行四边形(小前提)；菱形的对角线互相平分(结论)．(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)；75是奇数(小前提)；75不能被2整除(结论)．10．下面给出判断函数f(x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1的奇偶性的解题过程：解：由于x ∈R，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1· 1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x ＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．试用三段论加以分析．解：判断奇偶性的大前提“若x ∈R，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．层级二 应试能力达标1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论解析：选C 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选C 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．3．如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上D ．AC 与α，β所成的角相等解析：选D 只要能推出EF ⊥AC 即可说明BD ⊥EF .当AC 与α，β所成的角相等时，推不出EF ⊥AC ，故选D.4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )＜0.对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有( )A ．bf (a )＜af (b )B ．af (b )＜bf (a )C ．af (a )＜f (b )D ．bf (b )＜f (a )解析：选B 构造函数F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．由题设条件知F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．若a ＜b ，则F (a )＞F (b )，即af (a )＞bf (b )．又f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，所以bf (a )＞af (a )＞bf (b )＞af (b )．故选B.5．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 解析：因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义且f (0)＝0(大前提)，而奇函数f (x )＝a －12x＋1的定义域为R(小前提)，所以f (0)＝a －120＋1＝0(结论)．解得a ＝12. 答案：126．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论为________．解析：由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝ f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x 2)＝2f (x )；(2)求f (1)的值；(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围．解：(1)证明：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，(大前提)∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )．(结论)(2)∵f (1)＝f (12)＝2f (1)，(小前提)∴f (1)＝0.(结论)(3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3))≤2＝2f (2)＝f (4)，(小前提)函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋3＞0，x (x ＋3)≤4，解得0＜x ≤1.(结论)8．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a(b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋ma ＋m .(结论)。