12章优化总结

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【思路点拨】 本题第 问是求等差数列的 思路点拨】 本题第(1)问是求等差数列的 通项公式,需要知道首项a 和公差d的值 的值, 通项公式,需要知道首项 1和公差 的值,由 条件a 条件 2a3=45,a1+a5=18建立方程组不难求 , 建立方程组不难求 本题第(2)问是构造一个等差数列 问是构造一个等差数列{b , 得;本题第 问是构造一个等差数列 n},可 考虑利用等差数列的定义,研究使b + 考虑利用等差数列的定义,研究使 n+1-bn(n 为一个常数时需要满足的条件. ∈N*)为一个常数时需要满足的条件. 为一个常数时需要满足的条件
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2.在数列的求和问题中,有时需要对通项 .在数列的求和问题中, 分组后再求和, 公式 an 分组后再求和,分组后的某部分可能需 项和公式, 要利用正整数的前 n 项和公式,前 n 项平方和 项立方和公式等, 公式及前 n 项立方和公式等,要突破这种类型 的问题,就要熟练记住这些常用的基本公式, 的问题,就要熟练记住这些常用的基本公式, n(n+1) + 如 (1)1+ 2+ 3+ … + n= + + + = ; (2)1+ 3+ 5 + + 2 + … + (2n- 1)= n2 ; (3)12+ 22+ 32+… + n2= - = n(n+1)(2n+1) + + ; (4)13 + 23 + 33 + … + n3 = 6 n2(n+1)2 + 等. 4
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a 【解】 (1)∵Sn= (1-an)(a>0 且 a≠1, 1-a n∈N*), a ∴Sn+1= (1-an+1), 1-a a 由 Sn+1-Sn=an+1, an+1= 得 (a -a + ), 1-a n n 1 an +1 ∴an+1=aan,即 =a(a≠0,n∈N*). an a (1-a1),即 a1=a. 当 n=1 时,a1= 1-a 于是,数列{an}是以 a 为首项,a 为公比的 等比数列,其通项公式为 an=an(n∈N*).
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例1
已知等差数列{a 中 已知等差数列 n}中,公差 d>0,前 , n 项和为 Sn, a2a3= 45,a1+a5= 18. , 求数列{a 的通项公式 的通项公式; (1)求数列 n}的通项公式; 求数列 Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非 令 ∈ , n+c + 也为等差数列? ,使数列{b 也为等差数列 零常数 c,使数列 n}也为等差数列?若 存在, 的值;若不存在, 存在,求出 c 的值;若不存在,请说明 理由. 理由.
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例3 已知数列{a 的前 项和为S 的前n项和为 已知数列 n}的前 项和为 n,且a1 是公差为2的等差数 =1,数列 n+Sn}是公差为 的等差数 ,数列{a 是公差为 列. (1)求a2,a3的值; 的值; 求 (2)证明 数列{a 2}是等比数列 (2)证明:数列{an-2}是等比数列; 证明: 是等比数列; (3)求数列 n}的前 项和 n. 求数列{na 的前 项和T 的前n项和 求数列
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考点三 数列求和的方法
1.数列的求和是数列问题中最常见的一 . 类问题,如果是基本的等差,等比数列, 类问题,如果是基本的等差,等比数列, 可以直接利用求和公式.事实上, 可以直接利用求和公式.事实上,许多数 列求和问题通常是综合性的求和问题, 列求和问题通常是综合性的求和问题,因 此化难为易的思路是理解并掌握一些基本 的求和类型和方法,如分组转化法, 的求和类型和方法,如分组转化法,倒序 相加法,错位相减法,裂项相消法等, 相加法,错位相减法,裂项相消法等,根 据不同的类型,采用不同的方法. 据不同的类型,采用不同的方法.
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1 n -1 (3)由(2),得 an-2=-( ) ,则 nan= 2 1 n-1 2n-n( ) (n∈N*). 2 1 1 2 ∴Tn =(2-1) +(4-2 ) +[6-3( ) ] 2 2 1 n -1 +…+[2n-n( ) ], 2 1 即 Tn=(2+4+6+…+2n)-[1+2 2+ 12 1 n -1 3(2) +…+n(2) ]. 1 12 1 n -1 ① 设 Bn=1+2 +3( ) +…+n( ) , 2 2 2
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②当 0<a<1 时, a<0, lg 则(k+1)a<k, k . 即 a< k+1 为了使不等式对任意的正整数 k 都 k 成立,只需 a<( )min. k+1 k 1 1 1 ∵ = 1≥2,∴0<a<2. k+1 1+ k 综上可知, 的取值范围是{a|a>1 或 a 1 0<a< }. 2
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问探求b 【点评】 本题的难点是第 问探求 点评】 本题的难点是第(2)问探求 + + k+1lg a>kaklg a(k∈N*) ∈ k+1>bk,即(k+1)a + 成立时a的取值范围 的取值范围. 成立时 的取值范围.求解这类问题的一 般方法是分离参数法,通过求函数f(k)的 般方法是分离参数法,通过求函数 的 最值得a的取值范围 的取值范围. 最值得 的取值范围.在分离参数的过程 还需要对a进行分类讨论 进行分类讨论, 中,还需要对 进行分类讨论,这既是本 题的难点,也是解答问题的易错点. 题的难点,也是解答问题的易错点.在 分离参数得到a>f(k)(或a<f(k))后,所得到 分离参数得到 或 后 的问题即是不等式恒成立问题. 的问题即是不等式恒成立问题.
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知识体系网络
数列的通项公式
主要 概念
数列的前n项和 概念 等差数列 性质 应用
与函数 的联系
数 列
常用 数列
概念 等比数列 性质 应用
综合 应用
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热点一 等差数列的通项公式与性质 等差数列的通项公式与性质 等差数列是研究数列问题的一种特殊模型, 等差数列是研究数列问题的一种特殊模型,它的通 项公式是a 项公式是 n=a1+(n-1)d,反映了数列中的项数 与 - ,反映了数列中的项数(n)与 数列中的项(a 之间的一种特殊的对应关系 之间的一种特殊的对应关系. 数列中的项 n)之间的一种特殊的对应关系.如果把 通项公式变形为a 通项公式变形为 n=dn+a1-d,它表示定义在正整数 + , 集上的一次函数, 集上的一次函数,因此涉及等差数列的一些问题常有 函数背景,破解的方法是从函数的角度思考, 函数背景,破解的方法是从函数的角度思考,使问题 得到有效的解决.另外, 得到有效的解决.另外,高考对等差数列通项公式的 考查,常常涉及项与项之间的内在联系, 考查,常常涉及项与项之间的内在联系,因此突破这 些问题的关键是归纳和总结一些基本的性质, 些问题的关键是归纳和总结一些基本的性质,并能利 用这些性质对问题进行合理的转化,从而求解. 用这些性质对问题进行合理的转化,从而求解.
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考点二 等比数列的通项公式与性质
1.等比数列是研究数列问题的另一种 . - 特殊模型,通项公式是a 特殊模型,通项公式是 n=a1qn-1,同样反 映了数列中的项数(n)与数列中的项 与数列中的项(a 之 映了数列中的项数 与数列中的项 n)之 间的一种特殊的对应关系. 间的一种特殊的对应关系.等比数列的计 算量比等差数列大, 算量比等差数列大,容易出现计算的失误 ,这是涉及等比数列问题时的一个难点所 需要我们在计算时注意准确, 在,需要我们在计算时注意准确,同时利 用整体思想解题是减少计算的一种常用技 巧.
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例2 设S 是数列 }的前 项和,满足 的前n项和 n是数列{an 的前 项和,满足Sn =(1-an)(a>0且a≠1,n∈N*),数列 - 且 , ∈ , {bn}满足 n=anlgan(n∈N*). 满足b 满足 ∈ . (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 (2)若数列 n}中的每一项总小于它 若数列{b 中的每一项总小于它 若数列 后面的项, 的取值范围. 后面的项,求a的取值范围. 的取值范围 【思路点拨】 本题第 问是数列中 思路点拨】 本题第(1)问是数列中 的一种常见题型,即已知a 的一种常见题型,即已知 n与Sn的一个关 系式,求通项公式a 解题方法是利用a 系式,求通项公式 n,解题方法是利用 n =Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)进行转换;第(2) , ∈ 进行转换; 进行转换 - 问中, 数列{b 中的每一项总小于它后 问中,"数列 n}中的每一项总小于它后 面的项" 即不等式b + 面的项",即不等式 k+1>bk对k∈N*总成 ∈ 立.
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(2)依题意,得 bn =nanlga,令 bk + >bk(k∈N*), 1 + 则(k+1)ak 1lg a>kaklg a. ∵a>0 且 a≠1,∴ak>0,即(k+1)alg a>klg a. ①当 a>1 时,lg a>0,则(k+1)a>k, k 即 a> . k+1 k ∵0< <1 , ∴a>1 时 , bk + k+1 >bk(k∈N*)恒成立. 1