小学奥数第56讲典型应用题(含解题思路)

56、典型应用题【平均数问题】例1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时15千米的速度前进，回时以每小时30千米的速度返回。

小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米？（江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题）讲析：我们不能用（15+30）÷2来计算平均速度，因为往返的时间不相等。

只能用“总路程除以往返总时间”的方法求平均速度。

所以，往返的平均速度是每小时例2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。

如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。

那么平均分给三群猴子，每只猴子可得____粒。

（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：设花生总粒数为单位“ 1”，由题意可知，第一、二、三群猴子于是可知,把所有花生分给这三群猴子，平均每只可得花生例3 某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分和81分。

问：这个班男、女生人数的比是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题）讲析：因男生平均比全班平均少 2.5分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知2.5×男生数=3×女生数。

2.5∶3=女生数：男生数即男生数：女生数=6:5。

例4 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样，得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。

那么，原来一等奖平均分比二等奖平均分多____分。

（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：设原来一等奖每人平均是a分。

二等奖每人平均是b分。

则有：10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1）即：a-b=10. 5。

也就是一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分。

【行程问题】例1 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相柜______米。

（ 1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）讲析：如图5.30，当乙丙在D点相遇时，甲已行至C点。

可先求出乙、两相遇的时间，也就是乙行距离AD的时间。

乙每分钟比甲多走 10米，多少分钟就多走了CD呢？而CD的距离，就是甲、丙2分钟共行的距离：（70+50）×2=240(米）。

于是可知，乙行AD的时间是240÷10=24（分钟）。

所以，AB两地相距米数是（70+60）×24=3120（米）例2 在一条公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行走4千米，李强每小时行走5千米。

8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1、3、5、7……（连续奇数）分钟数调头行走。

那么，张、李两个人相遇时是8点_____分。

（1992年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）（千米）=150（米）他俩相向走（1+5）分钟，反向走（3+7）分钟后两人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕=1200（米）所以，只要再相向行走1200÷150=8（分钟），就可以相遇了。

从而可知，相遇所需要的时间共是1+3+5+7+7+8=24（分钟）也就是相遇时是8点24分。

例3 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。

这三辆车分别用6分钟，10分钟、12分钟追上骑车人。

现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）讲析：如图5.31所示，A点是三车的出发点，三车出发时骑车人在B点，A1、A2、A3分别为三车追上骑车人的地点。

快车走完2.4千米追上了他。

由此可见三辆车出发时，骑车人已走的路程是AB=2.4-1.4=1（千米）。

所以，慢车的速度是：例4 一辆车从甲地开往乙地。

如果把车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％。

则可提前40分钟到达。

那么，甲、乙两地相距______千米。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：首先必须考虑车速与时间的关系。

因为车速与时间成反比，当车速提高20％时，所用时间缩短为原来的例5 游船顺流而下每小时行8千米，逆流而上每小时行7千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回。

乙船逆流而上，然后返回，经过2小时同时回到出发点，在这2小时中，有______小时甲、乙两船的航行方向相同。

（上海市第五届小学数学竞赛初赛试题）讲析：关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。

因为两船2小时同时返回，则两船航程相等。

又上行船速是每小时行7例6 甲、乙两车分别从A、B两城同时相向而行，第一次在离A城30千米处相遇。

相遇后两车又继续前行，分别到达对方城市后，又立即返回，在离A 城42千米处第二次相遇。

求A、B两城的距离。

（《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题）讲析：如图5.32所示。

两车第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。

甲、乙两车从开始到第一次C点相遇时，合起来行了一个全程。

此时甲行了30千米，从第一次相遇到第二次D点相遇时，两车合起来行了两个全程。

在这两个全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一个全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即A、B两城的距离是30＋36=66（千米）。

例8 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。

那么A、B两地的距离等于____千米。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：根据甲、乙两车的速度比为3∶7，我们可将A、B两地平均分成10份（如图5.33）。

因为甲、乙两车速度之比为3∶7，所以甲每走3份，乙就走了7份。

于是它们第一次在a3处相遇。

甲再走4.5份，乙走10.5份，在a7与a8之中点处甲被乙追上，这是第二次相遇；甲再又走1.5份，乙走3.5份，在a9点第三次两车相遇；甲走6份，乙走14份在a5点第四次两车相遇。

（千米）。

例9 在400米环形跑道上， A、B两点相距100米（如图5.34）。

甲、乙两人分别从A、B两点同时按逆时针方向跑步。

甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么，甲追上乙需要____秒钟。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：各跑100米，甲比乙少用的时间是100÷4-100÷5=5（秒钟），现在甲要比乙多跑100米，需20秒钟。

由20÷5=4（个百米），可知，乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。

这样便刚好追上乙。

甲跑完（400+100）米时，中途停了4次，共停40秒钟。

故20×5+40=140（秒）。

当乙跑完400米以后，停了10秒，甲刚好到达同一地点。

所以，甲追上乙需要140秒钟。

例10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二第一次相遇点190米，问这条环形跑道长多少米？（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：图为甲、乙两人每跑到原出发点时，就返回头跑。

于是，从出发点切开，然后将环形跑道拉直，这样，他俩就可以看作在AB线段上的往返跑步（如图5.35）。

跑第一圈时，乙的速度与甲的速度的比是3∶2。

当甲从原速跑到A点。

（个）全程，即刚好到达D点。

所以，在AD段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。

不难求得例11 图5.36，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。

父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑，父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。

如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？（全国第二届“华杯赛”复赛试题）讲析：容易计算出，父亲经过150秒刚好跑完3小圈到达A点，儿子经过152秒刚好跑完2圈到达A点，儿子比父亲慢2秒钟，所以儿子将沿跑道追赶父亲。

因为A到B弯道长200米，儿子每跑100米比父亲快一秒，可知恰好在B 点追上父亲。

即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇。

例12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。

甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆大客车，它的速度是每小时48千米。

这辆车恰好能坐一个班的学生。

为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是____。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达。

设甲班先步行后乘车。

甲班、乙班和客车的行进路线如图5.37所示。

AB、CD分别表示甲班和乙班步行距离。

当甲班从A地行至B地时，汽车共行了：AB+2·BC。

又汽车速度是甲班的12倍，所以同理，当乙班从C地行至D地时，汽车共行了CD+2·BC。

又，汽车速度是乙班的16倍，所以AB∶CD=15∶11。

即甲班与乙班需要步行的距离之比为15∶11。

例13 王经理总是上午8点钟乘公司的汽车去上班。

有一天，他6点40分就步行上班，而汽车仍按以前的时间从公司出发，去接经理，结果在路途中接到了他。

因此，王经理这天比平时提前16分钟到达公司。

那么汽车的速度是王经理步行速度的____倍。

（《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：如图5.38，A点表示王经理家，B点表示公司，C点表示汽车接王经理之处。

王经理比平时提前16分钟到达公司，而这16分钟实际上是汽车少走了2·AC而剩下的时间，则汽车行AC路程需要8分钟，所以汽车到达C点接到王经理的时间是7点52分钟。

王经理步行时间是从6点40分到7点52分，共行72分钟。

因此，汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9（倍）。

【倍数问题】例1 仓库里有两个货位，第一货位上有78箱货物，第二货位上有42箱货物，两个货位上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多2倍。

两个货位上各运走了多少箱货物？（1994年天津市小学数学竞赛试题）讲析：因为两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比第二堆货物多2倍。

即此时第一堆货物是第二堆货物的3倍。

所以，42的3倍的积与78的差，就是两堆中各运走货物的箱数的2倍。

故两个货位各运走的货物箱数是（42×3-78）÷2=24（箱）。