银川一中2021届高三第一次月考理科数学试题(含答案和解析)(2020.08)
2021届宁夏银川一中高三下学期第一次摸拟试数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 的子集中，含有元素 的子集共有
A．2个B．4个C．6个D．8个
2．复数 （）
A．2B．－2C．2iD．-2i
3．已知等比数列 的公比为正数，且 ，则 ( )
7．B
【分析】
分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出 的值，由此可得到结论.
【详解】
由题意，执行程序框图，可得：
第1次循环： ；
第2次循环： ；
第3次循环： ；
依次类推，第7次循环： ，
此时不满足条件，推出循环，
其中判断框①应填入的条件为： ，
执行框②应填入： ，③应填入： .
20．已知椭圆 过点 ，且离心率为 .直线 与 轴正半轴和 轴分别交于点 、 ，与椭圆分别交于点 、 ，各点均不重合且满足 ， .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 ，试证明:直线 过定点并求此定点.
21．已知函数 的图象在 处的切线 过点 .
（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示）；
（2）若 ，证明： .
A． B． C． D．
12．已知以 为周期的函数 ，其中 ．若方程 恰有5个实数解，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 ，则 的值为__________.
14．若 点在三角形 的边 上，且 ，则 的值为__________.
15．已知 ， 两点均在ห้องสมุดไป่ตู้点为 的抛物线 上，若| ，线段 的中点到直线 的距离为 ，则 的值为__________.
宁夏银川一中2023届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x-3）2+（y-1）2=10，．．．．．．．．．．．2分
由 ，消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）知直线l的参数方程可化为 （t为参数），．．．．．．．．．．．6分
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
5．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则
A．18B．36
C．-18D．-54
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的
竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益
一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度
银川一中2023届高三年级第一次月考
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A．127B．129C．131D．133
8．已知函数 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
9．已知 ,且 ,则
A． B． C． D．
10．实数 中值最大的是
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．已知数列 满足 ，且 ，若 ,数列 的前n项和为 ，则
宁夏回族自治区银川一中2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
银川一中2021届高三年级第一次月考理 科 数 学命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合22(,)14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．函数()xx x f 2log 12-=的定义域为A ．()+∞,0B ．()+∞,1C ．()1,0D ．()()+∞,11,03．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米5．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是A ．1ln||y x = B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+6．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1-B ．12-C ．12D ．28．函数)1(1)(-+=x x e x e x f 的图像大致为A B C D 9．若x x f 2)(=的反函数为)(1x f-，且4)()(11=+--b fa f，则ba 11+的最小值是 A ．1B ．21 C ．31 D ．41 10．设0.51()2a =，0.50.3b ＝，0.3log 0.2c ＝，则a b c 、、的大小关系是A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．已知定义在(0，+∞)上的函数)(x f 满足0)()('<-x f x xf ，且2)2(=f ，则0)(>-x x e e f的解集是 A ．)2ln ,(-∞B ．),2(ln +∞C ．),0(2eD ．),(2+∞e12．已知函数1,0,()ln 1.0.x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解..a b c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是A.]25,2[B.22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.]25,2(D.)25,2(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分,13．若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 14．若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 15．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-,1[2,2]x ∀∈-,总0[2,2]x ∃∈-,使得01()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围为________________.16．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏回族自治区2020年上学期银川一中高三数学理第一次月考试题答案
宁夏回族自治区2020年上学期银川一中高三数学理第一次月考试题答案一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）13．2 14. 51[,)8+∞ 15、55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭16、①②③ 三、解答题：17．（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z ∈，且函数()24-=m mfx x（实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x-=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 18．(1)因为01c <<,所以2c c <;由29()8f c =,即3918c +=,∴12c =(2)由(1)得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤,由()18f x >+得,当102x <<时,解得142x <<;当112x <≤时,解得1528x <≤所以()18f x >+的解集为58x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭19． (1)因为函数f(x)=log 21+axx−1是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以log 21−ax−x−1=-log 21+axx−1,即log 2a x−1x+1=log 2x −11+ax,所以a=1,令1+xx−1>0,解得x<-1或x>1,所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}. (2)f(x)+log 2(x-1)=log 2(1+x),当x>1时,所以x+1>2,所以log 2(1+x)>log 22=1.因为x ∈(1,+∞),f(x)+log 2(x-1)>m 恒成立,所以m≤1,所以m 的取值范围是 (-∞,1].20．（1）因为()()2[2(1)]e 21x f x a x ax a x '=-+⋅+-，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =， 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =. （2）若23a =，则()222122e 33xf x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭， 由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭，设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e x g x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增， 故()()00g x g ≥=，又()()23f x x g x '=⋅，故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞单调递增， 故()()02f x f ≥=.21.解：函数的定义域为，(Ⅰ)，（1）当时，，所以在定义域为上单调递增；（2）当时，令，得（舍去），，当变化时，，的变化情况如下：此时，在区间单调递减，在区间上单调递增；（3）当时，令，得，（舍去），当变化时，，的变化情况如下：此时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增. （1）当，即时，在区间单调递减，所以，；（2）当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，（3）当，即时，在区间单调递增，所以.23.（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥，解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈；当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥，解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,a b ≥+等价于()f x a b ≥++对任意的x ∈R 恒成立.又因为()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b +≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.≥成立.。
宁夏银川一中2021届高三第一学期第三次月考理科数学【含答案】
宁夏银川一中2021届高三第一学期第三次月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x R x =∈≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】 先求出AB 集合元素个数，再根据求子集的公式求得子集个数．【详解】因为集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈ 所以{}0,1,2AB =所以子集个数为328= 个 故选：D2. 下列命题中错误的是（ ）A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“()p q ∨⌝”为真命题B. 命题“若7a b +≠，则2a ≠或5b ≠”为真命题C. 命题“若20x x -=，则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -=，则0x ≠且1x ≠”D. 命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为0x ∀>，sin 21x x ≤- 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有逻辑联结词命题真假性，判断A 选项是否正确.根据原命题的逆否命题的真假性，判断B 选项是否正确.根据否命题的知识判断C 选项是否正确.根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断D 选项是否正确.【详解】对于A 选项，由于q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以“()p q ∨⌝”为真命题，故A 选项正确.对于B 选项，原命题的逆否命题是“若2a =且5b =，则7a b +=”为真命题，原命题也是真命题，故B 选项正确.对于C 选项，命题“若20x x -=,则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -≠,则0x ≠且1x ≠”，故C 选项错误.对于D 选项，根据含有一个量词的命题的否定，易得D 选项正确 故选：C3. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O (O 为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数22()ln(1)f x x x =++可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．A. ①④B. ①③④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称. 【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数22()ln(1)f x x x =++是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误 对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确. 对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误 故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.4. 已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除，求模，化简运算，求出z 的坐标得出答案.【详解】因为()()()34522222i i z i i i i -+===+--+，所以复数z 在复平面内对应的点为()2,1，位于第一象限． 故选:A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除求模运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A. cos 2y x = B. 1cos2y x =+C. 1si π24n y x =++⎛⎫ ⎪⎝⎭D. cos21y x =-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数平移法则得到答案. 【详解】函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是：sin 21sin 21cos 2142y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数平移，属于简单题.6. 设函数()()sin f x g x x =+，曲线()y g x =在点(0, (0))g 处的切线方程为31yx ，则曲线()y f x = 在点(0, (0))f 处切线方程为（ ） A. 41y x =+B. 42y x =+C. 21y x =+D.22y x =+【答案】A 【解析】 【分析】由曲线()y g x =在点(0, (0))g 处的切线方程为31y x 可求出(0)3g '=，(0)1g =，由此可求出(0)f '，(0)f ，根据点斜式即可求出. 【详解】由切线方程为切线方程为31yx 可知(0)3g '=，(0)1g =，∴(0)(0)cos04f g ''=+=，(0)1f = ∴切线为()140-=-y x ，即41y x =+. 故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题. 7. 设向量(0,1)b =，11,22a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A. //a b B. a b ⊥C. a 与b 的夹角为34π D. b 在a 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影坐标公式对各个选项进行检验即可. 【详解】A.110122⎛⎫⎛⎫-⨯≠-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误； B.1101022⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.122cos 2||||2a b a b θ-⋅===-，[]0,θπ∈，所以夹角为34π，正确；D.b 在a 方向上的投影为1222a b a-⋅==，故错误.故选：C【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.8. 已知正项数列{}n a 满足：11a =，2212n n a a +-=，则使7n a <成立的n 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的定义可知2{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，可求得221n a n =-，所以21n a n =-【详解】由等差数列的定义可知2{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列 所以21(1)221n a n n =+-⨯=-， 所以21n a n =-*n N ∈，又7n a <217n -<，即2149n -< 解得25n <，又*n N ∈， 所以24n =，故选C【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等差数列的定义，得到2{}n a 为等差数列，再进行求解．而不是直接求n a ，属基础题．9. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示，(0)cos2f =，则下列判断正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为4B. 函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称C. 函数()f x 的图象关于点(1,0)4π+对称D. 函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【解析】【详解】根据函数()cos()(04f x x ωϕω=-<<，0)ϕπ<<的部分图象， (0)cos2f =，cos cos2ϕ∴=，2ϕ∴=．再根据五点法作图可得120ω⨯-=，2ω∴=，()cos(22)f x x =-． 故它的周期为22ππ=，故A 不对． 令61x π=-，22124x π-=-，()f x 的值不是最值，故B 不对． 令14x π=+，222x π-=，()f x 的值为零，故函数()f x 的图象关于点(14π+，0)对称，故C 正确．把函数()f x 的图象向左平移2个单位，可得cos(22)y x =+的图象， 显然所得函数不是偶函数，故D 错误， 故选：C ． 故选C.11. 已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A. ()()f x f x -=B. (2)(6)f x f x -=+C. (2)(2)0f x f x -++--=D. (3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】 【分析】由题设条件可得函数()f x 的图象关于(2,0)对称，且关于直线4x =对称，从而得到()f x 为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误. 【详解】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=，∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错. 故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.12. 若函数()sin xxf x e e x x -=-+-，则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A. 12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 判断()sin xxf x e ex x -=-+-是R 上的奇函数，利用导函数可判断()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立等价于22ln(1)2x a x -+≥-，分离a 得22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，经过分析知()g x 是R 上的偶函数，只需求()g x 在()0,∞+上的最大值，进而求得a 的取值范围. 【详解】因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 12cos 11cos 0x x x x f x e e x e e x x --'=++-≥⋅-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++， 则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-， 即12ln 22a ≥-， 故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若函数()22ln f x x x a x =++在0,1 上单调递减， 则实数a 的取值范围是_________.【答案】4a ≤- 【解析】试题分析：由已知可得()222'220a x x a f x x x x ++=++=≤在0,1上恒成立2220x x a ⇒++≤在0,1 上恒成立404a a ⇒+≤⇒≤-.考点：1、导数及其应用；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数及其应用、函数与不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题,在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.由已知可得()222'220a x x af x x x x++=++=≤在0,1上恒成立2220x x a ⇒++≤在0,1上恒成立404a a ⇒+≤⇒≤-.14. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若23AF x AB y AD =+，则x y +=________.【答案】718【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则得AE AD DE =+1122AD DC AD AB =+=+， 根据三角形相似可得23AF AE =，23AF AE =，代入AE 可得AF 2133AD AB +=，结合已知23AF x AB y AD =+，根据平面向量基本定理可得16x =，29y =，即可求解 【详解】因为在正方形中，E 为CD 中点， 所以AE AD DE =+1122AD DC AD AB =+=+， 又为EFD AFB ≅，所以2AF AB FE ED==，所以2AF FE =，23AF AE =，所以23AF AE =2122121()33333AD DC AD AB AD DC =++=+=， 又已知23AF x AB y AD =+， 根据平面向量基本定理可得16x =，29y =， 所以1276918x y +=+=， 故答案为：718【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用EFD AFB ≅，证得2AF ABFE ED==，进而，可以求出,x y ，难度属于基础题15. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足228m m S S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和公式和通项公式化简已知式，可得221272m m +=-，解出m ，进而根据27m q =求得结果.【详解】由228m m S S =得：()()()()()2111111128111mmm mmma q q q q qa q q q-+--==+=--- 27m q ⇒=由22212m m a m a m +=-得：2121112212m mm m m a a q m q a a q m --+===- 则221272m m +=- 3m ⇒= 327q ⇒= 则3q =本题正确结果：3【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式求解基本量的问题，关键是能够将已知关系式化成关于q 和m 的形式，构成方程组，解方程组求得结果.16. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1b =，()1sin cos sin 2B BC C =+，则当角B 取最大值时，ABC 的周长为_________. 【答案】23+ 【解析】 【分析】先利用已知条件化简整理得tan 3tan AC ，再根据()tan tan B A C =-+化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长. 【详解】因为()1sin cos sin 2B BC C =+，所以sin 2cos sin 0B A C =->，即A 是钝角，,B C 是锐角，()sin sin cos cos sin 2cos sin A C A C A C A C+=+=-，即sin cos 3cos sin A C A C=-得tan 3tan A C，故()2tan tan 2tan 2tan tan 1tan tan 13tan 13tan tan A C C B A C A C C C C+-=-+===---+，因为tan 0C >，所以23tan 1233tan tan B C C=≤=+，当且仅当13tan tan C C=时，即3tan C 时tan B 最大，为3tan 3B =，故角B 取最大值，6B C π==，故23A π=，又由1b =，故11,1121132b c a ⎛⎫===+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭23. 故答案为：23.【点睛】本题解题关键在于灵活运用两角和与差的正弦公式，由弦化切得到tan 3tan A C ，结合()tan tan B A C =-+展开，利用基本不等式求解.三角形中常用的诱导公式有：()()()sin sin ,cos cos ,tan tan A B C A B C A B C +=+=-+=-，sincos 22A B C+=，cossin 22A B C+=等等. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数()21ax f x x b+=+的图像过点(1,2)，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()()()24xf x t x t >-+-在()0,∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）21()x f x x+=；（2）(),4-∞.【解析】【分析】（1）根据图象关于原点对称得()f x 图象过点(1,2)和(1,2)--，再用待定系数即可求解；（2）将()()()24xf x t x t >-+-化为225(1)x x x t ++>+，再用分离参数法求解即可.【详解】（1）依题意，函数()f x 的图象过点(1,2)和(1,2)--.所以1(1)221111210(1)21a f a b a b a a b b f b +⎧==⎪⎧-==⎧⎪+⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩⎩⎪-==-⎪-+⎩，故21()x f x x +=. （2）不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-可化为225(1)x x x t ++>+.即2251x x t x ++<+对一切的()0,x ∈+∞恒成立.因为22541411x x x x x ++=++≥++，当且仅当1x =时等号成立，所以实数t 的取值范围为(),4-∞.【点睛】本题考查待定系数法求解析式，不等式恒成立问题，是中档题.根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.18. 在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值； （2）求边c 的长. 【答案】（1）10sin B =（2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 310a =13c =． 【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以24cos 1sin 5A A =-= ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sin 1010A B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455101010== . (2)因为sin 310sin a A b B ==，且5b = ，所以310a =， 又()cos cos cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+= ， 则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以 13c = .19. 已知数列{}n a 满足114a =，112n n n n a a a a ---=⋅（2n ≥，*n N ∈），0n a ≠ （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭*()n N ∈为等比数列，求出{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，23n T <. 【答案】（1）证明见解析，11321n n a -=⨯+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由1120n n n n a a a a ----⋅=l 两边同时除以1n n a a -⋅得到有1211n na a --=，再构造等比数列得解（2）放缩111132132n n n a --=<⨯+⨯，再利用等比数列求和得解.【详解】（1）由1120n n n n a a a a ----⋅=有1211n n a a --=，∴11112(1)n n a a --=- ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1113a -=，公比为2的等比数列.∴11132n n a --=⋅，∴11321n n a -=⨯+ （2）11321n n a -=⨯+， ∴212111111111313213213213323232n n n T --=++++<+++++⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯，1211111[1()()]3222n -=++++ 1112122(1)1332312n n -=⋅=-<-. 【点睛】本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.20. 已知函数()()22cos 13f x p x x =-，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 31sin 2tan 2b Bc C C ==+，再求范围得解. 【详解】（1）依题意()()22cos 13f x p x x =-+22cos 23cos p x x x =-- 1cos 232p x x =---π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==． 因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增， 解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ． （2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角， ∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π31sin sin sin 31322sin sin sin 2C C C b B c C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中3tan 3C ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21. 设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值． 【答案】（1）34-；（2）12m =. 【解析】 【分析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可.【详解】解：（1）依题意，知()f x 的定义域为()0,∞+， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--，()()()21111222x x f x x x x-+-'=--= 令()0f x '=，解得1x =．（∵0x >），当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减． 所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值； （2）由0a =，1b =-，得()ln f x x x =+因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx mg x x--'=，令()0g x '=，即20x mx m --=． 因为0m >，0x >，所以2140m m m x -+=<（舍去），224m m mx ++=， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞单调递增， 当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ． 因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩．所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-= （*） 设函数()2ln 1h x x x =+-，易见当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解． 因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，即2412m m m ++=，解得12m =． 【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为22212cos ρθ=-，射线()π03θρ=≥与曲线C 交于点P ，点Q 满足23PQ PO =，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，当α为何值时，QM QN ⋅最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数（2）当2πα=时，QM QN ⋅取得最大值283-【解析】 【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=，求出点Q的直角坐标为3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再写出直线l 的参数方程；（2）设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，求出()1225631sin QM QN t t α-⋅==+，再求出最大值得解.【详解】（1）∵()2222222212cos 222xy x x y ρθ=-=+-=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=．∵点P 2213π2cos3=-，又∵23PQ PO =，∴点Q 的极径为1223333⨯= ∴点Q 的直角坐标为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数． （2）将l 的参数方程代入22221x y +=， 得()222561sin 4sin 3033t t ααα⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则()1225631sin t t α-=+，∴()1225628331sin QM QN t t α-⋅==≤-+，当2sin 1α=即2πα=时取等． 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()|1|f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(][),82,-∞-⋃+∞（2）{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（Ⅱ）由题意，可将m 的值分为1m =-和1m >-进行分类讨论，当1m =-时，函数()315g x x =+-不过原点，且最小值为5-，此时满足题意；当1m >-时，函数()37,13,133,x m x g x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，再由函数()g x 的单调性及值域，求出实数m 的范围，最后综合两种情况，从而得出实数m 的范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-⋃+∞.（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意： 当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增.要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭.。
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考试题-数学(含答案)
银川一中2025届高三年级第一次月考数 学 试 卷命题教师：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．命题p ：x ∀∈R ，2210x mx -+>的否定是A ．x ∀∈R ，2210x mx -+≤B ．x ∃∈R ，2210x mx -+<C ．x ∃∈R ，2210x mx -+>D ．x ∃∈R ，2210x mx -+≤2．已知函数21(1),()2(1).x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则((1))f f -的值为A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．33．“3a > ”是“函数2()(2)2f x a x x =-- 在(1,+)∞上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2081.5.12,,log 42a b c -⎛⎫ ⎝⎭=⎪==，则,,a b c 的大小关系为A ．c<a<bB ．c b a<<C ．b a c <<D ．b<c<a 5．在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()x g x a -=，()a h x x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)-，则关于x 的不等式29()(40)f x f x +-<解集为 A ．(,1)(4,)-∞-+∞ B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)∞∞--⋃+D ．(4,1)-7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的三角形，其面积S 可由公式S =1=)2p a b c ++（，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足14,6a b c +==，则 此三角形面积的最大值为A ．6B ．C ．12D ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．8二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．下列运算正确的是A=B ．()326a a =C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10. 已知函数()y f x =是定义域为R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，下列说法正确的有A ．函数()y f x =的周期为4B ．(0)0f =C ．(2024)1f =D ．(1)(1)f x f x -=+11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．13．已知函数()()231m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则f 的值是 ．14．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为 ．（精确到0.01）四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(13分)已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.16．(15分)已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=. (1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.17．(15分)已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值； (2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．18．(17分)已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得)(1)2(x f x mf -≥成立，求m 的取值范围； (3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 19．(17分)银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈2025届高三第一次月考试卷答案一、单选题1． D 2． C 3． A 4． B5． C 6． B 7． B 8． B二、多选题9． BD 10. ABD 11． ACD.三、填空题12．2. 13．4 14．1.56.四、解答题15．已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.【详解】（1）令2461x y z k ===>，则2log x k =，4log y k =，6log z k =，11log 2log 4log 8k k k x y ∴+=+=，1log 6k z=.1k > ，log 8log 6k k ∴>，111x y z∴+>.（2）6log 4z = ，64z ∴=，则244x y ==，2x ∴=，1y =，4664log 4log 256z ∴==.3462566<< ，63log 2564∴<<，342y z x ∴<<.16．已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=.(1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.【详解】（1）()()1212111442x x f x f x m m +=+=++，即()()()()2112242444x x x x m m m m +++=++()()121212242444444x x x x x x m m m +⋅++=+⇒+()()()12122224444442x x x x m m m m ⇒=++=+---，()()()()()121222442024420x x x x m m m m ⇒---+=⇒-++-=，12444x x +≥== ，当且仅当1244x x =，即12x x =取等号，又0m >，124420,2x x m m ∴++->∴=.（2）由()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，得 ()10n n n a f f f n n -⎫⎫⎛⎛=+++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，又当121x x =+时，()()1212f x f x +=所以两式相加可得 ()()1112002n n n n n a f f f f f f n n n n ⎡⎤⎡-⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 14n n a +=17．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值；(2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．【详解】（1）因为2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=，所以()(e)ln e 3f a -=+=，解得2a =；（2）由（1）可得22ln(),0()23,0x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩，当0x <时()2ln()f x x =+-，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且()R f x ∈；当0x ≥时()22()2314f x x x x =-++=--+，则()f x 在[]0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，且()14f =，()03f =，即()(],4f x ∞∈-；所以()f x 的图象如下所示：因为函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，即函数()y f x =与y k =在R 上恰有两个交点，由图可知3k <或4k =，即实数k 的取值范围为(){},34∞-⋃.18．已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，求m 的取值范围；(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 【详解】（1）由题意可得()()()()()11ln 1ln 1x g x g x x x ϕ=++-=++-．由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，故()1,1D =-．又()()2ln 1x x ϕ=-，且(]210,1x -∈，()x ϕ∴的值域为(],0-∞；（2）()()21mf x f x -…，即2e 1e x x m -…，则211e e x xm -…． 存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，2min 11ee x x m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭…．而2211111e e e24x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当11e 2x =，即ln2x D =∈时，211e ex x -取得最小值14-，故14m -…；（3）设()()1ey h x f x ==+的对称中心为(),a b ，则函数()()t x h x a b =+-是奇函数，即()1e e x a t x b +=-+是奇函数，则()()110e e e e x a x a t x t x b b -++-+=-+-=++恒成立，()()()()1122e e 2e 2e e e e 0e e e e x a x a x a x a a x a x ab +-+-+++-++++-+++∴=++恒成立，所以()()1122e e 2e 2e e e e 0x a x a x a x a a b +-+-+++++-+++=恒成立，所以22(12e)(e e )2(e e e )0x a x a a b b b +-+-++--=，因为上式对任意实数x 恒成立，所以2212e 0e e e 0a b b b -=⎧⎨--=⎩，得12e 1b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以函数()1e y f x =+图象的对称中心为11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈【答案】(1)11.3n n a -=，0.50.5n b n =+,N n *∈(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多【详解】（1）对于甲方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为111(10.3) 1.3+=⨯，3年后，利润为211.3(10.3) 1.3+=⨯（万元），……故n 年后，利润为11.3n -（万元），因此11.3n n a -=，N n *∈对于乙方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为10.5+，3年后，利润为0.50.510.521++=+⨯（万元），……故n 年后，利润为()10.51n +⨯-（万元），因此()10.510.50.5n b n n =+⨯-=+，N n *∈（2）甲方案十年共获利109(1.3)11(130%)(130%)42.631.31-+++⋯++==-（万元），10年后，到期时银行贷款本息为1010(10.1)25.94+=（万元），故甲方案的净收益为42.6325.9416.7-≈（万元），乙方案十年共获利1 1.5(190.5)32.5++⋯++⨯=（万元），贷款本息为119101111(110%)(110%)(110%)17.530.1⋅-+++⋯++++=≈（万元），故乙方案的净收益为32.517.5315-=（万元），由16.715>，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多。
宁夏银川一中2021届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)
∴直线L的普通方程为： ，
∵曲线C的参数方程为 （α为参数），
∴曲线C的普通方程为（－5）2＋y2＝1．
（2）设Q（5＋cosα，sinα），Q到直线L的距离：
，
当 时，即 ，dmin＝2，
此时点Q坐标为 ．
23．解：（1）
当 时， ，则 ，所以 ，
质量指标值
产品等级
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1 000件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．设 ，当 时，满足 ．
（1）试估计样本质量指标值 的平均值 及方差 ；
（2）从样本质量指标值小于90的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件D级品的概率．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题
做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．
在平面直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L： ，曲线C的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求直线L和曲线C的普通方程；
（2）在曲线C上求一点Q，使得Q到直线L的距离最小，并求出这个最小值
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟因此第二种生产方式的效率更高
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高
令 ，则 ，
，易知 时递减
故当 时， 的最大值为
宁夏银川一中2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
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理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B 的子集的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.
【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2
214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩
⎭，画出图形如图： 由图可知，A
B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个，
故选：A。