高考复习课件函数第8课时 指数、对数函数

第8课时指数、对数函数
要点·疑点·考点
课前热身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误解分析
要点·疑点·考点
1.整数指数幂的运算性质
(1)a m·a n=a m+n(m,n∈Z)
(2)a m÷a n=a m-n(a≠0,m,n∈Z)
(3)(a m)n=a mn(m,n∈Z)
(4)(ab)n=a n b n(n∈Z)
2.根式
一般地，如果一个数的n次方等于a(n＞1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n=a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
3.根式的性质
(1)当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号表示.
(2)当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反
数，这时，正数的正的n 次方根用符号表示，负的n 次
方根用符号表示.正负两个n 次方根可以合写为(a ＞0)
(3)(4)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(5)负数没有偶次方根
(6)零的任何次方根都是零
n a n a -n a
±n a ()a a n
n =()a a n
n =()()()⎩⎨⎧<≥-==00a a a a a a n n
4.分数指数幂的意义
5.有理数指数幂的运算性质
(1)a r ·a s =a r+s (a ＞0，r,s ∈Q)；
(2)a r ÷a s =a r-s (a ＞0，r,s ∈Q)；
(3)(a r )s =a rs (a ＞0，r,s ∈Q)；
(4)(a b )r=a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)
()1
,0*>∈>=n Z n m a a a n m n m ，且，(1)()1,01
*
>∈>=n Z n m a a a n m
n m
，且，(2)
6.指数函数一般地，函数y =ax (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R
7.指数函数的图象和性质(见下表)
在R 上是减函数
(4)在R 上是增函数(3)过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1
(2)值域(0，＋∞)(1)定义域：R a >1
0<a <1
性
质图
象
8.对数
一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是ab =N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N=b ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子log a N 叫做对数式
常用对数通常将log 10N 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作lgN
自然对数通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记作lnN.
9.对数恒等式叫做对数恒等式
()010log >≠>=N a a N a N a ，且10.对数的性质
(1)负数和零没有对数；
(2)1的对数是零，即log a 1=0；
(3)底的对数等于1，即log a a =1
12.对数函数. 函数y =log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).因为对数函数y =log a x 与指数函数y=ax 互为反函数，所以y=log a x 的图象与y=ax 的图象关于直线y=x 对称.
11.对数的运算性质
如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么
()M
n M N M N
M N
M MN a n a a a a a a a log log log log log log log log ==+=(3)(2)(1)
13.对数函数的图象和性质
对数函数y=log
a x的图象和性质分a＞1及0＜a＜1两种情况.注
意作图时先作y=ax的图象，再作y=ax的图象关于直线y=x的对称曲线，就可以得到y=log
a
x的图象，其图象和性质见下表
a>10<a<1
图
象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0
(4)在(0,+∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数
14换底公式
注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式的顺用和逆用；②由公式和运算性质推得的结论的作用.b
N N a a b log log log =b N N a a b log log log =b m n b a n
a m log log =返回
课前热身
1.若函数y＝(log(
1/2)
a)x在R上为减函数，则a∈______.
2.(lg2)2·lg250+(lg5)2·lg40＝______.
3.如图中曲线C
1，C
2
，C
3
，C
4
分别是函数y＝a x，y＝b x，
y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()
(A)a＜b＜1＜c＜d
(B)a＜b＜1＜d＜c
(C)b＜a＜1＜c＜d
(D)b＜a＜1＜d＜c
答案：1.(1/2，1) 2.1 3.D
4.若log a 2＜log b 2＜0，则()
(A)0＜a ＜b ＜1(B)0＜b ＜a ＜1
(C)1＜b ＜a (D)0＜b ＜1＜a
5.方程log a (x+1)+x 2＝2(0＜a ＜1)的解的个数是()
(A)0(B)1(C)2(D)无法确定
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B C
能力·思维·方法
【解题回顾】对于第(2)小题，也可以利用对数函数的图象，当底数大于1时，底数越大，在直线x ＝1左侧图象越靠近x 轴而得.
1.比较下列各组中两个值的大小，并说明理由.
7
.0log 7.0log )2(109,54)1(2.11.13121，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
2.设函数f (x )＝lg(1-x )，g(x )＝lg(1+x )，在f (x )和g(x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g(x )|的大小.
【解题回顾】本题比较|f (x )|与|g(x )|的大小，也可转化成比较f 2(x )与g 2(x )的大小，然后采用作差比较法；也可直接比
较与1的大小.()()
x g x f
【解题回顾】求解本题的关键是会分类讨论.既要考虑到k ，又要考虑到a ；对第四种情形，要强调函数无意义.
3.求函数f (x )＝log 2(a x -2x ·k )(a ≥2，且k 为常数)的定义域.
【解题回顾】求解本题应注意以下三点：
(1)将y 转化为二次函数型；
(2)确定a 的取值范围；
(3)明确log a x 的取值范围.
4.已知函数y ＝log a (a 2x )·log a2(ax )，当x ∈(2，4)时，y 的取值范围是[-1/8，0]，求实数a 的值.
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延伸·拓展
【解题回顾】本题是一个内涵丰富的综合题.涉及的知识很广：定义域、不等式、单调性、复合函数、方程实根的分布等.解题时应着力于知识的综合应用和对隐含条件的发掘上.
5.设的定义域为[s ，t)，值域为(log a (at-a )，log a (as-a )].
(1)求证s ＞3；(2)求a 的取值范围
()103
3log ≠>+-=a a x x y a ，返回
误解分析
2.要充分利用指数函数和对数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的性质，并进行总结回顾.如求y ＝log 2(x 2-2x )的单调增区间可转化为求y ＝x 2-2x 的正值单调增区间，从而总结一般规律.
1.研究指数、对数问题时尽量要为同底，另外，对数问题中要重视定义域的限制.
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