圆和方程预习提纲
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程xa2ybr 221.求标准方程的方法——关键是求出圆心a,b和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 xyrr0 222过原点 xayba2b2a2b20 圆心在x轴上xayr22222rr0 0 圆心在y轴上 xybr222圆心在x轴上且过原点 xaya222a0b02圆心在y轴上且过原点 xybb2222与x轴相切 xaybb222b0 a0 与y轴相切 xayba与两坐标轴都相切 xayba二、一般方程xyDxEyF0DE4F0 22222222ab01.AxByCxyDxEyF0表示圆方程则A=B≠0A=B≠0C=0C=0D2+E2-4AF>022DEF>0 + -4AAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r43.D2+E2-4F>0常可用来求相关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBPB=BN=BC-r =BM=BC+rminmax（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值Pmin= PmaxA=A=rr C C思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点r（2）相切只有一个公共点=0d=r （3）相交有两个公共点>0d。
高三数学导学提纲)圆的方程新课标(苏教版)
高三数学导学提纲27．圆的方程复习目标1．了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三点等）2．掌握圆的标准方程和一般方程，理解它们之间的关系并能进行互化，会根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程基础知识1．圆的方程：（1）标准方程 （2）一般方程2．求圆方程的一般方法：基础训练1．过点O （0，0），A （1，0），B （0，1）三点的圆的方程是2．以直线01243=+-y x 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆方程是___________3．过点A （3，-2），B （2，1）且圆心在直线x – 2y – 3 = 0上的圆的方程是_________ _4．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为；以原点为圆心，且在直线3x + 4y + 15 = 0上截得的弦长为8的圆的方程是__________________.5．已知圆的方程为x 2 + y 2 – 6x – 8y = 0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.6．已知圆和直线x – 6y – 10 = 0相切于点（4，-1），且经过点（9，6），则圆的方程为____________________.典型例题例1、求与x 轴相切，圆心在直线3x – y = 0上，且被直线x – y = 0截得的弦长为27的圆的方程.例2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。
例3、设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件（1），（2）的所有圆中，求圆心到直线02:=-y x l 的距离最小的圆的方程。
例4、已知曲线C ：x 2 + y 2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0.（1）求证不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；（2）证明当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C 与y 轴相切，求m 的值.高三数学（理）作业27班级_______________ 学号__________ 姓名______________1．若方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0（D 2 + E 2 – 4F > 0）所表示的曲线关于直线y = x 对称，那么必有2．已知A （0，1），B （p ，q ）（p 2 > 4q ），则以AB 为直径的圆与x 轴的交点的横坐标一定是二次方程__________________的两根.3．点P 从（1，0）出发，沿单位圆x 2 + y 2 = 1逆时针方向运动32π到达Q 点，则Q 的坐标为________________.4．圆心在直线2x – y – 7 = 0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，-4），B （0，-2），则圆C 的方程为________________________________.5．圆x 2 + y 2 – ax + 2y + 1 = 0关于直线y – x + 1 = 0对称的圆的方程是x 2 + y 2 = 1，则实数a 的值是________________.6．某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需要一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．7．已知圆C ：(x + 1)2 + (y – 1)2 = 4和直线l ：x – y – 5 = 0. 求⊙C 上到l 的距离最近和最远的点的坐标.8．已知实数x、y满足方程x2 + y2 + 2y – 3 = 0. （1）求x + y的最大值和最小值；（2）求x2 + y2的最大值和最小值.。
高二数学 7.6圆的方程(第一课时)大纲人教版必修
7.6 圆的方程课时安排3课时从容说课圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.●课题§7.6.1 圆的方程（一）●教学目标（一）教学知识点圆的标准方程.（二）能力训练要求1.掌握圆的标准方程；2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想；2.培养学生的思维素质；3.提高学生的思维能力.●教学重点已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.●教学难点根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.●教学方法引导法引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.●教具准备投影片两张第一张：§7.6.1 A第二张：§7.6.1 B例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到0.01 m）.●教学过程Ⅰ.课题导入我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？Ⅱ.讲授新课（打出投影片§7.7.1 A)请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b )，半径是r 的圆的方程. ［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？［生］圆C 就是集合P ={M ｜｜MC ｜=r }.［师］这样的话，不妨设M （x ,y )是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为……［生］（回答）：r b y a x =-+-22)()(.［师］整理此式，可得到……［生］(x -a )2+(y -b )2=r 2.［师］这个方程就是圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a =0,b =0,则圆的方程是……［生］x 2+y 2=r 2.［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.下面，我们看一些例子.［例1］求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C （1，3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离，而后可写出圆C 的方程.解：已知圆心是C （1，3），∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切，∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.由点到直线距离公式，可得r =516)4(3734132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=25256. ［例2］已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M （x 0,y 0）的切线的方程.分析：欲求过M 的直线方程，只要求出此直线斜率即可.解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴k =-11k . ∵k 1=00x y .∴k =-00y x .∴经过点M 的切线方程是：y -y 0=-00y x (x -x 0),整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又∵点M （x 0,y 0)在圆上，∴x 02+y 02=r 2.∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时，切线方程为： x =x 0或y =y 0.可看出上面方程也同样适用.（打出投影片§7.7.1 B)［例3］这是一实际应用例子.分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.解：建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b =-10.5,r 2=14.52∴圆方程为：x 2+(y +10.5)2=14.52.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，得（-2）2+（y +10.5)2=14.52,∵P 2的纵坐标y ＞0∴y +10.5=22)2(5.14--即y =22)2(5.14---10.5≈14.36-10.5=3.86 (m)答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.Ⅲ.课堂练习［生］课本P 77,练习1，2，3，4.1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；解：x 2+y 2=9.（2）圆心在点C （3，4），半径是5；解：（x -3）2+(y -4)=5.(3)经过点P （5，1），圆心在点C （8，-3）解：r =｜PC ｜=5)31()85(22=++-圆方程为：(x -8)2+(y +3)2=252.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x +3y -70=0相切，求圆的方程.解：∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =14347022=+.∴圆方程为：x 2+y 2=196.3.写出过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线的方程. 解：利用例2结论可得：切线方程为2x +6y =10.4.已知圆的方程是x 2+y 2=1,求：（1）斜率等于1的切线的方程.（2）在y 轴上截距是2的切线的方程.解：（1）设切点坐标为M (x 0,y 0)则k OM =-1=0x y又∵x 02+y 02=1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222222220000y x y x 或∴切线方程为y ＋22=x -22或y -22=x +22即:y =x ±2.（2）设切点M （x 0,y 0），切线与y 轴交点B （0，2）则：k OM ·k BM =-1 即00002x y x y -⋅=-1x 02+y 02-2y 0=0又∵x 02+y 02=1(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ［例3］ ∴或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222200x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222200x y ∴切线方程为y =±x +2.Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2.最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P 81习题7.6 1,2,3,4.(二）1.预习内容：课本P 77～792.预习提纲：（1）圆的一般方程有何特点？（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？●板书设计§7．6．1 圆的方程（一）一、圆的标准方程［例1］［例2］。
初三数学圆知识提纲修改版
A初三数学《圆》知识提纲（修改版）(何老师归纳)一、圆的有关性质一：圆的相关概念：1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径）⑴ 动态定义: 一条线段OA 绕着它的一个端点O 在平面内旋转一周时，另一个端点A 所形成的图形叫圆⑵ 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
3： 弦心距：圆心到弦的距离4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ⑴ 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着：BAC 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着：BC⑵ 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧（两条件：1长度相等，2弯曲程度一致）5：同圆：同一个圆叫同圆等圆：圆心不相同，半径相等的圆； 同心圆：圆心相同，半径不等的圆。
6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形 弓形高（h ）＝半径(r)±弦心距(d)7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1°的弧，弧的度数就是所对圆心角的度数8 ：圆心角：顶点在圆心的角圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半. 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个三角形叫圆的内接三角形二：点与圆的位置关系:1：点在圆内 ⇒ d<r ⇒ 点C 在圆内2：点在圆上 ⇒ d=r ⇒ 点B 在圆上 3：点在此圆外 ⇒ d>r ⇒ 点A 在圆外三：重要定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
几何表达式举例：∵ AB 过圆心,CD ⊥AB ∴ CE DE =推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CEDE = ④⑤ ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。
2019高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第2课时)圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用讲义
第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；③当|r1－r2|<l<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．判断步骤为：①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．2．归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)圆与圆位置关系的判定①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元，一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[问题思考]将两个相交的非同心圆的方程x 2＋y 2＋D i x ＋E i y ＋F i ＝0(i ＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)圆与圆有哪些位置关系？ ；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？ .下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．[思考1] 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．[思考2] 能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．[思考3] 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．讲一讲1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？(链接教材P129－例3)[尝试解答] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－2＋－2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即k∈(14,34)时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离．(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．练一练1．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含解析：选C 法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝－2＋＋2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．讲一讲2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[尝试解答] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得： 3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．练一练2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A ，B ， 则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.讲一讲3．有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨] 建系后利用居民选择在A 地购买商品建立不等关系后化简作出判断． [尝试解答]以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示， 设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km.则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2ax ＋2＋y 2<ax －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032，即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3．台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1. (2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2; 1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d ＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋12＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋2＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________. 解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：16．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆的定义从运动的观点来看，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是圆的半径，设M(x，y)是C上的任意一点，点M在C上的条件是|CM|＝r.2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．注：几种特殊形式的圆的标准方程：3设点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，C(a，b)为圆心，则：点P在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2|PC|＝r；点P在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2|PC|＞r；点P在圆内(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2|PC|＜r.1．圆心是(－3,4)，半径为5的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案：D2．点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )． A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定 答案：A解析：把P (m 2，5)代入x 2＋y 2得m 4＋25，显然m 4＋25＞24，∴点在圆外． 3．经过两点A (－1,4)、B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程是( )． A ．x 2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －1)2＋y 2＝10 C ．x 2＋(y －1)2＝10 D ．(x ＋1)2＋y 2＝10 答案：C4．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以AB 为直径的圆的方程为__________________． 答案：(x －1)2＋(y ＋3)2＝29解析：由AB 的中点确定圆心，由|AB |2确定圆的半径．5．(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过原点，则a 、b 、r 应满足的条件是__________________． 答案：a 2＋b 2＝r 26．求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程． 解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.。
九年级上册数学圆知识点提纲
九年级上册数学圆知识点提纲九年级上册数学圆知识点提纲：
1. 圆的定义：圆是由与一个点距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径。
3. 圆的性质：
- 半径相等的两个圆是同心圆。
- 圆心到圆上任意点的距离都相等。
- 在同一个圆中，相等弧所对的圆心角相等。
- 圆的正中弦等于半径的两倍。
- 弦长相等的两个弦所对的圆心角相等。
- 弧上的角等于它所对的弦上的角。
4. 圆周角：
- 定义：以圆心为顶点的角叫做圆周角。
- 圆周角的度数等于它所对的弧所对应圆心角的度数。
- 圆周角的弧度等于它所对的弧所对应圆心角的弧度。
5. 弧长和扇形面积：
- 弧长：弧所对的圆心角的度数/弧度数与圆周长的比例。
- 扇形面积：扇形所对的圆心角的度数/弧度数与圆的面积的比例。
6. 切线与切点：
- 切线：与圆只有一个公共点的直线。
- 切点：切线与圆的唯一公共点。
7. 弧度制：
- 弧度：圆的半径与弧长之间的比值。
- 圆周角等于360°，也等于2π弧度。
8. 相交弧与相交角：
- 相交弧：两条弧在圆上的交点的两端组成的较短的部分。
- 相交角：以圆心为顶点的两条弧所对的圆心角。
这些是九年级上册数学中圆的主要知识点提纲，希望能够帮助到你！。
第四章圆与方程知识点归纳
高中数学必修2第四章圆与方程知识点两圆的位置关系.设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:4.1.1圆的标准方程2 2 21、圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2 2 22、点M(x),y0)与圆(x a) (y b) r的关系的判断方法:(1)当J I r1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当1r1r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当i 1Ar：2I I r1r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当i 1 Iq r21时，圆C1与圆C2内切；(5)当1| r, r2| 时，圆C1与圆C2内含;4.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2(1)(X。
a) (y°b)2>r2，点在圆外2 2 2(2)(X。
a) (y o b) =r2，点在圆上2(3)(X。
a) (y o b)2<r2，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：x2y2 Dx Ey F02、圆的一般方程的特点：2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(1) ①x2和y2的系数相同，不等于0. ②没有xy这样的二次项.(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4.3.1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x, y, z)，x、y、z轴上的坐标J IR丿M711J_z分别是P、Q、R在x、y、O八2xP M'(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.2 2 D 设直线I : ax by c 0，圆C : x y Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(，2直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1 )当d r时，直线I与圆C相离；(2)当d r时，直线I与圆C相切；(3)当d r时，直线I与圆C相交；2、有序实数组(x, y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的―)到2坐标，记M (x, y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做(3)解出a , b , r 或D , E , F ,代入标准方程或一般方程.圆与圆的位置关系圆的一般方程也含有三个待定的系数 D , E , F ,因此必须具备三个独立条件，才能确③ 当|R — r|<d<R + r 时，两圆相交；④当d=|R — r|时，两圆内切；⑤当d<|R — r|时, 两圆内含.3、方程的大致步骤是:空间直角坐标系(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程;空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长.常用对称点坐标:(2)根据条件列出关于a , b , r 或D , E , F 的方程组;、知识概述 1、圆的标准方程圆心为(a , b)，半径为r 的圆的标准方程为(x — a)2+ (y — b)2=r 2.由于圆的标准方程中含有三个参数 a, b , r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个 圆.2、圆的一般方程对于方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0.二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导. 2、注意圆的一般方程成立的条件.3、利用待定系数法求圆的方程.例 4、已知曲线 C : X 2+ y 2 + 2kx + (4k + 10)y + 10k + 20=0,其中 k= — 1. (1) 求证：曲线C 都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2) 证明：曲线C 过定点；⑶若曲线C 与x 轴相切，求k 的值.判断直线I 与圆C 位置关系的两种方法：-4F(1)当D 2 + E 2— 4F>0时，方程表示以 二 ：为圆心、；为半径的圆.此时方程就叫做圆的一般方程.⑵当D 2 + E 2— 4F=0时，方程表示一个点① 判断直线I 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线 I 与圆C 有公共点.有两组实数解时，直线I 与圆相交；有一组实数解时，直线I 与圆相切； 无实数解时，直线I 与圆C 相离.② 判断圆C 的圆心到直线I 的距离d 与圆的半径长r 的关系.如果d<r ，直线与 圆相交；如果d=r ,直线I 与圆相切；如果d>r ,直线I 与圆C 相离.(3)当D 2 + E 2— 4F<0时，方程不表示任何图形.即圆的一般方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0 (D 2+ E 2 —4F>0)设圆C 1的半径为R ,圆C 2的半径是r ,圆心距为d ,则①当d>R + r 时，两圆相离；②当d=R + r 时，两圆外切;定一个圆.点P (x , y, z)关于x 轴对称：点P i (x, - y, - z);点P (x ,y, z)关于y 轴对称：点P2 (- x, y, - z);点P (x ,y, z)关于z 轴对称：点P3 (- x, - y, z);点P (x , y, z)关于平面xOy对称：点P4 (x, y, - z);点P (x ,y , z)关于平面yOz对称：点P5 (- x , y , z);点P (x ,y , z)关于平面xOz对称：点P6 (x, —y , z);点P (x , y , z)关于原点成中心对称：点P7 (-x, —y, —z) 空间两点间的距离公式空间点厂〔一」「一、：上二-■间的距离是I祸I二Jg-勺尸十5 十（孔-习『。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆与方程教案例1：已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点 M （6，9），N （3，3），Q （5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
解：根据已知条件，圆心C （a ，b ）是P 1P 2的中点，那么它的坐标为：a ＝4＋62 ＝5，b ＝9＋32＝6 再根据两点的距离公式，得圆的半径是：r ＝︱CP 1︱＝（4－5）2 +（9－6）2 ＝10∴所求圆的方程是：（x －5）2 +（y －6）2 ＝10∵︱CM ︱＝10 ，︱CN ︱＝13 ＞10 ，︱CQ ︱＝3＜10∴点M 在圆上，点Q 在圆内，点N 在圆外.例2：圆x 2 + y 2 ＝4与圆（x －3）2 +（y －4）2 ＝16的位置关系。
解：∵圆心距＝5＜r 1＋r 2＝6∴两圆相交例3：求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x －4y －7=0相切的圆的方程.解：因为圆C 和直线3x －4y －7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式，得516)4(37341322=-+-⨯-⨯=r 因此，所求的圆的方程是.25256)3()1(22=-+-y x 说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径. 例4：过点A （3，1）和B （－1，3），且它的圆心在直线3x －y －2＝0上的圆的方程。
解：设圆的方程为 （x －a ）2 +（y －b ）2 ＝r 2则：（3－a ）2 +（1－b ）2 ＝r 2，（－1－a ）2 +（3－b ）2 ＝r 2，3a －b －2 ＝0 解法二：线段AB 的中点坐标是（1，2）则 k AB ＝3－1－1－3＝－12 所以，线段AB 的垂直平分线方程为：y －2＝2（x －1） 即：2x －y ＝0由⎩⎨⎧2x －y ＝03x －y －2＝0得圆心坐标为C （2，4）， 又r ＝︱AC ︱＝10∴圆的方程是：（x －2）2 +（y －4）2 ＝10例5：求半径为10，和直线4x ＋3y －70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
解：设圆心坐标为C （x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－10x 0－10 ·（－43 ）＝－1（x 0－10）2 +（y 0－10）2 ＝100解得：x 0＝2，y 0＝4或x 0＝18，y 0＝16∴所求圆的方程是：（x －2）2 +（y －4）2 ＝100或（x －18）2 +（y －16）2 ＝100例6：已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M （x 0， y 0）的切线的方程.解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k =－11k 00001,y x k x y k -=∴= . 经过点M 的切线方程是：)(0000x x y x y y --=- 整理得：202000y x y y x x +=+ 因为点M （x 0，,y 0）在圆上，所以22020r y x =+所求切线方程为：200r y y x x =+当点M 在坐标轴上时，上述方程同样适用.例7：求过点A （2，4）向圆x 2 + y 2 ＝4所引的切线方程。
解法一：设切线方程为 y －4＝k(x －2) 即 kx －y ＋4－2k ＝0由⎩⎨⎧kx －y ＋4－2k ＝0x 2 + y 2 ＝4 得： （k 2＋1）x 2＋4k （2－k ）x ＋4k 2－16k ＋12＝0由△＝0得：k ＝34又：当过点A 并且与y 轴平行的直线恰与圆相切∴所求切线方程为：x ＝2或3x －4y ＋10＝0解法二：设切线方程为 kx －y ＋4－2k ＝0则：︱4－2k ︱k 2＋1＝2 得：k ＝34 又：当过点A 并且与y 轴平行的直线恰与圆相切∴所求切线方程为：x ＝2或3x －4y ＋10＝0解法三：设切点为（x 0，y 0），则：x 0x ＋y 0y ＝4 ∴2x 0＋4y 0＝4又：x 02 + y 02＝4∴x 0＝2，y 0＝0 或x 0＝－65 ，y 0＝85得切线方程：x ＝2或3x －4y ＋10＝0例8：两直线分别绕A （2，0），B （－2，0）两点旋转，它们在y 轴上的截距b ，b ′的乘积bb ′＝4，求两直线交点的轨迹。
解：设M （x ，y ）为两直线l 1、l 2的交点则有l 1：x 2 ＋y b = 1，l 2：x －2 ＋y b ′= 1 得：b ＝2y 2－x ，b ′＝2y 2＋x∴bb ′＝2y 2－x ·2y 2＋x＝4 x 2 + y 2 ＝4（y ≠0）例9：已知一圆与y 轴相切，圆心在直线l ：x －3y = 0上，且被直线y ＝x 截得的弦AB 长为27 ，求圆的方程。
解：设圆心C （3a ，a ）∵圆与y 轴相切 ∴r ＝3︱a ︱又：︱CD ︱＝︱3a —a ︱2＝ 2 ︱a ︱ ︱BD ︱＝12 ︱AB ︱＝7 由勾股定理得：a ＝±1∴所求圆的方程为：（x ＋3）2 +（y ＋1）2 ＝9或（x －3）2 +（y －1）2 ＝9例10：求过三点O （0，0）、M 1（1，1）、M 2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为 022=++++F Ey Dx y x用待定系数法，根据所给条件来确定D 、E 、F 、因为O 、M 1、M 2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=068F E D 于是所求圆方程为：x 2+y 2－8x +6y =0化成标准方程为：（x －4）2+[y －(－3)]2=52所以圆半径r =5,圆心坐标为（4，－3）说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用圆的一般方程。
例11：已知一曲线是与两个定点O （0，0）、A （3，0）距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解：在给定的坐标系里，设点M （x,y ）是曲线上的任意一点，也就是点M 属于集合.}.21|||||{==AM OM M P 由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为21)3(2222=+-+y x y x ， ① 将①式两边平方，得41)3(2222=+-+y x y x 化简得x 2+y 2+2x －3=0 ②化为标准形式得：（x +1）2+y 2=4所以方程②表示的曲线是以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆。
说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。
例12：已知曲线C ：（1＋a ）x 2＋（1＋a ）y 2－4x ＋8ay ＝0，（1）当a 取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点；（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值。
解：（1）当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一直线；当a ≠－1时，（x －21＋a ）2 +（y ＋4a 1＋a ）2 ＝4＋16a 2(1＋a)2表示圆。
（2）方程变形为：x 2 + y 2－4x ＋a （x 2 + y 2 + 8y ）＝0∴C 过定点A （0，0），B （165 ，－85） （3）以AB 为直径的圆面积最小（为什么？）得圆的方程：（x －85 ）2 +（y ＋45 ）2 ＝165∴21＋a ＝85 ，4a 1＋a ＝45 ，4＋16a 2(1＋a)2 ＝165 解得：a ＝14例13：已知圆x 2 + y 2＝1，求过点P （a ，b ）的圆的切线方程。
解：（1）当P 在圆内，即a 2 + b 2＜1时，无切线方程；（2）当P 在圆上，即a 2 + b 2＝1时，方程为：ax ＋by ＝1；（3）当P 在圆外，即a 2 + b 2＞1时，设直线方程为 y －b ＝k （x －a ），即 kx －y －ka ＋b ＝0由d ＝︱k ·0—0－ka ＋b ︱k 2＋1＝1，得 （a 2－1）k 2－2abk ＋b 2－1＝0当a ≠±1时，k ＝a b ± a 2＋b 2-1a 2－1；当a ＝±1时，k ＝±b 2－12b∴当a ≠±1时，y －b ＝a b ± a 2＋b 2-1a 2－1(x －a) 当a ＝1时，y －b ＝b 2－12b(x －1)或x ＝1 当a ＝－1时，y －b ＝－b 2－12b(x ＋1)或x ＝－1 例14：已知圆方程为x 2 + y 2－4x －2y －20＝0，（1）斜率为－43的直线l 被圆所截线段长 为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A 和B ，使它们到直线l ：4x ＋3y ＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
解：（1）设所求方程为：y ＝－43x ＋b ，圆的方程可化为： （x －2）2＋（y －1）2＝25∴圆心C （2，1），半径r ＝5圆心到直线的距离为：d ＝︱4×2＋3×1－3b ︱5 ＝︱11－3b ︱5＝3 ∴ b ＝－43 或b ＝263所求直线方程为：y ＝－43 x －43 或y ＝－43 x ＋263即：4x ＋3y ＋4＝0或4x ＋3y －26＝0（2）解法一：设l ′∥l 且l ′与圆相切，则所述距离即为l ′与l 间的距离，切点即为所求点。
设l ′：4x ＋3y ＋m ＝0 则由：⎩⎨⎧4x ＋3y ＋m ＝0x 2 + y 2－4x －2y －20＝0得： 25x 2＋4（2m －3）x ＋m 2＋6m －180＝0△＝16（2m －3）2－100（m 2＋6m －180）＝0得：m ＝14或m ＝－36又：x ＝－4（2m －3）2×25 ＝2（3－2m ）25∴x ＝－2（m ＝14时）或x ＝6（m ＝－36时）得A （－2，－2），B （6，4）解法二：过圆心作与直线l 垂直的直线l ′与圆交于A 、B 两点即为所求。
∵k l ＝－43 ∴k l ′＝34∴l ′：y －1＝34（x －2） 即：3x －4y －2＝0 由 ⎩⎨⎧3x －4y －2＝0x 2 + y 2－4x －2y －20＝0解出x 、y 即为A 、B 坐标例15：自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2 + y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程。
解：圆的方程可化为 （x －2）2＋（y －2）2＝1所以圆心C （2，2），半径r ＝1设直线l 的斜率为k ，则l ：y －3＝k （x ＋3）且反射光线l ′的斜率为k ′＝－k ，又l 交x 轴于（－3k－3，0） 所以，反射光线方程为：y ＝－k （x ＋3k＋3） 即：k x ＋y ＋3＋3 k ＝0圆心到l ′的距离︱5 k ＋5︱k 2＋1＝1 得：k ＝－43 或k ＝－34所以，所求直线l 的方程为：y －3＝－43 （x ＋3）或 y －3＝－34（x ＋3） 即：4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0。