1.2.2 充要条件
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课件12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
当堂检测 1．“x＝3”是“x2＝9”的( ) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 【解析】 当 x＝3 时，x2＝9；但 x2＝9，有 x＝±3. ∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件． 【答案】A
2．设 p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当 x2＋3x－4＞0 时，不一定有 x＝2；但当 x＝2 时，必 有 x2＋3x－4＞0，故 p 是 q 的必要不充分条件． 【答案】B
②若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的必要不 充分条件． ③若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． ④若 A ⊈B，且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． (3)等价转化法 当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式 或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决． (4)传递法 充分条件与必要条件具有传递性，即由 p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则可 得 p1⇒pn，充要条件也有传递性．
变式训练 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0. 证明:假设 p：方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明 p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即 a＋b＋c＝0.
课堂小结 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题 中应用极为广泛． (2)集合法 从集合角度看，设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|满足条件 q}． ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不 必要条件．
1.2.2 充要条件
1 分析：一、借助数轴...，易 p 1， 2 q： x-a x- a+1 0 a x a+1，验...
1 二、二次根的分布...验...。答：a 0， . 2
例3：求关于x的方程ax 2 x 1 0
2
至少有一个负实根的充要条件.
" "的意思是：要使q成立，必须有p成立， 2 p是q的必要条件：必要 如果p不成立，则q必不成立，即p是q成立的前提；
三：从集合的角度理解充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1 A B, 则p是q的充分条件 2 A B, 则p是q的必要条件
的充要条件是-2<m<0.
对于不等式(组)的转化必须是等价的,否则求的就不是充要条
件.由“x1>2,x2>2⇒x1+x2>4,x1x2>4”,但反过来,“x1+x2>4, x1x2>4
0, 但没有保证两个根都大于2,所以 x x ＞4, 仅是方程的两根都 1 2 x x ＞4, 1 2
大于2的必要条件,而不是充分条件.
【点题】警误区，促提升
失分点1：解题时若忽略①处Δ≥0的条件，则会导致步骤不完 整而失分. 失分点2：对第一步的条件不等价转化导致结果不正确而失 分，如将②处的条件不等价转化为
0, x1 x 2＞4, x x ＞4, 1 2
则结果显然错误.
【悟题】提措施,导方向
1.等价转化的意识
x1>2,x2>2.”例如,取x1=1,x2=5有x1+x2>4,且x1x2>4,
课件5:1.2.2 充要条件
再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，
∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可 得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，
∴充分性成立．
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的 充要条件是4a＋2b＋c＝0.
题型三
即x1＋x2＞4，是 x1x2＞4
x1＞2，x2＞2
的必要不充分条件．
而（ （xx11－ －22） ）＋ （x（2－x2－ 2）2＞ ）0＞0，才是 x1＞2，x2＞2 的充要条件．
本节内容结束
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充要条件的探求
例 3 圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件是 ________．
解析：当圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 有一个公共点时，有 k|22＋| 1＝1，解得 k＝± 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充 要条件是－ 3＜k＜ 3.
答案：－ 3＜k＜ 3 规律方法：解决此类一般是从结论出发找出结论成立的必要条 件，再证明在这个条件下结论成立．证明过程中要能够运用命题所涉 及到的相关知识和方法．
►变式训练
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要 条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也 不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)·(y－2)＝0.
解析：(1)在△ABC中， 显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p， 但綈p⇏綈q，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为p：A＝{(1，2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}， 所以A⊆B，所以p是q的充分不必要条件．
122充分条件和必要条件教学设计-2024-2025学年高一上学期数学(2019)
③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
(2)下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？
①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
②p：A⊆B，q：A∩B=A；
③p：a>b，q：ac>bc.
反思感悟充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立.
(3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集；
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除.
解 (1)充要条件；(2)必要而不充分条件；(3)必要而不充分条件；(4)充分而不必要条件.
教师分析讲解，归纳方法。
学生完成教师点评。
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掌握充分条件、必要条件的判断方法。
掌握充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断方法。
教学过程
教 学 内 容
师生活动
设计意图
达标检测
评价反馈
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(B)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.“1<x<2”是“x≤2”的(A)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(A)
二、充要条件
问题3下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(2)下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？
①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
②p：A⊆B，q：A∩B=A；
③p：a>b，q：ac>bc.
反思感悟充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立.
(3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集；
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除.
解 (1)充要条件；(2)必要而不充分条件；(3)必要而不充分条件；(4)充分而不必要条件.
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掌握充分条件、必要条件的判断方法。
掌握充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断方法。
教学过程
教 学 内 容
师生活动
设计意图
达标检测
评价反馈
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(B)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.“1<x<2”是“x≤2”的(A)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(A)
二、充要条件
问题3下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
1.2.2充分条件与必要条件.充要条件
q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；充要条件 （6）p： xy＞0 ，q：x＞0,y＞0 ；必要不充分条件 （7）p： a＋c＞b＋c ，q：a＞b. 充要条件
例2. 已知 p , q 都是 r的必要条件，s 是 r的充分条件， q 是 s的充分条件，那么 （1）s是 q的什么条件？ （2）r是 q的什么条件？ （3）p是 q的什么条件？
方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合 M 与 N 的包含关系：条件类别来自集合 M 与 N 的关系
p 是 q 的充分不必要条件
MN
p 是 q 的必要不充分条件
MN
p 是 q 的充要条件
M＝N
p 是 q 的充分条件
是p的必要条件” .
（3）利用命题的传递关系判断：
“p q且 q r，则 p r”.
则p是r的充分条件，r是p的必要条件”.
引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，且若q则p为假命题,那么p 是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
0
(m
0)，
若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 .
解2：由
|
1p：xP31{|
2得 x | 2
2 x
x 10}
10
由 x2 2x 1 m2 0 (m 0) 得 1 m x 1 m (m 0)
q：Q {x | 1 m x 1 m , m 0}
∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，
即 p q 但 q p
即 p q且 q p
例2. 已知 p , q 都是 r的必要条件，s 是 r的充分条件， q 是 s的充分条件，那么 （1）s是 q的什么条件？ （2）r是 q的什么条件？ （3）p是 q的什么条件？
方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合 M 与 N 的包含关系：条件类别来自集合 M 与 N 的关系
p 是 q 的充分不必要条件
MN
p 是 q 的必要不充分条件
MN
p 是 q 的充要条件
M＝N
p 是 q 的充分条件
是p的必要条件” .
（3）利用命题的传递关系判断：
“p q且 q r，则 p r”.
则p是r的充分条件，r是p的必要条件”.
引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，且若q则p为假命题,那么p 是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
0
(m
0)，
若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 .
解2：由
|
1p：xP31{|
2得 x | 2
2 x
x 10}
10
由 x2 2x 1 m2 0 (m 0) 得 1 m x 1 m (m 0)
q：Q {x | 1 m x 1 m , m 0}
∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，
即 p q 但 q p
即 p q且 q p
1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件-湘教版(2019)高中数学同步课件
xy
y
1 x
(必要性)若 1 1 ,则 1 1 y x 0, x y x y xy
x y, y x 0,xy 0.
新知5 条件类型与集合的关系
已知P {x x满足条件p},Q {x x满足条件q}.
(1)如果P Q,那么p是q的 _____充__分_______ 条件； P Q
新知演练 充分与必要条件
▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[导练3]判断下列命题的真假，分析命题的条件和结论的关系。
①若x 2,则x2 4. (真命题) x 2 x2 4, x 2是x2 4的充分条件, x2 4是x 2的必要条件.
②若ab 0,则a 0. (假命题) 如: 3 0 0, 但3 0. 举反例是判断
新知2 充分条件与必要条件
命题真假 推理关系 条件关系
例子
“若p，则q”真
pq
p是q的充分条件 q是p的必要条件
若x=2，则 x2=4.(真)
“若p，则q”假
p / q
p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假)
p有充分的理由使q成立 (有p就有q)
q不成立则p必然不成立 （没q就没p）
则2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc, 即(a2 b2 ) (a2 c2 ) (b2 c2 ) 2ab 2ac 2bc, 即(a b)2 (a c)2 (b c)2 0,
a b b c a c 0,即a b c.ABC是等边三角形.
新知演练 充要条件的证明 q
_____ {a | a b}
新知巩固 条件类型与集合关系 m 1
4 [变式2]使"关于x的不等式x2 x m 0在R上恒成立"的一个充分
1.2.2 充要条件(第一课时)
∵p⇒q 而 q m p，∴A B，∴－ 3 ≤－1，
∴m≥3，即 m 的取值范围是[3，＋∞).
归纳
总结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示 p 等价于 q，要证 p⇒q，只需 证它的逆否命题¬q⇒¬p 即可；同理要证 p⇐q， 只需证¬q ⇐¬p 即可．所以 p⇔q，只需¬q⇔¬p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
归纳
总结
1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是 q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样， p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性 和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就 是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题 的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.
解 : 记A x | x m, B x | ( x 1)( x 2) 0,
即B x | x 1, 或x 2 由题意知A m 1.
B,
A A B mm B
1
2
3．如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题，而它的逆否
必要不充分 条件． 命题是假命题，则 A 是 B 的______________
Байду номын сангаас
所以有 Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.
反之，若 a<－1，
则 Δ<0，方程 x2－2x－a＝0 无实根，即函数没有零点．
概念
辨析
p是 q
的充分不必要条件
即 : p q, 且q p
∴m≥3，即 m 的取值范围是[3，＋∞).
归纳
总结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示 p 等价于 q，要证 p⇒q，只需 证它的逆否命题¬q⇒¬p 即可；同理要证 p⇐q， 只需证¬q ⇐¬p 即可．所以 p⇔q，只需¬q⇔¬p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
归纳
总结
1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是 q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样， p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性 和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就 是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题 的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.
解 : 记A x | x m, B x | ( x 1)( x 2) 0,
即B x | x 1, 或x 2 由题意知A m 1.
B,
A A B mm B
1
2
3．如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题，而它的逆否
必要不充分 条件． 命题是假命题，则 A 是 B 的______________
Байду номын сангаас
所以有 Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.
反之，若 a<－1，
则 Δ<0，方程 x2－2x－a＝0 无实根，即函数没有零点．
概念
辨析
p是 q
的充分不必要条件
即 : p q, 且q p
1.2.2充要条件
若原命题和 逆命题是假命题。
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
①
① A是B的充 分不必要条件
②
③
② A是B的必要不 ③ A是B充要条件 充分条件
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (xy>0; (3)p: a>b, q: a+c>b+c.
例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L 的距离为d.
1.2.2充要条件
复习：条件p与结论q的四种关系
p是q的充分 不必要条件
pq pq
若原命题是真命题, 逆命题是假命题
p是q的必要 不充分条件
p是q的 充要条件
pq
pq
若原命题是假命题, 逆命题是真命题
} pq
pq
p q 若原命题和逆命题
都是真命题
p是q的既不充分 也不必要条件
pq pq
求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明
充分性q p 和必要性p q 即可
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相 推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系
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练习1、 1、已知p,q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充分条件，则 充要条件 （1）s是q的什么条件？ 充要条件 （2）r是q的什么条件？ 必要条件 （3）P是q的什么条件？ 变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件， 充分不必要条件 那么D是A的________ 注、定义法（图形分析）
三、小结
定义1： 如果已知p 如果既有p 就记作 判别步骤： q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。 定义2： q，又有q p，p Nhomakorabeaq
则说p是q的充要条件。 q和q p的真假。
① 认清条件和结论。② 考察p
判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
指出下列命题中，p是q的什么条 件，q是p的什么条件。
（1）p：x>2，q：x>1； （2）p：x>1,q：x>2； （3）p：x>0 ,y>0，q：x+y<0； （4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.
判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察p 判别技巧： ① 可先简化命题。 q和q
判别充要条 件问题的
各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
问题、探讨下列生活中名言名句 的充要关系。
（1） 水滴石穿。
（2）有志者事竟成。 （3）春回大地，万物复苏。 （4）玉不琢，不成器。
以下命题 的逆命题成立吗？
（1）若a是无理数，则a+5是无理数； （2）若a>b,则a+c>b+c; （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两 个不等的实根，则判别式Δ>0．
复习 1、充分条件，必要条件的定义:
充分 若 p q，则p是q成立的＿＿＿＿条件 必要 q是p成立的＿＿＿＿条件
如 果 既 有 p q， 又 有 q p 就 记 做 p q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”)
p的真假。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 ④充要性包括：充分性p q和必要性q p两个方面。
巩固运用
1：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)． l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2 的什么条件？
巩固运用
2：设A=｛x｜-2≤x≤a｝， B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝， M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝. 求使M B的充要条件是什么?