1.2.2 充要条件
练习1、 1、已知p,q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充分条件，则 充要条件 （1）s是q的什么条件？ 充要条件 （2）r是q的什么条件？ 必要条件 （3）P是q的什么条件？ 变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件， 充分不必要条件 那么D是A的________ 注、定义法（图形分析）
三、小结
定义1： 如果已知p 如果既有p 就记作 判别步骤： q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。 定义2： q，又有q p，p Nhomakorabeaq
则说p是q的充要条件。 q和q p的真假。
① 认清条件和结论。② 考察p
判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
指出下列命题中，p是q的什么条 件，q是p的什么条件。
（1）p：x>2，q：x>1； （2）p：x>1,q：x>2； （3）p：x>0 ,y>0，q：x+y<0； （4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.
判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察p 判别技巧： ① 可先简化命题。 q和q
判别充要条 件问题的
各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
问题、探讨下列生活中名言名句 的充要关系。
（1） 水滴石穿。
（2）有志者事竟成。 （3）春回大地，万物复苏。 （4）玉不琢，不成器。
以下命题 的逆命题成立吗？
（1）若a是无理数，则a+5是无理数； （2）若a>b,则a+c>b+c; （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两 个不等的实根，则判别式Δ>0．
复习 1、充分条件，必要条件的定义:
充分 若 p q，则p是q成立的＿＿＿＿条件 必要 q是p成立的＿＿＿＿条件
如 果 既 有 p q， 又 有 q p 就 记 做 p q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”)
p的真假。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 ④充要性包括：充分性p q和必要性q p两个方面。
巩固运用
1：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)． l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2 的什么条件？
巩固运用
2：设A=｛x｜-2≤x≤a｝， B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝， M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝. 求使M B的充要条件是什么?
课件12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
当堂检测 1．“x＝3”是“x2＝9”的( ) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 【解析】 当 x＝3 时，x2＝9；但 x2＝9，有 x＝±3. ∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件． 【答案】A
2．设 p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当 x2＋3x－4＞0 时，不一定有 x＝2；但当 x＝2 时，必 有 x2＋3x－4＞0，故 p 是 q 的必要不充分条件． 【答案】B
②若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的必要不 充分条件． ③若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． ④若 A ⊈B，且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． (3)等价转化法 当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式 或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决． (4)传递法 充分条件与必要条件具有传递性，即由 p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则可 得 p1⇒pn，充要条件也有传递性．
变式训练 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0. 证明:假设 p：方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明 p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即 a＋b＋c＝0.
课堂小结 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题 中应用极为广泛． (2)集合法 从集合角度看，设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|满足条件 q}． ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不 必要条件．
1.2.2 充要条件
1 分析：一、借助数轴...，易 p 1， 2 q： x-a x- a+1 0 a x a+1，验...
1 二、二次根的分布...验...。答：a 0， . 2
例3：求关于x的方程ax 2 x 1 0
2
至少有一个负实根的充要条件.
" "的意思是：要使q成立，必须有p成立， 2 p是q的必要条件：必要 如果p不成立，则q必不成立，即p是q成立的前提；
三：从集合的角度理解充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1 A B, 则p是q的充分条件 2 A B, 则p是q的必要条件
的充要条件是-2<m<0.
对于不等式(组)的转化必须是等价的,否则求的就不是充要条
件.由“x1>2,x2>2⇒x1+x2>4,x1x2>4”,但反过来,“x1+x2>4, x1x2>4
0, 但没有保证两个根都大于2,所以 x x ＞4, 仅是方程的两根都 1 2 x x ＞4, 1 2
大于2的必要条件,而不是充分条件.
【点题】警误区，促提升
失分点1：解题时若忽略①处Δ≥0的条件，则会导致步骤不完 整而失分. 失分点2：对第一步的条件不等价转化导致结果不正确而失 分，如将②处的条件不等价转化为
0, x1 x 2＞4, x x ＞4, 1 2
则结果显然错误.
【悟题】提措施,导方向
1.等价转化的意识
x1>2,x2>2.”例如,取x1=1,x2=5有x1+x2>4,且x1x2>4,
课件5:1.2.2 充要条件
再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，
∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可 得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，
∴充分性成立．
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的 充要条件是4a＋2b＋c＝0.
题型三
即x1＋x2＞4，是 x1x2＞4
x1＞2，x2＞2
的必要不充分条件．
而（ （xx11－ －22） ）＋ （x（2－x2－ 2）2＞ ）0＞0，才是 x1＞2，x2＞2 的充要条件．
本节内容结束
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充要条件的探求
例 3 圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件是 ________．
解析：当圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 有一个公共点时，有 k|22＋| 1＝1，解得 k＝± 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充 要条件是－ 3＜k＜ 3.
答案：－ 3＜k＜ 3 规律方法：解决此类一般是从结论出发找出结论成立的必要条 件，再证明在这个条件下结论成立．证明过程中要能够运用命题所涉 及到的相关知识和方法．
►变式训练
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要 条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也 不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)·(y－2)＝0.
解析：(1)在△ABC中， 显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p， 但綈p⇏綈q，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为p：A＝{(1，2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}， 所以A⊆B，所以p是q的充分不必要条件．
122充分条件和必要条件教学设计-2024-2025学年高一上学期数学(2019)
(2)下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？
①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
②p：A⊆B，q：A∩B=A；
③p：a>b，q：ac>bc.
反思感悟充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立.
(3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集；
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除.
解 (1)充要条件；(2)必要而不充分条件；(3)必要而不充分条件；(4)充分而不必要条件.
教师分析讲解，归纳方法。
学生完成教师点评。
教师分析讲解，归纳方法。
学生完成教师点评。
掌握充分条件、必要条件的判断方法。
掌握充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断方法。
教学过程
教 学 内 容
师生活动
设计意图
达标检测
评价反馈
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(B)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.“1<x<2”是“x≤2”的(A)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(A)
二、充要条件
问题3下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
1.2.2充分条件与必要条件.充要条件
例2. 已知 p , q 都是 r的必要条件，s 是 r的充分条件， q 是 s的充分条件，那么 （1）s是 q的什么条件？ （2）r是 q的什么条件？ （3）p是 q的什么条件？
方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合 M 与 N 的包含关系：条件类别来自集合 M 与 N 的关系
p 是 q 的充分不必要条件
MN
p 是 q 的必要不充分条件
MN
p 是 q 的充要条件
M＝N
p 是 q 的充分条件
是p的必要条件” .
（3）利用命题的传递关系判断：
“p q且 q r，则 p r”.
则p是r的充分条件，r是p的必要条件”.
引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，且若q则p为假命题,那么p 是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
0
(m
0)，
若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 .
解2：由
|
1p：xP31{|
2得 x | 2
2 x
x 10}
10
由 x2 2x 1 m2 0 (m 0) 得 1 m x 1 m (m 0)
q：Q {x | 1 m x 1 m , m 0}
∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，
即 p q 但 q p
即 p q且 q p
1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件-湘教版(2019)高中数学同步课件
xy
y
1 x
(必要性)若 1 1 ,则 1 1 y x 0, x y x y xy
x y, y x 0,xy 0.
新知5 条件类型与集合的关系
已知P {x x满足条件p},Q {x x满足条件q}.
(1)如果P Q,那么p是q的 _____充__分_______ 条件； P Q
新知演练 充分与必要条件
▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[导练3]判断下列命题的真假，分析命题的条件和结论的关系。
①若x 2,则x2 4. (真命题) x 2 x2 4, x 2是x2 4的充分条件, x2 4是x 2的必要条件.
②若ab 0,则a 0. (假命题) 如: 3 0 0, 但3 0. 举反例是判断
新知2 充分条件与必要条件
命题真假 推理关系 条件关系
例子
“若p，则q”真
pq
p是q的充分条件 q是p的必要条件
若x=2，则 x2=4.(真)
“若p，则q”假
p / q
p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假)
p有充分的理由使q成立 (有p就有q)
q不成立则p必然不成立 （没q就没p）
则2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc, 即(a2 b2 ) (a2 c2 ) (b2 c2 ) 2ab 2ac 2bc, 即(a b)2 (a c)2 (b c)2 0,
a b b c a c 0,即a b c.ABC是等边三角形.
新知演练 充要条件的证明 q
_____ {a | a b}
新知巩固 条件类型与集合关系 m 1
4 [变式2]使"关于x的不等式x2 x m 0在R上恒成立"的一个充分
1.2.2 充要条件(第一课时)
∴m≥3，即 m 的取值范围是[3，＋∞).
归纳
总结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示 p 等价于 q，要证 p⇒q，只需 证它的逆否命题¬q⇒¬p 即可；同理要证 p⇐q， 只需证¬q ⇐¬p 即可．所以 p⇔q，只需¬q⇔¬p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
归纳
总结
1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是 q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样， p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性 和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就 是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题 的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.
解 : 记A x | x m, B x | ( x 1)( x 2) 0,
即B x | x 1, 或x 2 由题意知A m 1.
B,
A A B mm B
1
2
3．如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题，而它的逆否
必要不充分 条件． 命题是假命题，则 A 是 B 的______________
Байду номын сангаас
所以有 Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.
反之，若 a<－1，
则 Δ<0，方程 x2－2x－a＝0 无实根，即函数没有零点．
概念
辨析
p是 q
的充分不必要条件
即 : p q, 且q p
1.2.2充要条件
若原命题和 逆命题是假命题。
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
①
① A是B的充 分不必要条件
②
③
② A是B的必要不 ③ A是B充要条件 充分条件
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (xy>0; (3)p: a>b, q: a+c>b+c.
例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L 的距离为d.
1.2.2充要条件
复习：条件p与结论q的四种关系
p是q的充分 不必要条件
pq pq
若原命题是真命题, 逆命题是假命题
p是q的必要 不充分条件
p是q的 充要条件
pq
pq
若原命题是假命题, 逆命题是真命题
} pq
pq
p q 若原命题和逆命题
都是真命题
p是q的既不充分 也不必要条件
pq pq
求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明
充分性q p 和必要性p q 即可
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相 推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系
中职教育数学《充要条件》课件
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例1 判断下列命题中的条件p是否为结论q的充要条件. x=2, 那么x=4；
解 “如果 x=2, 那么 x²=4”是真命题, 其逆命题“如果 x²=4, 那么 x=2”是假命题, 因此“x=2”不是“x²=4”的充要条件.
是真命题, 其逆命题“如果 , 那么a>b”也是真命题, 所以“a>b”是“ ”的充要条件.
1.2 充要条件
练习
情境导入 探索新知 典型例题 ห้องสมุดไป่ตู้固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 下列命题中的条件p是结论q的什么条件.
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切.
解 （4）“如果α>β, 那么sinα>sinβ”是假命题, 其逆命题“如果 sinα>sinβ, 那么α>β”也是假命题, 所以“α>β”既不是“sinα>sinβ” 的充分条件, 也不是“sinα>sinβ”的必要条件, （简称“既不充分 也不必要条件”）.
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 下列命题中的条件p是结论q的什么条件？
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切. 解
1.2充分条件与必要条件 1.2.2充要条
1．2.2充要条件整体设计教材分析《充要条件》是高中数学教材中的重要内容，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考的热点．由于本节内容涉及对概念下定义和运用概念进行推理，因此需要全面的掌握概念；本节教材是在给出了充分条件，必要条件的概念的基础上，导出了充要条件的概念．由于这节课概念性、理论性较强，内容相对比较抽象，学生较难理解和掌握，所以一般的教学方式容易使学生感到枯燥乏味．为此，教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例导出概念，避免了空泛地讲数学概念、思想、方法．始终以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念、“下定义”，去体会概念的本质属性，同时结合问题激发学生的学习兴趣，引起学生探究的好奇心．课时划分1课时教学目标知识与技能(1)理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；(2)学会对命题进行充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断；(3)通过学习，使学生理解对条件的判定应该归结为判断命题的真假．过程与方法在观察、思考、解题过程中，培养学生思维的严密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和学生的求知欲，培养严谨的学习态度和积极进取的精神．重点难点教学重点：理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断；教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明．教学过程引入新课复习提问：1．什么叫做p是q的充分条件？什么叫做q是p必要条件？请说出“p q”的含义．2．指出下列各组命题中，p q 及q p是否成立：(1)p：内错角相等；q：两直线平行．(2)p：三角形三边相等；q：三角形三个角相等．活动设计：让学生稍作思考，以提问的形式回顾相关知识．学情预测：对问题1，通过上节课的学习学生能够顺利回答充分条件与必要条件的概念，但对符号“p q”的含义，学生可能回答不够严谨，教师给予补充完善．活动结果：(1)一般的，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p q，并且说p是q的充分条件；同时q是p的必要条件．“p q”的含义指由p通过推理可以得出q.(2)问题2中的两个命题都有p q及q p成立，即原命题和逆命题都是真命题．设计意图：引导学生从熟悉的知识出发，发现新问题、新知识．探究新知提出问题问题1：请同学们举出形如“若p，则q”形式的命题的例子，且原命题和逆命题都是真命题．活动设计：学生先口答，教师板书．学情预测：学生的回答可能不全是原命题和逆命题都是真命题的例子，教师要帮助学生加以甄别．问题2：对于命题“若p，则q”，具有p q及成立，即原命题和逆命题都是真命题．那么p是q的什么条件？q是p的什么条件呢？活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论，教师适时介入全班引导．活动结果：上述问题中，p q，p是q的充分条件，q是p的必要条件．另一方面，q是p的充分条件，p是q的必要条件．教师(板书)：充要条件的定义：一般的，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．设计意图：充要条件的概念与原命题和逆命题真假的判断，以及具有“若p，则q”形式的命题真假的判断是分不开的，因此充要条件的概念引入结合了具体命题真假的判断，以加深理解．理解新知1下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.思路分析：要判断p是否是q的充要条件，就要看p能否推出q，同时看q能否推出p，两者必须同时成立．解：在(1)(3)中，p q，所以(1)(3)中的p是q的充要条件．在(2)中，虽然有p q，但是q p，所以(2)中的p不是q的充要条件．点评：充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“若q，则p”都是真命题，那么p 就是q的充要条件，否则不是．说明：(1)符号“”叫做等价符号．“p q”表示“p q且q p”；也表示“p 等价于q”．(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”“仅当”表示“必要”．巩固练习对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是…()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B提出问题：在“若p，则q”形式的命题中，有的p是q的充分条件，有的p既是q的充分条件又是必要条件，能否对存在的各种情况作分类？对存在的各种情况结合下面的思考题加以说明．思考：下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：x是6的倍数，q：x是2的倍数；(2)p：x是2的倍数，q：x是6的倍数；(3)p：x是2的倍数，也是3的倍数，q：x是6的倍数；(4)p：x是4的倍数，q：x是6的倍数．活动设计：学生随着教师的引导，思考问题、回答问题、合理地对数学命题进行分类．学情预测：学生积极思考，结合思考题进行分类，但分类标准不唯一，可能出现多种分类方法，此时教师结合思考题积极引导．活动结果：分析总结得到四种情况(1)p是q的充要条件；(即p q)(2)p是q的充分但不必要条件；(即p q且q p)(3)p是q的必要但不充分条件；(即p q且q p)(4)p是q的既不充分也不必要条件．(即p q且q p)设计意图：通过以上这些问题的讨论，可以进一步加深对充分条件、必要条件、充要条件的理解．运用新知2已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．思路分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性()和必要性()即可．证明：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d.(1)充分性()：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切．(2)必要性()：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此d＝OP＝r.点评：(1)证明充要条件时，既要证明原命题成立，又要证明逆命题成立．(2)证明原命题成立，即证明命题条件的充分性；证明原命题的逆命题成立，即证明命题条件的必要性．(3)证明充要条件时，首先要明确命题的条件和结论分别是什么，即命题的要求是什么．变练演编3判断下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)p ：x>5；q ：x>－1； (2)p ：x>－1；q ：x>5；(3)p ：(x －2)(x －3)＝0；q ：x －2＝0； (4)p ：x ＝±1；q ：x 2－1＝0.思路分析：根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一进行判断． 解：(1)p 是q 的充分但不必要条件； (2)p 是q 的必要但不充分条件； (3)p 是q 的必要但不充分条件； (4)p 是q 的充要条件． 点评：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推出结论，从结论推出条件(方法有：直接证法或间接证法)； (3)确定条件是结论的什么条件；(4)充要性包含：充分性p q ，必要性q p ，这两个方面缺一不可． 提出问题：思考下列问题：(1)将例3的第(3)题 p ：(x －2)(x －3)＝0；q ：x －2＝0中的所有“＝“换成“＞”，会有怎样的结果？(2)同上，如若换成“≠”会有怎样的结果？活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发现的结果一一列举，熟练充要条件的判断方法．活动结果：(1)p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)p 是q 的充分但不必要条件． 达标检测1．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点．②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f(x)是偶函数．③p ：cosα＝cosβ；q ：tanα＝tanβ.④p ：A ∩B ＝A ；q ：U BU A.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．有限集合S 中元素的个数记做card(S)，设A ，B 都为有限集合，给出下列命题： ①A ∩B ＝的充要条件是card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)； ②的必要不充分条件是card(A)≤card(B)； ③的充分不必要条件是card(A)≤card(B)； ④A ＝B 的充要条件是card(A)＝card(B)． 其中真命题的序号是( )A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③ 答案：1.A 2.D 3.B课堂小结1．知识收获：(1)充要条件的定义：若p q 且q p ，则p 是q 的充要条件．(2)判断p 是q 的什么条件，不仅要考查p q 是否成立 ，还要考查q p 是否成立． 2．方法收获：(1)判断p q 是否成立， 方法1：判断若p 则q 形式命题的真假．方法2：若p 则q 形式命题真假难判断时，判断其逆否命题的真假． 方法3：集合的观点．(2)证明充要条件，需证明充分性(p q)和必要性(q p)．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业课本习题1.2 A 组 3(2)(4)，4 补充练习 基础练习1．设M ，N 是两个集合，则“M ∪N ≠”是“M ∩N ≠”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．设p ，q 是两个命题，p ：log 12(|x|－3)＞9，q ：x 2－56x ＋16＞0，则p 是q 的…( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合M ＝{x|0＜x ≤3}，N ＝{x|0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：1.B 2.A 3.A 4.B 拓展练习5．设p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，问(1)s 是r 的什么条件？(2)p 是q 的什么条件？答案：(1)s 是r 的充要条件；(2)p 是q 的必要条件． 设计说明 设计思想由于这节课概念性、理论性较强，因此要多借助学生熟悉的实例去帮助学生理解概念；另外本节用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要在用的过程中，逐步提高学生对数学语言、符号语言的转换能力．设计意图用类比的方法，将有些概念进行类比，以便更好地理解和运用；同时还要用联系的观点去认识相关知识，用集合的观点去理解相关概念，以此提高学生分析问题和解决问题的能力．设计特点引导学生从前面学习的“充分条件”和“必要条件” 出发，对新知有所认识．结合学生熟知的原命题与逆命题真假的判断归纳出新知识的特点，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一思想，培养良好的思维品质．备课资料备选例题1．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1和点A(3,0)，B(0,3)．求证：抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点的充要条件是3＜m ≤103.思路分析：要证p 是q 的充要条件，只需要分别证明充分性()和必要性()即可．解：(1)必要性：由已知得，线段AB 的方程为y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)． 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋mx －1，y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)(*)有两个不同的实数解．消元得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)．设f(x)＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－4×4＞0，f (0)＝4≥0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，0＜m ＋12＜3，解得3＜m ≤103. (2)充分性： 当3＜m ≤103时，x 1＝m ＋1－(m ＋1)2－162＞m ＋1－(m ＋1)22＝0，所以x 1＞0.x 2＝m ＋1＋(m ＋1)2－162≤103＋1＋(103＋1)2－162＝3，所以x 2≤3.所以方程x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个不等的实根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2≤3，方程组(*)有两组不同的实数解．因此，抛物线y ＝－x 2＋mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤103. 点评：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样一个式子成立，即当3＜m ≤103时，证明抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点；必要性是证明怎样一个式子成立，即当抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点时，证明：m 的取值范围是3＜m ≤103.2．已知p ：|1－x －12|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．思路分析：p 是q 的必要而不充分条件，即p 是q 的充分而不必要条件，从集合的角度可知集合P 是集合Q 的真子集．解： (法一)：∵p 是q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件． ∴p 是q 的充分而不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)， ∴q ：Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．又由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10. ∴p ：P ＝{x|－2≤x ≤10}．又∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.(法二)：由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m.∴q ：A ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0} 由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10.∴p ：B ＝{x|x ＞10或x ＜－2}． ∵p 是q 的必要而不充分条件，∴A B⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.点评：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑．(设计者：赵海彬)。