初二数学三角形全等练习题
初二数学上册：三角形全等判定大题专练
初二数学上册：三角形全等判定大题专练SAS（边角边）【例一】如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M 在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？解：证明：∵AB平行CD（已知）∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴BM＝CM（中点定义）在△BME和△CMF中BE＝CF，∠B＝∠C，BM＝CM∴△BME≌△CMF（SAS）∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）∴E，M，F在同一直线上【例二】已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。
求证：∠ABE=∠ACD解：∵AB=AC，D、E分别为AB、AC中点∴AD=AE∴在△ADC与△AEB中∴∠ABE=∠ACD，∠A=∠A，AC=AB∴△ADC≌△AEB（SAS）∴∠ABE=∠ACDAAS（角角边）【例一】如图，四边形ABC D中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∠1=∠D，∠3=∠5，BC=CE∴△ABC≌△DEC（AAS）．【例二】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．解：证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS）ASA（角边角）【例一】已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。
初二数学全等练习题
初二数学全等练习题题1：两直角三角形已知∆ABC和∆DEF是直角三角形，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠FED，AC=DF。
判断两个三角形是否全等，并给出理由。
解析：首先，根据已知条件，可以确定∆ABC和∆DEF的三个对应角分别相等。
那么只需要证明∆ABC和∆DEF的三个对应边也相等，即可判断两个三角形全等。
1) 因为∠BAC=∠EDF，并且∠ABC=∠FED，根据角度对应定理可得∠ACB=∠DFE。
2) 又已知AC=DF，所以根据斜边相等定理可得边CB=边FE。
3) 最后，根据∠ACB=∠DFE和边CB=边FE，根据角边边三个条件全等定理可得∆ABC≌∆DEF。
综上所述，根据已知条件及证明过程，可以判断∆ABC和∆DEF是全等的。
题2：等腰三角形已知∆ABC是等腰三角形，AB=AC。
点D是边BC的中点，连结AD。
证明∆ABD≌∆ACD。
解析：根据已知条件，∆ABC是等腰三角形，即AB=AC。
要证明∆ABD≌∆ACD，首先需要证明∆ABD和∆ACD的三个对应边和角相等。
1) 因为AB=AC，已知∆ABC是等腰三角形。
同时，根据边BC的中点D，可以得出BD=CD。
2) 从点D分别连结AD，可以得到∠ABD和∠ACD是公共角。
3) 根据边BD=CD和∠ABD=∠ACD，可以得到∆ABD≌∆ACD。
综上所述，根据已知条件及证明过程，可以判断∆ABD和∆ACD是全等的。
题3：直角三角形已知直角三角形ABC，∠B=90°，BD是∠B的平分线，E是边AC上的一点，且∠DCE=90°。
要证明∆DEB≌∆ACB。
解析：首先，∆ABC是直角三角形，∠B=90°。
要证明∆DEB≌∆ACB，需要证明∆DEB和∆ACB的三个对应边和角相等。
1) 根据直角三角形的性质，∠DCE=90°，所以∆DCE是直角三角形。
2) 因为∠B=∠DCE=90°，所以∆BCD和∆ABC相似，并且根据直角三角形的性质，CD=AC=BC。
初二数学全等三角形测试题
初二数学全等三角形测试题一、填空1、 (1)如右图，已知AB=DE，∠B=∠E，若要使△AB C≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________；(2) 如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△AB C≌△ABD，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件还可以是_____________，理由是：_____________；2．如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°，∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。
3。
4_____________；AOC≌ΔBOC。
6．如图9，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌，且DF= 。
ABCDABCDEF7．如图10，在ΔABC 与ΔDEF 中，如果AB=DE ，BE=CF ，只要加上∠ =∠ 或 ∥ ，就可证明ΔABC ≌ΔDEF 。
8、已知如图，∠B=∠DEF ，AB=DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“ASA ”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS ”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS ”为依据，还缺条件 .9．如图12，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于D ，若AB ＝10，则△BDE 的周长等于＿＿＿＿.10、如图13，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点C A 、到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .图13二、选择题1．下列命题中正确的是（ ）①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。
初二数学第一章全等三角形证明经典例题(含答案)
初二数学全等三角形证明经典例题1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD第1题图 第2题图 第3题图2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC第4题图 第5题图 第6题图4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C第7题图 第8题图 第9题图8、 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C第10题图 第11题图 第12题图10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BEF A E D C B PD A CB C D B AD B C B A C D F 2 1E ABC D E F 21 AD B CA B C D A12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC第13题图 第14题图 第15题图 第16题图13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．第17题图 第18题图 第19题图 第20题图18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
初二数学关于全等的练习题
初二数学关于全等的练习题题目一：已知△ABC，AB=AC，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若DE=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AB=AC，则△ABC为等腰三角形。
同时，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
2. 由△AED≌△CFD可知，DE=3cm，EF=4cm，则CF=2EF=8cm。
题目二：已知△ABC，AC=BC，ED⊥AC，ED=EB，EF⊥ED，F是EF的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若AD=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AC=BC，则△ABC为等腰三角形。
同时，ED⊥AC，EB=ED，EF⊥ED，F是EF的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
题目三：已知△ABC，AB=AC，ED⊥AC，ED=EB，EF⊥ED，F是EF的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若DE=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AB=AC，则△ABC为等腰三角形。
同时，ED⊥AC，EB=ED，EF⊥ED，F是EF的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
2. 由△AED≌△CFD可知，DE=3cm，EF=4cm，则CF=2EF=8cm。
题目四：已知△ABC，AB=BC，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若DE=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AB=BC，则△ABC为等腰三角形。
同时，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
题目五：已知△ABC，AC=BC，ED⊥AC，ED=EB，EF⊥ED，F是EF的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若AD=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
初二数学全等三角形试题
初二数学全等三角形试题1.如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（）A．30°B．50°C．60°D．100°【答案】D【解析】本题考查的是全等三角形的性质根据全等三角形的对应角相等及三角形内角和即得结果。
由图可得∠∠∠，△ABC≌△DEF，∠∠，故选D。
2.如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】D【解析】本题考查的是全等三角形的性质根据全等三角形的性质得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，根据邻补角定义求出∠DEC、∠EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-90°-60°=30°．故选D．3.已知△ABC≌△A´B´C´，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A´C´等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】本题考查的是全等三角形的性质根据全等三角形的对应边相等求解即可．△ABC≌△A′B′C′，且△ABC的周长为20，∴，故选C．4.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A．∠1＝∠2B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．AC＝BC【答案】D【解析】本题主要考查了全等三角形性质由△ABC≌△CDA，并且AB=CD，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB=CD∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角∴∠1=∠2，∠D=∠B∴AC和CA是对应边，而不是BC∴A、B、C正确，错误的结论是D、AC=BC．故选D．5.如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）A．△ADC B．△BDC’C．△ADC´D．不存在【答案】B【解析】本题考查的是全等三角形的性质由AD是△ABC的中线可得，根据△ADC沿AD对折且∠，可知，∠的度数，即可求得结果。
八年级全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2AD BC证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGB ACDF21E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
初二数学全等三角形经典题型
专题训练：全等三角形专题一全等三角形的性质及应用1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明,若不相等说出为什么?解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°，∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.专题二全等三角形的探究题3.全等三角形又叫合同三角形， 平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．C 1B 1A 1C B AC 1B 1A 1CB A (1)(2)BA E 21FC D O两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）．DC B A 4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．（1）试说明BD =DE +CE ；（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°.（1）△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;（2）直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？AB C DE【知识要点】1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.【温馨提示】1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.【方法技巧】1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.参考答案：1.解：∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E(全等三角形对应角相等),又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°(三角形内角和定理),∠AOF=∠BOE(对顶角相等),∴∠1=∠2(等式的性质).2.解:因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.3.B提示:A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B 中的三角形是镜面合同三角形．4.解:（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD ∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.5.解:（1）由题知可得：△ABC≌△DBE,AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角;（2）延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD ＝90°.∴AC与DE是垂直的位置关系.。
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初二数学三角形全等练习题全等三角形是初中数学中重要的概念之一，也是各种几何证明的关键。
通过练习全等三角形的题目，我们可以加深对全等概念的理解，提升解题技巧。
本文将提供一些初二级别的三角形全等练习题，帮助同学们巩固和提高对该知识点的掌握。
练习题一：
已知△ABC和△DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，以及BC=EF。
根据所给条件，回答以下问题：
1. 你能得出什么结论？
2. 在所给条件下，是否可以得出∠C=∠F的结论？为什么？
练习题二：
在△ABC中，∠C=90°，以及AC=BC。
根据所给条件，回答以下问题：
1. 你能得到什么关于△ABC的全等条件？
2. 如何证明△ABC与△BCA全等？
3. 利用△ABC与△BCA全等的结论，求证AD=BD，其中D为BC 边上的动点。
练习题三：
在△PQR中，∠P=∠Q，PR=QR，以及∠R=60°。
在△XYZ中，∠X=∠Y，XZ=YZ，以及∠Z=60°。
根据所给条件，回答以下问题：
1. 你能得出什么结论？
2. 如何证明△PQR与△XYZ全等？
3. 假设PR=8 cm，求解YZ的长度。
练习题四：
在△ABC中，∠A=∠C，AB=CB。
在△XYZ中，∠X=∠Z，
XZ=YZ。
根据所给条件，回答以下问题：
1. 你能得出什么结论？
2. 如果∠B=90°，如何证明△ABC与△XYZ全等？
3. 如果SY=4 cm，如何求解BY的长度？
练习题五：
在△ABC中，∠A=∠C，AB=CB。
在△DEF中，∠D=∠F，DE=2 CF。
根据所给条件，回答以下问题：
1. 你能得出什么结论？
2. 如何证明△ABC与△DEF全等？
3. 假设AB=6 cm，求解DE的长度。
练习题六：
在△ABC和△DEF中，有∠B=∠E，BF=3 cm，以及BC=2 DE。
根据所给条件，回答以下问题：
1. 你能得出什么结论？
2. 如何证明△ABC与△DEF全等？
3. 如果AC=10 cm，求解DF的长度。
通过解答以上练习题，同学们可以进一步熟悉三角形全等的概念和应用，提升对几何证明的理解和技巧。
希望本文的内容对同学们的数学学习有所帮助。
祝大家学业进步！。