高等数学-第八章空间解析几何ppt.
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
高等数学同济版第8章：第1课 Newest
OA= OA OA = 6( 1 , 2
o
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
作业 P13：13, 18
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
r r 当a ≠ 0 时 ,
bx by bz = = ax ay az
bx = λ ax by = λ ay bz = λ az
r r r ② 3 x −2 y = b r r 其 a = 2，2 , b = −1，− 2 . 中 （ 1， ） （ 1， ）
及实数 λ ≠ −1,
AM = λ MB AM = OM − OA MB = OB − OM
OM − OA = λ (OB− OM )
得 即
A
M B
o
A
B M
1 ( OA + λ OB ) OM = 1+λ 1 (x + λx , y + λy , z + λz ) 2 1 2 1 2 1+λ 1
说明: 说明 由
r r的夹角. a,b
z
r γ r β o α x
y
x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 y y cos β = r = r x2 + y2 + z2 z z cos γ = r = r x2 + y2 + z2
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
例7. 已知两点
2
2
2
解得 思考: 思考
故所求点为 M(0, 0, 14 ) .
9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
高数下 第八章空间解析几何.PDF
平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数ppt精选课件
对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
.
2. 方向角与方向余弦
ijk, ij jk k i 0 ,
|i| |j| |k | 1 ,
ii jj k k 1 .
a
b
a x bx
ayby
azbz
.
a b |a |b ||co scos|a a||bb|,
由此得两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az 2 bx2 by2 bz2
(2)a b 0 ab 证 () a b 0,|a|0, |b|0,
co s0, , a b .
() a a b b ,|a |b ||c 2 , 2o 0 c .o s s0,
.
2、数量积符合下列运算规律： (1) 交换律： a b b a (2) 分配律： ( a b ) c a c b c
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0
|
c c|
2
j
5
15k.
.
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
.
第三节 平面及其方程
.
一、平面的点法式方程
对支点O
的力矩是一向量
M
，它的模
F
|M | |O|F |Q |
O
P
L
|O|F |P |s in
Q
M
的方向垂直于OP
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节 空间直角坐标系空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-2空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为yxz OyxzA B C (,,)M x y zg212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -． 4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ； (2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点．8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离． 9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB u u u r来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c r r rL 来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB u u u r，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ．平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.向量的线性运算向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB u u u r 、AD u u u r 分别表示a 与b ，然后以AB u u u r 、ADu u u r 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC u u u r称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．abAD abc =a +b图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1) a +b =b +a (交换律)．(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3) 0a +=a ．向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA u u u r ，OB u u u r分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-u u u r u u u r u u u r u u u ra b =OA BO BA =+=u u u r u u u r u u u r ．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-8数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa，方向：当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ．abcda +b +c +daabb-a b BAC(2) ()+λμλμ+a =a a ．(3)()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与❒a 同方向的单位向量叫做❒a 的单位向量，记做ae ，即aa e a ρρρ=.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA u u u u r ,a AD =u u u r b AB =u u u r c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C u u u u r u u u u raC'B'A'D'DC图8-9解 ''AC AB BC CC =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 'AB BC AA =++u u u r u u u r u u u r a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有, 定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .向量的坐标表示向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB u u u r的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段uuuu r A B ''的值A B ''叫做向量AB u u u r 在轴u 上的投影，记作u u u ru prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当uuuu rA B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''u u u u r 与轴u 反向时，投影取负号．注 (1) 向量在轴上投影是标量．设MN u u u u r为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN u u u u r在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．事实上，设MN u u u u ra =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r a =．由于MA u u u r 与i 平行，MB u u u r与j 平行，MC u u u u r 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =u u u r i ，MB y =u u u rj ，MC z =u u u u r k ，yxzOA B CM即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN u u u u r 及NM u u u u r的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN u u u u r 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM u u u u r的坐标为{5, 4, 4}-．例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB u u u r上的点M 将它分为两条有向线段AM u u u u r 和MB u u u r ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14解 如图8-14，因为AM u u u u r 与MB u u u r 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅u u u u r u u u r，而122{,,}AM x x y y z z =---u u u u r， 222{,,}MB x x y y z z =---u u u r222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---u u u r所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=-解得xy zO MNCBAPi jkRPQM 1M 2xyzγβα121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当1 点M 的有向线段→AB 的中点其坐标为221x x x +=221y y y +=221z z z +=向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量12a M M =u u u u u ur r 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量❒a的方向角.图8-15因为向量❒a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅u u u u u u r r12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅u u u u u u r r(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅u u u u u u r r公式中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量❒a 的方向余弦.而{,,}{cos }x y z a a a a a γ==⋅v vcos ,cos ,cos }a a e αβγ=⋅r u u r{cos ,cos ,a e αβ=u u r 同方向的单位向量.而❒a =M M 12u u u u u u r()M R +21，,x M P a M Q ==11故向量a r 的模为从而向量a r222222222cos x z x y zxyzxyza a a aa a aa a aαβγ===++++++ (8-2-4)并且 222coscos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M u u u u u u r的模、方向余弦和方向角.解 12(12,32,0(1,1,M M =--=-u u u u u u r2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 222αβγ=-==-；23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB u u u r同方向的单位向量e r .解 因为{74,10,35}{3,1,2},u u u rAB =---=-所以 AB ==u u u r于是e =r向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量ABu u u r的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅u u u r．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知： (1) 2⋅a a =a ，因此=a ．(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ． (3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ．(4) 0⋅≥a a 当且仅当0a=时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ．解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ．解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k 121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =． (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则==a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=(8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形． 证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-u u u r ，={3, 1, 1}AC ---u u u r，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=u u u r u u u r，所以AB AC ⊥u u u r u u u r ．即ABC ∆是直角三角形．向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA u u u r的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =u u u r u u u rM F ,F ．M 的方向与OA u u u r 及F 都垂直，且OA u u u r，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-16 向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17 (3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质： 对任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ．(2) 分配律: ()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ．FMθ解 ⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k 121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解21111212101212021----⨯--=-ij k a b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而32111⨯--ij kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-． 再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB u u u r 、AC u u u r为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯u u u r u u u r ，由于{3, 3, 4}AB =--u u u r ，{2, 1, 1}AC =--u u u r，因此33453211AB AC ⨯=--=++--u u u r u u u ri j ki j k ，所以AB AC ⨯==u u u r u u u r故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c r r r，如果先作前两个向量a r 与b r 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c r 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c r r r的混合积，记做()a b c ⨯⋅r r r 或abc ⎡⎤⎣⎦r r r . 说明：三个不共面向量,,a b c r r r 的混合积的绝对值等于以,,a b c r r r为棱的平行六面体的体积V .定理 如果111a X i Y j Z k =++r r r r ，222b X i Y j Z k =++r r r r ，333c X i Y j Z k =++r r r r， 那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦r r r 习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c r r r为单位向量,且满足0a b c ++=r r r r ,求.a b b c c a ++r r r r r r gg g 6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322ab c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==u u u r求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ； (2) 25⋅a b ； (3) a ； (4) cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算（1）g g ()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯g .13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值． 14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥u u u u u u rn ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅u u u u u u rn ,而0000{, , }M M x x y y z z =---u u u u u u r，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程．解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12u u u u u u r M M 与13u u u u u u r M M ．因此可取12u u u u u u r M M 与13u u u u u u rM M 的向量积1213u u u u u u r u u u u u u rM M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即 1213n =u u u u u u r u u u u u u r M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}u u u u u u r M M =--，13{2, 3, 1}u u u u u u rM M =--，因此1213-631i jkn =u u u u u u r u u u u u u rM M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ， 化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
高等数学第八章空间解析几何
任一点， 那么向量 M 0M 与L的方向向量 平s行.
所以,
两向量的 对应坐标成比例, 由于
M0M
(xx 0，yy 0，zz 0)，
s(m，n，p)，
从而有
此方程组就是直线 L 的方程，叫做直线的对称式方程或 点向式方程．
第六页，共30页。
z
s
M
M0
O
y
x
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直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量
第二页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程 空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． z
s
O
y
x
第三页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量．
x2t，y3t，z42t，
代入平面方程中，得
2(2t)(3t)(42t)60．
2x y z 6 0
解上列方程，得t1．
将 t 1 代 入 直 线 的 参 数 方 程 ， 得 所 求 交 点的坐标为
x1，y2，z2．
第二十一页，共30页。
例6 求过点P(2，1，3)且与直线
垂直相交的直线的方程．
二、如何将直线的一般方程化为对称式方程？ 三、两直线的位置关系 四、直线与平面的位置关系
五、关于平面束方程的概念
第二十九页，共30页。
谢 谢！
第三十页，共30页。
即
(1l)x(1l)y(1l)z(1l)0，
其中l为待定的常数．这平面与平面xyz0垂直的条件是
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何得基本思想就是用代数得方法来研究几何得问题,为了把代数运算引入几何中来,最根本得做法就就是设法把空间得几何结构有系统得代数化,数量化、 平面解析几何使一元函数微积分有了直观得几何意义,所以为了更好得学习多元函数微积分,空间解析几何得知识就有着非常重要得地位、本章首先给出空间直角坐标系,然后介绍向量得基础知识,以向量为工具讨论空间得平面与直线,最后介绍空间曲面与空间曲线得部分内容、第1节 空间直角坐标系1、1 空间直角坐标系用代数得方法来研究几何得问题,我们需要建立空间得点与有序数组之间得联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现、1、1、1 空间直角坐标系过定点,作三条互相垂直得数轴,这三条数轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),它们都以为原点且具有相同得长度单位、 通常把x 轴与y 轴配置在水平面上,而z 轴则就是铅垂线;它们得正方向要符合右手规则:右手握住轴,当右手得四指从x 轴得正向转过角度指向y 轴正向时,大拇指得指向就就是z 轴得正向,这样就建立了一个空间直角坐标系(图81),称为直角坐标系,点叫做坐标原点、图81在直角坐标系下,数轴Ox ,,Oz 统称为坐标轴,三条坐标轴中每两条可以确定一个平面,称为坐标面,分别为,,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限(图82),分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示、图821、1、2 空间点得直角坐标设为空间中得任一点,过点分别作垂直于三个坐标轴得三个平面,与轴、轴与轴依次交于、、三点,若这三点在轴、轴、轴上得坐标分别为,,,于就是点就唯一确定了一个有序数组,则称该数组为点在空间直角坐标系中得坐标,如图83.,,分别称为点得横坐标、纵坐标与竖坐标.图83反之,若任意给定一个有序数组,在轴、轴、轴上分别取坐标为,,得三个点、、,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴得平面,这三个平面只有一个交点,该点就就是以有序数组为坐标得点,因此空间中得点就与有序数组之间建立了一一对应得关系.注:、、这三点正好就是过点作三个坐标轴得垂线得垂足.1、2 空间中两点之间得距离设两点,,则与之间得距离为(811) 事实上,过点与作垂直于平面得直线,分别交平面于点与,则∥,显然,点得坐标为,点得坐标为(如图84).图84由平面解析几何得两点间距离公式知,与得距离为:.过点作平行于平面得平面,交直线于,则∥,因此得坐标为,且,在直角三角形中,,所以点与间得距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=.例1 设与为空间两点,求与两点间得距离. 解 由公式(811)可得,与两点间得距离为.例2 在轴上求与点与等距得点.解 由于所求得点在轴上,因而点得坐标可设为,又由于,由公式(811),得.从而解得,即所求得点为.习题811.讨论空间直角坐标系得八个卦限中得点得坐标得符号.2.在坐标轴上得点与在坐标平面上得点得坐标各有何特点？3.在空间直角坐标系中,画出下列各点: ;;;.4.求点关于各坐标平面对称得点得坐标.5.求点关于各坐标轴对称得点得坐标.6.求下列各对点间得距离: (1) 与; (2) 与.7.在坐标平面上求与三点、与等距得点.8.求点与原点、各坐标平面与各坐标轴得距离.9、 证明以为顶点得三角形△ABC 就是一等腰三角形、第2节 空间向量得代数运算2、1 空间向量得概念在日常生活中,我们经常会遇到一些量,如质量、时间、面积、温度等,它们在取定一个度量单位后,就可以用一个数来表示.这种只有大小没有方向得量,叫做数量(或标量).但有一些量,如力、位移、速度、电场强度等,仅仅用一个实数就是无法将它们确切表示出来,因为它们不仅有大小,而且还有方向,这种既有大小又有方向得量,叫做向量(或矢量).在数学上,我们用有向线段来表示向量,称为向量得起点,称为向量得终点,有向线段得长度就表示向量得大小,有向线段得方向就表示向量得方向.通常在印刷时用黑体小写字母,,,…来表示向量,手写时用带箭头得小写字母来记向量、向量得长度称为向量得模,记作或,模为得向量叫做单位向量,模为得向量叫做零向量,记作0,规定:零向量得方向可以就是任意得.本章我们讨论得就是自由向量,即只考虑向量得大小与方向,而不考虑向量得起点,因此,我们把大小相等,方向相同得向量叫做相等向量,记作、规定:所有得零向量都相等、与向量大小相等,方向相反得向量叫做得负向量(或反向量),记作. 平行于同一直线得一组向量称为平行向量(或共线向量).平行于同一平面得一组向量,叫做共面向量,零向量与任何共面得向量组共面、 2、2 向量得线性运算 2、2、1 向量得加法我们在物理学中知道力与位移都就是向量,求两个力得合力用得就是平行四边形法则,我们可以类似地定义两个向量得加法.定义1 对向量,,从同一起点作有向线段、分别表示与,然后以、为邻边作平行四边形,则我们把从起点到顶点得向量称为向量与得与(图85),记作.这种求与方法称为平行四边形法则.图85 图86若将向量平移,使其起点与向量得终点重合,则以得起点为起点,得终点为终点得向量就就是与得与(图86),该法则称为三角形法则.多个向量,如、、、首尾相接,则从第一个向量得起点到最后一个向量得终点得向量就就是它们得与 (图87).图87对于任意向量,,,满足以下运算法则:(1)(交换律).(2) (结合律).(3).2、2、2 向量得减法定义2向量与得负向量得与,称为向量与得差,即.特别地,当时,有、由向量减法得定义,我们从同一起点作有向线段,分别表示,,则.也就就是说,若向量与得起点放在一起,则,得差向量就就是以得终点为起点,以得终点为终点得向量(图88).图882、2、3数乘向量定义3 实数与向量得乘积就是一个向量,记作,得模就是,方向: 当时,与同向;当时,与反向;当时,.对于任意向量,以及任意实数,,有运算法则: (1) . (2) . (3) .向量得加法、减法及数乘向量运算统称为向量得线性运算,称为,得一个线性组合.特别地,与❒a 同方向得单位向量叫做❒a 得单位向量,记做,即、上式表明:一个非零向量除以它得模得结果就是一个与原向量同方向得单位向量、 例1 如图89,在平行六面体中,设,试用来表示对角线向量图89解 ; 、由于向量与平行,所以我们通常用数与向量得乘积来说明两个向量得平行关系、即有, 定理1 向量与非零向量平行得充分必要条件就是存在一个实数,使得、 2、3 向量得坐标表示2、3、1向量在坐标轴上得投影设为空间中一点,过点作轴得垂线,垂足为,则称为点在轴上得投影(图810).图810若为空间直角坐标系中得一点,则在轴、轴、轴上得投影为、、,如图811所示.图811设向量得始点与终点B在轴u得投影分别为、,那么轴u上得有向线段得值叫做向量在轴u上得投影,记作,轴u称为投影轴、图812当与轴同向时,投影取正号,当与轴反向时,投影取负号.注 (1) 向量在轴上投影就是标量.(2)设为空间直角坐标系中得一个向量,点得坐标为,点得坐标为,显然,向量在三个坐标轴上得投影分别为,,.2、3、2向量得坐标表示取空间直角坐标系,在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向得单位向量,依次记作,它们称为坐标向量.空间中任一向量,它都可以唯一地表示为数乘之与.事实上,设,过、作坐标轴得投影,如图813所示..由于与平行,与平行,与平行,所以,存在唯一得实数,使得,,,即. (821)图 813我们把(821)式中系数组成得有序数组叫做向量得直角坐标,记为,向量得坐标确定了,向量也就确定了.显然,(821)中得就是向量分别在轴、轴、轴上得投影.因此,在空间直角坐标系中得向量得坐标就就是该向量在三个坐标轴上得投影组成得有序数组.例2 在空间直角坐标系中设点,,求向量及得直角坐标.解 由于向量得坐标即为向量在坐标轴上得投影组成得有序数组,而向量得各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量得差.所以向量得坐标为,向量得坐标为.例3(定比分点公式) 设与为两已知点,有向线段上得点将它分为两条有向线段与,使它们得值得比等于数,即,求分点得坐标、图814 解 如图814,因为与在同一直线上,且同方向,故,而 ,所以 ,, 解得当λ=1, 点得有向线段得中点, 其坐标为, , 、2、3、3向量得模与方向余弦得坐标表示式向量可以用它得模与方向来表示,也可以用它得坐标式来表示,这两种表示法之间得就是有联系得、设空间向量与三条坐标轴得正向得夹角分别为,规定: ,称为向量❒a 得方向角、 图815因为向量❒a公式(8、2、2)中出现得cos ,cos αβ❒a 得方向余弦、而就是与向量❒a 同方向得单位向量、而❒a =, ,故向量得模为(823)从而向量得方向余弦为cos a αβγ===(824)并且 、例4 已知两点与,求向量得模、方向余弦与方向角、 解; ; 、例5 已知两点与,求与同方向得单位向量、 解 因为所以 于就是2、4 向量得数量积在物理中我们知道,一质点在恒力得作用下,由点沿直线移到点,若力与位移向量得夹角为,则力所作得功为.类似得情况在其她问题中也经常遇到.由此,我们引入两向量得数量积得概念. 定义1 设,为空间中得两个向量,则数叫做向量与得数量积(也称内积或点积),记作,读作“点乘”.即(825)其中表示向量与得夹角,并且规定.两向量得数量积就是一个数量而不就是向量,特别地当两向量中一个为零向量时,就有、由向量数量积得定义易知: (1) ,因此.(2) 对于两个非零向量,,与垂直得充要条件就是它们得数量积为零,即.注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用. 数量积得运算满足如下运算性质: 对于任意向量,及任意实数,有 (1) 交换律:. (2) 分配律:.(3) 与数乘结合律:.(4) 当且仅当时,等号成立. 例6 对坐标向量,,,求, ,,,,.解 由坐标向量得特点及向量内积得定义得, .例7 已知,,,求,,.解 由两向量得数量积定义有..,因此.在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,.则.由于,,所以.(826)也就就是说,在直角坐标系下,两向量得数量积等于它们对应坐标分量得乘积之与.同样,利用向量得直角坐标也可以求出向量得模、两向量得夹角公式以及两向量垂直得充要条件,即设非零向量,向量,则. (827). (828). (829) 例8在空间直角坐标系中,设三点,,.证明:就是直角三角形.证明由题意可知,,则,所以.即就是直角三角形.2、5向量得向量积在物理学中我们知道,要表示一外力对物体得转动所产生得影响,我们用力矩得概念来描述.设一杠杆得一端固定,力作用于杠杆上得点处,与得夹角为,则杠杆在得作用下绕点转动,这时,可用力矩来描述.力对得力矩就是个向量,得大小为.得方向与及都垂直,且,,成右手系,如图816所示.图8162、5、1向量积得定义在实际生活中,我们会经常遇到象这样由两个向量所决定得另一个向量,由此,我们引入两向量得向量积得概念.定义2 设,为空间中得两个向量,若由,所决定得向量,其模为. (8210) 其方向与,均垂直且,,成右手系(如图817),则向量叫做向量与得向量积(也称外积或叉积).记作,读作“叉乘”.注 (1) 两向量与得向量积就是一个向量,其模得几何意义就是以,为邻边得平行四边形得面积.(2)这就是因为夹角θ=0,所以图817(3)对两个非零向量与,与平行(即平行)得充要条件就是它们得向量积为零向量.∥.向量积得运算满足如下性质:对任意向量,及任意实数λ,有(1) 反交换律:.(2) 分配律:,.(3) 与数乘得结合律:.例9对坐标向量,,,求,,,,,.解 .,,.2、5、2向量积得直角坐标运算在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,,因为.,,,,,.则121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i .为了便于记忆,借助于线性代数中得二阶行列式及三阶行列式有.注 设两个非零向量,,则∥,.若某个分母为零,则规定相应得分子为零.例10 设向量,,求得坐标. 解 .因此得直角坐标为.例11 在空间直角坐标系中,设向量,,求同时垂直于向量与得单位向量. 解 设向量,则同时与,垂直.而,所以向量得坐标为.再将单位化,得,即与为所求得向量.例12 在空间直角坐标系中,设点,,,求得面积.解 由两向量积得模得几何意义知:以、为邻边得平行四边形得面积为,由于,,因此,所以.故得面积为.2、6向量得混合积定义3 给定空间三个向量,如果先作前两个向量与得向量积,再作所得得向量与第三个向量得数量积,最后得到得这个数叫做三向量得混合积,记做或、说明:三个不共面向量得混合积得绝对值等于以为棱得平行六面体得体积、定理 如果,,,那么习题821.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b5、设为单位向量,且满足,求6、7、已知三点得坐标、模、方向余弦与方向角、8、一向量得终点在点B(2,1,7),它在x轴、y轴与z轴上得投影依次为4,4与7、求这向量得起点A得坐标、9.设,,,求,,.10.设向量,,两两垂直,且,,,求向量得模及.11.在空间直角坐标系中,已知,,求:(1); (2) ;(3) ;(4).12、已知向量,计算(1)(2)(3)、13.设向量,得直角坐标分别为与,若,求得值.14.设向量,,求以为邻边构造得平行四边形面积.15.求同时垂直于向量与纵轴得单位向量.16.已知三角形三个顶点,,,求得面积.第3节空间中得平面与直线方程在本节我们以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论最简单得曲面与曲线——平面与直线、3、1平面及其方程首先利用向量得概念,在空间直角坐标系中建立平面得方程,下面我们将给出几种由不同条件所确定得平面得方程.3、1、1平面得点法式方程若一个非零向量垂直于平面,则称向量为平面得一个法向量.显然,若就是平面得一个法向量,则 (为任意非零实数)都就是得法向量,即平面上得任一向量均与该平面得法向量垂直.由立体几何知识知道,过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面.设为平面上得任一点,由于,因此.由两向量垂直得充要条件,得,而,,所以可得. (831) 由于平面上任意一点都满足方程(831),而不在平面上得点都不满足方程(831),因此方程(831)就就是平面得方程.由于方程(831)就是给定点与法向量所确定得,因而称式(831)叫做平面得点法式方程.图818例1 求通过点且垂直于向量得平面方程.解由于为所求平面得一个法向量,平面又过点,所以,由平面得点法式方程(614)可得所求平面得方程为,整理,得.例2 求过三点,, 得平面得方程.解所求平面得法向量必定同时垂直于与.因此可取与得向量积为该平面得一个法向量.即.由于,,因此,因此所求平面得方程为,化简得一般地,过三点得平面方程为称为平面得三点式方程。
大学高数空间解析几何
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
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03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。