定积分练习题
定积分练习题
定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。
它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。
为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。
1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。
解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。
为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。
将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。
在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。
然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。
当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。
通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。
2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。
解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。
我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。
同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。
在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。
然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。
当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。
通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。
3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。
我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。
定积分练习题(打印版)
定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
3. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (3x - 2) dx\)。
二、换元积分题1. 计算定积分 \(\int e^{2x} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(\ln 2\)。
2. 计算定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
三、分部积分题1. 计算定积分 \(\int x e^x dx\)，上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
2. 计算定积分 \(\int \sin x \cos x dx\)，上下限为 \(0\) 到\(\pi\)。
四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在第一象限内围成的面积。
2. 利用定积分计算抛物线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4\) 所围成的面积。
五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 \(a(t) = 2t\)，计算从 \(0\) 到 \(1\) 秒内物体的位移。
2. 假设一物体的力 \(F(x) = 3x + 1\)，计算从 \(0\) 到 \(2\) 米内物体所做的功。
六、综合题1. 利用定积分计算函数 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(x\) 轴，以及直线\(x = 1\) 所围成的面积。
2. 利用定积分计算函数 \(y = \ln x\) 与 \(x\) 轴，以及直线 \(x = e\) 所围成的面积。
七、挑战题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx\)。
答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。
专升本定积分练习题
专升本定积分练习题### 专升本定积分练习题#### 一、基础练习题1. 题目一：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
- 解答：首先找出原函数，即 \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)。
然后计算 \(F(1) - F(0)\) 得到 \(\frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)。
2. 题目二：求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
- 解答：原函数是 \(F(x) = \ln|x|\)。
计算 \(F(2) - F(1)\) 得到 \(\ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)。
3. 题目三：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = e^x\)。
计算 \(F(1) - F(0)\) 得到\(e - 1\)。
#### 二、中等难度练习题4. 题目四：求定积分 \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = -\cos(x)\)。
计算 \(F(2\pi) -F(0)\) 得到 \(-1 - (-1) = 0\)。
5. 题目五：计算定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = x^2 + x\)。
计算 \(F(1) - F(0)\) 得到 \(1 + 1 - 0 = 2\)。
6. 题目六：求定积分 \(\int_{-1}^{1} x^3 dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = \frac{x^4}{4}\)。
计算 \(F(1) -F(-1)\) 得到 \(\frac{1}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)。
#### 三、高难度练习题7. 题目七：计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)。
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
定积分求面积专升本练习题
定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一：计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \)，求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 2]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。
5. 得出结果：面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。
#### 练习题二：计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 3]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。
5. 得出结果：面积为 \(1.25\) 平方单位。
#### 练习题三：计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([-2, 2]\)。
常用积分练习题
常用积分练习题积分是微积分中重要的概念，它在求取函数面积、曲线长度、物理量等方面有广泛的应用。
为了帮助大家更好地理解和掌握积分运算，以下是一些常见的积分练习题，希望对大家的学习能有所帮助。
【题目一】计算下列定积分：(1) $\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx$(2) $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$【解答一】(1)$$\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx =\left.\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right|_0^1 =\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1 - (0) = \frac{13}{6}$$(2)$$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \left.\ln|x|\right |_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2$$【题目二】计算下列定积分：(1) $\int_0^{\pi} \sin xdx$(2) $\int_0^{\pi} \cos^2 xdx$【解答二】(1)$$\int_0^{\pi} \sin xdx = \left. -\cos x\right |_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2$$(2)$$\int_0^{\pi} \cos^2 xdx = \left. \frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)\right|_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi+\sin(\pi)\cos(\pi)) - (0+\sin(0)\cos(0)) =\frac{\pi}{2}$$【题目三】利用积分计算长度，计算曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度。
【解答三】曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度可以用积分来表示：$$\text{长度} = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中$f'(x)$表示曲线对应的导数。
定积分练习题
定积分 练习题一、填空题1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ _______.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ ______.6.比较大小，120d x x ⎰ _______130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰ ______1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰____320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰ _____523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）10.120d sin d d x x x =⎰ .11.2dsin d d x x x =⎰ .12.20d sin d d xt t x =⎰ .13.02d sin d d x x x x =⎰ .14.220d sin d d x t t x =⎰ .15.()2de d x t t -=⎰________________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.17.20d d t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰____________________.19.求极限203sin d limx x t t x→=⎰____________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→=⎰.21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于____________________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =___________________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰______________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = . 27.由圆x =0x =所围成图形的面积A = . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = .二、单项选择题1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（ ）.（A ）大于零； （B ）小于零； （C ）等于零； （D ）不能确定.2.下列等于1的积分是（ ）.（A ）10d x x ⎰； （B ）10(1)d x x +⎰； （C ）11d x ⎰； （D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d x x e e x -=⎰（ ）.（A ）1e e +； （B ）2e ； （C ）2e ； （D ）1e e -.4.220(sin +cos )d 22x xx π=⎰（ ）.（A ）2π； （B ）12π+； （C ）2π-； （D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）2.6.10d x m e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（ ）. （A ）m n >； （B ）m n <； （C ）m n =； （D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ ）.（A ）11230d d x x x x ≤⎰⎰； （B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰； （D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（ ）.（A ）203gt ； （B ）20gt ； （C ）202gt ； （D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，其中（ ）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点； （B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点； （C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点； （D ）ξ是[,]a b 的中点. 10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xa x f t t ϕ=⎰，则（ ）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数； （D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0ba f x x =⎰且()f x 在[,]ab 连续，则（ ）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =； （C ）存在唯一的一点x 使()0f x =； （D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ ）.（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（ ）.（A ）311d 2x x-⎰； （B ）30ln d x x ⎰；（C ）04tan d x x π⎰； （D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（ ）.（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）2.15.02sin xd t dt dx =⎰（ ）.（A ）2sin x ； （B ）2sin x -； （C ）22sin x x -； （D ）2sin t -. 16.定积分()()d ba x a xb x --=⎰（ ）.（A ）3()6b a -； （B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -； （D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aa f x x -=⎰ （ ）.（A ）02()d af x x ⎰； （B ）0；（C ）0[()()]d a f x f x x +-⎰； （D ）0[()()]d af x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且60()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （ ）.（A ）0； （B ）4； （C ）8； （D ）16. 19.222d x e x --=⎰（ ）.（A ）4222d u eu --⎰； （B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰； （D ）222d x e x --⎰. 20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（ ）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A =（ ）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（ ）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（ ）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ ）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π. 25.设ln 1()()xx F x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（ ）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +； （B ）1(ln )()f x f x +； （C ）2111(ln )()f x f x x x -； （D ）1(ln )()f x f x -.26.下面命题中错误的是（ ）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d ba f x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界； （C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积； （D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积.27.下列积分值为零的是（ ）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰； （B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d x x x ππ-⎰； （D ）022cos d x x x π-⎰.28.下列反常积分收敛的是（ ）.（A ）1x +∞⎰； （B ）211d x x +∞⎰； （C ）11d x x+∞⎰； （D ）1d x e x +∞⎰.29.下列反常积分收敛的是（ ）.（A ）ln d e x x x +∞⎰； （B ）1d lne x x x+∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰； （D ）e x +∞⎰. 30.1211dx x -=⎰（ ）. （A ）2； （B ）-1； （C ）； （D ）不存在.三、判断题1.定积分的定义()()01lim nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰中要求[,]a b 是任意分割，但i ξ必须是1[,]i i x x -的中点. （ ）2.定积分的几何意义是相对应的各曲边梯形面积之和. （ ）3.220sin 22sin 2xxdx x xdx πππ-=⎰⎰. （ ）4.定积分的值是一个确定的常数. （ ）5.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰.（ ）6.若[,][,]c d a b ⊂，则()()d bcaf x dx f x dx <⎰⎰. （ ）7.若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则函数()f x 在区间[,]a b 上有界.（ ）8. 11211112dx x x --=-=-⎰. （ ）9.2200xdx ππ==⎰⎰. （ ）10.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分必等于零.（ ）四、计算题1.10(23)d x x +⎰． 2.2211()d x x x x-+⎰． 3.0(cos )d x x e x π-+⎰．4.x x x d )123(1024⎰-+．5.x a x a x a d ))((0⎰+-．6.x xx d )11(94+⎰．7.x x d 1123⎰--+． 8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 9.(sin cos )d x x x π-⎰．10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰． 11.x x d )sin 21(0⎰-π． 12.222cos d x x ππ-⎰．13.2(1cos )d πθθ-⎰． 14．π220cosd 2θθ⎰． 15.40sec tan d x x x π⎰．16.⎰+33/121d x x ． 17.⎰-21021d x x ．18.10⎰．19.221d 4x x +⎰． 20.2120d 1x x x +⎰．21.322d x ⎰． 22.x x x d 12134⎰-． 23.4120d 1x x x +⎰．24.212212d (1)x x x x ++． 25.11d (21)ex x x +⎰．26.221d (1)xx x + 27.251(1)d x x -⎰． 28.⎰-324)28(d x x． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．30.41x ⎰． 31.120arctan d 1xx x +⎰． 32.1d e x x⎰． 33.ln30 d 1xx e x e +⎰．34.2d x xe x ． 35.⎰+302d 1x x x ． 36.20sin cos d t t t π⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．38.20x π⎰． 39.102d x x e x ⎰．40.51x ⎰．41.41x ⎰． 42.x x xd 191⎰+．43.x xx d 4511⎰--． 44.x x d tan 302⎰π． 45.224cot d x x ππ⎰．五、证明题1．证明下列不等式：x x x x d cos d sin 4040⎰⎰≤ππ． 2．证明下列不等式：x x x x d )1(d e 11⎰⎰+≥．3．证明：当0=x 时，函数t t x I xt d e )(02⎰-=取得最小值.4.求证：1212141≤+≤⎰dx x. 5．证明不等式4/1022e 2d e e 22---≤≤-⎰x xx．6.设()f x 是以l 为周期的连续函数，证明：()d a l af x x +⎰的值与a 无关.7.设n 4 0()tan f n xdx π=⎰（n 为正整数），证明：1(3)(5)4f f +=． 8．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=aa x x a f x x f 0d )(d )(.9．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰=2020d )(cos d )(sin ππx x f x x f10．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰+=+x x x x x x/112121d 1d )0(>x .11．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .12．证明等式0()d [()()]d a aaf x x f x f x x -=-+⎰⎰13．⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x xf ．14．设函数)(x f 在闭区间]10[，连续，且1)(<x f ，证明方程-x 21d )(0=⎰x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 15.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xa F x f t t x a=-⎰，证明在(,)a b 内()0F x '≤. 16.已知()f x 是连续函数，证明：20()d [()(2)]d a af x x f x f a x x =+-⎰⎰．17.设连续函数()f x 是奇函数，证明： 0() d x f t t ⎰是偶函数．18.若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()0sin d 3f x f x x x π''+=⎡⎤⎣⎦⎰．19.设01()0()0xt f t dtx F x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 在[)0,+∞上连续，单调递增，且(0)0f ≥，证明：()F x 在[)0,+∞上连续且单调递增。
定积分计算平均数练习题
定积分计算平均数练习题一、基础题1. 计算函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 [1, 3] 上的平均数。
2. 计算函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 在区间 [0, 4] 上的平均数。
3. 计算函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的平均数。
4. 计算函数 $ f(x) = e^x $ 在区间 [0, 1] 上的平均数。
5. 计算函数 $ f(x) = \ln x $ 在区间 [1, e] 上的平均数。
二、提高题1. 计算函数 $ f(x) = x^3 3x $ 在区间 [1, 2] 上的平均数。
2. 计算函数 $ f(x) = 2x^2 + 4x + 1 $ 在区间 [2, 3] 上的平均数。
3. 计算函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在区间 [1, 3] 上的平均数。
4. 计算函数 $ f(x) = \cos x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{3}]$ 上的平均数。
5. 计算函数 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ 在区间 [0,1] 上的平均数。
三、综合题1. 计算函数 $ f(x) = \sin^2 x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的平均数。
2. 计算函数 $ f(x) = e^{x^2} $ 在区间 [1, 1] 上的平均数。
均数。
4. 计算函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} $ 在区间 [0, 3] 上的平均数。
5. 计算函数 $ f(x) = \sqrt{x^3 + 2x} $ 在区间 [1, 4] 上的平均数。
四、应用题1. 计算速度函数 $ v(t) = 3t^2 2t + 1 $ 在时间区间 [0, 2] 内的平均速度。
2. 计算密度函数 $ \rho(x) = \frac{1}{x+1} $ 在区间 [1, 4] 内的平均密度。
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定积分练习题(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--题型1.定积分与极限的计算2.计算下列定积分3.计算下列广义积分内容一．定积分的概念与性质1.定积分的定义2.定积分的性质3.变上限函数及其导数4.牛顿—莱布尼茨公式5.换元积分公式与分部积分公式6.广义积分题型题型I 利用定积分定义求极限题型II比较定积分的大小题型III利用积分估值定理解题题型IV 关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V 定积分的计算 题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算自测题五1.根据极限计算定积分2.根据定积分求导3.求极限4.求下列定积分5.证明题4月21日定积分练习题基础题：一．选择题、填空题1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x⎰101B ．dx x p⎰1C ．dx xp ⎰10)1(D ．dx nxp ⎰10)(2．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰10214．dx x |4|102⎰-= （ ）A ．321B ．322C ．323D ．325 5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7.若10xm e dx =⎰，11e n dx x=⎰，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力221rm m kF =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ．9．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③122(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（ ） A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④10.0(sin cos sin )x y t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．72-D ．011. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，1017()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是 ．12．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）。
(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .13．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）。
(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .14．设0)(=⎰ba dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ）。
(A).0)(≡x f ;(B).必存在x 使0)(=x f ；(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ；(D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
15．设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤π=其余0x 3xsin )x (f ，则=⎰π02cos )(xdx x f ( ) （A ）43 （B ）43-（C ）1 （D ）－116．⎰202sin πdx x dx d=________17. 定积分 dx x x ⎰-π3sin sin 等于_______18. 定积分 dx x x ⎰-π3cos cos 等于( )（A ） 0 （B ）23（C ） 34（D ） 34-19. 定积分⎰-20|cos sin |πdx x x 等于( )（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 20.定积分dx x x ⎰-2223}1,,max{等于( )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316 （D ）129721.设,2arcsin )(,)1ln()(202dt tx g dt t x f x x ⎰⎰=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( )(A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小22. ⎰-=xt tdt e x F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值(B) )2(πF 为极大值,但无最小值(C) )2(πF 为极小值,但无极大值(D) )2(πF 为最小值,)0(F 为最大值综合题：112520022(1)(2)ln(1)(3)(cos )2x dx x dxx x x dx x x -+-+--⎰⎰⎰23022222202(4)(5)(32)(6)tan [sin 2ln((7)e dx x x x x x dxππ-+-++⎰⎰⎰212(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx===⎰⎰已知函数在上二阶可导，且：，及，求：321213112arctan (9)(10)(11)x xxdx dx x e e +∞+∞+-+⎰⎰⎰12101(12)(1)x dx --⎰2sin (13)lim()xx tdt xx→+⎰⎰求极限22222lim(...)12n n n n n n n n →∞++++++(14)用定积分定义计算极限： 2330(15)()ln 40:x t dy y y x x e dt y dx-=-++=⎰设隐函数由方程所确定，求 2202(1)0(16)(),()00'(0).x t e dtx f x A f x x x A x f ⎧-⎪≠==⎨⎪=⎩⎰设问当为何值时，在点处可导，并求出420(17)()cos 2(),():()f x x f x dx f x f x π=+⎰设其中为连续函数，试求2410(18)lim()x x x aa x a xe dx a a x +∞-→-=+⎰设正整数，且满足关系，试求的值。
4月22日定积分练习题基础题：1．积分中值定理⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）。
(A) ξ是],[b a 内任一点；(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点；(D). ξ是],[b a 的中点。
2. =-+⎰-1121)1(dx x x ( )（A ）π （B ）2π（C ）π2（D ）4π 3. 设]1,0[C f ∈，且2)(1=⎰dx x f ，则=⎰2022sin )(cos πxdx x f ( )（A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）14. 设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=badx x f 0)(，则（ ）。
（A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ；（C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；（D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
5. dx x x x ⎰+-2232=( )(A))22(154+ (B) )22(154+-(C)528324-(D)528324+-6. ⎰+xxdt t dx dln 2)1ln(=( ) (A) )21ln(2)ln 1ln(1x x x +-+(B) )21ln()ln 1ln(1x x x+-+(C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+7. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰xx dt t x x x x xx f 0220cos 101)cos 1(2)(,则)(x f 在0=x 点( ) (A) 连续,但不可导(B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续=+⎰-111dx e e x x( )(A) 1-(B)e e+-11 (C) ee-+11(D) 1- 填空、选择题872200(1)sin _______,cos _______,xdx xdx ππ==⎰⎰022110120051sin (2)lim______;ln(1)(3)2_______;(4)(1)_______;(5)_______;(6)()()sin ()()______;(7)(1)()______;(8xx xx x t tdtx x x dx y t t dt f x f x x f x dx f x x x e e dx ππ→----=+-==-==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲线的上凸区间是设是连续函数，且，则：1)lim ln(1_______;xx dt -=22(9)(1)_______;1(10)()[,]()()()(,)___()0()1()2()3x t x xaby t e dt f x a b F x f t dt dt f t a b A B C D =-=+⎰⎰⎰设函数的极大值点为设正值函数在上连续，则函数在上至少有个根2400(11)(),______;4()16()8()4()2xx f t dt f dx A B C D ==⎰⎰则：22111(12)_______311()()()()222(13)________()0()()()24dx x A B C D A B C D ππ-∞=--=-⎰⎰不存在发散4月23日定积分练习题一．计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cosππ；（5）π220cos 2d θθ⎰（6）⎰+10)32(dx x ； （7）⎰+-102211dx x x ； （8）⎰2ln e ex x dx；（9）⎰--102dx e e xx ； （10）⎰302tan πxdx （11）⎰+94;)1(dx xx （12）⎰+4;1x dx（13）⎰eedx x x 12)(ln 1 （14）⎰205;2sin cos πxdx x （15）⎰20;sin πxdx e x （16）⎰+-102/32;)1(x x dx（17）⎰+202;sin 1cos πdx xx（18）⎰-+10;x x e e dx二．求下列极限： （1）⎰→xx dt t x 020;cos 1lim（2）.)(02222lim dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→三．利用定积分求极限（1）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （2）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→四．证明题1'()(,)(()'())()()xa d f x x t f t dt f x f a dx-∞+∞-=-⎰（）设在上连续，证明：。