第八章 二元一次方程组单元 易错题专项训练学能测试

第八章 二元一次方程组单元 易错题专项训练学能测试

一、选择题

1．用加减法将方程组2311

255

x y x y -=??+=-?中的未知数x 消去后，得到的方程是（ ）．

A ．26y =

B ．816y =

C ．26y -=

D ．816y -=

2．方程()()2

18

235m n m x n y ---++=是二元一次方程，则（ ）

A ．2

3m n =??

=?

B ．2

3m n =-??

=-?

C ．2

3m n =??

=-?

D ．2

3m n =-??

=?

3．方程组2x y x y 3+=

?+=??

的解为{

x 2

y ==，则被遮盖的两个数分别为( )

A ．2，1

B ．5，1

C ．2，3

D ．2，4

4．下列各组值中，不是方程21x y -=的解的是（ ）

A ．0,12x y =???=-??

B ．1,

1

x y =??

=?

C ．1,

x y =??

=?

D ．1,

1x y =-??

=-?

5．小明去商店购买A B 、两种玩具，共用了10元钱，A 种玩具每件1元，B 种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ） A ．5种

B ．4种

C ．3种

D ．2种

6．若二元一次方程组

的解为x=a ，y=b ，则a+b 的值 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

7．若x ，y 均为正整数，且2x ＋1·4y ＝128，则x ＋y 的值为( ) A ．3

B ．5

C ．4或5

D ．3或4或5

8．若a 为方程250x x +-=的解，则22015a a ++的值为（ ） A ．2010

B ．2020

C ．2025

D ．2019

9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,x y 的系数与相应的常数项把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是2+327

214x y x y =??+=?

类似地，图2

所示的算筹图我们可以表述为( )

A ．2+16

4322x y x y =??

+=?

B ．2+16

4327x y x y =??

+=?

C ．2+11

4322x y x y =??

+=?

D ．2+11

4327x y x y =??

+=?

10．下列四组数值中，方程组0

2534a b c a b c a b c ++=??

-+=-??--=-?的解是( )

A ．011a b c =??

=??=-?

B ．121a b c =-??

=??=-?

C ．112a b c =-??

=??=-?

D ．123a b c =??

=-??=?

二、填空题

11．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x m

y m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．

12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的橫、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m >0，n >0），得到正方形A ′B ′C ′D ′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′，则a ＝_____，m ＝_____，n ＝_____．若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F ′与点F 重合，则点F 的坐标为_____．

13．自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过____小时水池的水刚好注满．

14．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果．第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%，第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A 、B 水果的总费用比第一次购买A 、B 水果的总费用少10%

（两次购买中A、B两种水果的单价不变），则B种水果的单价与A种水果的单价的比值是______．

15．若m1，m2，…，m2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，

m1+m2+…+m2019=1525，（ m1-1）2+（m2-1）2+…+（m2019-1）2=1510，则在m1，m2，…，

m2019中，取值为2的个数为___________．

16．二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．

17．新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均

捐书数量的3

5

，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本．

18．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x斤，燕每只重y斤，则可列方程组为________________

19．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满．

20．若关于x、y的二元一次方程组

316

215

x my

x ny

+=

?

?

+=

?

的解是

7

3

x

y

=

?

?

=

?

，则关于x、y的二元一

次方程组

3()()16

2()()15

x y m x y

x y n x y

++-=

?

?

++-=

?

的解是__．

三、解答题

21．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．

（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？

（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．

①请帮柑橘园设计租车方案；

②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

22．阅读以下内容：

已知有理数m，n满足m+n＝3，且

3274

232

m n k

m n

+=-

?

?

+=-

?

求k的值．

三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m ，n 的方程组3274

232

m n k m n +=-??

+=-?，再求k 的值；

乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值；

丙同学：先解方程组3

232m n m n +=??+=-?

，再求k 的值．

（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；

（2）在解关于x ，y 的方程组()(

)11821a x by b x ay ?+-=?

?

++=??①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数

x ，也可以用①×2+②×5消去未知数y ．求a 和b 的值． 23．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111

222a x b y c a x b y c +=??

+=?的解是00x x y y =??=?

，关于

x ，y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=??

+=?的解是11x x y y =??=?，且满足

10

0.1x x x -≤，10

00.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+??-=+?的解是方程组10

310

x y x y +=??

+=-?的模糊解，则m 的取值范围是________． 24．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，且AB BC ⊥．

（1）填空：A ∠=_____，C ∠=______，D ∠=_______；

（2）点E 为射线BC 上一任意一点，连接AE ，作DAE ∠的平分线AF ，交射线BC 于点F ，作AEC ∠的平分线EG ，交直线AD 于点G ，请探究射线AF 与EG 之间的位置关系，并加以证明；

（3）连接AC ，若AC 恰好平分BAD ∠，则在（2）问的条件下，是否存在角度x ?，使得当BAE x ∠=?时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．

25．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：

18x y =??

=?就是方程3x+y=11的一组“好解”；1

23

x y z =??

=??=?

是方程组3206x y z x y z ++=??++=?的一组“好解”. （1）请直接写出方程x+2y=7的所有“好解”；

（2）关于x ，y ，k 的方程组15

51070x y k x y k ++=??++=?

有“好解“吗？若有，请求出对应的“好

解”；若没有，请说明理由；

（3）已知x ，y 为方程33x+23y=2019的“好解”，且x+y=m ，求所有m 的值.

26．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A 和B 两种款式的瓷砖，且A 款正方形瓷砖的边长与B 款长方形瓷砖的长相等, B 款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B 款瓷砖的价格和为140元; 3块A 款瓷砖价格和4块B 款瓷砖价格相等.请回答以下问题:

(1)分别求出每款瓷砖的单价.

(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元，且A 款瓷砖的数量比B 款多，则两种瓷砖各买了多少块?

(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A 款瓷砖的用量比B 款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B 款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

方程组两方程相减消去x 即可得到结果． 【详解】 解：2311? 255? x y x y -=??

+=-?

①②

②-①得：8y=-16，即-8y=16， 故选D ． 【点睛】

本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

2．D

解析：D 【分析】

二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】

由题意得21181m n ?-=?-=?

且2030m n -≠??+≠?，

解得2m =-，3n =， 故选D ． 【点睛】

主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．

3．B

解析：B 【解析】

把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 故选B ．

4．B

解析：B 【分析】

将x 、y 的值分别代入x-2y 中，看结果是否等于1，判断x 、y 的值是否为方程x-2y=1的解． 【详解】

A 项，当0x =，1

2y 时，1202()12x y -=-?-=，所以0,

12x y =???=-??

是方程21x y -=的解；

B 项，当1x =，1y =时，21211y =-?=-，所以1,

1

x y =??

=?不是方程21x y -=的解； C 项，当1x =，0y =时，21201x y -=-?=，所以1,

x y =??

=?是方程21x y -=的解； D 项，当1x =-，1y =-时，212(1)1x y -=--?-=，所以1,

1

x y =-??=-?是方程21

x y -=的解， 故选B. 【点睛】

本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．

5．C

解析：C 【分析】

设A 种玩具的数量为x ，B 种玩具的数量为y ，根据共用10元钱，可得关于x 、y 的二元

一次方程，继而根据1

1x y x y ≥≥，，＞以及x 、y 均为正整数进行讨论即可得. 【详解】

设A 种玩具的数量为x ，B 种玩具的数量为y ， 则210x y +=， 即52

x

y =－

， 又x 、y 均为正整数，且11x y x y ≥≥，，＞， 当2x ＝时，4y ＝

，不符合； 当4x ＝时，3y ＝，符合； 当6x ＝时，2y ＝，符合； 当8x ＝时，1y ＝，符合， 共3种购买方案， 故选C. 【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用——方案问题，弄清题意，正确进行分析是解题的关键.

6．A

解析：A 【解析】

【分析】

首先解方程组求得x 、y 的值，即可得到a 、b 的值，进而求得a+b 的值． 【详解】

解：解方程组得：

则 则

故选：A ． 【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组解法，解方程组的基本思想是消元，正确解方程组是关键．

7．C

解析：C 【解析】

∵2x ＋1·

4y ＝128，27＝128， ∴x ＋1＋2y ＝7，即x ＋2y ＝6. ∵x ，y 均为正整数， ∴22x y =??

=?

或41x y =??=?

∴x ＋y ＝4或5.

8．B

解析：B 【分析】

先根据a 为方程250x x +-=的解得到25a a +=，然后整体代入即可解答． 【详解】

解：∵a 为方程250x x +-=的解 ∴250a a +-=，即25a a += ∴22015a a ++=5+2015=2020． 故答案为B ． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和整体法的应用，正确理解并灵活应用一元二次方程的解解答问题是解答本题的关键．

9．D

解析：D 【分析】

由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x 的系数，第二个数是y 的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式. 【详解】

第一个方程x 的系数为2，y 的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x 的系数为4，

y 的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为：211

4327x y x y +=??

+=?

.

故选D . 【点睛】

此题主要考查了由实际问题列二元一次方程组，关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果.

10．B

解析：B 【解析】

分析：首先利用②－①和②+③得出关于a 和b 的二元一次方程组，从而求出a 和b 的值，然后将a 和b 代入任何一个式子得出c 的值，从而得出方程组的解．

详解：0?

25?

34? a b c a b c a b c ++=??

-+=-??--=-?

①②③，②－①可得：a －2b=－5 ④， ②+③可得：5a －2b=－9 ⑤，

④－⑤可得：－4a=4，解得：a=－1， 将a=－1代入④可得：b=2，

将a=－1，b=2代入①可得：c=－1，∴方程组的解为：1

21a b c =-??

=??=-?

，故选B ．

点睛：本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．

二、填空题

11．【分析】

将方程整理成关于m 的一元一次方程，若无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m 无关，从而令m 的系数为0，从而得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 【详解】 将（m+1）

解析：1

1

x y =-??

=? 【分析】

将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．

【详解】

将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，

所以

210

20

x y

x y

+-=

?

?

-+=

?

，

解得：

1

1

x

y

=-

?

?

=

?

．

故答案为：

1

1

x

y

=-

?

?

=

?

．

【点睛】

考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．

12．（1，4）

【分析】

首先根据点A到A′，B到B′的点的坐标可得方程组，，解可得a、m、n的值，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合可列出方程组，再解可得F点坐标．

【详解】

由点A

解析：1

2

1

2

（1，4）

【分析】

首先根据点A到A′，B到B′的点的坐标可得方程组

31

2

a m

n

-+=-

?

?

=

?

，

32

2

a m

n

+=

?

?

=

?

，解可

得a、m、n的值，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合可列出方程组，再解可得F点坐标．

【详解】

由点A到A′，可得方程组

31

2

a m

n

-+=-

?

?

=

?

；

由B到B′，可得方程组

32

2

a m

n

+=

?

?

=

?

，

解得

1

2

1

2

2

a

m

n

?

=

?

?

?

=

?

?

=

?

??

，

设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组

11

22

1

2

2

x x

y y ?

+=

??

?

?+=

??

，

解得

1

4 x

y

=

?

?

=

?

，

即F（1，4），

故答案为：1

2

，

1

2

，2，（1，4）．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形变化－平移以及二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组．

13．．

【分析】

设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．

【详解】

设每个进水口每小时进

解析：38 17

．

【分析】

设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于

x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入124%

32

x y

-

-

中即可求出结论．

【详解】

设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，

依题意，得：

()

() 534115% 243115%

x y

x y

?-=-

?

?

-=-

??

，

解得：

0.17

0.085 x

y

=

?

?

=

?

，

∴

124%38

3217

x y -=-．

故答案为：3817

． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

14．【分析】

根据水果数量的等量关系，可设第一次购买种水果数量为个，用分别表示第一次购买种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为元和元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方

解析：1

2

【分析】

根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与

b 的数量关系． 【详解】

解：设第一次购买B 种水果数量为x ，

∴第一次购买A 种水果的数量为：3

(150%)2

x x +=

， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323

(160%)2

2

55x x

x -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356

()(120%)32

2

5

x x x

x ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312

355

x x x -=，

设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：

3312()(110%)255

a

x bx a x b x +-=+， 化简得：2a b =

∴

12

b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12

，

故答案为：12

． 【点睛】

本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．

15．508

【分析】

先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组求解即可．

【详解】

解：设0有a个，1有b个，2有c个，

由题意得：

解得：

故取值为2的个数为508个，

故答案为：508

解析：508

【分析】

先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组

2019

21525

1510

a b c

b c

a c

++=

?

?

+=

?

?+=

?

求解即

可．

【详解】

解：设0有a个，1有b个，2有c个，

由题意得：

2019

21525

1510

a b c

b c

a c

++=

?

?

+=

?

?+=

?

解得：

1002

509

508 a

b

c

=

?

?

=

?

?=

?

故取值为2的个数为508个，

故答案为：508．

【点睛】

此题主要考查了三元一次方程组的应用，会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键．

16．无数

【分析】

把x看做已知数求出y，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．

【详解】

解：方程3x+8y=27，

解得：,

∵当x 、y 是正整数时，9-x 是8的倍数， ∴x=1，y=

解析：1

3x y =??=?

无数 【分析】

把x 看做已知数求出y ，分析即可确定出正整数解及整数解的情况． 【详解】

解：方程3x+8y=27， 解得：3(98

)

x y -=

, ∵当x 、y 是正整数时，9-x 是8的倍数， ∴x=1，y=3；

∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个，即1

3x y =??=?

；

∵当x 、y 是整数时，9-x 是8的倍数， ∴x 可以有无数个值，如-7,-15,-23，……； ∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个. 故答案是：1

3x y =??=?

；无数.

【点睛】

此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．

17．【分析】

根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答． 【详解】

设甲班的人均捐书数量为x 本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本， 设甲班

解析：【分析】

根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答． 【详解】

设甲班的人均捐书数量为x 本，乙班的人均捐书数量为（x +5）本，丙班的人均捐书数量为

2

x

本， 设甲班有y 人，乙班有（80﹣y ）人． 根据题意，得

xy +（x +5）（80﹣y ）+2x ?40＝3

(5)1205

x +? 解得：y =

28403

5855

x x x +=++， 可知x 为2且5的倍数，故x ＝10，y ＝64， 共捐书10×64+15×16+5×40＝1080． 答：甲、乙、丙三班共捐书1080本． 故答案为1080． 【点睛】

此题考查二元一次方程的实际应用，题中有三个量待求，但是只有一个等量关系，因此只能设出两个未知数，用一个未知数表示另一个未知数，根据数量的要求及代数式的形式确定未知数的值，这是此题的难点.

18．【分析】

设每只雀有x 两，每只燕有y 两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】

解：设每只雀有x 两，每只燕有y 两， 由题意得， 【

解析：45561x y y x

x y +=+??

+=?

【分析】

设每只雀有x 两，每只燕有y 两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】

解：设每只雀有x 两，每只燕有y 两， 由题意得，45561x y y x

x y +=+??+=?

【点睛】

本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

19．【解析】 【分析】

设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x

解析：32

15

【解析】 【分析】

设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可． 【详解】

设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：

82375%23275%x y a x y a （

）（）-=??

-=?

解得：316

332x a y a ?

=???

?=??

． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（

316a ×2332-a ）＝32

15

（小时）． 故答案为

32

15

． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

20．【解析】

分析：令x+y=a ，x-y=b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．

详解：令x+y=a ，x-y=b ，则关于x 、y 的二元一次方程组变为：．∵二元一次方程组的解是，

解析：5

2

x y =??

=? 【解析】

分析：令x +y =a ，x -y =b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．

详解：令x +y =a ，x -y =b ，则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=??

++-=?（

）（）（

）（）变为：

316215a mb a nb +=??+=?．∵二元一次方程组316215x my x ny +=??+=?的解是73x y =??=?，∴7

3

a b =??

=?，∴73x y x y +=??

-=?，解得：5

2

x y =??=?．

点睛：本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代

入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．

三、解答题

21．（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元

【分析】

（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；

②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．

【详解】

解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，

依题意，得：

2312 3417 x y

x y

+=

?

?

+=

?

，

解得：

3

2

x

y

=

=

?

?

?

．

故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．（2）①依题意，得：3m+2n＝21，

∴m＝7﹣2

3 n．

又∵m，n均为非负整数，

∴

1

9

m

n

=

?

?

=

?

或

3

6

m

n

=

?

?

=

?

或

5

3

m

n

=

=

?

?

?

或

7

m

n

=

?

?

=

?

．

答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．

②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），

方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），

方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），

方案4所需租车费为120×7＝840（元）．

∵1020＞960＞900＞840，

故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．

【点睛】

本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．

22．（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5． 【分析】

（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可； （2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可． 【详解】

解：（1）选择甲，3274232m n k m n +=-??

+=-?①

②

，

①×3﹣②×2得：5m ＝21k ﹣8， 解得：m ＝

218

5

k -， ②×3﹣①×2得：5n ＝2﹣14k ， 解得：n ＝

2145

k

-， 代入m+n ＝3得：

21821455

k k

--+＝3， 去分母得：21k ﹣8+2﹣14k ＝15， 移项合并得：7k ＝21， 解得：k ＝3； 选择乙，

3274232m n k m n +=-??

+=-?①

②

， ①+②得：5m+5n ＝7k ﹣6， 解得：m+n ＝

7-6

5

k ， 代入m+n ＝3得：

7-6

5

k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15， 解得：k ＝3； 选择丙，

联立得：3232m n m n +=??+=-?

①

②，

①×3﹣②得：m ＝11， 把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，

代入3m+2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4， 解得：k ＝3；

（2）根据题意得：13

27a b +=??+=?

，

解得：52b a =??=?

，

检验符合题意，

则a 和b 的值分别为2，5． 【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

23．9

52

m ≤≤

【分析】

根据已知条件，先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m 的取值范围便可． 【详解】

解：解方程组222104x y m x y m +=+??-=+?得 ：42

2x m y m +??-?＝＝，

解方程组10310x y x y +=??+=-?得 ：20

10x y ??-?

＝＝，

∵关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+??-=+?的解是方程组10310x y x y +=??+=-?

的模糊

解，

因此有：

42200.120m +-≤且210

0.110

m -+≤，

化简得：821091122m m ≤≤???≤≤??，即459112

2m m ≤≤??

?≤≤??

解得：

9

52

m ≤≤， 故答案为

9

52

m ≤≤． 【点睛】

本题主要考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是解题的关键．

24．（1）90?；90?；90?（2）AF //EG ；证明见详解（3）存在；50x =?、54x =?或35711x ??=? ???

【分析】

（1）根据垂直的定义、平行线的性质、四边形的内角和即可得解；

（2）按照题目要求画出图形后，根据已知条件、角平分线的性质、平行线的性质和判定即可得到结论并证明；

（3）结合图形根据平行线的性质、角平分线的性质、角的和差可列出360901

x k ?

?=?-+，再由x 、k 的取值范围即可求得结论． 【详解】

解：（1）∵AB BC ⊥ ∴90B ∠=? ∵//AB CD

∴18090C B ∠=?-∠=? ∵//AD BC

∴18090D C ∠=?-∠=?

∴36090A B C D ∠=?-∠-∠-∠=?； （2）按照题目要求作图：

猜想：射线AF 与EG 的位置关系是：AF //EG 证明： ∵AF 平分DAE ∠，EG 平分BEA ∠

∴12EAF DAE ∠=∠，1

2

AEG BEA ∠=∠ ∵//DG BF

∴DAE BEA ∠=∠ ∴EAF AEG ∠=∠

∴AF //EG ；

（3）在（2）问的条件下，连接AC ，如图：

∵AF //EG ，//DG BF

∴180AFB GEF ∠+∠=?，DAF AFB ∠=∠ ∴180GEF DAF ∠+∠=? ∵GEF k DAF ∠=∠ ∴1801

DAF EAF k ?

∠=∠=+ ∵BAE x ∠=?