2019年高考全国1卷理科数学试题和答案

2019年高考全国1卷理科数学试题和答案
2019年高考全国1卷理科数学试题和答案

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)

第I 卷(选择题)

一、单选题

1.已知集合{}

}2

42{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ?=

A .}{43x x -<<

B .}{42x x -<<-

C .}{22x x -<<

D .}{23x x <<

2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则

A .22+11()x y +=

B .22

(1)1x y -+= C .22(1)1x y +-= D .2

2(+1)1y x +=

3.已知0.20.3

2log 0.2,2,0.2a b c ===,则

A .a b c <<

B .a c b <<

C .c a b <<

D .b c a <<

4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

512-(51

2

-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2

-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是

A .165 cm

B .175 cm

C .185 cm

D .190cm

5.函数f (x )=

2

sin cos x x

x x ++在[—π,π]的图像大致为

A .

B .

C .

D .

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A.

5

16

B.

11

32

C.

21

32

D.

11

16

7.已知非零向量a,b满足a=2b,且(a–b)⊥b,则a与b的夹角为

A.

π

6

B.

π

3

C.

3

D.

6

8.如图是求

1

1

2

1

2

2

+

+

的程序框图,图中空白框中应填入

A.A=

1

2A

+

B.A=

1

2

A

+C.A=

1

12A

+

D.A=

1

1

2A

+

9.记n S为等差数列{}n a的前n项和.已知45

05

S a

==

,,则

A.25

n

a n

=-B.310

n

a n

=-C.2

28

n

S n n

=-D.2

1

2

2

n

S n n

=-

10.已知椭圆C的焦点为12

1,01,0

F F

-

(),(),过F

2

的直线与C交于A,B两点.若

22

2

AF F B

=

││││,1

AB BF

=

││││,则C的方程为

A.

2

21

2

x

y

+=B.

22

1

32

x y

+=C.

22

1

43

x y

+=D.221

54

x y

+=

11.关于函数()sin|||sin|

f x x x

=+有下述四个结论:

①f(x)是偶函数②f(x)在区间(

2

π

,π)单调递增

③f(x)在[,]

ππ

-有4个零点④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A .①②④

B .②④

C .①④

D .①③

12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A .86π B .46π

C .26π

D .6π

第II 卷(非选择题)

13.曲线2

3()e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________.

14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若2

1461

3

a a a ==,,则S 5=____________.

15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.

16.已知双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线

分别交于A ,B 两点.若1F A AB =u u u r u u u r ,120F B F B ?=u u u

r u u u r ,则C 的离心率为____________.

17.V ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设2

2

(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.

(1)求A ;

(2)若22a b c +=,求sin C .

18.如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,

A 1D 的中点.

(1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.

19.已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为

3

2

的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;

(2)若3AP PB =u u u r u u u r

,求|AB |.

20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:

(1)()f x '在区间(1,

)2

π

-存在唯一极大值点;

(2)()f x 有且仅有2个零点.

21.为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X . (1)求X 的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ,其中

(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.

(i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列; (ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22

21141t x t t y t ?-=??+??=?+?

,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l

的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值. 23.[选修4-5:不等式选讲]

已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)

222111

a b c a b c

++≤++; (2)

333

()()()24a b b c c a +++≥++ 参考答案

1.C

【解析】 【分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题. 【详解】

由题意得,{}{}

42,23M x x N x x =-<<=-<<,则

{}22M N x x ?=-<<.故选C .

【点睛】

不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分. 2.C 【解析】 【分析】

本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(x ,y )和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C . 【详解】

,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1x y +-=.故选C .

【点睛】

本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题. 3.B 【解析】 【分析】

运用中间量0比较,a c ,运用中间量1比较,b c 【详解】

22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<.故选B .

【点睛】

本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题. 4.B 【解析】 【分析】

理解黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解. 【详解】

设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ,肚脐至腿根的长为y cm

,则

26261

1052

x x y +==

+,得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈.又其腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,所以其身高约为

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm .故选B . 【点睛】

本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法,利用转化思想解题. 5.D 【解析】 【分析】

先判断函数的奇偶性,得()f x 是奇函数,排除A ,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 【详解】 由22

sin()()sin ()()cos()()cos x x x x

f x f x x x x x

-+----=

==--+-+,得()f x 是奇函数,其图象关于原点对称.又221422()1,2()2

f π

ππππ+

+==>2()01f πππ=>-+.故选D . 【点睛】

本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题. 6.A 【解析】 【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题,渗透了传统文化、数学计算等数学素养,“重卦”中每一爻有两种情况,基本事件计算是住店问题,该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题,利用直接法即可计算. 【详解】

由题知,每一爻有2中情况,一重卦的6爻有62情况,其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ,所以该重

卦恰有3个阳爻的概率为3

6

62C =516

,故选A .

【点睛】

对利用排列组合计算古典概型问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题还是组合问题.本题是重复元素的排列问题,所以基本事件的计算是“住店”问题,满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题. 7.B 【解析】 【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角. 【详解】

因为()a b b -⊥,所以2

()a b b a b b -?=?-=0,所以2a b b ?=,所以cos θ=2

2||1

2||2

a b b a b b ?==?,所以a 与b 的夹角为3

π

,故选B . 【点睛】

对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为[0,]π. 8.A 【解析】 【分析】

本题主要考查算法中的程序框图,渗透阅读、分析与解决问题等素养,认真分析式子结构特征与程序框图结构,即可找出作出选择. 【详解】

执行第1次,1,122A k ==≤是,因为第一次应该计算1

122

+=1

2A +,1k k =+=2,循环,执行第2次,22k =≤,是,因为第二次应该计算1

1

2122

++=12A +,1k k =+=3,循环,执行第3次,22k =≤,

否,输出,故循环体为1

2A A

=+,故选A .

【点睛】

秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为1

2A A

=+. 9.A

【解析】 【分析】

等差数列通项公式与前n 项和公式.本题还可用排除,对B ,55a =,44(72)

1002

S -+=

=-≠,排除B ,对C ,2

45540,25850105S a S S ==-=?-?-=≠,排除C .对D ,

2455415

0,5250522

S a S S ==-=?-?-=≠,排除D ,故选A .

【详解】

由题知,41514430

2

45

d S a a a d ?

=+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,故选A . 【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,在适当计算即可做了判断. 10.B 【解析】 【分析】

由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,得12AF n =,在

1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=,再在12AF F △

中,由余弦定理得n =.

【详解】

法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有

121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1AF B △中,由余弦定理推论得

22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==??.在12AF F △中,由余弦定理得22

14422243n n n n +-???=

,解得

n =

2

2

2

24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=,故选B .

法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有

121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得

22

21

22

21

44222cos4,

422cos9

n n AF F n

n n BF F n

?+-???∠=

?

+-???∠=

?

,又2121

,

AF F BF F

∠∠互补,

2121

cos cos0

AF F BF F

∴∠+∠=,两式消去

2121

cos cos

AF F BF F

∠∠

,,得22

3611

n n

+=,解得

3

n=.222

2423,3,312,

a n a

b a c

∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为

22

1

32

x y

+=,故选B.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

11.C

【解析】

【分析】

化简函数()sin sin

f x x x

=+,研究它的性质从而得出正确答案.

【详解】

()()()()

sin sin sin sin,

f x x x x x f x f x

-=-+-=+=∴

Q为偶函数,故①正确.当

2

x

π

π

<<时,()2sin

f x x

=,它在区间,

2

π

??

π

?

??

单调递减,故②错误.当0xπ

≤≤时,()2sin

f x x

=,它有两个零点:0,π;当0

x

π

-≤<时,()()

sin sin2sin

f x x x x

=--=-,它有一个零点:π-,故()

f x 在[],

-ππ有3个零点:0

-π,,π,故③错误.当[]()

2,2

x k k k*

∈ππ+π∈N时,()2sin

f x x

=;当[]()

2,22

x k k k*

∈π+ππ+π∈N时,()sin sin0

f x x x

=-=,又()

f x为偶函数,()

f x

∴的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,故选C.

【点睛】

画出函数()sin sin

f x x x

=+的图象,由图象可得①④正确,故选C.

12.D 【解析】 【分析】

先证得PB ⊥平面PAC ,再求得2PA PB PC ===,从而得P ABC -为正方体一部分,进而知正

方体的体对角线即为球直径,从而得解. 【详解】

解法一:,

PA PB PC ABC ==?Q 为边长为2的等边三角形,P ABC ∴-为正三棱锥,

PB AC ∴⊥,又E ,F 分别为PA 、AB 中点,

//EF PB ∴,EF AC ∴⊥,又EF CE ⊥,,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ,PB ⊥平面PAC ,

2PAB PA PB PC ∴∠=90?,∴===,P ABC ∴-为正方体一部分,22226R =++=,即

364466,62338

R V R =

∴=π=?=ππ,故选D .

解法二:

设2PA PB PC x ===,,E F 分别为,PA AB 中点,

//EF PB ∴,且1

2

EF PB x =

=,ABC ?Q 为边长为2的等边三角形,

CF ∴=又90CEF ∠=?1,2

CE AE PA x ∴=== AEC ?中余弦定理()2243cos 22x x EAC x

+--∠=

??,作PD AC ⊥于D ,PA PC =Q ,

D Q 为AC 中点,1cos 2AD EAC PA x ∠==,22431

42x x x x +-+∴=,

221

2122

2

x x x ∴+=∴=

=

,PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ,,,PA PB PC ∴

两两垂直,2R ∴==R ∴=

,34433V R ∴=π==,故选D. 【点睛】

本题考查学生空间想象能力,补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方体解决. 13.30x y -=. 【解析】 【分析】

本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】

详解:/223(21)3()3(31),x x x

y x e x x e x x e =+++=++

所以,/

0|3x k y ===

所以,曲线23()e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =,即30x y -=. 【点睛】

准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求. 14.

121

3

. 【解析】 【分析】

本题根据已知条件,列出关于等比数列公比q 的方程,应用等比数列的求和公式,计算得到5S .题目的难度不大,注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

设等比数列的公比为q ,由已知21461,3a a a =

=,所以32511

(),33

q q =又0q ≠, 所以3,q =所以

55

151

(13)

(1)12131133

a q S q --===

--. 【点睛】

准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算,部分考生易出现运算错误. 15.0.216. 【解析】 【分析】

本题应注意分情况讨论,即前五场甲队获胜的两种情况,应用独立事件的概率的计算公式求解.题目有一定的难度,注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查. 【详解】

前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4:1获胜的概率是3

0.60.50.520.108,???= 前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4:1获胜的概率是2

2

0.40.60.520.072,???= 综上所述,甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】

由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是思维的全面性是否具备,要考虑甲队以4:1获胜的两种情况;易错点之三是是否能够准确计算. 16.2. 【解析】 【分析】

通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥,得到1AOB AOF ∠=∠,结合双曲线的渐近线可得

21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=

从而由

0tan 60b

a

==. 【详解】 如图,

由1,F A AB =u u u r u u u r 得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =u u u r u u u u r

g ,得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠,

又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=,得

02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=.又渐近线OB 的斜率为

0tan 603b

a

==率为221()1(3)2c b

e a a

=

=+=+=. 【点睛】

本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合思想解题. 17.(1)3

A π

=;(2)62

sin C +=

【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:222b c a bc +-=,从而可整理出cos A ,根据()0,A π∈可求得结果;(22sin 2sin A B C +=,利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】

(1)()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即:222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得:222b c a bc +-=

2221

cos 22

b c a A bc +-∴==

()0,πA ∈Q 3

A π\=

(2)22a b c +=Q 2sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3

A π

=

1

sin 2sin 2

C C C ++=

整理可得:3sin C C -

=

2

2

sin cos 1C C +=Q (()

2

23sin 31sin C C ∴=-

解得:sin 4C =

4

因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==-

>所以sin C >

,故sin C =

(2)法二:2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3

A π

=

1

sin 2sin 2

C C C ++=

整理可得:3sin C C -=,即3sin 6C C C π?

?=-= ???

sin 62C π?

?∴-=

??

? 由2(0,

),(,)3662

C C ππππ

∈-∈-,所以,6446C C ππππ-==+

sin sin(

)46

C π

π

=+

=

. 【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.

18.(1)见解析;(2)5

. 【解析】 【分析】

(1)利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ,证得四边形MNDE 为平行四边形,进而证得//MN DE ,根据线面平行判定定理可证得结论;

(2)以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系,通过取AB 中点F ,可证得DF ⊥平面1AMA ,得到平面1AMA 的法向量DF uuu r

;再通过向

量法求得平面1MA N 的法向量n r

,利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】

(1)连接ME ,1B C

M Q ,E 分别为1BB ,BC 中点 ME ∴为1B BC ?的中位线

1//ME B C ∴且112

ME B C =

又N 为1A D 中点,且11//A D B C 1//ND B C ∴且11

2

ND B C =

//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形

//MN DE ∴,又MN ?平面1C DE ,DE ì平面1C DE //MN ∴平面1C DE

(2)设AC BD O =I ,11111AC B D O =I 由直四棱柱性质可知:1OO ⊥平面ABCD

Q 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥

则以O 为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:

则:(

)

3,0,0A

,()0,1,2M ,)1

3,0,4A ,D (0,-1,0)31,222N ??

-

? ???

取AB 中点F ,连接DF

,则01,22F ?? ? ???

Q 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=o BAD ∴?为等边三角形 DF AB ∴⊥

又1AA ⊥平面ABCD ,DF ?平面ABCD 1DF

AA ∴⊥

DF ⊥∴平面11ABB A ,即DF ⊥平面1AMA

DF ∴u u u r

为平面1AMA

的一个法向量,且3,022DF

??= ? ???

u u u r 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r

,又)11,2MA =-u u u u r

,3,02

2MN ??=-

? ??

?

u u u u r

120

3

022n MA y z n MN x y ??=-+=?

∴??=-=??

u u u u v r u u u u v r

,令x =1y =,1z =-

)

1n ∴=-r

cos ,5DF n DF n DF n ?∴<>===?u u u r r

u u u r r u u u r r

sin ,DF n ∴<>=u u u r r

∴二面角1A MA N --

【点睛】

本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型. 19.(1)12870x y --=;(2

)3

. 【解析】 【分析】

(1)设直线l :3

y =

x m 2

+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得121x x =+;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :

2

3

x y t =

+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果. 【详解】

(1)设直线l 方程为:3

y =

x m 2

+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 125

2

x x ∴+=

联立232

3y x m y x ?=+???=?得:()22

9121240x m x m +-+= 则()2

212121440m m ?=--> 1

2m ∴<

1212125

92m x x -∴+=-=,解得:78

m =-

∴直线l 的方程为:37

28

y x =

-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:2

3

x y t =+

联立223

3x y t y x

?

=+???=?得:2230y y t --= 则4120t ?=+> 1

3

t ∴>-

122y y ∴+=,123y y t =-

3AP PB =u u u r u u u r

Q 1

23y y ∴=- 21y ∴=-,13y = 123y y ∴=-

AB ==

=

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系. 20.(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】

(1)求得导函数后,可判断出导函数在1,2π??- ???上单调递减,根据零点存在定理可判断出00,2x π???∈ ???

,使得()00g x '=,进而得到导函数在1,2π??

- ???

上的单调性,从而可证得结论;(2)由(1)的结论可知0

x =为()f x 在(]

1,0-上的唯一零点;当0,2x p 骣÷?西?÷?÷

桫时,首先可判断出在()00,x 上无零点,再利用零点存在定理得到()f x 在0,

2x π?

?

??

?

上的单调性,可知()0f x >,不存在零点;当,2x ππ??

∈?

???

时,利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点;当(),x π∈+∞,可证得()0f x <;综合上述情况可证得结论.

【详解】

(1)由题意知:()f x 定义域为:()1,-+∞且()1cos 1

f x x x '=-+ 令()1

cos 1g x x x =-

+,1,2x π??∈- ??? ()()21

sin 1g x x x '∴=-+

+,1,2x π??

∈- ??

? ()

2

1

1x +Q

在1,2π??- ???上单调递减,1111,7n n a a +-=在1,2π??- ???

上单调递减

()g x '∴在1,2

π?

?- ??

?

上单调递减

又()0sin0110g '

=-+=>,()

()

2

2

4

4

sin 102222g ππππ??'=-+

=

-< ???

++

00,2x π??

∴?∈ ???

,使得()00g x '=

∴当()01,x x ∈-时,()0g x '>;0,2x x π??

∈ ??

?时,()0g x '<

即()g x 在()01,x -上单调递增;在0,2x π??

??

?

上单调递减 则0x x =为()g x 唯一的极大值点

即:()f x '在区间1,2π??

- ???

上存在唯一的极大值点0x .

(2)由(1)知:()1

cos 1

f x x x '=-

+,()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时,由(1)可知()f x '在(]1,0-上单调递增

()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减

又()00f =

0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点

②当0,

2x π??

∈ ??

?

时,()f x '在()00,x 上单调递增,在0,

2x π??

??

?

上单调递减 又()00f '= ()00f x '

∴>

()f x ∴在()00,x 上单调递增,此时()()00f x f >=,不存在零点

又22cos 02222f ππππ??'=-=-< ?

++??

10,2x x π??

∴?∈ ??

?,使得()10f x '=

()f x ∴在()01,x x 上单调递增,在1,2x π??

???

上单调递减

()()000f x f >=,2sin ln 1ln

ln102222

e f ππππ????

=-+=>= ? ?+??

?

?

()0f x ∴>在0,2

x π??

??

?

上恒成立,此时不存在零点

③当,2x ππ??

∈?

???

时,sin x 单调递减,()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ??

????

上单调递减

又02f π??> ???

,()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f

f ππ???<

???

,又()f x 在,2ππ??

????上单调递减 ∴()f x 在,2ππ??

????

上存在唯一零点

④当(),x π∈+∞时,[]sin 1,1x ∈-,()()ln

1ln 1ln 1x e π+>+>=

()sin ln 10x x ∴-+<

即()f x 在

(),π+∞上不存在零点

综上所述:()f x 有且仅有2个零点 【点睛】

本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点,另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性,二者缺一不可.

21.(1)见解析;(2)(i )见解析;(ii )41

257

p =. 【解析】 【分析】

(1)首先确定X 所有可能的取值,再来计算出每个取值对应的概率,从而可得分布列;(2)(i )求解出,,a b c 的取值,可得

()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=???,从而整理出符合等比数列定义的

形式,问题得证;(ii )列出证得的等比数列的通项公式,采用累加的方式,结合8p 和0p 的值可求得1p ;

再次利用累加法可求出4p . 【详解】

(1)由题意可知X 所有可能的取值为:1-,0,1

()()11P X αβ∴=-=-;()()()011P X αβαβ==+--;()()11P X αβ==-

则X 的分布列如下:

(2)0.5α=Q ,0.8β=

0.50.80.4a ∴=?=,0.50.80.50.20.5b =?+?=,0.50.20.1c =?=

(i )()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=???Q

()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=???

整理可得:()11541,2,,7i

i i p p p i -+=+=??? ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=???

{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =???是以10p p -为首项,4为公比的等比数列

(ii )由(i )知:

()110144i i i i p p p p p +-=-?=?

78714p p p ∴-=?,67614p p p -=?,……,01014p p p -=?

作和可得:(

)

88017

8011114414441143

p p p p p ---=?++???+===-

183

41

p ∴=

- (

)

440123

44011841441311

44441434141257

p p p p p --∴=-=?+++==?==

--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认

为甲药更有效的概率为41

0.0039257

p =

≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种实验方案合理.

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A .165 cm B .175 cm C .185 cm D .190 cm 5.函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A . B . C . D . 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A . 516 B . 1132 C . 2132 D . 1116 7.已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A . π6 B . π3 C . 2π3 D . 5π6 8.如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

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全国普通高等学校招生全国统一考试 (全国一卷)理科数学 一、选择题:(本题有12小题, 每小题5分, 共60分。) 1、设z= , 则∣z ∣=( ) A.0 B. 12 C.1 D. 2 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}, 则CR A =( ) A 、{x|-12} D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A. 新农村建设后, 种植收入减少 B. 新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后, 养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和, 若3S 3 = S 2+ S 4, a 1 =2, 则a 5 =( ) A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数f (x )=x 3+(a-1)x 2+ax .若f (x )为奇函数, 则曲线y= f (x )在点(0, 0)处的切线方程为( ) 建设后经济收入构成比例 建设前经济收入构成比例

A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x 6、在?ABC中, AD为BC边上的中线, E为AD的中点,则EB=() A. 34 AB - 14 AC B. 14 AB - 34 AC C. 34 AB + 14 AC D. 14 AB + 34 AC 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为() A. 217 B. 25 C. 3 D. 2 8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2, 0)且斜率为23的直线与C交于M, N两点,则FM ·FN =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范 围是( ) A. [-1, 0) B. [0, +∞) C. [-1, +∞) D. [1, +∞) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB, AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为 p 1, p 2 , p 3 ,则( ) A. p 1 =p 2 B. p 1 =p 3 C. p 2 =p 3 D. p 1 =p 2 +p 3 11.已知双曲线C:x23 - y2=1, O为坐标原点, F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N. 若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=( )

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2019年高考数学试题(及答案) 一、选择题 1.下列函数图像与x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( ) A . B . C . D . 2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( ) A . B . C . D . 3.设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈,2 {|20,}N x x x x R =-=∈,则M N ?=( ) A .{}0 B .{}0,2 C .{}2,0- D . 2,0,2 4. ()()3 1i 2i i --+=( ) A .3i + B .3i -- C .3i -+ D .3i - 5.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游,每人只去一个景点,设事件A 为“三个人去的景点各不相同”,事件B 为“甲独自去一个景点,乙、丙去剩下的景点”,则(A |B)P 等于( ) A . 49 B . 29 C . 12 D . 13 6.设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>,)的左、右焦点分别为12F F ,,过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ,,连结22MF NF ,,若220MF NF ?=,22MF NF =,则双曲线C 的离心率为( ). A 2 B 3 C 5 D .6 7.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙

两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( ) A . 54 钱 B . 43 钱 C . 32 钱 D . 53 钱 8.某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人,用分层抽样的方法从中抽取20人,各年龄段分别抽取的人数为( ) A .7,5,8 B .9,5,6 C .7,5,9 D .8,5,7 9.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ,则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 10.下列说法正确的是( ) A .22a b ac bc >?> B .22a b a b >?> C .33a b a b >?> D .22a b a b >?> 11.设0<a <1,则随机变量X 的分布列是 X a 1 P 13 13 13 则当a 在(0,1)内增大时( ) A .()D X 增大 B .()D X 减小 C .()D X 先增大后减小 D .()D X 先减小后增大 12.已知抛物线2 2(0)y px p =>交双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线于A ,B 两点 (异于坐标原点O 5AOB ?的面积为32,则抛物线的焦点为( )

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2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ?=( ) A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( ) A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===,则( ) A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体 .若某人满足上述两个黄金分割

近五年高考数学全国1卷

一.选填题(每题5分) 1. (2017年,第6题)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 2. (2017年,第16题)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________。 3. (2016年,第7题)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ,则它的表面积是 ( ) (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 4.(2016年,第11题)平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,,,则m ,n 所成角的正弦值为 ( ) (A )(B )(C )(D ) 5.(2015年,第6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有 斛 斛 斛 斛 6.(2015年,第11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π+,则r = (A )1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.(2014年,第8题)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

2017年全国高考理科数学试题及答案全国1卷

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<,,则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x => D .A B =? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A . 1 4 B . 8π C .12 D . 4 π 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A .13,p p B .14,p p C .23,p p D .24,p p

2019年高考数学试卷(含答案)

2019年高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1.如图,点是抛物线的焦点,点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动,且 总是平行于轴,则 周长的取值范围是( ) A . B . C . D . 2.定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?,则函数()12x f x =⊕的图象是( ). A . B . C . D . 3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( ) A .22y x =- B .1()2 x y = C .2y log x = D .() 2 112 y x = - 4.设5sin 7a π=,2cos 7b π=,2tan 7 c π=,则( ) A .a b c << B .a c b << C .b c a << D .b a c << 5.若满足 sin cos cos A B C a b c ==,则ABC ?为( ) A .等边三角形 B .有一个内角为30的直角三角形

C .等腰直角三角形 D .有一个内角为30的等腰三角形 6.一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8,则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有( ) A .14 B .15 C .16 D .17 7.ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b = ,则 c =( ) A .23 B .2 C .2 D .1 8.在“近似替代”中,函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值( ) A .只能是左端点的函数值()i f x B .只能是右端点的函数值1()i f x + C .可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +) D .以上答案均正确 9.函数y =2x sin2x 的图象可能是 A . B . C . D . 10.若实数满足约束条件,则的最大值是( ) A . B .1 C .10 D .12 11.已知ABC 为等边三角形,2AB =,设P ,Q 满足AP AB λ=, ()()1AQ AC λλ=-∈R ,若3 2 BQ CP ?=-,则λ=( ) A . 12 B . 12 2 ± C . 110 2 ± D . 32 2 ±

2016全国一卷理科数学高考真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.设集合{ }2 430A x x x =-+<,{ } 230x x ->,则A B =I (A )33,2??-- ??? (B )33,2??- ??? (C )31,2?? ??? (D )3,32?? ??? 2.设yi x i +=+1)1(,其中y x ,是实数,则=+yi x (A )1 (B )2 (C )3 (D )2 3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 (A )()1,3- (B )(- (C )()0,3 (D )( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 7.函数2 2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为 (A ) B ) (C ) D )

8.若101a b c >><<,,则 (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足 (A )2y x = (B )3y x = (C )4y x = (D )5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |= DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α αI α I 21 3 知函数 ()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤ =- , 为()f x 的零 点,4 x π= 为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ?? ?? ?,单调,则ω的最大值为 (A )11????????(B )9?????(C )7????????(D )5 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分 13.设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 14.5(2x 的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) 15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 . 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料,乙材料,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分为12分) ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = (I )求C ; 结束

2019年数学高考试题(含答案)

2019年数学高考试题(含答案) 一、选择题 1.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23,样本点的中心()4,5,则回归直线方程为( ) A . 1.2308?.0y x =+ B .0.0813?.2y x =+ C . 1.234?y x =+ D . 1.235?y x =+ 2.已知在ABC 中,::3:2:4sinA sinB sinC =,那么cosC 的值为( ) A .14 - B . 14 C .23 - D . 23 3.123{ 3 x x >>是12126{ 9 x x x x +>>成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .即不充分也不必要条件 4.设是虚数单位,则复数(1)(12)i i -+=( ) A .3+3i B .-1+3i C .3+i D .-1+i 5.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M ?N 中元素的个数为( ) A .2 B .3 C .5 D .7 6.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(?q );④(?p )∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④ 7.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A .19 B .29 C .49 D . 718 8.若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60?,那么3a b -等于( ) A 7B 10 C 13 D .4 10.已知函数()32cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点,则m 的取值范围是 A .(1,2) B .[1,2) C .(1,2] D .[l,2] 11.在ABC 中,若 13,3,120AB BC C ==∠=,则AC =( ) A .1 B .2 C .3 D .4 12.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{} 2N x x =≥-,则M N ?=( )

2019年高考真题理科数学(全国II卷)

AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB?BC=( ) M233 3

7.8.9.10.11. 12.13.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) α内有无数条直线与β平行 α内有两条相交直线与β平行α,β平行于同一条直线α,β垂直于同一平面 若抛物线y =2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p =1的一个焦点,则p=( ) 2348下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2 )单调递增的是( )f(x)=|cos2x| f(x)=|sin2x|f(x)=cos|x|f(x)=sin|x|已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )15553325 5设F为双曲线C:x 2a 2-y 2b 2 =1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x +y =a 交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )2325 设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89 ,则m的取值范围是( )(-∞,94](-∞,73](-∞,52](-∞,83 ]我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . A. B. C. D. 2A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 222A. B. C. D. A. B. C. D.

2018高考全国1卷理科数学试卷及答案

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (全国一卷)理科数学 一、选择题,本题共12小题,每小题5份,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设i i i z 211++-=,则=z A.0 B. 2 1 C.1 D.2 2. 已知集合{ } 02|2 >--=x x x A ,则=A C R A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>-

线方程为 A.x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y = 6.在ABC ?中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则=EB A.AC AB 4143- B.AC AB 43 41- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4 341+ 7.某圆柱的高为2,地面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A.172 B.52 C.3 D.2 8.设抛物线x y C 4:2 =的焦点为F ,过点()0,2-且斜率为 3 2 的直线与C 交于N M ,两点,则=?FN FM A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=?? ?>≤=,0 ,ln 0 ,,若()x g 存在2个零点,则a 的取值范围是 A.[)0,1- B.[)+∞,0 C.[)+∞-,1 D.[)+∞,1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AC AB ,,ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点,此点取自的概率分别记为321,,p p p ,则 A B

2019年高考理科数学考试大纲

理科数学 Ⅰ.考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有:描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力:抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

2019年上海高考数学试卷及答案

2019年上海高考数学试卷 一、填空题(每小题4分,满分56分) 1.函数1()2 f x x = -的反函数为1 ()f x -= . 2. 若全集U R =,集合{1}{|0}A x x x x =≥≤U ,则U C A = . 3.设m 是常数,若点F (0,5)是双曲线 22 19 y x m -=的一个焦点,则m = . 4.不等式 1 3x x +≤的解为 . 5.在极坐标系中,直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . (结果用反三角函数值表示) 6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ,若75,60CAB CBA ∠=∠=o o ,则A 、C 两点之间的距离为 千米. 7.若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为 . 8.函数sin cos 26y x x ππ???? =+- ? ????? 的最大值为 . 9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表: x 1 2 3 ()P x ξ= ! 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“”处字迹模糊,但能断定这两个“”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E ξ= . 10.行列式 (,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-所有可能的值中,最大的是 . 11.在正三角行ABC 中,D 是BC 上的点.若AB =3,BD =1,则AB AD =u u u r u u u r g . 12.随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为 (默认每个月的天数相同,结果精确到). 13. 设()g x 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的

数学全国高考1卷试题及答案

数学全国高考1卷试题及答案 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页, 第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成, 答在本试题上无效(https://www.360docs.net/doc/7e2922912.html,). 4.考试结束后, 将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 【答案】D 【答案】B 【解析】 【答案】C 【解析】 【答案】B 【解析】

试题分析:由题意, 这是几何概型问题, 班车每30分钟发出一辆, 小明到达时间总长度为40, 等车不超过10分钟, 符合题意的是是7:50-8:00, 和8:20-8:30, 故 所求概率为 , 选B. (5)已知方程x2m2+n –y2 3m2–n =1表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n 的 取值范围是 (A )(–1,3) (B )(–1,3) (C )(0,3) (D )(0,3) 【答案】A (6)如图, 某几何体的三视图是三个半径(https://www.360docs.net/doc/7e2922912.html,)相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3, 则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A (7)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 (A )(B )

(C)(D) 【答案】C 【解析】

12.已知函数()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤=- , 为()f x 的零点学.科网, 4 x π = 为()y f x =图像的对称轴, 且()f x 在51836ππ?? ?? ?,单调, 则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题, 考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题, 每小题5分 (13)设向量a =(m , 1), b =(1, 2), 且|a +b |2=|a |2+|b |2, 则m =. (14)5(2x + 的展开式中, x 3的系数是.(用数字填写答案) (15)设等比数列满足a 1+a 3=10, a 2+a 4=5, 则a 1a 2…a n 的最大值为。 (16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A 需要甲材料1.5kg, 乙材料1kg, 用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg, 乙材料0.3kg, 用3个工时, 生产一件产品A 的利润为2100元, 生产一件产品B 的利润为900元。学.科网该企业现有甲材料150kg, 乙材料90kg, 则在不超过600个工时的条件下, 生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元。 三.解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (17)(本题满分为12分) ABC V 的内角A , B , C 的对边分别别为a , b , c , 已知 2cos (cos cos ).C a B+b A c = (I )求C ;

2018高考理科数学全国一卷试题及答案

2018高考理科数学全国一卷 一.选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变 化情况,统计了该地区系农村建设前 后农村的经济收入构成比例。得到 如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视 图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面 上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8

9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数 字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题: 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值

2018高考数学全国一卷

2018年普通高等学招生全国统一考试 (全国一卷)理科数学 一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。 1、设z=,则|z|= A、0 B、 C、1 D、 【答案】C 【难度】中等 【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 2、已知集合A={x|x2-x-2>0},则A= A、{x|-12} D、{x|x-1}∪{x|x2} 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座第一章《集合》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是: A、新农村建设后,种植收入减少。 B、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。 C、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。 D、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。 【答案】A

【难度】容易 【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座第六章《数列》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为: A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】D 【难度】中等 【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座第二章《函数》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= A、-- B、-- C、-+ D、- 【答案】A 【难度】中等 【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱 表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为A、 B、

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