最短路径问题教学设计
13.4课题学习
最短路径问题
张龙乡第一初级中学
王玉
最短路径问题
教学内容解析：
本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
教学目标设置：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题
2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点：
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
学生学情分析：
1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要
在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。
2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。
教学策略分析：
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC及BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，及直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（及所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，及直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。
教学条件分析:
在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。
教具准备：直尺、几何画板，ppt
教学过程：
环
节
教师活动学生活动设计意图
一
复习引入1.【问题】：看到图片，回
忆如何用学过的数学知识
解释这个问题？
2.这样的问题，我们称为
“最短路径”问题。
1、两点之间，线段最
短。
2、两边之和大于第三
边。
从学生已经
学过的知识
入手，为进
一步丰富、
完善知识结
构做铺垫。
二探究新知1.探究一：
【故事引入】：唐朝诗人李
颀在《古从军行》中写道：
“白日登山望峰火，黄昏
饮马傍交河．”诗中就隐
含着一个有趣的数学问
题，古时候有位将军，每
天从军营回家，都要经过
一条笔直的小河。而将军
的马每天要到河边喝水，
那么问题来了，
问题：怎样走才能使总路
程最短呢？
认真读题，仔细思考。
将实际问题中的“地
点”“河”抽象为数
学中的
从异侧问题
入手，由简
到难，逐步
深入。
“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。
二探究新知2.探究二：
【变换情境】：后来将军把
家搬到了河的对面，若还
是要带马先到河边喝水，
然后再回家，应该怎样走，
才能使总路程最短呢？
（1）【转化】：你能将实际
问题抽象为数学问题吗？
（2）【展示】：
让学生猜想，并画出图形。
巡视发现学生不同的作法
（尽可能多），分别展示各
小组的作法。
【回答】：学生思考并
回答，如何将实际问
题转化为数学问题。
已知：直线L和同侧
两点A、B
求作：直线L上一点
C，使C满足AC+BC的
值最小。
【学生展示】：
作法1：
作法2：：
学生主动探
索，充分发
挥学生的主
动性。
展示多种方
法，产生思
维冲突，引
发学生进一
步探究的学
习欲望。
给予学生一定的提示。
（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。作法3：
【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。
第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短
第3种作法应该是正
说明证明过程，教师版书。
（3）共同完成证明过程。三
发散思维除了作点B关于直线l的
对称点以外，还有没有别
的作法？
还可以作点A关于直
线l的对称点。
发散思维，
培养学生一
题多解的能
力。
四
得出结论【问题】：我们是如何解决
将军饮马问题的？
先将实际问题转化为
数学问题。然后作其
中一个点关于直线l
的对称点，连接对称
点和另一点及直线的
交点就是满足最短距
离的点的位置。
让学生反思
刚才的探究
过程。培养
数学思维，
和及时总结
所学的知识
的好习惯。
五
范例分析1.【问题】：如图，一个旅
游船从大桥AB的P处前往
山脚下的Q处接游客，然
后将游客送往河岸BC上，
再回到P处，请画出旅游
船的最短路径。
在具体问题
中实践已有
模型，固化
已有模型。
为进一步丰
富、完善知识结构做铺垫。
六巩固练习1.【题目】：如图，直线l
是一条河，P、Q为河同
侧的两地，欲在l上某
处修建一个水泵站M，
分别向P、Q两地供水，
四种方案中铺设管道
最短的是（）
2.【题目】：如图，在直
角三角形ABC中，角A
＝30度，角C为直角，
且BC=1，MN为AC的垂
直平分线，设P为直线
MN上任一点，PB+PC的
最小值为
3.如图，正方形ABCD边
长为8，M在BC上，BM
＝2，N为AC上的一动
点，则BN+MN的最小值
为
将军饮马模型的直接
应用。习题难度，
由易到难，
逐步深入。
让学生进一
步巩固解决
最短路径问
题的基本策
略和基本方
法。
七课堂1.【问题】：本节课研究问
题的基本过程是什么？
当我们遇到一个实际问
题，首先，我们要将实际
我们要先将实际问题
变成一个数学问题，
然后观察实验，提出
猜想，之后通过证明，
培养学生总
结在课题学
习的基本思
路。
目标检测设计：
题目1、（课后练习）课本93页，第15题。
设计意图：
本题难度适中，适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础。
题目2、（拓广探索）在∠AOB内有一点P，在射线OA上找一点M，在射线OB上找一点N，使的周长最短。
设计意图：
学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。