山东省烟台市2020届高三4月模拟考试(一模)数学【带答案】

绝密★启用前

2020年高考诊断性测试

数 学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求。 1.已知集合{}

ln(1)M x y x ==+，{

}e

x

N y y ==，则M N =I

A .(1,0)-

B .(1,+)-∞

C .(0,+)∞

D .R 2.已知复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则z =

A .1i +

B .1i -

C .12i +

D .12i - 3.设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“2230x x +->”的

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 4.数列{}n F ：1

21F F ==，()122n n n F F F n --=+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202

年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列

{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为

A .33

B .34

C .49

D .50

5.设ABCD 为平行四边形，||4AB =u u u r ，||6AD =u u u r ，3

BAD π

∠=．若点,M N 满足

BM MC =uuu r uuu r ，2AN ND =uuu r uuu r

，则NM AM =uuur uuu r g

A .23

B .17

C .15

D .9

6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下 后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为 A .

3

32

B .

1564 C .5

32

D .516

7.设P 为直线3440x y -+=上的动点，,PA PB 为圆2

2:(2)1C x y -+=的两条切线，,A B 为切

点，则四边形APBC 面积的最小值为 A.

3 B.23 C.5 D.25

8.已知函数e e ()e e

x x

x x

f x ---=+，实数,m n 满足不等式(2)(2)0f m n f n -+->，则下列不等关系成立的是

A.1m n +>

B.1m n +<

C.1m n ->-

D.1m n -<-

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是 A .16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大

B .16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数

C .16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000

D .19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和

10.已知P 是双曲线22

:

13x y C m

-=上任一点，,A B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线,PA PB 的斜率分别为1212,(0k k k k ≠），若12||||k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为2

33

，则下列说法正确的是

A .双曲线的方程为2

213

x y -= B .双曲线的离心率为2

C .函数log (1)(0,1)a y x a a =->≠的图象恒过C 的一个焦点

D .直线230x y -=与C 有两个交点 11.如图，在棱长为1的正方体

1111ABCD A B C D -中，,P M 分别为棱

1,CD CC 的中点，Q 为面对角线1A B 上任一点，则下列说法正确的是

A .平面APM 内存在直线与11A D 平行

B .平面APM 截正方体1111ABCD A B

C

D -所得截面面积为98

C .直线AP 和DQ 所成角可能为60o

D .直线AP 和DQ 所成角可能为30o 12.关于函数

()e sin x f x a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是

A .当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=

B .当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且01()0f x -<<

C .对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点

D .存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知tan 2α

=，则cos(2)2

π

α+=

14.3

6

(1)(2)x x x

++

的展开式中3x 项的系数是（用数字作答） 15.已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，3BC =，若S 是球面上任意一点，

则三棱锥S ABC -体积的最大值为 16.已知F 为抛物线2

2(0)x

py p =>的焦点，点(1,)A p ，M 为抛物线上任意一点，||||

MA MF +的最小值为3，则抛物线方程为 ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线于,P Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分）

已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 3(cos +cos )a A b C c B =. （1）求角A ； （2）若23b =BC 边上的高为3，求c .

18.（12分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，1

4a b =， ，28b =，

1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1{}n

S 的前k 项和1516

k T >，若存在，求出k 的最小值；

若不存在，说明理由.

从①4

20S =，②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并

A

B

C

P

F

E

G 作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（12分）

如图，三棱锥P ABC -中，点E ,F 分别是AB ,PB 的中点，点G 是BCE ?的重心. （1）证明：//GF 平面PAC ；

（2）若平面PAB ⊥平面ABC ,PA PB =,PA PB ⊥,

AC BC ⊥，2AB BC =,求平面EFG 与

平面PFG 所成的锐二面角的余弦值.

20.（12分）

推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下： 得分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70, 80) [80,90) [90,100] 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数

20

50

80

110

100

40

20

（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60

分）两类，完成22?列联表，并判断是否有95%的

把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别” 有关?

（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10 人，连同*

()n n ∈N

名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这10n +人中随机抽取3人作

为队长，且男性队长人数ξ的期望不小于2，求n 的最小值.

附：2

2

(),()()()()()

n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=

=+++++++. 临界值表：

不太了解 比较了解

男性 女性

2

0()P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

21.（12分） 已知函数1ln ()()x

f x a a x

+=

-∈R . （1）若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围，并证明：对任意的n *

∈N ，都

有111

1ln(1)23n n

+

+++>+L ； （2）设2()(1)e x

g x x =-，讨论方程()()f x g x =实数根的个数.

22.（12分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点2)M ，且焦距为4.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设P 为直线l ：22y =Q 为椭圆C 上一点，以PQ 为直径的圆恒过

坐标原点O .

（i ）求2

2

4OP OQ +的取值范围；

（ii ）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程;若不存在，

说明理由．

2020年高考诊断性测试

数学参考答案

一、单项选择题

1. C

2. B

3. A

4. B

5. B

6. D

7. A

8. C 二、多项选择题

9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题

13.

45

-

14. 300 15. 3+23

16. 24x y =，43四、解答题

17．解：（1）因为2cos 3(cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得

所以2sin cos 3(sin cos sin cos )A A B C C B =+, …………………………1分

即 2sin cos 3)A A B C =+， …………………………2分 又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=

所以2sin cos 3A A A =， …………………………3分 而0A π<

<，sin 0A ≠

所以

3

cos A =

，

所以6

A π

=

. …………………………4分

（2）因为11

sin 22ABC BC

S bc A a h ?==? …………………………5分 将23b =，3

BC h =，

1sin 2A =

代入，得

33c

a =

. …………………………6分 由余弦定理得222

2cos a b c bc A =+-，

于是

22233(

)(23)22332c c =+-?， …………………………8分

即 2

9180c c -+=，解得3c =或6c =. …………………………10分

18．解：设等比数列

{}n b 的公比为q （0q >）

，则

18

b q =

，38b q =，

于是8

384q q -?=， …………………………2分

即

2

620q q +-=，解得

12q =

，2

3q =-（舍去）. …………………………4分 若选①：则

142

a b ==，

4143

4202S a d ?=+

=，

解得2d

=， …………………………6分

所以

2(1)

222n n n S n n n -=+

?=+， …………………………8分

1111

(1)1n S n n n n ==-

++， …………………………9分

于是

12111111111+(1)()()122311k k T S S S k k k =

++=-+-++-=-++L L ……10分

令

1151116k -

>

+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. ……12分 若选②：则142

a b ==，

1132

32(2)2a d a d ?+

=+，解得12a d ==.

下同①.

若选③：则

142

a b ==，

113(2)(3)8

a d a d +-+=，解得

4

3d =

. ………………6分

于是

2(1)424

22333n n n S n n n -=+

?=+， …………………8分

131311

()2(2)42

n S n n n n =?=-++， ……………………9分

于是31111111[(1)()()()]

4324112k T k k k k =-+-++-+--++L

3111(1)4212k k =+--++ 9311()

8412k k =

-+++， ………………………………………10分

令

1516k T >

，得111

124k k +<

++，

注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7. ………………………12分

19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，

因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点, 所以DE 是ABC ?的中位线，所以//

DE AC ， …………………………2分

又DE PAC ?平面，AC PAC ?平面，

所以//DE PAC 平面.

同理可证//EF PAC 平面. ………………………………………3分 又DE EF E =I ，,DE DEF EF DEF ??平面平面，

所以平面//DEF PAC 平面， ……………………………………4分 因为GF DEF ?平面，所以//GF PAC 平面. ………………………………5分 （2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，

又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ?平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABC .

以E 为坐标原点，以向量

,EB EP u u u r u u u r 所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP u u u r u u u r

垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. ………6分

设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11

(0,,)

22F ， 31(,0)62G ，

11(0,,)22FE =--u u u r ，31

()62FG =-u u u r ， 11(0,,)

22FP =-u u u r . ……………………7分

设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，

则0

0FE FG ?=??=??

u u u r

g u u u r g m m ，即030y z x z +=???=??， 令1z =，得1y =-，3x =

(3,1,1)=-m …………………………9分

又平面PFG 的一个法向量为

111(,,)

x y z =n ，

则0

0FG FP ?=??=??

u u u r g u u u r g n n ，即1111300x z y z ?=??-=??， 令11

y =，得

11

z =，

13x =

于是取

(3,1,1)=n ………………………………………………11分 设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，

则

3

cos cos ,555θ=<>=

==?g m n m n m n .

所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为3

5. ………………12分

20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为

1301109011010060

0.6

1000+++++=，

故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分

不太了解

比较了解

（2）由题意得列联表如下：

…………3分

2

K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ??-?=≈??? …………………5分

因为5.542 3.841>

所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分

随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

其中03

64

3

10

(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,21643

10(2)n n C C P C ξ++==,3

6

310

(3)n n C P C ξ++==, ………………9分 所以随机变量ξ的分布列为

0312213646464

6333310101010

01232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=?+?+?+?≥ ………………10分

122133

64646101232n n n n C C C C C C ++++?+?+?≥,

可得，11

6(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)

23n n n n n n n n n ++++++++≥+++， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，

3(6)2(10)n n +≥+，

男性 250 330 女性

150

270

ξ

1

2

3

P

03

64

3

10

n n C C C ++ 12

64

3

10

n n C C C ++ 21

64

3

10

n n C C C ++ 3

6

3

10

n n C C ++

解得2n ≥. …………………………………………12分

21．解：（1）由()0f x ≤可得，

1ln (0)x

a x x +≥

>，

令

1ln ()x h x x +=，则221

(1ln )

ln ()x x x x h x x x ?-+-'==， ………………1分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1

+)x ∈∞，时，()0h x '

<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值， ………………3分

要使

1ln x

a x +≥

，只需(1)1a h ≥=，

故a 的取值范围为1a ≥， ………………4分

显然，当1a =时，有1ln 1

x

x +≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立， 令

11()n x n n *+=

>∈N ，则有

111

ln 1n n n n n ++<-=， 所以231111ln ln ln 11

223n n n ++++<++++

L L ， 即：111

1ln(1)23n n ++++>+L ； ………………6分 （2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x

x

a x x +=--，

令

21ln ()(1)e x x t x x x +=

--，则22ln ()(1)e x

x

t x x x -'=--， ………………8分

当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单增，当(1

+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单减， 故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =， ………………10分 又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞， ………………11分

所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解. ………………12分 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得

222242

14a b a b ?+=???-=?，解得22

84a b ==，，所以椭圆C 的方程为22

184x y +=． ……3分

（2）设

11(,22),(,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，

所以

11220OP OQ x t y =+=u u u r u u u r g ，即1

122y =. ……………………4分 因为Q 点在椭圆上，所以22

111

84x y +=.

（i ）将1122y =212

324x t =+，221244t y t =+， 于是2

2

2

2

21

1

4=(8)4()OP OQ t x y ++++2

264244t t =+++,t ∈R . …………5分

因为

2

264244t t +++2

264+4204t t =+++22

64(+4)204t t ≥?+36= 当且仅当

2264

+4=

4t t +，即=2t ±时，取等号.

所以

2

2

4OP OQ

+的取值范围为[36,)+∞. ……………………………………7分

（ii ）存在.定圆的方程为

224x y +=.

假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值. 因为

11(,22),(,)P t Q x y ，所以直线PQ 方程为

11()(22)(22)()0x t y y x t -----=，

整理可得

1111(22)()220y x x t y ty x ----+=， ………………………………8分

所以O 到直线PQ 的距离

1122

11|22|(22)()ty x d y x t -+=

-+-， …………………………9分

由（i ）知，1122y =，得212

324x t =+，

221244t y t =+， 11220x t +=，注意到10x ≠，知

1

122t x =-

.

所以

222111112|22||22|22224ty x x t t -+=+=++， …………………10分 22222111111

(22)()8422y x t y x t y tx -+-=

+++--

222

22

2

1

1

22243288444t y x t t t t t =+++=+++=

+++， ……………………11分

所以

112

2

11222(22)()

x d r

y x t =

==-+-，

因此，直线PQ 与圆

224x y +=恒相切. …………………………………………12分