中考数学专题训练全等三角形(word无答案)

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专题训练：全等三角形

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1．（2019 春?道外区期末）已知，如图 1，BD、CE 是锐角△ABC 的高，点 F 在

BD 上，BF=AC，点 G 在 CE 的延长线上，CG=AB．

（1）求证：∠BAF=∠CGA；

（2）在图 1 中，过点 F、G 分别作过点 A 的直线的垂线，垂足分别为点 M、N （如图 2），试判断线段 MN 与线段 FM、GN 之间的数量关系，并证明你的结论．

2．（1）观察理解：如图1，△AB C 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l 过点C，点A，

B 在直线 l 同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为 D，E，由此可得：

∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以

∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=

∠BCD，又因为 AC=BC，所以△AEC≌△CDB（）；（请填写全等判定的

方法）

（2）理解应用：如图 2，AE⊥AB，且 AE=AB，BC⊥CD，且 BC=CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 S= ；（3）类比探究：如图 3，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C 的面积．

（4）拓展提升：如图 4，等边△EBC 中，EC=BC=3cm，点 O 在 BC 上，且OC=2cm，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以 1cm/s 速度运动，连结 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转120°得到线段 OF．设点 P 运动的时间为 t 秒．

①当 t= 秒时，

OF∥ED；

②当 t= 秒时，

OF⊥BC；

③当 t= 秒时，点 F 恰好落在射线

EB 上．

3．【问题探索】如图1，在Rt△ABC 中，∠AC B=90°，AC=BC，点D、E 分别在AC、

BC 边上，DC=EC，连接 DE、AE、BD，点 M、N、P 分别是 AE、BD、AB 的中点，连接 PM、PN、MN．探索 BE 与 MN 的数量关系．聪明的小华推理发现 PM 与 PN 的关系为，最后推理得到 BE 与 MN 的数量关系为．

【深入探究】将△DEC 绕点 C 逆时针旋转到如图 2 的位置，判断（1）中的 BE 与 MN 的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说

明理由；

【解决问题】若 CB=8，CE=2，在将图 1 中的△ＤEC 绕点 C 逆时针旋转一周的

过程中，当 B、E、D 三点在一条直线上时，求 MN 的长度．

4．如图1，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC⊥BC，且AC=BC；△EF P的边FP 也在

直线l 上，边EF 与边AC 重合，且

EF=FP．

（1）示例：在图 1 中，通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量

关系和位置关系．

答：AB 与AP 的数量关系和位置关系分别

是、．

（2）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连结AP， BQ．请你观察、测量，猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系．答： BQ 与 AP 的数量关系和位置关系分别是、．（3）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连结 AP、BQ．你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位

置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

．

5．如图，在△AB C 中，AB=A C，∠A=90°，点D 为AC 上一点，连接BD，在边BC

上取点 E，使∠EDC=∠ADB，过 E 作EF⊥BD 于 K，交直线 AB 于 F．

（1）如图①，求证：BF=2AD；

（2）如图②，在（1）的条件下，连接 AE．交 BD 于 M，若 ED=2EF，请您探究线段 AM 与 ME 之间的数量关系，并证明您的结论．

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6．操作探究自我操作：如图 1 所示，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN

相交于点 O，利用此图，作一对以点 O 为对称中心的全等△MOA 和△NOB，并

使 A、B 两点都在直线 PQ 上．（只保留作图痕迹，不写作法）

（1）探究 1：如图 2 所示，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，点 E 为 BC 的中点，∠ BAE=∠EAF，AF 与 DC 相交于点 F，试探究线段 AB 与 AF，CF 之间的等量

关系，并证明你的结论．

（2）探究 2：如图 3 所示，DE，BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC=1：

2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．试探究线段 AB 与 DF，CF 之间的等量关系，并证明

你的结论．

（3）发现：如图 3 所示，DE，BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．则线段AB 与DF，CF 之间的等量关系为．

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7．如图1，以△ABC 的边AB，AC 为直角边作等腰△AB E 和△ACD，M是BC 的

中点．

（1）若∠BAC=90°，如图 1．请你猜想线段 DE，AM 的数量关系，并证明你的结论；

（2）若∠BAC≠90°．

①如图 2．请你猜想线段 DE，AM 的数量关系，并证明你的结论；

②如图 3．请你判断线段 DE，AM 的数量关系．

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8、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．

原问题：如图 1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以 AB、BC 为边向

外作△ABD 与△BCE，且 DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接 DE 交 AB 于点

F．探究线段 DF 与 EF 的数量关系．

小慧同学的思路是：过点 D 作DG⊥AB 于 G，构造全等三角形，通过推理使问

题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，

∠ADB=∠BEC=60 度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题

推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中 DF 与 EF 的数量关系；

（2）如图 2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，

你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图 3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．