【大学课件】应用数理统计
应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第二章
（ξ1,ξ2,..,ξn), 则（ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布函
数为： F ( x1 , x2 ,L , xn )
= P { ξ1 < x1 , ξ 2 < x2 , ..., ξ n < xn }
= P { ξ1 < x1}P{ ξ 2 < x2 } ⋅ ... ⋅ P{ ξ n < xn }
（2）χ2 分布（Chi-square distribution）
χ 2 ～χ 2 (n)
{ } p分位点：χ p2 (n ) 满足P
χ
2
<
χ
2 p
(n)
=p
p53（9 347）表 4
χ
2 0.95
(9
)
=
16.91（9
p540)
表p 4 χ2 分布分位数表
n
p
8
9
0 ．90 13．362 14．684
又如：α = 0.1，uα = u0.1 = ? (表中没有)
u0.1 = −u1−0.1 = −u0.9 = −1.282
对称性(symmetricy)：
0.1
uα = −u1−α
α = 0.1
u0.1
u1− 0.1
习题或附表中α通常是指分位点之外的概率（面积）
单侧分位点：α放在分位点u1−α的一侧 双侧分位点: α分割放在正负对称的
2 +L +
)
m
1
9
二. t 分布 (t distribution)
Definition: 若ξ～N(0,1), η～χ2(n)且相互独立,
则有
t=
ξ η
～ t (n )
数理统计基础及应用概述PPT课件( 56页)
二、控制图法
控制图是通过对过程中各特性值进行测定、记录、 评估和监察过程是否处于控制状态的一种用统计方 法设计的图。
在控制图中有两条平行的上下控制界限和中心线， 并有按时间序列排列的样本统计量数值的描点序列。
如果控制图中描点落在控制界限之内，则表明过程 正常；
若控制图中描点落在控制界限之外或描点序列在界 限之间有某一种或几种不正常的趋势，则表明过程 异常。
（1）这种误差与某一因素有明显的相关关系， 可能是某一因素的函数，也可能是一个常 数。
（2）如果重复测量某一相同质量特征值，系 统误差可能重复出现，且正负号不变。
（3）测量的结果经过修正后，可接近实际值。
6.可避免因素评论
这种质量误差与某一因素有明显的相关关系，用数 理统计的方法进行分析，可以很快找出原因，加以 纠正，使误差值控制在要求的范围内。但是，既是 误差并不超出允许的范围，这种误差也有可能存在， 也应找出原因加以纠正。
Rxmaxxmin
（4）标准偏差：反映质量数据分散程度。
S
1 n1(xi
x)2
（5）变异系数：表示数据相对波动大小的指标，Cv
值越小表示离散性越小，则均匀性越好。
Cv S *100% x
例2.1
四、数据的分布特征
质量数据具有一定的规律性，这种规律 性一般用概率分布来描述。
• 正态分布
根据它的特征用数学表达式来表示，是正态分布函 数，这种误差在工程中是不可避免的，只要质量波 动在允许的范围内，就不必纠正，是生产过程中的 正常现象。
在一定的科学技术条件下，要强行消除这类因素， 不仅在技术上难以达到，而且也不经济。
6.可避免因素
称为系统性因素或非偶然因素，其对质量特 征值的影响具有以下特征：
第四章应用数理统计
一般为了便于分析，还做如下假定：
∑α = ∑ β
i =1 i j =1
r
s
j
= 0 = ∑ γ ij = ∑ γ ij
i =1 j =1
r
s
双因素方差分析需要讨论： 1. 因子的主效应是否显著；即检验： H01：α1=α2=…=αr ，以及H02：β1=β2=…=βs 2. 交互效应是否显著： H03： γ11 = γ12 =…= γrs 与单因素方差分析不同的是，如果 拒绝了 H03 ，还应该寻找最佳搭配。
组内平均
y1 y2
r
yr1
yr
影响 y 的只有一个因素，它有 r 个水平(组)， 在第 i 个水平下针对 y 做了ni 次试验或观察， 得到因变量的观察数据为 yi1，…， yi ni 。 可以假定： yij = βi + εij ，1 ≤j ≤ ni 、 1 ≤i ≤ r 这里 εij 对所有i、j 都独立同分布于N (0,σ2 ) 单因素方差分析的主要任务： 1. 检验假设：H0： β1 = β2 = … = βr ； 2. 作出未知参数 β1 ，…， βr 以及 σ2 的估计
应用数理统计(基于MATLAB实现)第1章 数理统计的基本概念
第1章 数理统计的基本概念
数理统计的基本概念
目录 contents
1 总体与样本 2 样本经验分布函数 3 统计量与估计量 4 抽样分布
2024/4/19
PART 1
总体与样本
前言 数理统计学是探讨随机现象 统计规律性 的一门学科,它以概率论为理论基础， 研究如何以有效的方式收集、整理和分析 随机数据 ，从而对所研究对象进行 统计推断。
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法 1 频数表
2 直方图
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法
例3. 由于随机因素的影响，某铅球运动员的铅球出手高度可看成一个随机变量，现有一组出手高度的 统计数据（单位：cm）如下：
200
195
210
211
201
205
185
197
183
177
2024/4/19
引例
引例1：研究一批灯泡的寿命分布，需明确该批灯泡中每个灯泡的寿命长短。 引例2：研究某一湖泊的深度，需测量湖面上每处到湖底的深度。 总体：在数理统计中，我们把研究对象的全体所构成的集合称为总体，而把组成总体的每个元素称为个
体，总体中所包含个体的个数称为总体的容量．
这两张图是大家再熟悉不过的两个成语了：一叶知秋、盲人摸象。
参数
分布的数 字特征
某事件的 概率等
参数
2024/4/19
PART 3
样本的经验分布函数
3 样本经验分布函数 1 经验分布函数的定义
2024/4/19
3 样本经验分布函数 2 例题 例1.2.5
某食品厂生产午餐肉罐头,从生产线上随机抽取5只罐头,称其净重(单位:g)为: 351, 347, 355, 344, 351
应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第六章1
3各自的样本：ξ11=μ1+ε11,…, ξ17=μ1+ε17ξ21=μ2+ε21,…, ξ25=μ2+ε25ξ31=μ3+ε31,…, ξ38=μ3+ε38ξ41=μ4+ε41,…, ξ46=μ4+ε46理论上总平均：μ= （7μ1+5μ2+8μ3+6μ4）A 1的效应α1=μ1－μ，A 2的效应α2=μ2－μ，A 3的效应α3=μ3－μ，A 4的效应α4=μ4－μ，4个样本：单因素4水平的统计模型261（双下标71637.3076168016621636.251568.33168016801680168016801680 16801662 1662 1662166216621636.251636.251636.251636.251636.251636.251636.251636.251568.331568.331568.331568.331568.331568.33A 1A 2A 3A 41 2 3 4 5 6 7 8 寿命灯ξij 泡灯丝ξξi8（A 的）组间偏差平方和：2)(∑∑−=ijiA S ξξ(纵向偏差=灯丝不同带来误差+试验误差)2()ri i in ξξ=−∑222)1680(...)1680()1680(ξξξ−++−+−=(7项22)1662(...)1662(ξξ−++−+（522)25.1636(...)25.1636(ξξ−++−+（822)3.1568(...)3.1568(ξξ−++−+（（抹平了横向波动，只剩下纵向波动）10Theorem 2.在一个因素的方差分析模型中，有E (S A ) = (r －1)σ2+ ∑n i αi 2 E (S e ) = (n －r)σ2Theorem 3.在一个因素的方差分析中，组内误差与总体方差之比服从χ2 分布，即S e / σ2～χ2(n －r )Theorem 4.在一个因素的方差分析中，当假设H 0 成立时有：(1) S A/σ2～χ2 (r －1)(2) S e 与S A 相互独立，因而)()1(r n S r S F e A −−=～F (r －1, n －r )13eA S S F =AT e S S S −=rn −rn S e−方差来源平方和S自由度ƒ均方和F 值显著性因素A误差e总和表6-3 一个因素差分析表(394页)∑=•−=ri i iA n TT n S 12211−r S Ar －1∑∑−=i jij T n TS 22ξn －1∑∑∑===•==rin j ri n j ji iji T T 111,ξξ其中14表6-4 例1 的计算表（p395)灯丝使用寿命T i•T 2i•A 1A 2A 3A 416001610 1650 1680 1700 1720 18001580 1640 1640 1700 175014601550 1600 1620 1640 1740 1660 18201510 1520 1530 1570 1680 16001176083101309094101382976006905610017134810088548100,4=r 126,rii n n===∑∑∑===ri n j iji112;69895900ξ()2212941013090831011760261.1+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑=ri i T n n T ()==2642570269700188.461554.19571146.6970018869895900 =−=T S 7.44360 46.697001882.69744549 46.69700188 1 14122241=−=−=−=∑∑=••=i i ii i i A T n nTT n S 8. 151350=−=A T e S S S ()().15.222/8.1513503/7.44360/1/==−−=r n S r S F e A 0.10,F α=查分布表得()()(),22 ,3 35.215.2 35.222 ,3 ,1 10.0110.0111−−−−=<===−−=F F F r n r F F a α16在这个问题中，四个总体均值的点估计分别为：1680ˆ11==ξμ1662ˆ22==ξμ25.1636ˆ33==ξμ1568ˆ44==ξμ习题六---4, 5; Prep: §6.2将上述计算结果列成方差分析表：表6-5 例1的方差分析表方差来源平方和S 自由度ƒ均方和F 值显著性因素A 影响误差e 44360.7151350.832214786.96879．592．15(F 1−α=2.35)无显著影响195711.5425总和似乎配方1好，但方差分析表明各方案差别不算大.17。
应用数理统计讲义(PPT77张)
则 称 X , ,X 是 相 互 独 立 的 。 1 n
定 理 1 如 果 ｛ X i ,i=1, ,n｝ 是 一 族 独 立 的 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 P ( X t1 x1 , , X tn x n )
P(X
i 1
n
ti
xi ) , n.
其 中 x i 是 X ti 的 任 意 可 能 值 ， i 1, 则 f ( x1 , , xn )
Chapter 1 预备知识
§1 概率空间
一、随机试验
具有下列三个特征的试验称为随机试验： (1)可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且 预先知道所有可能的结果。称所有可能 的结果组成的集合为样本空间，记作Ω； (3)每次试验前不能确定那个结果会出现。
二、随机事件
样本空间Ω的元素称为基本事件或样 本点，Ω的子集称为事件。
2
, E Y ,则
2 2 2 2
[E ( X Y )] E X E Y 7 .单 调 收 敛 定 理 若 0 X n X ,则 lim E X n E X .
n
§4 常用分布族
一 、 分 布 族 定 义1 若 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 1 x x e , x 0, f ( x ; , ) ( ) 0 , x 0.
二、分布函数的性质
(1)F(x)↗； (2)F(－∞)=0，F(∞)=1，F(X)∈[0,1]； (3) F(x)右连续，即F(X＋0)＝F(x)。
三、n维随机变量
定义 2 设 ( ,F ,P )为概率空间， X ( ) （ X 1 ( ),
南京理工大学应用数理统计PPT(第八章 正交实验设计)
15
即对于在 A1下的四次试验和 A下2 的四次试验来说，
虽然其它条件（B、C、D）在变动，但这种变动是
“平等的”，所以 A和1 A2之间差异反映了A的两
个水平的不同，由于
A1 A2 91.5 89.5 2 0
所以说因子A 取 A1 时平均收率较高。 同样可以比较因子B、C、D的两个水平的好坏， 各项计算都可以在正交表上进行，十分简便。
6
多因子试验的分类。 在考查A，B，C，D，…等n个因子对指标y的
作用时，若每个因子都取两个水平，则称为 2 n
因子试验问题。
若被考查的n个因子都取三个水平，则称为 3n
因子试验问题。
若被考查的因子有n+m个，其中，其中n个因子
取两水平，m个因子取三水平，则称为 2n 3m
因子试验问题。
7
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验，并对数据 进行统计分析的主要工具。
正交表用符号 Lp (nm ) 表示。
“ L ”代表正交表， “ p ”表示表中的行数，即要作的试验次数， “ m ”表示表中有m列，即最多允许安排的因 子个数， “ n ”表示水平数。
可以证明：n，m，p满足 m(n 1) p 1
A×C B×C D
试验
结果
yi
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
86
1
1
1
2
2
2
2
16
表头 A
B
C
D
试验
设计
结果
列号
试验 1
2
3
4
应用数理统计回归分析课件
n
xi yi ? nx y
i?1
i?1
n
n
? ? Sxx ? (xi ? x)2 ? xi2 ? nx 2
i?1
i?1
则
? ?
b?
?
?
S xy S xx
? ?
a?
?
y?
xb?
12
最小二乘估计
所求线性回归方程为 y? ? a? ? b?x 由 a? ? y ? xb? 知 y ? a? ? b?x 所以 y? ? y ? b?(x ? x)
(n? 2)??2 ?2
(n
?
2)
?
b?? b
??
Sxx ~t(n? 2)
18
线性假设的显著性检验
在H0成立时，取统计量为
T
?
b?
??2
S xx ~ t(n ? 2)
给定显著性水平? ，H0的拒绝域为
b?
t ? ??2
S xx ? t? (n ? 2) 2
计算出|t|的值，查出 t? (n ? 2) 2
19
线性假设的显著性检验
若
t
?
t?
2
(，n ?则2)拒绝H0；否则就接受
H0 。拒绝H0，意味着回归效果是显
著的。在回归效果显著的情况下，
对回归系数作区间估计，可得出b的
置信度为1-? 的置信区间为
? ? (b,
b
)
?
???b??
t? 2
(n
?
2)
?
? , b?? t? (n ? 2)
S xx
2
? ??
称为一元正态线性回归模型。
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.
课程概述
概率论与数理统计是一门研 究随机现象量的规律性的数学学 科，又称“机会的数学”，即用 确切的数字来体现偶然性，研究 这样做引发的概念和理论问题。
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.
课程意义
对偶然性的认识以及统计 的思维方法，就像读和写的能力 一样，是现代人知识结构中应具 备的成分。
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.
(8) 完备事件组
如果事件 A,A,,A为两两互不
1
2
n
相容的事件,并且
AA A ,
1
2
n
则称 A,A,,A构成一个完备事件
1
2
n
组。
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.
第二节
概率
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.
一 频数与频率
(1) 频数：m (2) 频率：m/n
事件有
n
n
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
35
.
3.若n个事件 A1,A2,,An 构成
一 个完备事件组，则有
n
P(A) 1
i1
i
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.
4. 若 BA,则
P ( B A ) P ( B ) P ( A )
37
.
5.广义加法公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） －P（AB）
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.
课程简介
本学期要向大家介绍8章内容： （第五 、六、十章不讲）
9
.
概率论有四章的内容： 第一章～第四章
10
.
数理统计有四章的内容： 第七章～第九章及第十一章
11
.
课程时间安排：
一学期，48学时 （周3学时），16次课
12
.
概率论估计需要：24学时 数理统计估计需要：24学时
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.
二 概率的定义及性质
概率的定义：
在不变的条件下，重复进行n次
试验，事件A发生的频率稳定在
某常数p附近。随着n的增大，振 幅变小，称常数p为事件A的概率， 记作P（A）
（概率的英译为probability）
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.
概率应满足的三条公理
公理1 对于任何事件A，有P(A)≥0;
.
(6) 互不相容事件
事件A与B不能同时发生,即
AB=
.
,则称事件A与B互不相容,
又称事件A与B互斥。
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.
(7) 对立事件
事件A不出现,即事件“非A”,则 称为A的对立事件,又称为A的逆 事件,因此A与互为对立事件.对
立事件满足下列关系式:
A A ,A A ,A A ,A A
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.
Байду номын сангаас
课程的组成
该课程主要由： 概率论和数理统计两部分组成。
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.
概率论
概率论属于理论基础，包括： 概率论的基本概念； 概率论的基本定理、性质、公式； 概率论常见的分布。
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.
数理统计
数理统计是概率论的应用， 即把收集的数据加以统计和分析， 包括： 数理统计的一些基本概念； 数理统计的基本理论和方法 。
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.
三 样本空间
(1) 样本点（单点集） (2) 样本空间
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.
四 事件间的关系及其运算
(1)事件的包含
如果事件A发生必然导致事 件B发生，即A 为B的子集，则称 事件B包含事件A，记作B A 或
A B。对于任何事件A，有 A
成立。
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.
(4)事件的积（交）
两个事件A与B同时发生，即 “A且B”，是一个事件，则称为 事件A与B的积（交），记作AB或 A B 。
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.
(5) 事件的差
事件A发生而事件B不发生， 是一个事件，则称为事件A与B的 差，记作A-B。
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公理2 对于必然事件样本空间，
P(Ω)=1;
公理3 对于任意可列个互不相容事件
A1 ,A2 , … , An ,有
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
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.
概率的性质
1.不可能事件的概率为0，
即 P()0
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.
2.概率的有限可加性（加法公式）
有限个两两互不相容
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.
(2)事件的相等
如果事件A包含事件B，而 且事件B也包含事件A，则称事件 A与B相等，或称A与B等价，记作 A=B。
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.
(3)事件的和（并）
两个事件A，B中至少有一个 发生，即“A或B”，是一个事件， 则称为事件A与B的和（并），记 作A＋B或A B。
为在事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率（即在“事件 A已经发生”的条件下事件B发
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.
教学目的
概率论与数理统计是财经类 专业核心课程之一，是现代经济 理论的应用与研究的重要数学工 具。
<< 上一页 7 上一页 >>
.
该课程着重于基本知识的介 绍和统计观点的培养，使学生掌 握概率与统计的基本概念、基本 性质、基本方法，从而使学生提 高逻辑思维能力、分析和解决问 题的能力、统计的思维方法等， 为今后专业课的学习打下基础。
13
.
指定教材
高等学校文科教材，经济应 用数学基础（三）——《概 率论与数理统计》、袁荫棠 编（修订本）、中国人民大 学出版社。
14
.
参考资料
1 同名的财经类教材。 2 相关的辅导资料。
15
.
作业安排
1 本学期要交4次作业；
2 交满4次作业方可参加考试；
3 作业中有考试题（原形和变 形）；
4 概率论的作业2次，数理统 计的作业2次。
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.
第一章 随机事件及其概率
17
.
第一节
随机事件
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.
一 随机试验的特点
(1) 重 复 性 (2) 明 确 性 (3) 随 机 性
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.
二 随机事件的基本概念
(1) 事件 (2) 随机事件 (3) 基本事件 (4) 必然事件 (5) 不可能事件
38
.
三 古典概型(等可能概型)
39
.
古典概型的特点
1.有限性 2.等可能性
40
.
古典概型概率的公式：
P(A)=m/n
41
.
补充内容
1.排列 2.组合
42
.
第三节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
43
.
一 条件概率
对于两个事件A与B，若P(A)>0, 则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)