九年级数学《二次函数y=ax2+k图象和性质》课件1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2－1
o1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2 把抛物线y=2x2+1向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ） y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口 对称性 顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
x
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口 对称性 顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是最低点
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 ，在___
开口 对称性 顶点
增减性
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像 x 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 解: 先列表 然后描点画 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … 图,得到y= y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … x2＋1,y=x2－1的图像. y=x2+1 y (1) 口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛 物线y=x2有什么关系? 抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上, -5 -4 -3 -2 -1 对称轴是y轴, 顶点为(0, －1). 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开
1 y x2 2
答：形状相同，位置不同。 想一想：三条抛物线 三个图象之间通过沿x轴平 有什么关系？ 移可重合。
1 2 (1) y x 2 1 (2) y ( x 2) 2 2 1 (3) y ( x 2) 2 2
小 结
抛物线
y=ax2(a>0) y=a(x-h)2 (a>0) y=ax2(a<0)
描点、连线
直线x=－1
1
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
y
的开口方向、对称轴、顶点? 1 y ( x 1) 2 1 抛物线 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 y 1 ( x 1) 2 1 2 -5 -6 -7 -8 -9 -10
7
8
9
10
X
-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对 称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如 何？ y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
练习1
• 在平面直角坐标系xoy中画出 二次函数y= (x－6)2+3的图像； 1 • 此图象与x轴、y轴交点坐标各是多少？ 2 • 根据图像，说出x取哪些值，函数值y=0？ y〉0？y〈0？
2
（8，3） 20 8, 9
0
1
234Fra bibliotek5 56
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6
y
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9
2
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
开口方向 对称轴
向上 向上 向下 向下 Y轴 X=h Y轴 X = -h
顶点坐标
（0，0）
（h，0）
（0，0） （-h，0）
y=a(x+h)2 (a<0)
26．二次函数y=a (x+m)2+k的图像
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
y=ax2 y=ax2 自测：
• 1．把二次函数y =6(x+3)2的图像，沿y 轴向下平移2个单位， 向左平移３个单位，得到____________的图像. • 2．把二次函数_____________的图像，沿x 轴向右平移2个单 位，沿y 轴向下平移3个单位，得到y =6(x-3)2+5的图像. • 3．把二次函数y =6(x-3)2+5的图像，沿x 轴_______平移 ______个单位，再沿y 轴向______平移_______个单位，图像 过原点.
,对称轴
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=
增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是
−2x2线怎样平移得到的__________.
（ 2）抛物线 y= x² 的顶点坐标是____，对称轴是 -5 ____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称 轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的 值最___，最小值是 .
...
...
y=-1/2(x-1)2 ...
1 y ( x 1) 2 2
观察他们的位置关系， 说出它们的开口方向、 对称轴、顶点的位置。 1 能说出抛物线 y 2 ( x h) 的开口方向及对称轴、 1 y ( x 顶点的位置吗？ 1) 2 2
2
... -0.5 画出下列函数的图象， -2
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3,5) 直线x=1 (1,－2)
y=－3(x－1)2－2
1 yy x 2 1 1 2
x
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 y x2 -2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 y x2 3 2
顶点是最低点
1 1 1 2 2 y x 2；y x 1 ; y x 1 例：画出函数 2 2 2
的图像
3
x
y=-1/2(x+1)2
... ...
-3 -2 -1 -2 -0.5 0 -4.5 -2
x= -1
0 -0.5 -0.5
x=1
1 -2 0
2 -4.5
26.1二次函数y=ax2+k图象和性质（2）
y=x2+1
y=x2-1
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点 a>0 a<0
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y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 y
c>0 上移 y=ax2+c c<0 下移
左 加
右 减
y=a(x-h)2
1 2 例3.画出函数 y ( x 1) 1 的图像.指出它的开口方向、顶 2 点与对称轴、
解: 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
(2)抛物线 y 1 ( x 1) 2 1与 y 1 x 2 有什么关系?
平移方法1: y 1 1 2 向下平移 1 2 y x 1个单位 y x 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 -1 2 2 y 1 ( x 1) 2 1 -2 1 向左平移 2 -3 y ( x 1) 2 1 -4 1个单位 2 -5 平移方法2: -6
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
一个运动员推铅球，铅球出手点在A处， 出手时球离地面 1 2 ｍ
3
，铅球运行所经
过的路线是抛物，已知铅球在运动员前4 ｍ处达到最高点，最高点高为3ｍ，你能 算出该运动员的成绩吗？
y=x2－1
o1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2 把抛物线y=2x2+1向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ） y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
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A
B
C
D
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口 对称性 顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
x
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口 对称性 顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是最低点
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 ，在___
开口 对称性 顶点
增减性
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像 x 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 解: 先列表 然后描点画 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … 图,得到y= y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … x2＋1,y=x2－1的图像. y=x2+1 y (1) 口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛 物线y=x2有什么关系? 抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上, -5 -4 -3 -2 -1 对称轴是y轴, 顶点为(0, －1). 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开
1 y x2 2
答：形状相同，位置不同。 想一想：三条抛物线 三个图象之间通过沿x轴平 有什么关系？ 移可重合。
1 2 (1) y x 2 1 (2) y ( x 2) 2 2 1 (3) y ( x 2) 2 2
小 结
抛物线
y=ax2(a>0) y=a(x-h)2 (a>0) y=ax2(a<0)
描点、连线
直线x=－1
1
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
y
的开口方向、对称轴、顶点? 1 y ( x 1) 2 1 抛物线 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 y 1 ( x 1) 2 1 2 -5 -6 -7 -8 -9 -10
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X
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画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对 称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如 何？ y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
练习1
• 在平面直角坐标系xoy中画出 二次函数y= (x－6)2+3的图像； 1 • 此图象与x轴、y轴交点坐标各是多少？ 2 • 根据图像，说出x取哪些值，函数值y=0？ y〉0？y〈0？
2
（8，3） 20 8, 9
0
1
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x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6
y
（4，4） （5，4）
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(７，３） （8，3）
●
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开口方向 对称轴
向上 向上 向下 向下 Y轴 X=h Y轴 X = -h
顶点坐标
（0，0）
（h，0）
（0，0） （-h，0）
y=a(x+h)2 (a<0)
26．二次函数y=a (x+m)2+k的图像
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
y=ax2 y=ax2 自测：
• 1．把二次函数y =6(x+3)2的图像，沿y 轴向下平移2个单位， 向左平移３个单位，得到____________的图像. • 2．把二次函数_____________的图像，沿x 轴向右平移2个单 位，沿y 轴向下平移3个单位，得到y =6(x-3)2+5的图像. • 3．把二次函数y =6(x-3)2+5的图像，沿x 轴_______平移 ______个单位，再沿y 轴向______平移_______个单位，图像 过原点.
,对称轴
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=
增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是
−2x2线怎样平移得到的__________.
（ 2）抛物线 y= x² 的顶点坐标是____，对称轴是 -5 ____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称 轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的 值最___，最小值是 .
...
...
y=-1/2(x-1)2 ...
1 y ( x 1) 2 2
观察他们的位置关系， 说出它们的开口方向、 对称轴、顶点的位置。 1 能说出抛物线 y 2 ( x h) 的开口方向及对称轴、 1 y ( x 顶点的位置吗？ 1) 2 2
2
... -0.5 画出下列函数的图象， -2
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3,5) 直线x=1 (1,－2)
y=－3(x－1)2－2
1 yy x 2 1 1 2
x
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 y x2 -2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 y x2 3 2
顶点是最低点
1 1 1 2 2 y x 2；y x 1 ; y x 1 例：画出函数 2 2 2
的图像
3
x
y=-1/2(x+1)2
... ...
-3 -2 -1 -2 -0.5 0 -4.5 -2
x= -1
0 -0.5 -0.5
x=1
1 -2 0
2 -4.5
26.1二次函数y=ax2+k图象和性质（2）
y=x2+1
y=x2-1
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点 a>0 a<0
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y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
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一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 y
c>0 上移 y=ax2+c c<0 下移
左 加
右 减
y=a(x-h)2
1 2 例3.画出函数 y ( x 1) 1 的图像.指出它的开口方向、顶 2 点与对称轴、
解: 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
(2)抛物线 y 1 ( x 1) 2 1与 y 1 x 2 有什么关系?
平移方法1: y 1 1 2 向下平移 1 2 y x 1个单位 y x 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 -1 2 2 y 1 ( x 1) 2 1 -2 1 向左平移 2 -3 y ( x 1) 2 1 -4 1个单位 2 -5 平移方法2: -6
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
一个运动员推铅球，铅球出手点在A处， 出手时球离地面 1 2 ｍ
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，铅球运行所经
过的路线是抛物，已知铅球在运动员前4 ｍ处达到最高点，最高点高为3ｍ，你能 算出该运动员的成绩吗？
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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
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y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
第二十五页，共32页。
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》公开课PPT
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），
B（0，-3），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3 。
若点C(-2,m),在函数的图象上，则点C的坐标
为
(-2,5)
.
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,k) y轴
图象的位置有什么关系?
4
y=x2
函数y= y=x2-2的
2
图象与y=x2的图
象的形状相同吗?
O
5
x 10
y=x2-2
-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
函数y=-x2-2的图
-2 y=-x2
象可由y=-x2的图
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=2x2+5的图象可由y=2x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=2x2-11的图象 可由 y=2x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-5x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-5x2的图象；将y=4x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=4x2的图象。将y=x2-7的图象
-4
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
-6
图象向上移还是向下移,移多少个-8
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到，
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT教学课件(第1课)
C.y=2(x+2)2
D.y=2(x-2)2
解析:根据平移的规律可知把二次函数
y=2x2的图象向上平移2个单位长度,所得 图象对应的函数解析式为y=2x2+2.故选
A.
巩固练习
4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向 轴是 直线x=2 .
下 ,对称
解析:抛物线y=-3(x-2)2中,因为-3<0,所
(1)自变量x的取值范围是什么?
(2)画函数图象时,x取哪些值列表能使函数图象
上的点均匀对称? (3)如何用平滑的曲线连接各点?
新知探究
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1 8
(1)三条抛物线的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？
(2)你有什么方法把抛物线y=2x2分别移 动到抛物线y=2x2+1的位置和抛物
注意： k带前 面的符 号！
探究二次函数
7. 抛物线
可以如何由抛物线
的图象和性质
得到？
当k>0时 向上平移 k 个单位长度
顶点
当k<0时 向下平移 个单位长度
顶点
巩固练习
抛物线
的开口 向下 ，对称轴是 y 轴 ，
图象存在最 高 点，坐标是
，当 x
时
， yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y 随 x 的增大而增大，当 x
时，y 随 x 的增大而减小. x
新知探究
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系 ？
y = ax2+k (k>0) y
结论：
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线
y=ax2的图象 向上（k＞0）或 向下（k＜0）平
九年级数学上册教学课件《二次函数y=ax2的图象和性质》
对称 轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物 线的最高点还是最低点.
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
探究新知
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
22.1 二次函数的图像和性质
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
22.1 二次函数的图像和性质
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6
-9
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
y
的取值范围是 k>1 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
探究新知
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
22.1 二次函数的图像和性质
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
22.1 二次函数的图像和性质
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6
-9
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
y
的取值范围是 k>1 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
26.2.2 第1课时 二次函数y=ax_ k的图象和性质 课件华东师大版数学九年级下册
|a|越大，抛物线的开口越小 .
y
8
6
4
2 O -4 -2 -2
-4
-6
-8
y=ax2 2 4x
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y =
1 2
x2
，
y
=
1 2
x2 +1 的图象。
解：先列表：
然后描点画图：
观察所画图象，有什么异同？ 它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标是什么？
–1
–2
开口方向都是向下 对称轴都是 y 轴
–3
y = - 1 x2 的顶点坐标是（0,0）
–4
3
–5
y = - 1 x2 - 2 的顶点坐标是（0,-2）
3
123
y = - 1 x2 - 2 3
4x教材P10 练习 第2题】
2. 试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线
2
y = 1 x2 2
的图象，再作比较，指出它们的
联系与区别.
y
6 y = 1 x2
5
2
4
y = 1 x2 - 2
3
2
2
1
–4 –3 –2 –1 –1
–2
1234x
函数 y = 1 x2 - 2 的图象可以看成是
2
由函数 y = 1 x2 的图象经过怎样的
2
平移得到的？试说出它的开口方向、
y
6 y = 1 x2
y
4
3
2
y = - 1 x2 +4
3
1
–4 –3 –2 –1
1234x
–1
–2
y
8
6
4
2 O -4 -2 -2
-4
-6
-8
y=ax2 2 4x
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y =
1 2
x2
，
y
=
1 2
x2 +1 的图象。
解：先列表：
然后描点画图：
观察所画图象，有什么异同？ 它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标是什么？
–1
–2
开口方向都是向下 对称轴都是 y 轴
–3
y = - 1 x2 的顶点坐标是（0,0）
–4
3
–5
y = - 1 x2 - 2 的顶点坐标是（0,-2）
3
123
y = - 1 x2 - 2 3
4x教材P10 练习 第2题】
2. 试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线
2
y = 1 x2 2
的图象，再作比较，指出它们的
联系与区别.
y
6 y = 1 x2
5
2
4
y = 1 x2 - 2
3
2
2
1
–4 –3 –2 –1 –1
–2
1234x
函数 y = 1 x2 - 2 的图象可以看成是
2
由函数 y = 1 x2 的图象经过怎样的
2
平移得到的？试说出它的开口方向、
y
6 y = 1 x2
y
4
3
2
y = - 1 x2 +4
3
1
–4 –3 –2 –1
1234x
–1
–2
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+k的图象与性质》公开课课件
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
① 当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下; ② 对称轴:y轴;
③ 顶点坐标 (0,k).
【能力提升】
已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与y=2x2相同, 并且抛物线过点(1,1).
(1)求抛物线的关系式; (2)写出所求抛物线的顶点坐标, (3)说出抛物线y=2x2经过怎样的平移可以得到该抛物线?
解：（1）由抛物线的形状、开口方向、对称轴与y=2x2相同， 可设抛物线的关系式为y=2x2+k； 把点（1，1）代入，得1=2×12+k, 解得k=-1.
∴抛物线的关系式为y=2x2-1 （2）抛物线y=2x2-1的顶点坐标为（0，-1）； （3）把抛物线y=2x2向下平移1个单位后可得到y=2x2-1
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，