《平面向量数量积》课件ppt
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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
平面向量的数量积：课件一(10张PPT)
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4．向量的数量积的几何意义： 数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1° e⋅a = a⋅e =|a|cosθ ⋅ ⋅ 2° a⊥b ⇔ a⋅b = 0 ⊥ ⋅ 3° 当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = −|a||b|. ⋅ ⋅ 特别的a⋅a = |a|2或 | a |= a ⋅ a ⋅ 4° cosθ =
a ⋅b | a || b |
5° |a⋅b| ≤ |a||b| ⋅
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 与 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， ， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ ＝ ； － BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ， ０ ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ) ·c= ａ·(ｂ ·c) （
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
两个向量的数量积与实数同向量的积的区别 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号 返回 由cosθ的符号所决定,而实数同向量的积是一个向量
概念：作3．“投影”的图
定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0°时投影 为 |b|；当θ = 180°时投影为 −|b|.
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
平面向量的数量积_图文_图文
平面向量的数量积_图文_图文.ppt
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
平面向量的数量积课件PPT
想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？ 提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一 个向量． 做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
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2、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求 BCCA
A
B
C
3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 3 ,
则 a在e方向上的投影为
4、 如 ,在 图平A 行 B 中 四 ,已 CD A 边 知 B 4 ,A 形 D 3 , D A 6B ,0
求 :1 .AB DC2.ABCD 3.ABDA
当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（4）cosθ= a·b |a||b|
（5）|a·b|≤|a||b|
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
设 向 量 a ,b ,c 和 实 数 ，
则 向 量 的 数 量 积 满 足 下 列 运 算 律 ：
2
计算时,既要考
或AB CD AB16
虑向量的模,又
要根据两个向量
3. A与 BA的 D 夹6角 0 ,AB是 与DA的夹角12是0 方向确定其夹角。
AD B AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b）， 求证： | a + b |= 2 | b |.
例题讲解
4 .若 a ,b 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 且 (2 a 3 b ) 性质讲解 (k a 4 b ),求 实 数 k 的 值 . 课堂练习 5 . 已 知 a 2 1 , b 2 2 , ( a b ) a 0 , 求 a 与 b 的 夹 角 .
6 . 已 知 a + b c 0 ， |a| 3 ,|b| 5 ,|c| . 已 知 a 与 b 的 夹 角 为 1 2 0， |a|4 ,|b|2 , 求 ： |ab|;|3 a4 b|.
新课讲解 3 . 已 知 a , b ,c 满 足 a + b c0 ， |a| 3 ,|b| 1 ,
|c|4 ,求 ： ab bc ca 的 值 .
教 材 ： P.83.5. 14.
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义
3. 重要性质
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
当θ=0°时，a与b同向
b
O
a
B
A
返回
当θ=180°时，a与b反向。
小结回顾
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，
则， a在b上的投影为 b在a上的投影为
小结回顾
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ （2）a⊥b a·b=0 （3）当a与b同向时，a·b=|a||b|
②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
复习 引入 新课讲解
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作 用下产生位移s（如图）
F
θ S
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ
其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
小结回顾 求 a 与 b 的 夹 角 .
1 .已 知 a ,b 均 为 单 位 向 量 ， 它 们 的 夹 角 为 6 0, 求 | a 3 b | 2 .已 知 a ,b 满 足 ： |a| 1 ， |b|2 ,|ab|2 , 求 | ab| 3.已 知 平 面 上 三 点 A,B,C满 足 ： |AB|2，
D
C
解:1因为 AD与BC平行且方,向相同
60
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9 A
B
2
或ADBCAD9
2.A与 BC平 D ,行 且方向相反 120
AB与CD的夹角18是0
A C B A D C B c D 1 o8 s4 0 4 1 16 进行向量数量积
例题讲解
a·b=|a| |b| cosθ
性质讲解 课堂练习 小结回顾
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
即 ： a00
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b.
解：a·b=|a||b|cosθ
=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10.
(1)abba;
( 2 ) ( a ) b a ( b ) ( a b ) a b ;
( 3 ) ( a b )c a c b c .
思考： 若acbc，有ab吗？
反之成立吗？
复习 引入 新课讲解
设 向 量 a ,b ,c 和 实 数 ，
则 向 量 的 数 量 积 满 足 下 列 运 算 律 ：
复 习 向量的夹角
引入 新课讲解
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b， 则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）
叫做向量a与b的夹角。
B
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
Oθ
特殊情况
θ=0°
θ=180°
A
θ =90°
复习 引入 新课讲解
已知两个非零向量a与b，它们的夹角 为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b
3 . 求 证 ： 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 .
基础练习
1、判断下列命题的真假: （1）平面向量的数量积可以比较大小
（2）若 a b 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 .
（3）已知b为非零向量因为0×a =0， a ·b = 0,所以a = 0
(4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a ·b ·c = a·（b ·c）
(1)abba;
( 2 ) ( a ) b a ( b ) ( a b ) a b ;
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
( 3 ) ( a b )c a c b c . 思考： (a b )2 (a b )2
课堂练习
判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0----- (√)
复习 引入 新课讲解 例题讲解
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
性质讲解 课堂练习 小结回顾
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则 有： ①λ(μa)=(λμ) a
|BC|1,|CA| 3, 求ABBCBCCACAAB 4.已 知 非 零 向 量 a,b 满 足 :(a2b) a, (b2a) b,求 a,b 的 夹 角
几 何 问 题 ：
1.求 证 ： 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 .
D
CA
CF
O
A
B
B
A
C HE
DB
2 . 求 证 ： 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 .
b
O
a
B
A
返回
B
b
θ
a
O
A
θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。
返回
当θ=0°时，它是|b|
O
b
B
Aa
返回
b
O
a
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
B
b
θ
a
O
A
当θ=90°，它是0。
返回
B
b
Oθ
a
A B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
b
θ
a
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与
7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直， 求a与b的夹角.
几何问题：
A O
C
C FH E
B
A
DB
2 . 求 证 ： 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 .
3 . 求 证 ： 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 .
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0-- (× ) (3)若a≠0,且a·b=0,则b=0 ------------------- ( ×) (4)若a·b=0,则a=0或b=0 --------------------- (× ) (5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------- (√ ) (6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c ------------------- (× )
(2)若a//b？
(3)若ab？
小结回顾
复习 引入 新课讲解
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1， 则|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.
θ=0°
θ=90°
θ=180°
例题讲解
θ为锐角时
θ为钝角时
性质讲解 课堂练习
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积.