15.若变量x ,y 满足条件?
????
3x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z =x +y 的最大值为________.
答案 5
2
解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示,
作出直线l :x +y =0,由图可知当l 平移到A 点时,z 最大. 解方程组
?
????
3x -y =0,x -3y +5=0, 得???
x =5
8,y =15
8,
∴A (58,158
),
∴z max =58+158=208=5
2.
16.设a +b =2,b >0,则当a =________时,12|a |+|a |
b 取得最小值.
答案 -2
解析 由于a +b =2,所以12|a |+|a |b =a +b 4|a |+|a |b =a 4|a |+b 4|a |+|a |b
, 由于b >0,|a |>0,所以
b 4|a |+|a |b
≥2b 4|a |·|a |
b
=1, 因此当a >0时,12|a |+|a |b 的最小值是14+1=5
4;
当a <0时,12|a |+|a |b 的最小值是-14+1=3
4.
故
12|a |+|a |b 的最小值为34
, 此时?????
b 4|a |=|a |b ,a <0,即a =-2.
三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)当x >3时,求函数y =2x 2
x -3的值域.
解 ∵x >3,∴x -3>0.
∴y =2x 2x -3=2(x -3)2
+12(x -3)+18x -3
=2(x -3)+18x -3+12≥2
2(x -3)·18
x -3
+12=24.
当且仅当2(x -3)=18
x -3
,
即x =6时,上式等号成立, ∴函数y =2x 2
x -3的值域为[24,+∞).
18.(12分)若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-30;
(2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R . 解 (1)由题意知1-a <0且-3和1是方程
(1-a )x 2
-4x +6=0的两根,∴???
1-a <0,
41-a
=-2,
6
1-a =-3,
解得a =3.
∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0, 即为2x 2-x -3>0, 解得x <-1或x >3
2
.
∴所求不等式的解集为{x |x <-1或x >3
2}.
(2)ax 2+bx +3≥0, 即为3x 2+bx +3≥0, 若此不等式的解集为R , 则b 2-4×3×3≤0, ∴-6≤b ≤6.
19.(12分)已知f (x )=x 2-2ax +2(a ∈R ),当x ∈[-1,+∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.
解 方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x =a .
①当a ∈(-∞,-1)时,f (x )在[-1,+∞)上单调递增,
f (x )min =f (-1)=2a +3.
要使f (x )≥a 恒成立,只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得-3≤a <-1;
②当a ∈[-1,+∞)时,f (x )min =f (a )=2-a 2, 由2-a 2≥a ,解得-1≤a ≤1.
综上所述,所求a 的取值范围为-3≤a ≤1. 方法二 令g (x )=x 2-2ax +2-a ,
由已知得x 2-2ax +2-a ≥0在[-1,+∞)上恒成立, 即Δ=4a 2-4(2-a )≤0或????
?
Δ>0,a <-1,
g (-1)≥0,
解得-3≤a ≤1.
20.(12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元,2千元.甲、乙产品都需要在A ,B 两种设备上加工,在每台A ,B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时,加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时,A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400时和500时.如何安排生产可使月收入最大?
解 设甲、乙两种产品的月产量分别为x ,y 件,约束条件是????
?
x +2y ≤400,2x +y ≤500,
x ≥0,y ≥0,目标函数是f
=3x +2y ,
作出可行域,如图阴影部分(含边界).
设3x +2y =a ,a 是参数, 将它变形为 y =-32x +a
2
,
这是斜率为-3
2
,随a 变化的一族直线,
当直线与可行域相交且截距a
2
最大时,目标函数f 取得最大值.
由????? x +2y =400,2x +y =500得?????
x =200,y =100.
则f max =3×200+2×100=800.
因此,甲、乙两种产品的月产量分别为200、100件时, 可得最大收入800千元.
21.(12分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10),每小时可获得利润是100(5x +1-3x
)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元,求x 的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
解 (1)根据题意,
200(5x +1-3x )≥3 000?5x -14-3
x ≥0,
又1≤x ≤10,可解得3≤x ≤10.
(2)设利润为y 元,则y =900x ×100(5x +1-3
x )
=9×104×[-3(1x -16)2+61
12
],
故x =6千克/小时时,y max =457 500元.
22.(12分)已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b }, (1)求a ,b 的值;
(2)解不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0.
解 (1)由题意知,1和b 是方程ax 2
-3x +2=0的两根,则???
3
a =1+
b ,
2
a =
b ,
解得?
????
a =1,
b =2.
(2)不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0,
即为x 2-(c +2)x +2c <0,即(x -2)(x -c )<0. ①当c >2时,原不等式的解集为2综上知,当c >2时,原不等式的解集为{x |2必修五-不等式知识点总结[1]
不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间
三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值
新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)
高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若 222a b c +<,则90C >. 注:正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标
高中数学必修五-不等式知识点精炼总结
高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式: 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号)分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质:8条性质.
(2)一元二次不等式: +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O
一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式: 高次不等式: (4)解含参数的不等式:(1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x 2 – (a +a 2)x +a 3>0; (3)2x 2 +ax +2 > 0; 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题: ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ
人教版高中数学必修五教案1
第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理: 2.正弦定理的证明: (1)向量法证明 (2)平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点: (1) (2) (3) 知识点3 解三角形
1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题: 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点: (1) (2) (3) (4) 知识点2 余弦定理的的证明 证法1: 证法2: 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题: (1)已知三边求三角; (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角。 例1(山东高考)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,tanC=73. (1) 求C cos ; (2) 若 =2 5 ,且a+b=9,求c.
1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 (1)仰角和俯角: (2)方位角: 知识点2 解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称,如仰角、俯角、视角、方位角等,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)合理选择正弦定理和余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 (1)首先要准备皮尺、测角仪器,然后选定测量的现场(或模拟现场),再收集测量数据,最后解决问题,完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确,为此可多测量几次,取平均值。要有创新意识,创造性地设计实施方案,用不同的方法收集数据,整理信息。 (2)实习作业中的选取问题,一般有:○1距离问题,如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离,或两个不可到达点之间的距离;②高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。
人教版高中数学必修5不等式练习题及答案
第三章 不等式 一、选择题 1.若a =20.5,b =log π3,c =log πsin 5 2π ,则( ). A .a >b >c B .b >a >c C .c >a >b D .b >c >a 2.设a ,b 是非零实数,且a <b ,则下列不等式成立的是( ). A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C . 21ab <b a 21 D . a b <b a 3.若对任意实数x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1 4.不等式x 3-x ≥0的解集为( ). A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞) D .[-1,0]∪[1,+∞) 5.已知f (x )在R 上是减函数,则满足f (11 -x )>f (1)的实数取值范围是( ). A .(-∞,1) B .(2,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2) 6.已知不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为图中( ). A B C D 7.设变量x ,y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2++- 则目标函数z =5x +y 的最大值是( ). A .2 B .3 C .4 D .5 8.设变量x ,y 满足?? ? ??5 --31+-3-+y x y x y x 设y =kx ,则k 的取值范围是( ). A .[ 21,3 4 ] B .[ 3 4 ,2] C .[ 2 1 ,2] D .[ 2 1 ,+∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)
人教版高中数学必修5期末测试题
期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{}n a 中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°, 则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n = n 21 D .a n =1+log 2n
最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则:b a a b b a 1 10, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、, ac b 42-=?, 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现() f x的符号变化规律,写出不等式的解集。()()() 如:x x x +--< 1120 23 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0 ()() 0()()0;0 ()0 ()() f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥ ? >?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < (三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,),把它的坐标(y x,)代入
高中数学必修五基本不等式题型(精编)
高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a .
变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______
数学必修五第三章不等式知识点总结
数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结: 1、 比较实数大小的依据:①作差:0a b a b ->?>;0a b a b -=?=;0a b a b -<;变形的方向是 化成几个完全平方的形式或一些容易判断符号的因式积的形式,变形时常用因式分解、配方、通分、分子(或分母)有理化等方法,注意完全平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。②作商: 0,0, 1a a b a b b >>>?>时,1a a b b =?=,1a a b b <;0,01a a b a b b <<>?<时,,1a a b b =?=,1a a b b > 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤:①将不等式变形,使一端为0且二次项的系数大于0;②计算相应的判别式;③当0?≥时,求出相应的一元二次方程的根;④根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集。(大于0取两边,小于0取中间).含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论:①二次项系数的正负;②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系;③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布:一般借助二次函数的图象加以分析,准确找到限制根的分布的等价条件,常常用以下几个关键点去限制:(1)判别式;(2)对称轴;(3)根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根,则12,x x 的分布情况列表如下:(画出函数图象并在理解的基础上记忆)
5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解,其步骤如下:①将()f x 最高次项的系数化为正数;②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积;③将每一个根标在数轴上,从右上方向下依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶重根穿而不过,奇重根既穿 又过);④根据曲线显现出的符号变化规律,写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念:①线性约束条件:由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件;②目标函数:要求最值的关于,x y 的解析式,如:22z x y =+,
高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明:在锐角△ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理,在△ABC 中, b b c c sin sin = 步骤2. 证明:2sin sin sin a b c R A B C === 如图,任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式: ()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===; (4)R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在ABC ?中,已知a,b 及A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算 解法二:分析三角形解的情况,可用余弦定理做,已知a,b 和角A ,则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程:0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案
描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式组的集合意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组. 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 的并集叫做闭半平面.以不等式解 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式 的符号相同,所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ,由 符号即可判断 出 (或)表示的是直线哪一侧的点集.直线 叫做这 两个区域的边界(boundary). 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1) ;(2). 解:(1)① 画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画 成虚线. ② 取原点 ,代入 ,所以原点在不等式 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图. 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0
高中数学必修五教案-基本不等式
第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤(一) 教学要求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 教学重点: 2 a b +≤的证明过程; 教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2. 提问:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 二、讲授新课: 1. 教学:基本不等式 2a b +≤ ①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽象成如图,在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。(教师提问→学生思考→师生总结) ②思考:证明一般的,如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式:如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得a b +≥, (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ : 用分析法证明:要证 2a b +≥, 只要证 a+b ≥ (2), 要证(2),只要证 a+b- ≥0(3)要证(3), 只要证( - )2(4), 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。 ⑤练习:已知x 、y 都是正数,求证:(1)y x x y +≥2;(2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8 x 3y 3.
必修5-第三章不等式知识点总结
不等式知识总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,;bc ac c b a <>0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 1 10, >>; (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax (0>a )和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于取两边,小于取中间 三、均值不等式:若0a >,0b >,则a b +≥,即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式:①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈;②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈; ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???;④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +(当a = b 时取等)
人教版高二数学必修五学案(全套)
加油吧,少年,拼一次,无怨无悔! 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程 一、课前准备 试验:固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动. 思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt?ABC中,设BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B = sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =
必修五不等式大复习-知识点加练习-适合整章复习
必修五不等式综合 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若 ,a b c d ><,则a c b d ->-) ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除, 但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >> 4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11 a b >。如 练习一、: (1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 1 1,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 练习二;(1)设0,10>≠>t a a 且,比较21 log log 21+t t a a 和的大小 (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小 (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积
必修5数学不等式典型例题解析(整理)
不等式 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a bc d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-), 但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >> 4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11 a b >。如 (1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 11,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则 若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ (答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ (答:12,2??-- ??? ) 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 (1)设0,10>≠>t a a 且,比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 (答:当1a >时,11log log 22a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,12 p a a =+-,2 422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小 (答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 (答:当01x <<或43x >时,1+3log x >2log 2x ;当413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3 log x =2log 2x ) 三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。如
必修五-不等式知识点汇总复习课程
必修五-不等式知识点 汇总
不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a
高中数学必修5 第3章 不等式 教师版 不等式第14课时
听课随笔
第14课时 基本不等式的应用(2) 学习要求 1.进一步会用基本不等式解决简单的最大(小)值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究,进一步体会数学建模的思想。 3.进一步开拓视野,认识数学的科学价值和人文价值. 【课堂互动】 自学评价 1.设x>0时, y=3-3x -x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】 例1.过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程 【解】 见书(但设直线方程可有两种方法). 例2.如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版 面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 见书. 思维点拔: 先建立目标函数,然后创造条件利用基本不等式求解。 追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客
运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万 元与营运年数n(n )N +∈的关系为 y=-n 2+12n -25,则每辆客车营运( C ) 年,使其营运年平均利润最大. A 3 B 4 C 5 D 6 2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴 的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两 点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的 方程. 解:设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b a A +--. 所以||||PB PA =a k k b k ?+-+221||1 =ab k k ab 2)||1 |(|≥+ (等号当且仅当1-=k 时成立) 所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的 方程为:0=--+b a y x . 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要 向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距 离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距 离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验 公式: S=2403 v +v 85 , 为保证安全行驶, 要 求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 “安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现 假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身 长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并 且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.
高中数学必修五不等式知识点与练习题
第五讲 不等式 基础讲析 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c d >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >或 > 4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11 a b >。 练习:(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 1 1,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 练习:(1)设0,10>≠>t a a 且,比较2 1 log log 21+t t a a 和的大小