几何概型中的等可能性

几何概型中的等可能性问题小议

笔者在与同学们学习必修3 概率知识部分时，和同学们探讨了解决高中概率知识的一般思路：首先，充分认清“试验是什么”和“事件是什么”；其次，分析实验是“有限等可能”或“无限等可能”，以选择概型；最后，代入公式运算。在实际的教学过程中笔者发现：等可能性分析是学生学习的难点，也是教学的一个难点。本文笔者就在教学实际中遇到的若干几何概型问题，简要谈谈几何概型中的等可能性讨论。

问题一 如图所示，在△ABC 中

（1）在△ABC 的边AB 任取一点P ，求使得4

1

>

∆∆ABC PBC S S 的概率；

（2）在△ABC 内任取一点P ，求使得

4

1>

∆∆ABC PBC S S 的概率；

分析：本题两小题P 在各自的概率空间内取值均是无限等可能的，且分别属于一维的长度问题和二维的面积问题，是几何概型中常见的三种情形之二（第三种是三维的体积问题）。具体解答如下：

（1）如图1-1，取线段AB 靠近端点B 的四等分点D ，由平面

几何知识知道：只需点P 在线段AD 上取时即可满足面积 要求 4

3

)"41("

==>∴∆∆AB AD ABC PBC L L S S P

（2）如图1-2，欲使得

4

1

>

∆∆ABC PBC S S ，由于两个三角形同底，

所以点P 只需在平行于BC 的线段DE 截△ABC 所得的

△ ADE 内取点即可

16

9)"41("==>∴∆∆∆∆ABC ADE ABC PBC S S S S P

问题二 假设点在圆内均匀分布，在半径为1的圆周上任取两点连成一条弦， 求弦长超过其内接正三角形边长的概率。

分析：本题的题设直接给出了等可能性的存在对象：“假设点在圆内均匀分布”，这也暗示了本题利用圆内的点来解释试验和事件。如何把取弦和取圆内的点一一对应成了解题的关键。通过分析知道：圆内的弦可与其中点一一对应。所以，弦的等可能性分布问题就转换成圆内的点的等可能分布问题。分析可知，要使弦长超过其内接正三角形边长（半径为1的圆的内接正三角形边长为0.5），只要弦中点到圆心的距离小于0.5即可，如图2-1所示：

弦的中点在试验中存在平面度量是外圆的面积S ，满足事件的弦中点的度量是内圆的面积S 1

B

A C

D

图1-1

图1-2

B

A

C

E D S 1 S

41

15.02

21=⋅⋅==∴ππS S P

本题常见的错误解法是：

[][]2

1

15.0105.00===

，弦心距长，弦心距长P 究其原因，是当事者误认为取弦心距长对弦的取法是等可能性的。实际上，弦长

越短，可供随机取的弦的条数越多，即测度越大，反之也成立：如图2-2所示,

,21l l <圆心到1l 和2l 的距离分别是1d 和2d ，显然21d d > 则可取的1l 的测度为以o 为圆心1d 为半径的圆的周长12d π 而可取的2l 的测度为以o 为圆心2d 为半径的圆的周长22d π 显然 ， 2122d d ππ> 即弦心距分别为1d 和2d 的弦系， 取到弦心距为1d 的可能性更大，两者的取法在试验中不是等

可能性的。同时这种错误的解法也把二维的几何概型问题错认为是一维长度问题。

问题三 如图3-1，在等腰直角△ABC 中，过直角C 在△ABC 内部作射线CM ，

与线段AB 交于点M ，求AM

分析：对这一问题解答，小有争议：有人坚持以角度之 比求概率，也有人坚持以线段长度之比求解，笔者在肯定前一解法正确的同时否定后一解法，理由如下：

事实上，在几何概型中，一维的长度、二维的面积和三维的体积在表达概率空间和基本事件时均应是均匀的，即要是等可能性的。本题对于

AB 上的等长线段上的点的个数与点C 构成的射线条数实质上是不对等的，简言之，线段AB 上的点的“个数”与从顶点C 引三角形内部的射线的“条数”不一样多。事实上相对于AB 上的点个数而言，C 处所引的满足条件的射线条数更多。用精确的数学语言来讲，就是两者的测度不相等，不可把射线的条数等价迁移到AB 上的点数去解决问题。利用实变函数的测度论相关知识，可以求得与C 处所引的满足条件的射线条数测度相同的有两个量，其一是角C 的度数，其二就是以C 为圆心，AC 长为半径的扇形圆弧 。如此，解法有二：

解法一 如图3-2，在线段AB 上取满足条件AM=AC 的射线CM

C A B M

AB l

1

l

图2-2

图2-1

图3-1

43

4

83)"("8

3,4

=

=<∴=

∠∴==

∠ππ

ππ

AC AM P ACM AC AM A

解法二 如图3-3，在AB 上去AM=AC ，延

长AM

交 与D 点

43

2

83)"("=

⋅⋅==<∴AC AC

AB AD AC AM P ππ

长弧长弧

从以上讨论知道，在几何概型中牵涉到的等可能性问题不仅容易误解，有时更难究个中原因，这需要读者具备更高深的数学专业知识：概率论和实函分析。初学者只有处处留心，勤于归纳，方可不差之毫厘。

科 目： 数 学

C

A

B

M

图3-2

图3-3

AB