理论力学-第四章

2∗ ∗ ∗

令
a′ =
d r
2∗
dt
∗
2
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
d ω 2 at = × r + ω (ω ⋅ r ) − ω r dt ∗ d r ac = 2ω × = 2ω × v ′ dt

∴ a = a ′ + at + ac
∴
di = ω×i dt
dj =ω× j dt
dk =ω×k dt
∗ dG d G ∴ = +ω ×G dt dt
∗ dG d G ∴ = +ω ×G dt dt
d G dGx dGy dGz 1) 其中 = i+ j+ k 是i 、j 、k 固定不动时G dt dt dt dt 的变化率，即相对变化率，表示相对于转动参照系S ′的变化 2) ω × G：由于参照系S ′绕着O点以角速度ω转动并带动G一起
当S ′系的原点O′与S系的原点O不重合时，如O′对O的速度 为v0，加速度为a0，则
d r + ω × r + v0 v= dt a = a ′ + at + ac + a0
∗
v0 ：牵连速度的一部分
a0 ：牵连加速度的一部分
§3. 非惯性系动力学
即经典力学的假定，对高速运动的物体，采用相对论
r = r ′ + R0
∴ v = v′ + v0
其中， v ： 绝对速度 v ′： 相对对速 v0： 牵连速度 ，即 s′ 相对于 s 的速度
二、加速度的变换法则
v = v′ + v0
适用条件：
ma ′ = F − mat − mac 2 = F − mω × r − mω (ω ⋅ r ) + mω r − 2mω × v ′
= C时，为零。 1 ） 惯性力： − mω × r 与ω及r 垂直。当ω
2) − mω (ω ⋅ r ) + m ω r ：与惯性离心力有关，任一瞬时与
第四章 转动参照系
平动参照系
一、速度的变换法则
参照系本身运动，这里只考虑 参照系作平动，即s → s′
y
S
y′
r
0
o′ R0
S’ r′
x′
x
P
s不动, s′相对于s做匀速直线运动
根据伽利略和牛顿的假定， 当运动速度远小于光速时, s与 s′ 参照系中的观察者对同一运动物体的观察结果相同。
2
该时刻的转动轴垂直，并离开转动轴向外。
3) 科里奥利力： − 2mω × v ′，与ω 及v ′所决定的平面垂直。
B
当S ′系以恒定角速度ω 转动，则：
M
ω
R
θ
O
P r
2 ma ′ = F + m ω R − 2mω × v ′
2 其中R为质点到转动轴的垂直距离，mω R为惯性离心力。
2 a = a ′ + ω × r − ω r + 2ω × v ′ = a ′ + at + aC
其中：
2 at = ω × r − ω r ac = 2ω × v ′
牵连加速度 科里奥利加速度
二. 动力学方程
F = ma = m(a ' + ω× r − ω r + 2ω ×υ ')
则
v = v′ + ω × r
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
2. P点对静止坐标系S的加速度： dv d − ωy )i + ( y + ωx ) j (x a= = dt dt 2 2 yi + ω xj − 2ωy − ω x )i + ( − 2ωx − ω y) j − ω x y = ( 2 ( yi − xj ) i + j ) − ω ( xi + yj ) − 2ω (− x j + y i ) − ω x y = ( 2 = a ′ − ω r + ω × r + 2ω × v ′
3) − mω × r ：由S ′系做变角速度转动所引起。
二、空间转动参照系
当S ′系的原点O′和S系的原点O重合，且S ′绕O点以角速度ω 转动，ω 不一定是恒矢量，则：
a = a ′ + at + ac + a0
故质量为m的质点受力F，则
a ′ = a − at − ac
即对平面转动参照系S ′，若添上三种惯性力， 2 mω × r 、mω r 、 − 2mω × v ′，则牛顿定理对S ′适用。
1) mω r ：惯性离心力，由S ′系的转动所引起。
2
2) − 2mω × v ′：科里奥利力，由S ′系的转动及质点对此 转动参照系相对运动引起。
2 •
§2. 空间转动参照系
参照系不是平面的，而是空间的， ω 的量值、方向都可以改变
先假设转动坐标系S ′的原点与静止坐标系S的原点O重合 ∴ 矢量ω 恒通过O点 令单位矢量i 、j 、k 固着在S ′系上的三个坐标轴上 ∴ 任一矢量G为：
G = Gx i + G y j + Gz k
′ 当S 以匀角速度转动，则ω 是恒矢量 其量值和方向均不变，故
dω =0 dt
B
M
ω
R
θ
O
P r
ω × r = ωr cos θ
而牵连加速度为：
at = ω (ωr cos θ ) − r ω
2
2 2
= OM ω − (OM − MP) ω = −ω R
2
2 ∴ a = a ′ − ω R + 2ω × v ′
v′ = 0
故 a ′ = 0, ac = 0
则 a = a ′ + a0
1）绝对时空观：时间间隔与空间间隔相对于不同参照系 是相同的 2）相对平移运动
非惯性系动力学
惯性参照系中，
F = ma
当动参照系S’相对于惯性参照系作加速直线运动时，有
a 绝对 = a0 牵连 + a '相对
惯性系中牛顿运动定律： 而对于动参照系S’，有
F = ma
当平板以均角速度转动，则切向加速度为零。 向心加速度 牵连加速度 切向加速度
2 a = a ′ − ω r + ω × r + 2ω × v ′
3. 科里奥利加速度
2 a = a ′ − ω r + ω × r + 2ω × v ′ i + 2ωx j = 2ω × v ′ − 2ωy
一、平面转动参照系：
在非惯性参照系中，牛顿运动定律不成立。若加 上一适当的惯性力，则牛顿运动定律在形式上就可成 立。 对平面参照系：
2 a ′ = a − ω × r + ω r − 2ω × v ′
对质量为m的质点受到合外力为 F ，即
ma = F
2 则 ma ′ = F − mω × r + mω r − 2mω × v ′
m a = F = m a0 + m a '
只有当动参照系S’相对于惯性参照系作匀速直线运动时，有
a0 = 0
∴ a=a
'
F = ma '

F + ( − m a0 ) = m a '
惯性力：在做直线加速运动的非惯性系中，质点受到的与非惯性
系的加速度方向相反，且大小等于质点质量与非惯性系 加速度大小的乘积的力，称为惯性力．
′ i 、j 、k 随S 系以同一角速度ω 转动 ∴ 在静止参照系S上所看到的G的变化率为：
di dj dk dG dGx dGy dGz = + Gy + Gz k + Gx i+ j+ dt dt dt dt dt dt dt
i 以ω 绕O转动，即i 是距离O为单位长的动点对O的位矢
η
y
j
P r i
O
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x
ξ
ω k
z
令单位矢量i 、j 固着在平板上的x轴和y 轴上， 并以同一角速度ω 和平板一同转动。此时ω 方向不变、大小改变。
η
ω 在z轴上 ∴ ω = ω k
则平板上任一点P的位矢为：
y
j
P r i
O
S′
x
ξ
r = xi + yj
其方向垂直于ω 及v ′所决定的平面，遵守右手螺旋法则 而在平面问题中，ω 恒沿k 方向
∴ 2ω x为位于xy平面内的矢量， 其指向可将 v ′ 随S ′ 转动一直角

科里奥利加速度
物理意义： 2ω × v ′是由牵连运动与相对运动相互影响所产生
∴ 在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、 牵连加速度及科里奥利加速度三者的矢量和，即：
F = − m a0
'
说明：
• 只有在非惯性系中才有惯性力． • 惯性力不是物体间的相互作用力，不存在施力物，也不存在反作用力． • 加上惯性力之后，就可以用牛顿运动定律了。 • 惯性力的方向与参照系的加速度方向相反
§1 平面转动参照系
一、运动学
1. 速度：
′ 设平面参照系S 以角速度ω 绕垂直于自身的轴转动。 在此参照系上取坐标系O − xy 其原点和静止坐标系S原点重合， 并绕着通过O并垂直于平板的直 线Z轴以角速度ω 转动。
di =ω j dt
ω k
z
∵质点P和坐标轴均随平板以相同的角速度转动。
∴
dj = −ω i dt
∴ 质点P对静止坐标系S的速度为：
r = xi + yj
η
dr di dj dk i + y j + z k + x + y + z =x v= dt dt dt dt − ωy ) i + ( y + ωx ) j = (x i + y j ) + (− ωyi + ωxj ) = (x
∗
转动所产生的 − − − 牵连变化率
∗ dG d G = +ω ×G dt dt
质点P对S系的绝对加速度 a ∗ ∗ dr d r dv d v = +ω×v = +ω×r a = 同样地： v = dt dt dt dt
∗ dω d r d r ∴ a= + ×r +ω× +ω×( +ω×r) 2 dt dt dt dt ∗ ∗ 2∗ d r dω d r = + × r + ω × (ω × r ) + 2ω × 2 dt dt dt d r
当S ′系的原点O′与S系原点O不重合时，O′对O的加速度a0
2 ma ′ = F − ma0 − mω × r ′ − mω (ω ⋅ r ′) + mω r ′ − 2mω × v ′
r ′ : 相对于O′的位矢
三、相对平衡
当质点P固着在S ′系中不动时，则 由 a = a ′ + at + ac + a0
、y 为P对转动参照系诸轴的分速度， 其中x 合成为v ′ − 相对速度
y
j
P
S′
r i
O
x
ξ
若P在平板上不动，则此项速度为零。
ω k
z
又-ωy及 ωx 为由于平板转动而带着P一同转动所引起， 故为牵连速度在坐标轴上的分量，即轴向分量。
∴ 两者的合成即牵连速度：
ω × r = ωk × ( xi + yj ) = ωxj − ωyi
[
]
、 为质点P对转动参照系S的轴向加速度分量 1 x y ）其中 其合成为a ′ − − − 相对加速度 2 2 2 2） − ω xi 与 − ω yj 合成为 − ω r ，沿矢径指向O点 即由于平板以角速度ω 转动所引起的向心加速度 ×r yi + ω xj = ω 3） − ω 平板作变角速度转动引起的切向加速度