理论力学第四章
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理论力学第四章习题答案
理论力学第四章习题答案理论力学第四章习题答案在理论力学的学习过程中，习题是非常重要的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固理论知识，加深对概念和原理的理解，并培养解决实际问题的能力。
本文将为大家提供理论力学第四章习题的详细答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点在力F作用下做直线运动，已知力的大小与时间的关系为F = kt，其中k为常数。
求质点的速度与时间的关系。
解答：根据牛顿第二定律F = ma，将力的大小与时间的关系代入，得到ma = kt。
由于质点做直线运动，所以速度的变化率等于加速度，即v = ∫a dt。
将上式代入，得到v = ∫(kt/m) dt = (k/m)∫t dt = (k/m)(t^2/2) + C。
其中C为积分常数。
因此，质点的速度与时间的关系为v = (k/m)(t^2/2) + C。
2. 一个质点在力F作用下做直线运动，已知力的大小与位置的关系为F = -kx，其中k为常数。
求质点的加速度与位置的关系。
解答：根据牛顿第二定律F = ma，将力的大小与位置的关系代入，得到ma = -kx。
由于质点做直线运动，所以加速度的变化率等于速度的变化率，即a =dv/dt。
将上式代入，得到dv/dt = -kx/m。
将变量分离，得到dv = (-kx/m) dt。
对两边同时积分，得到∫dv = ∫(-kx/m) dt。
积分后得到v = (-kx^2/2m) + C1，其中C1为积分常数。
再次对上式积分，得到∫v dx = ∫((-kx^2/2m) + C1) dx。
积分后得到x = (-kx^3/6m) + C1x + C2，其中C2为积分常数。
因此，质点的加速度与位置的关系为a = (-kx/m)。
3. 一个质点在势能函数U(x) = kx^2/2下做直线运动，已知质点的质量为m。
求质点的速度与位置的关系。
解答：根据势能函数U(x) = kx^2/2，可以求得力的大小与位置的关系为F = -dU(x)/dx = -kx。
理论力学第四章
vc
运动的假象质
• （二）角动量
定义质点组对固定点的角动量（动量矩） 是质点组中各质点对同一固定点的角动 量（动量矩）之和
LNrimivi Nrimiri
i1
代入关系式
i1
rrii rrii rrcc
N
L
rircmi rirc
i1
N rimirircN miriN mirircrcmrc
Fi
N
ri
Fij
i1
j1, ji
N N N
dT F idri F ijdridW
i 1
i 1j 1,ji
• 质点组的动能定理：
质点组总动能的增量等于所有作用在各 质点上的外力所做的总功，加上内力对 各质点所做的功
注意：质点组内各个质点的质量可能 不一样，则在内力的作用下，其发生 的位移不一样，则内力对质点组做功 之和一般不为零（与动量定理和角动 量定理不同）
miri
Fi
N Fij
j1,ji
两边矢乘质点的位置矢量可得
rimiri riF iri
N Fij
j1,ji
r im ir id d tr im ir i r im ir i
r im ir id d tr im ir i d d tL i
两边对所有质点进行求和
d
dt
N i1
h 4
j
一个重要的基本原理：
有了质心的概念以后，可以建立位 于质心的参考系，则对于质点组的任意 运动，或者相应的运动定理形式，均可 以进行分离考虑：质点组相对于质心的 运动（定理） 和 质点组作为整体在质 心相对于固定参考点的运动（定理）
§4.2 质点组动量、角动量和动能
理论力学第四章
主矩大小 M O M Ox2 M Oy2 M Oz2
M
2 x
M
2 y
M
2 z
15
2. 空间一般力系简化结果的讨论 1).若FR ' 0, M O 0 则力系简化为合力，与简化中心有关。 2).若 FR ' 0, M O 0 则力系简化为合力偶,与简化中心无关。 3).若 FR ' 0, M O 0 则力系简化为力螺旋(或合力） 4).若 FR ' 0, M O ,0 则该力系平衡
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
r r rr MO(F) r F （4–8）
MO( F ) Fd Fr sin
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲
方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对
主矢方向 cos
Fx
, cos
Fy
, cos
Fz
FR'
FR'
FR'
14
主矩大小
MO
M Ox2
M
2 Oy
M Oz2
主矩方向： cos' MOx , cos ' MOy , cos ' MOz
MOΒιβλιοθήκη MOMO由于力对点之矩与力对轴之矩存在如下的关系:
mox [ mO (Fi )]x mx (Fi ) moy [ mO (F )]y my (F ) moz [ mO (F )]z mz (F )
大小： MO( F ,F' ) MO( F ) MO( F' ) rAB F
理论力学课件第四章
M iy 0
M iz 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0（4–11）
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和 主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 M i M o ( Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, M O 0 最后结果为一个合力.
合力作用点过简化中心.
当 FR 0, M O 0, FR M O 时，d
MO FR
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1 , M 2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
如同右图
有 M Mi FR Fi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶
矩矢的矢量和.
M x M ix , M y M iy , M z M iz
zC
Pz
P
i i
则计算重心坐标的公式为
xC
Px
P
i i
yC
Py
i
i
P
zC
Pz
P
i i
（4–14）
对均质物体，均质板状物体，有
xC
V x
A
i i
xC
P Ai xi
yC
V y
A
i i
理论力学第四章
同理求解得
F1min
G tan tanjf 1 tanjf tan
G tan(
jf
)
y
F1
x
Fmax
FN G
4、几何法求F1的最小值F1min，受力分析如图。
F1min
画力三角形如图。
由力三角形可得 F1min Gtan( jf )
物块平衡时，F1的大小应满足
FR2
-jf
jf
FR2
G
G F1min
对多数材料，通常情况下
f fs
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3
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§4-2 摩擦角与自锁现象
一、摩擦角 ①全约束力 即FR= FN + FS ，它与接触面的公法线成一偏 角j ，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值 Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大 值jf叫做摩擦角。
fs2P 1 fs2
代入（3）
得
tan min
1 fs2 2 fs
1 tan2jf 2tanjf
cot 2jf
tan(
2
2jf
)
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FNB
B
FSB Pmin A FSA
几何法求解
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
G tan jf F1 G tan jf
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5，
求 多大时，梯子能处于平衡？
理论力学第四章
思考题2 已知:抽屉尺寸a,b,抽屉与 两壁间的静摩擦系数 f s ,不 计抽屉底部摩擦。 求:拉抽屉不被卡住的e值。
大小: 1.当F较小时，物体仍处于静止状态 此时的滑动摩擦力称为静（滑动） 摩擦力,以FS表示。 由水平方向的平衡条件可知：
Fs F
*在这种情况下，Fs随主动力F变化，故， 在进行受力分析时，与前面学过的约束 力一样，方向可以任意假设。
2.当F增大到一定程度时，滑动摩擦力不
能随F继续增大，而是保持一个固定值。 此时的滑动摩擦力是物体由静止状态向滑 动状态转变的临界值，称为最大静（滑动） 摩擦力,以Fmax表示。
0 M M max
2 滚动摩阻定律
M max FN
δ：滚动摩阻系数，具有长度量纲 *δ与材料的硬度、湿度有关，与圆 轮的半径无关。
3 δ的物理意义
δ为处于临界状态的圆轮,全约束力作用线 距底部接触点的垂直距离。
小变形情况下，若忽略摩擦力对M的影响
δ为处于临界状态的圆轮,法向约束力 距圆心的水平距离。
？滚动比滑动省力
提示： 1 物体滚动时，FS，M均存在。 2 与FS类似，0≤M≤Mmax, 转向与 物体的滚动（趋势）相反。 3 由于δ较小，大多数情况下滚 动摩阻力偶矩可以忽略不计。
*滚动物体摩擦力方向的确定 从动轮摩擦力的方向与质心的运动
方向相反；
主动轮摩擦力的方向与质心的运动 方向相同。
第四章 摩 擦
§4-1 滑动摩擦
滑动摩擦: 当两个相互接触的物体沿其接 触面有相对滑动或相对滑动趋 势时，相互之间产生的，阻止 对方运动的作用。 *滑动摩擦也是一种约束，提供的约束力 称为滑动摩擦力。
滑动摩擦力的性质： 方向: 沿接触面的公切线方向,与相对 滑动和相对滑动趋势相反。 作用点: 接触面处
理论力学第4章 摩擦
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
理论力学第四章扭转
由 M x 0, T Me 0 得T＝M e
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
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所以在切线上必然平衡！
jf
FRA
jf
jf
A
2、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作 用线在摩擦角jf之外，则无论这个力怎样小，物 块必滑动。
因为 >jf，而 j ≤ jf ，因此主动力的合力FR和 全约束力FRA不能满足二力平衡条件。
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FR
FRA 滑动
jf
j
10
3、自锁应用举例
（ f s只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）
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4
二、动滑动摩擦力（与静滑动摩擦力不同之处是已经产生了滑动） 大小：摩擦力是一常数；（无平衡范围） 动摩擦力特征： 方向：与物体运动方向相反； 定律： Fd f FN
（f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）
G tan jf F1 G tan jf
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5， FNB 求 多大时，梯子能处于平衡？ B
解：考虑取最小时梯子处于下滑趋势的临界 平衡状态，作受力图。 列平衡方程 FSB
自锁应 用实列
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<jf
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12
[例] 水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的静摩擦 因数为 fs（摩擦角均为j f ），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动， E 人的活动应限制在什么范围内？P130,4-10
H
解：①作法线AH和BH ②作A，B点的摩擦角jf 交E，G两点 ③E，G两点间的水平距离CD为人的 jf jf 活 动范围 证明：由几何关系 AEB AGB 90 0
③计算Fmax=fSFN ，根据不等式|FS|≤ Fmax是否满足来判
断物体是否平衡。满足不等式则平衡，否则不平衡。
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16
二、求平衡范围问题（包括力与几何范围）
①设物体处于某种临界平衡，摩擦力达到最大值Fmax，其方
向不能假设，要根据物体运动趋势来判断； ②补充方程Fmax=fSFN ，由平衡方程求未知量； ③根据求得的某种临界平衡条件，分析其平衡范围。 三、临界平衡问题
Fx 0 Fy 0
FNB FSA 0 FNA FSB P 0
(1) (2)
(3)
P
min
A
FSA
l M 0 P cosmin FSB l cosmin FN B l sinmin 0 A 2
补充方程 解得 FNA
FSA fs FNA
G A l C D B
jf j f
600
300
AC AE cos(300 jf ) AB sin(600 jf ) cos(300 jf ) BD BG cos(600 jf ) AB sin(300 jf ) cos(600 jf )
所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡汇交的原理，只 有在CD段活动时，才能满足三力平衡汇交原理。
FNB
B
D
FBmax
P
Fx 0 Fy 0
FNB FA max 0 FNA FB max P 0
S
M A ( F ) 0 PS cos FB max l cos FNBl sin 0
①设物体处于临界平衡，摩擦力达到最大值Fmax，其方
向不能假设，要根据物体运动趋势来判断； ②补充方程Fmax=fSFN ，由平衡方程求未知量。
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[例]在倾角大于摩擦角jf 的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块 在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F1。试求该水平力的大小。 解：研究物块处于向上滑动时的临界平衡状态 1、解析法求F1的最大值F1max，受力分析如图。 F1
FR
j
FN
由于静摩擦力不可能超过最大值，因 此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角 以外，即全约束力必在摩擦锥之内。
Fmax FS
将摩擦锥反向，判断主动力的合力是 否在反向摩擦锥内来判断物体是否平衡。
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1、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作 用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物 块必保持静止。这种现象称为自锁现象。
a
A
d
B
M
e a
alim
b 2 fs
a
b 2 fs
挺杆不被卡住。
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§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
判断物体是否平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题
求平衡范围问题
临界平衡问题
一、判断物体是否平衡问题 ①假定物体平衡，将摩擦力FS作为未知力，指向可假设； ②由平衡方程求FS和FN。若FS为负值则与假设指向相反；
极限 解：A、B处的全约束力只 能在摩擦角以内，即两力 b 作用线的交点只能在C或C FRA A φf 的右侧。由三力平衡汇交 b φf C 定理可知，三力在C点右侧 B FRB 汇交时，摩擦力未达到临 界状态，可以平衡。因此 a<a极限时，推杆不会被卡住。 O a F d d b (alim ) tan jf (alim ) tan jf 2 2 2alim tan jf 2alin f s
7
④测定摩擦因数的一种简易方法
G
tan tan jf fs
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8
二、自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与 最大值Fmax之间变化，所以全约束力与法线间的夹角j也 在零与摩擦角jf之间变化，即 jf 平衡有 0 FS Fmax
则必有 0 j jf
Fmax fS FN
（f S— 静滑动摩擦因数） Fmax
FN
FT P
所以增大摩擦力的途径为 ：
①加大法向压力FN； ②加大静摩擦因数fS。
3、 特征：
大小：0 FS Fmax （平衡范围）满足 Fx 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律： Fmax fS FN
注意，由于不可能大于900 ， 所以梯子平衡倾角 应满足
jf FRA
36.80 900 min jf CAD jf ADC 2jf
2 2 2
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若梯子与水平面的夹角已知，且梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s。 不考虑梯子重量，重为P的人沿梯子攀爬的最远距离S为多少？ 解：考虑人沿梯子攀爬最远时梯子处于下滑 趋势的临界平衡状态，作受力图。 列平衡方程
③摩擦锥：顶角为2jf 的锥体。
解析法求摩擦问题时：切向摩擦力FS和法向约束力 物 FN分别画，用平衡方程求解！不必考虑摩擦锥。
jf jf
体 平 衡 几何法求摩擦问题时：需要把切向摩擦力FS和法向
FR
约束力FN合并成一个全约束力画，作力三角形求解！ 必须把全约束力画在摩擦锥内。
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y
Fx 0 列平衡方程 Fy 0
补充方程（物理方程）
F1 cos Fmax G sin 0 FN G cos F1 sin 0
Fmax=fsFN F1
G
x
联立求解得
F1max
tan tan jf G G tan( jf ) 1 tan jf tan
FR2
j2
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
j2 j1
j1 j2 2jf
jf 2
各处摩擦相同， 求能自锁的角。
FR1
j1
cot fs
F
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14
[例]图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。 设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。
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1
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略 了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的， 一般情况下都存在有摩擦。
FN1 Fs1
Fs2 FN2
P
平衡必计摩擦 按接触面的运动情况看摩擦分为： 滑动摩擦，滚动摩擦
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§4-1 一、静滑动摩擦力
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FNB FSB
B
几何法求解 当梯子处于向下滑动的临界平衡状态 时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
D
P
min
A
FSA
jf
B jf
FRB
C
FNA
jf arctan 0.5 26.6
得 min
0
P
min
jf
A
2jf 36.80 2
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[ 例 ] 在隧道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧 装置—楔联结。隧道支柱中的联结结构装置如图 所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺 杆 III 及底座 IV 。螺旋杆给楔块以向上的推力 FN1 。 已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为 fs （摩 擦角jf ），求楔块不致滑出所需顶角的大小。 解：研究楔块，受力如图 二力平衡条件 FR1 FR2 且两力必在同一直线上
y
jf
FRA
jf
jf
A
2、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作 用线在摩擦角jf之外，则无论这个力怎样小，物 块必滑动。
因为 >jf，而 j ≤ jf ，因此主动力的合力FR和 全约束力FRA不能满足二力平衡条件。
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FR
FRA 滑动
jf
j
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3、自锁应用举例
（ f s只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）
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二、动滑动摩擦力（与静滑动摩擦力不同之处是已经产生了滑动） 大小：摩擦力是一常数；（无平衡范围） 动摩擦力特征： 方向：与物体运动方向相反； 定律： Fd f FN
（f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）
G tan jf F1 G tan jf
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5， FNB 求 多大时，梯子能处于平衡？ B
解：考虑取最小时梯子处于下滑趋势的临界 平衡状态，作受力图。 列平衡方程 FSB
自锁应 用实列
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<jf
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[例] 水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的静摩擦 因数为 fs（摩擦角均为j f ），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动， E 人的活动应限制在什么范围内？P130,4-10
H
解：①作法线AH和BH ②作A，B点的摩擦角jf 交E，G两点 ③E，G两点间的水平距离CD为人的 jf jf 活 动范围 证明：由几何关系 AEB AGB 90 0
③计算Fmax=fSFN ，根据不等式|FS|≤ Fmax是否满足来判
断物体是否平衡。满足不等式则平衡，否则不平衡。
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二、求平衡范围问题（包括力与几何范围）
①设物体处于某种临界平衡，摩擦力达到最大值Fmax，其方
向不能假设，要根据物体运动趋势来判断； ②补充方程Fmax=fSFN ，由平衡方程求未知量； ③根据求得的某种临界平衡条件，分析其平衡范围。 三、临界平衡问题
Fx 0 Fy 0
FNB FSA 0 FNA FSB P 0
(1) (2)
(3)
P
min
A
FSA
l M 0 P cosmin FSB l cosmin FN B l sinmin 0 A 2
补充方程 解得 FNA
FSA fs FNA
G A l C D B
jf j f
600
300
AC AE cos(300 jf ) AB sin(600 jf ) cos(300 jf ) BD BG cos(600 jf ) AB sin(300 jf ) cos(600 jf )
所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡汇交的原理，只 有在CD段活动时，才能满足三力平衡汇交原理。
FNB
B
D
FBmax
P
Fx 0 Fy 0
FNB FA max 0 FNA FB max P 0
S
M A ( F ) 0 PS cos FB max l cos FNBl sin 0
①设物体处于临界平衡，摩擦力达到最大值Fmax，其方
向不能假设，要根据物体运动趋势来判断； ②补充方程Fmax=fSFN ，由平衡方程求未知量。
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[例]在倾角大于摩擦角jf 的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块 在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F1。试求该水平力的大小。 解：研究物块处于向上滑动时的临界平衡状态 1、解析法求F1的最大值F1max，受力分析如图。 F1
FR
j
FN
由于静摩擦力不可能超过最大值，因 此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角 以外，即全约束力必在摩擦锥之内。
Fmax FS
将摩擦锥反向，判断主动力的合力是 否在反向摩擦锥内来判断物体是否平衡。
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1、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作 用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物 块必保持静止。这种现象称为自锁现象。
a
A
d
B
M
e a
alim
b 2 fs
a
b 2 fs
挺杆不被卡住。
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§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
判断物体是否平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题
求平衡范围问题
临界平衡问题
一、判断物体是否平衡问题 ①假定物体平衡，将摩擦力FS作为未知力，指向可假设； ②由平衡方程求FS和FN。若FS为负值则与假设指向相反；
极限 解：A、B处的全约束力只 能在摩擦角以内，即两力 b 作用线的交点只能在C或C FRA A φf 的右侧。由三力平衡汇交 b φf C 定理可知，三力在C点右侧 B FRB 汇交时，摩擦力未达到临 界状态，可以平衡。因此 a<a极限时，推杆不会被卡住。 O a F d d b (alim ) tan jf (alim ) tan jf 2 2 2alim tan jf 2alin f s
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④测定摩擦因数的一种简易方法
G
tan tan jf fs
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二、自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与 最大值Fmax之间变化，所以全约束力与法线间的夹角j也 在零与摩擦角jf之间变化，即 jf 平衡有 0 FS Fmax
则必有 0 j jf
Fmax fS FN
（f S— 静滑动摩擦因数） Fmax
FN
FT P
所以增大摩擦力的途径为 ：
①加大法向压力FN； ②加大静摩擦因数fS。
3、 特征：
大小：0 FS Fmax （平衡范围）满足 Fx 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律： Fmax fS FN
注意，由于不可能大于900 ， 所以梯子平衡倾角 应满足
jf FRA
36.80 900 min jf CAD jf ADC 2jf
2 2 2
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若梯子与水平面的夹角已知，且梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s。 不考虑梯子重量，重为P的人沿梯子攀爬的最远距离S为多少？ 解：考虑人沿梯子攀爬最远时梯子处于下滑 趋势的临界平衡状态，作受力图。 列平衡方程
③摩擦锥：顶角为2jf 的锥体。
解析法求摩擦问题时：切向摩擦力FS和法向约束力 物 FN分别画，用平衡方程求解！不必考虑摩擦锥。
jf jf
体 平 衡 几何法求摩擦问题时：需要把切向摩擦力FS和法向
FR
约束力FN合并成一个全约束力画，作力三角形求解！ 必须把全约束力画在摩擦锥内。
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y
Fx 0 列平衡方程 Fy 0
补充方程（物理方程）
F1 cos Fmax G sin 0 FN G cos F1 sin 0
Fmax=fsFN F1
G
x
联立求解得
F1max
tan tan jf G G tan( jf ) 1 tan jf tan
FR2
j2
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
j2 j1
j1 j2 2jf
jf 2
各处摩擦相同， 求能自锁的角。
FR1
j1
cot fs
F
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[例]图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。 设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。
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前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略 了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的， 一般情况下都存在有摩擦。
FN1 Fs1
Fs2 FN2
P
平衡必计摩擦 按接触面的运动情况看摩擦分为： 滑动摩擦，滚动摩擦
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§4-1 一、静滑动摩擦力
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FNB FSB
B
几何法求解 当梯子处于向下滑动的临界平衡状态 时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
D
P
min
A
FSA
jf
B jf
FRB
C
FNA
jf arctan 0.5 26.6
得 min
0
P
min
jf
A
2jf 36.80 2
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[ 例 ] 在隧道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧 装置—楔联结。隧道支柱中的联结结构装置如图 所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺 杆 III 及底座 IV 。螺旋杆给楔块以向上的推力 FN1 。 已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为 fs （摩 擦角jf ），求楔块不致滑出所需顶角的大小。 解：研究楔块，受力如图 二力平衡条件 FR1 FR2 且两力必在同一直线上
y