【中小学资料】广东省深圳市2018届九年级数学上学期期中试题(答案不全) 新人教版
广东省深圳市2018届九年级数学上
学期期中试题
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．方程（x﹣1）（x﹣2）=2的根是（）
A．x1=1，x2=2 B．x1=﹣1，x2=﹣2 C．x=3 D．x1=0，x2=3
2．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a=，b=3，c=2，d=B．a=4，b=6，
c=5，d=10
C．a=2，b=，c=2，d=D．a=2，
b=3，c=4，d=1
3．如图所示几何体的左视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列命题正确的个数有（）
①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形
相似；②对角线相等的四边形是矩形；
③任意四边形的四边中点连接所形成的四边形
是平行四边形；
④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比
为4：9．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明
随意转动转盘2次，
当转盘停止转动时，二次指针所指向数字的积为偶数的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．如在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．若△OE′F′与△OEF关于点O 位似，且S△OE′F′：S△OEF=1：4，则点E′的坐标为（）
A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
9．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙另三边用总长为76 m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（）
A ．x（76﹣x）=672
B ．x（76﹣2x）=672 C．x（76﹣2x）=672 D．x（76﹣x）=672
10．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，在底边AB上方位
置有边长分别为3，4，x的三个相邻的正方形，则x的值为（）
A．5 B．6 C．7 D．12
11．如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△EFC，
△DBG的面积为1，3，1，那么□DEFG的面积为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，Rt△ABC和Rt△CDE中，∠A=30°，∠E=45°，AB=CE
，∠BCD=30°，FG⊥AB，下列结论：①CH=FH；
②BC=GC；
③四边形BDEF为平行四边形；④FH=GF+BH．其中正确的结论是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二．填空题（每小题3分，共12分）
13．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为．
14．把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，则该袋中约有黑豆．
15．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE
交AB于点F。
若AF=1.2cm，则
AB= cm．
16．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为
三．解答题（共52分）
17. （9分）解方程：
（1）x2+4x+2=0
（2）3x2+2x﹣1=0；
（3）（2x+1）2=﹣3（2x+1）
18.（6分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消
费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费
中：
（1）该顾客至少可得元购物券，至多可得元购物券；（2分）
（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．（4分）
19.（6分）如图，小军、小珠所在位置A,B之
间的距离为2.8m，小军、小珠在同一盏路
灯P下的影长分别为1.2m，1.5m，已知小
军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，
(1)画出两人在路灯下的影子AC和BD;（2分）
(2)求路灯的高PO．（4分）
20.（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；（3分）
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．（4分）21.（7分）西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进
一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天
可售出 200 千克.为了促销，该经营户决定降价
销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1
元/千克，每天可多售出 40 千克.另外，每天的
房租等固定成本共 24 元.
（1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则
每天的销售量是千克（用含x的代数式
表示）；（1分）
（2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每
天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少
元？（6分）
22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形
AOBC的边长为AO=6，BO=8，如图①，动点P以
每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运
动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点
C沿线段OC运动。
（1）用含t的代数式表示：CP= ，QC= （2分）
（2）在运动过程中， P、Q、C三点是否能构成
等腰三角形，若能，请求出点P的坐标．（3分）
（3）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE
折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长
AF交BC于点G．求点G的坐标．（3分）
P
A B
O
23.（9分）如图①，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在坐标轴上，点B 在第二象限，且点B 的横、纵坐标是一元二次方程m 2
+m ﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC 沿直线BE 折叠，使点C 落在AB 边上的点F 处，点E 在CO 边上．
（1）直接填空：B （ ， ），F （ ， ）；（2分）
（2）如图②，若△BCE 从该位置开始，以固定的速度沿x 轴水平向右移动，平移的距离记为
a ．记△BCE 平移后为△B ′C ′E ′，当a 为何值
时△B ′C ′E ′与△BEF 重合部分为菱形？（3分）
（3）如图③，设点G 为EF 中点，若点M 在直线CG 上，点N 在y 轴上，是否存在这样的点M ，使得以M 、N 、B 、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（4分）
M
2017-2018学年度第一学期九年级期中联考数学科试卷(答案) 一、选择题：
二、填空题：
13、 -3 14、 2400 15、 6 16、 三、解答题：
17、解：（1）x 2
+4x+2=0 移项，得：x 2
+4x =﹣2，
配方，得：x 2+4x+4=﹣2+4，……………………1分
即
（x+2）
2
=2，………………………………………..2分
解这个方程，得：x+2=±； 即
x 1=-2+
，
x 2=-2
﹣
．………….……………3分 （2）3x 2
+2x ﹣1=0； 这里a=3，b=2，c=﹣1，
∵△=4+12=16，……………………1分 ∴x=
，……………………2分
∴x 1=，x 2=﹣1．……………………3分 （3）（2x+1）2
=﹣3（2x+1） （2x+1）2
+3（2x+1）=0，
（2x+1）[（2x+1）+3]=0，……………………1分
（2x+1）（2x+4）=0，........................2分 解得：x 1=﹣，x 2=﹣2． (3)
分 (其它方法参考给分)
18、（1） 10 ， 80 ……………………2分
（2）列表得：
∵两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额不低于50元的结果共有6种．……………………5分
∴该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是：．……………………6分
19、解：(1) 如图，AC,BD即为所求。
…………………2分(2)如图，∵AE∥PO∥BF，
∴△AEC∽△POC，△BFD∽△OPD，…………………3分∴，，
即，，
解得：PO=3.3m．…………………5分
答：路灯的高为3.3m．…………………6分
P
A B
O
C D
E F
20、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC．…………………1分∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C…………………2分
∴△ADF∽△DEC；…………………3分
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，由（1）知△ADF∽△DEC，∴，…………………4分
∴DE=12…………………6分
在Rt△ADE中，由勾股定理得：。
深圳市龙岗区2023年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案
广东省深圳市龙岗区2023年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题有10小题，每小题3分，共30分。
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 答案：C答案解析：A. 2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意； B. ，分母含有未知数，故不符合题意； C.为一元二次方程，符合题意；D. ，分母含有未知数，故不符合题意； 故选C ．2. 已知线段a 、b 有，则为（ ）A. B. C. D. 答案：C 答案解析：∵∴解得∴210x +=12x x +=210x -=221x x+=-12x x+=210x -=221x x+=-52a b a b +=-:a b 5:17:27:33:752a b a b +=-2()5()a b a b +=-37a b =:7:3a b =故选C.3. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边和对角线上，连接，若，则的长为（ ）A. 4B. 5C.D. 答案：B答案解析：解：连接AF ，如图所示，∵四边形AGFE 为矩形，∴，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=CD，，在和中，∵，∴，AEFG E F ABCD AB BD EG CF 5EG =CF5AF EG ==ADF CDF ∠=∠ADF △CDF V AD CD ADF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADF CDF SAS ≅V V∴CF=AF=5，故选：B ．4. 如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC 的是（ ）A. ∠ADC＝∠ACBB. ∠B＝∠ACDC. ∠ACD＝∠BCDD.答案：C答案解析：（A ）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故A 能判定△ACD∽△ABC；（B ）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ACD∽△ABC，故B 能判定△ACD∽△ABC；（D）∵＝ ，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故D 能判定△ACD∽△ABC；故选C ．5. 若，则下列比例式成立的是（ ）A.B.C.D.答案：B答案解析：解：A 、∵，∴，故此选项不符合题意；AC ADAB AC=AC ABADAC ()340m n mn =≠34m n=43m n =14m n =43m n=34m n=43m n =B、∵，∴，故此选项符合题意；C 、∵，∴，故此选项不符合题意；D 、∵，∴，故此选项不符合题意；故选：B ．6. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形C. 四个角都是直角的平行四边形是正方形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形答案：D答案解析：解：A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A 错误；B ．由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故B 错误；C ．四个角都是直角的菱形是正方形，故C 错误；D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；故选：D ．7. 如图，菱形ABCD 中，∠D＝140°，则∠1的大小是（ ）43m n=34m n =14m n =4m n =43m n =12mn =A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°答案：B答案解析：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴DA＝DC ，∠DAC＝∠1，∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，在△ABD 中，∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，∴∠1＝20°，故选：B ．8. 一种药品，原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价( )A. B. C. D. 答案：B答案解析：解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，，解得 (不合题意，舍去)；答：这种衬衫平均每次降价的百分率为．故选：B ．9. 若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组12128%10%15%20%2200(1)162x ⨯-=120.1 1.9x x ==，10%a x ()22210a x ax a +++-=x有解且最多有个整数解，则符合条件的整数的个数为（ ）A. B. C. D. 答案：C答案解析：∵整数使得关于的一元二次方程有实数根，∴a+2≠0，≥0，∴a≤2且a≠-2；∵的解集为a ＜x≤3，且最多有个整数解，∴-3≤a＜3，∴-3≤a≤2，a≠-2，∴a 的值为-3，-1，0，1，2共有5个，故选C ．10. 如图，点E 、F 分别在正方形的边上，且垂直于，若，，则的周长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B()01272a x x x -<⎧⎪⎨+≤+⎪⎩6a 3456a x ()22210a x ax a +++-=2(2)4(2)(1)a a a -+-()01272a x x x -<⎧⎪⎨+≤+⎪⎩6ABCD CD AD 、EF BE 8AB =10BE =DEF V答案解析：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，设，则，∴，，∴，解得，∴，∴，则的周长．故选：B ．BF ABCD 8CDAD BC AB ====90C D A ∠=∠=∠=︒10BE =6CE ==862DE CD CE =-=-=AF x =8DF AD AF x =-=-222228BF AB AF x =+=+22222EF BF BE DF DE =-=+2222281082x x +-=-+（）132x =382DF x =-=52EF ==DEF V 352622DE DF EF =++=++=二、填空题本题有5小题，每小题3分，共15分。
广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2023-2024 学年第一学期期中调研九年级数学试卷答题时间90分钟，满分100分．一．选择题（共 10 小题，每小题3分，共30分）1. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．【详解】解：A 、选项不符合三种视图，不符合题意；B 、选项是主视图，不符合题意；C 、选项是右视图，不符合题意；D 、选项是左视图，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，则袋中白球约有（ ）A. 10 个B. 15 个C. 20 个D. 25 个【答案】A【解析】【分析】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率是解题的关键．【详解】解：设白球有x 个，则 0.415x x =+，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，∴10x =，故选A ．3. 如图，矩形ABCD 中，对角线 AC BD 、交于点 O ．若608AOB BD ∠=°=，，则 AB 的长为（ ）A. 3B. 4C.D. 5【答案】B【解析】 【分析】题考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质．通过矩形的性质推出ABO 为等边三角形是解题的关键．【详解】∵ABCD 是矩形，∴1842OA OB OC OD BD =====， 又∵60AOB ∠=°，∴ABO 是等边三角形，∴4AB OA ==，故选B ．4. 一元二次方程2430x x −−=的根的情况是（ ）． A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根 【答案】C【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：2430x x −−=，其中a =1，b =-4，c =-3，()224441(3)280=−=−−××−=> b ac ，∴一元二次方程有两个不相等的实数根故选：C .【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 关于反比例函数6y x=，下列说法中不正确的是（ ） A. 点()2,3−−在它的图象上 B. 图象关于原点中心对称C. 当0x >时，y 随x 的增大而增大D. 它的图象位于第一，三象限 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：A 、当2x =−时，则632y ==--，所以点()2,3−−在它的图象上，故不符合题意； B 、由反比例函数6y x=可知图象关于原点中心对称，故不符合题意； C 、当0x >时，y 随x 的增大而减小，故符合题意；D 、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；故选：C ．6. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度是（ ）A. 7mB. 6mC. 5mD. 4m【答案】A【解析】 【分析】先说明△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的对应边成比例列式解答即可．【详解】解：如图：AD ＝6m ，AB ＝21m ，DE ＝2m ；∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD BC AB =，即 2621BC =， 解得：BC ＝7m ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，发现并判定△ADE ∽△ABC 是解答本题的关键． 7. 在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为100min ，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min ．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x ，则可列方程为（ ）A. ()2701100x +=B. ()2701100x +=C. ()2100170x −=D. ()2100170x −=【答案】C【解析】 【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长2022=年上学期每天书面作业平均时长(1×−该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率2)，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设根据题意得：()2100170x −=．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数()0y kx k k =−≠与y =()0k k x≠的大致图象可能是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k 的符号对函数图象的影响是解题的关键．【详解】解：①当0k >时，y kx k =−过一、三、四象限；y =k x 位于一、三象限； ②当0k <时，y kx k =−过一、二、四象象限；y =k x 位于二、四象限． 观察图形可知，只有D 选项符合题意．故选D ．9. 下列说法正确的是（ ）A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形B. 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形C. 已知点 C 为线段AB 2AB =，则 1AC =−D. 中午用来乘凉的树影是中心投影【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义，平行投影的含义；本题根据菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义结合线段的黄金分割点有2个，以及太阳光线是平行光线逐一分析判定即可，熟记基础概念是解本题的关键．【详解】解：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A 不符合题意；顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形，表述正确，故B 符合题意；如图，C 是AB 的黄金分割点，则AC AB ′=，则1AC ′=，或BC AB =，则1BC =−，∴)213AC =−−=C 不符合题意； 中午用来乘凉的树影是平行投影，故D 不符合题意；故选B10. 如图，在 ABC 中，9024ACB AC BC ∠=°==，，，ACB 绕顶点C 逆时针旋转得到DEC ，使点 D 落在 AB 边上，连接 EB ，则 BE 的长为（ ）A. B. C. D. 72【答案】A【解析】【详解】现根据旋转证得ECB ACD ，即2BE AD =，然后过点C 作CF AB ⊥于点F ，则2AD AF =，根据三角形的面积求出CF 长，然后利用勾股定理求出AF 即可解题．∴AB ，由旋转可知：42EC BC CD AC ====，，90ECD∠=°， ∵90ECB BCD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=°，∴ECB ACD ∠=∠， 又∵2ECBC CD AC==， ∴ECB ACD ∽， ∴2BE BC AD AC==，即2BE AD =， 过点C 作CF AB ⊥于点F ，则2AD AF =， ∵1122ABC S AC BC AB CF =×=× ，∴AC BC CF AB ×==∴AF ，∴2AD AF ==，即2BE AD == 故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造“三线合一”是解题的关键．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11. 已知方程²30x mx ++=的一个根是1，则m 的值是_______【答案】-4【解析】【分析】将x=1代入方程中即可求出m 的值．【详解】解：由题意可知，将x=1代入方程中得到：1²+m+3=0，解得m=-4，故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程方程解得概念，告诉方程的解就是将解代入方程中，等号两边相等即可．12. 如图，ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，DE BC ∥，若4=AD ，6BD =，2AE =，则CE 的长是 _____．【答案】3【解析】【分析】根据DE BC ∥，易证AD AE DB EC =，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴AD AE DB EC=， ∵4=AD ，6BD =，2AE =， ∴426CE=， 解得：3CE =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练地掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 13. 如图，甲楼AB 高 16 米，乙楼CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是2:3， 已知两楼相距BD 为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 DE ＝_______米．【答案】8【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识；过E 作EF AB ⊥，利用平行投影的知识物高与影长的比是2:3，求出AF 的长度，进而求得DE BF AB AF ==−即可得出答案．解题的关键是利用平行投影的知识，求出AF 的长度．【详解】如图，过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，在Rt ΔAFE 中，90AFE ∠=°，12EF BD ==∵物高与影长的比是2:3 ∴23AF EF =， ∴8AF =∵16AB =，∴1688DE BF AB AF ==−=−=故答案为：8米14. 如图，在 Rt AOB 中，904AOB OB AB ∠=°=，，∥x 轴，双曲线k y x=经过点B ，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，AB 的对应线段CB 恰好经过点 O ．则 k 的值是_____．【答案】【解析】【分析】先求得BOD 是等边三角形，即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值.【详解】∵ AB x 轴,ABO BOD ∴∠=∠，ABO CBD ∠=∠ ，BOD OBD ∴∠=∠，OB BD = ，BOD BDO ∴∠=∠，BOD ∴ 是等边三角形，如图，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，60BOD ∴∠=°，∴30OBE ∠=°， ∴114222OE OB ==×=，∴BE(2B ∴，∵双曲线 k y x=经过点B ，2k ∴=×=故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 BOD 是等边三角形是解题的关键．15. 如图，四边形ABCD F 是边AB 上的一点，连接DF ，点E 是边BC 延长线上的一点，且 DF DE ⊥，连接AC 交EF 于点Q ，若53AQ QC =，1AF =，则EF 的长为_____．【解析】【分析】过E 点作EG AB 交AC 的延长线于点G ，设EF 于CD 交于点P ，则有ADF CDE ≌，即可得到1AF CE EG ===，再证得QCP QGE QAF ∽∽，可以得到14EC GC BC CA ==，求出BF 和BE 长，利用勾股定理解题即可．【详解】解：过E 点作EG AB 交AC 的延长线于点G ，设EF 于CD 交于点P ，∵ABCD 是正方形，DF DE ⊥，∴90B DAF DCB DCE CEG ADC EDF ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=°，AD DC =，45ACB ECG ∠=∠=°，AB CD ， ∴ADF CDE ∠=∠， ∴ADF CDE ≌， ∴1AF CE ==， 又∵45ECG ∠=°， ∴1EC EG ==， ∵EG AB ，AB CD ， ∴EG AB CD ，∴G CAB ∠=∠，B BEG ∠=∠， ∴QCP QGE QAF ∽∽， ∴35QC PC PC PQ QG EG AF QF ====， ∴2184GC CA ==， 又∵EG AB CD ， ∴14ECGC BC CA ==， ∴4BC AB ==， ∴35BF BE ==，，∴EF ，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，共55分）16. 解方程：（1）24120x x −−=； （2）22210x x −−=．【答案】（1）16x =，22x =−（2）112x =+，212x =−【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法，关键是熟练掌握各自的解题方法． （1）利用因式分解法求解，“因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，也就是把原方程进行了降次转化为解一元一次方程”；（2）利用配方法解方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，然后开平方求解即可． 【小问1详解】 解：24120x x −−=，()()260x x +−=， ∴20x +=或60x −=， ∴12x =−，26x =；【小问2详解】解： 22210x x −−=，∴2221x x −=，则212x x −=，∴222111222x x −+=+， 221324x x −+= ，即21324x−=，则12x −，∴112x =+，212x =． 17. 小红爸爸积极参加社区志愿服务工作．根据社区安排，志愿者被随机分到A 组（清除小广告）、B 组（便民代购）和C 组（环境消杀）． （1）小红爸爸被分到B 组概率是____________；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率． 【答案】（1）13（2）13【解析】【分析】（1）小红爸爸随机分到一组有3种情况，其中1种是分到B 组，根据概率公式可得答案； （2）通过画树状图，得出一共有多少种情况，再从中选出满足条件有多少种情况，最后根据概率公式可得答案． 【小问1详解】解：∵小红爸爸随机分到一组有3种情况，其中1种是分到B 组， ∴小红爸爸被分到B 组的概率为13； 故答案为：13【小问2详解】解：小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：的的由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三种，分别是()()(),,,,,A A B B C C ，∴()3193P ==小红爸爸和王老师被分到同一组． 【点睛】本题考查了利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在通过画树状图法，得出一共的情况数和满足条件的情况数．18. 已知：ABC 三个顶点的坐标分别为()()()225415A B C −−−，-，，-，，-．（1）画出ABC 关于 x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标______；（2）以点 O 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到222A B C △，请在网格中画出222A B C △，并写出点2B 的坐标为______，222ABC A B C S S = ∶______． 【答案】（1）见解析，()115C −， （2）加解析，()2108B ，，14∶【解析】【分析】此题考查了作轴对称图形及位似图形，（1）分别确定对称点111A B C ，，，顺次连线即可；（2）分别连接AO BO CO ，，并延长二倍，确定点222A C B ，，，顺次连线即可得到222A B C △，利用位似图形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图：111A B C △即为所求，()115C −，；故答案为：()115C −，； 【小问2详解】 解：如图：222A B C △即为所求，由图可知：()2108B ，， ABC 与222A B C △位似，位似比12∶，2221ABC A B C S S ∴= ∶∶4． 故答案为：()2108B ，，14∶．19. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x 元．（1）当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；（2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？【答案】19. 32；320 20. 5元 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克.即可得出结论;（2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．是【小问1详解】解： 由题意得：销售数量为202632+×=千克；利润为()()402462620320−−××+=元； 故答案为：32；320； 【小问2详解】由题意得:()()4024202330x x −−+=， 解得： 1,5,x x ==₁₁ ∵让顾客得到实惠，5x ∴=， 答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．20. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF =BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD （2）连接OE ，若AD =5，EC =2，求OE 的长度． 【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ，等量代换得到BC =EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD =AB =BC =10，由勾股定理求出AE =4，AC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC 且AD =BC ， ∵BE =CF ， ∴BC =EF ， ∴AD =EF ，是∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEF =90°，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AD =5， ∴AD =AB =BC =5， ∵EC =2， ∴BE =5-2=3， 在Rt △ABE 中，4AE ===，在Rt △AEC 中，AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA =OC ，∴OE =12AC【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ，等量代换得到BC =EF 是解题的关键．21. （1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()1,2A 和()2,B m −．①直接写出=a ____，b =____，k =____； ②请直接写出不等式kax b x+>的解集____；连接OA 、OB ，则AOB S =△_______．（2）如图 2，直线 :2l y x m =−+与 x ，y 轴分别交于 A 、B 两点，点 M 是双曲()40y x x=>上一点，分别连接MA 、MB ．在双曲线上是否存在点 M ，使得以BM 为斜边的MAB △与AOB 相似？若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）①1，1，2；②20x −<<或1x >；32；（2）()4,1M 【解析】【分析】（1）①将()1,2A 代入k y x=求出k 的值，得到2y x =，然后将()2,B m −代入2y x =求出()2,1B −−，然后利用待定系数法将()1,2A ，()2,1B −−代入y ax b =+求解即可； ②根据图象结合A ，B 两点的坐标即可求出不等式kax b x+>的解集；设直线AB 与y 轴交于点C ，首先求出点C 的坐标，得到1OC =，然后利用AOBAOC COB S S S =+ 代数求解即可； （2）首先根据题意求出OB m =，2m=，过点M 作ME x ⊥轴于点M ，过点A 作AF BM ⊥交BM 于点F ，根据相似三角形的性质得到2mAO AF ==，OE OA AE m =+=，然后证明出BOA AEM ∽ ，进而得到,4m M m，然后代入()40y x x =>求解即可．【详解】（1）①根据题意得， 将()1,2A 代入k y x=得，21k=，解得2k =， ∴2y x=， 将()2,B m −代入2y x =得，212m ==−−， ∴()2,1B −−，将()1,2A ，()2,1B −−代入y ax b =+，得221a b a b +=−+=−，解得11a b = = ；故答案为：1，1，2； ②∵()1,2A ，()2,1B −−， ∴根据图象可得，不等式kax b x+>解集20x −<<或1x >； 如图所示，设直线AB 与y 轴交于点C ，∵1a =，1b =， ∴1y x =+，∴当0x =时，11y x =+=， ∴()0,1C ， ∴1OC =，∴1131121222AOB AOC COB S S S =+=××+××= ； 故答案为：20x −<<或1x >；32；（2）∵直线 :2l y x m =−+与 x ，y 轴分别交于 A 、B 两点， ∴当0x =时，2y x m m =−+=， ∴OB m =，当0y =时，02x m =−+，解得2mx =， ∴2m AO =， 如图所示，过点M 作ME x ⊥轴于点M ，过点A 作AF BM ⊥交BM 于点F ，的∵BOA BAM ∽ ，∴ABO ABF ∠=∠，∵AF BM ⊥，AO BO ⊥， ∴2m AO AF ==， ∵BOA BAM ∽ ，∴BAO BMA ∠=∠，90BAM AOB ∠=∠=°， ∴90BAO MAE ∠+∠=°，∵ME x ⊥轴，∴90AME MAE ∠+=°，∴BAO AME ∠=∠，∴BMA AME ∠=∠，∵AF BM ⊥，ME x ⊥轴， ∴2m AF AE ==， ∴OE OA AE m =+=，∵BAO AME ∠=∠，90BOA AEM ∠=∠=°，∴BOA AEM ∽ ， ∴OB AE OA ME =，即2m AE m ME =， ∴124m ME AE ==， ∴,4m M m， ∵点 M 是双曲()40y x x =>上一点， ∴44m m=，即216m =， 解得4m =或4−（舍去），∴()4,1M ．【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，相似三角形的性质和判定等知识，数形结合是解题的关键．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．22. 综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．【问题发现】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，6AB BC ==，F 为BC 边的中点，E 为 AB 边上一点，连接 DE DF 、，分别将ADE 和 CDF 沿 DE DF 、翻折，点 A 、C 的对应点分别为点 G 、H ，点 G 与点 H 重合，则EDF ∠=____°，AE =_____；【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，54AB BC ==，，F 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点，连接DE DF 、，分别将ADE 和CDF 沿 DE DF 、翻折，点A 、C 的对应点分别为点G 、H ，且D 、H 、G 三点共线，求AE 的长．【拓展延伸】（3）如图3，在菱形ABCD 中，660AB D ∠==°，，F 为CD 边上的三等分点，E 为BC 边上一点，连接AE AF 、，分别将ABE 和ADF 沿 AE AF 、翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，点G 与点H 重合，直线GE 交直线AB P ，请直接写出PB 的长．【答案】（1）45°，2 （2）45°，127 （3）125或34【解析】 【分析】（1）由翻折可得,3AEEG CF FG ===，在Rt EBF 中利用勾股定理解题即可； （2）延长DG 交AB 于点M ，连接FG ，由翻折可得FGM FBM ≌，即可得到GM BM =，在Rt ADM 中运用勾股定理解题；（3）分2DF =和4DF =两种情况解题解题，如图，当点F 为DC 的三等分点时，4DF =，则2FC =，设直线GE 交直线CD 于点Q ，连接AC ，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，则有FQG EQC ≌，即FQ QE =，再在Rt ENQ 中利用勾股定理求出CQ ，最后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，6,90AD AB BCD ∴==∠=°，∵F 为AD 的中点,3CF BF ∴==，∵将ADE 和CDF 沿CE CF 、翻折, 点A C 、的对应点分别为点G H 、，,3AE EG CF FG ∴===，设 ,AE x =则 6,BE x =−3EF x ∴=+，²²²EF BE BF =+ ，()()3?6?3?x x ∴+=−+，解得2x =2AE ∴=， ∵将ADE 和CDF 沿CE CF 、, 点A C 、的对应点分别为点G H 、，,ADE GDE CDF GDF ∴∠=∠∠=∠，90BCD ∠=° ，11904522EDF ADC ∴∠=∠=×°=°， 故答案为: 45°，2；（2）延长DG 交AB 于点M ，连接FG ，∵F 为BC 边的中点，∴2CF BF ==由翻折可得：2FG CF BF ===，90DGF C B A DHE ∠=∠=∠=∠=∠=°，5DG DC AB ===，AE EH =，又∵FM FM =，∴FGM FBM ≌，∴GM BM =，设MB x =，则5DM x =+，5AM x =−，在Rt ADM 中，222AD AM DM +=，即()()222455x x +−=+， 解得：45x =， ∴295DM =，215AM =， ∵1111122222ADM S AM AD AE AD DM EH AE AD DM AE =×=×+×=×+× ∴21412529745AM AD AE AD DM ××===++；（3）①如图，当点F 为DC 2DF =，则4FC =，设直线GE 交CD 于点Q ， ∵ABCD 是菱形，∴120DAB DCB ∠=∠=°，6AD DC BC ===，60D ABC ∠=∠=°，由翻折可得：DAF GAF ∠=∠，BAE GAE ∠=∠，D AGF ∠=∠=60ABC AGE ∠=∠=°，FG FD =，∴120FGQ QCE ∠=°=∠，60EAF ∠=°连接AC ，则ACD 是等边三角形，60ACE D EAF CAD ∠=∠=∠=∠=°，∴DAF CAE ∠=∠，AD AC =，∴ADF ACE ≌，∴2EC DF FG ===，又∵FGQ QCE FQG EQC ∠=∠∠=∠，， ∴FQG EQC ≌，∴FQ QE =，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，则60ECN ∠=°，∴30CEN ∠=°， ∴112CN CE ==，∴EN =设CQ x =，则4FQ QE x ==−，在Rt ENQ 中，222EN NQ QE +=，即()()22214x x ++=−， 解得：65x =， 又∵ABCD 是菱形，∴AB DC ，∴DCB CBP ∠=∠，CQE P ∠=∠， ∴ECQ EBP ∽， ∴2BP EB CQ EC==， ∴6122255BP CQ ==×=； ②如图，当点F 为DC 的三等分点时，4DF =，则2FC =，设直线GE 交直线CD 于点Q ，连接AC ，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，由①可得，ADF ACE ≌，∴4EC DF FG ===，又∵FGQ QCE FQG EQC ∠=∠∠=∠，，∴FQG EQC ≌，∴FQ QE =，则60ECN ∠=°，∴30CEN ∠=°， ∴122CN CE ==，∴EN ，设CQ x =，则()422FQ QE x x ==−−=+，在Rt ENQ 中，222EN NQ QE +=，即(()()22222x x +−=+， 解得：32x =， 又∵ABCD 是菱形，∴AB DC ，∴DCB CBP ∠=∠，CQE P ∠=∠， ∴ECQ EBP ∽， ∴12BP EB CQ EC ==， ∴11332224BP CQ ==×=； 综上， BP 长为125或34． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，矩形和菱形的性质，能作出辅助线构造直角三角形应用勾股定理计算是解题的关键．。
2018年广东省深圳市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年广东省深圳市中考数学试卷(含答案解析版)12．（3.00分）（2018•深圳）如图，A、B是函数y=12x上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）①△AOP≌△BOP；②S△AOP =S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=4，则S△ABP=16A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3.00分）（2018•湘西州）分解因式：a2﹣9= ．14．（3.00分）（2018•深圳）一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：．15．（3.00分）（2018•深圳）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是．16．（3.00分）（2018•深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=√2，则AC= ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（5.00分）（2018•深圳）计算：（12）﹣1﹣2sin45°+|﹣√2|+（2018﹣π）0．18．（6.00分）（2018•深圳）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2．19．（7.00分）（2018•深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a= ，b= ．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？20．（8.00分）（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．21．（8.00分）（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？22．（9.00分）（2018•深圳）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=√10 10．（1）求AB的长度；（2）求AD•AE的值；（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．23．（9.00分）（2018•深圳）已知顶点为A抛物线y=a(x−12)2−2经过点B(−32，2)，点C(52，2)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．2018年广东省深圳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）（2018•深圳）6的相反数是（）A．﹣6 B．−16 C．16D．6【考点】14：相反数．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：6的相反数是：﹣6．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．（3.00分）（2018•深圳）260000000用科学记数法表示为（）A．0.26×109B．2.6×108C．2.6×109D．26×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：260000000用科学记数法表示为2.6×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3.00分）（2018•深圳）图中立体图形的主视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】55：几何图形．【分析】根据主视图是从正面看的图形解答．【解答】解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体，上面有两个小正方体，在右边两个．故选：B．【点评】本题考查了三视图，关键是根据学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力进行解答．4．（3.00分）（2018•深圳）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形．【专题】27 ：图表型．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3.00分）（2018•深圳）下列数据：75，80，85，85，85，则这组数据的众数和极差是（）A．85，10 B．85，5 C．80，85 D．80，10【考点】W5：众数；W6：极差．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差进行计算即可．【解答】解：众数为85，极差：85﹣75=10，故选：A．【点评】此题主要考查了众数和极差，关键是掌握众数定义，掌握极差的算法．6．（3.00分）（2018•深圳）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．3a﹣a=2a C．a8÷a4=a2D．√a+√b=√ab【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；78：二次根式的加减法．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、3a﹣a=2a，正确；C、a8÷a4=a4，故此选项错误；D、√a+√b无法计算，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．7．（3.00分）（2018•深圳）把函数y=x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（2，4）D．（2，5）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F9：一次函数图象与几何变换．【专题】53：函数及其图象．【分析】根据平移的性质得出解析式，进而解答即可．【解答】解：∵该直线向上平移3的单位，∴平移后所得直线的解析式为：y=x+3；把x=2代入解析式y=x+3=5，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．（3.00分）（2018•深圳）如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠2+∠4=180°D．∠1+∠4=180°【考点】JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论．【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b，∴∠3=∠4，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．9．（3.00分）（2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个．下列方程正确的是（ ）A ．{x +y =708x +6y =480 B ．{x +y =706x +8y =480 C ．{x +y =4806x +8y =70D ．{x +y =4808x +6y =70【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数=70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数=480，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设大房间有x 个，小房间有y 个，由题意得：{x +y =708x +6y =480，故选：A ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元二一方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．10．（3.00分）（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）A ．3B ．3√3C ．6D ．6√3【考点】MC ：切线的性质．【专题】1 ：常规题型；55A ：与圆有关的位置关系．【分析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3√3，∴光盘的直径为6√3，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．11．（3.00分）（2018•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】53：函数及其图象．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣b2a，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣b2a，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＞0，错误；C、3a+c＜0，正确；D、ax2+bx+c﹣3=0无实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（3.00分）（2018•深圳）如图，A、B是函数y=12x上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）①△AOP≌△BOP；②S△AOP =S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=4，则S△ABP=16A．①③B．②③C．②④D．③④【考点】GB：反比例函数综合题．【专题】15 ：综合题．【分析】由点P 是动点，进而判断出①错误，设出点P 的坐标，进而得出AP ，BP ，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形OMPN=4，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点P 是动点，∴BP 与AP 不一定相等，∴△BOP 与△AOP 不一定全等，故①不正确；设P （m ，n ），∴BP ∥y 轴，∴B （m ，12m）， ∴BP=|12m ﹣n|，∴S △BOP =12|12m ﹣n|×m=12|12﹣mn|∵PA ∥x 轴，∴A （12n ，n ），∴AP=|12n ﹣m|，∴S △AOP =12|12n ﹣m|×n=12|12﹣mn|，∴S △AOP =S △BOP ，故②正确；如图，过点P 作PF ⊥OA 于F ，PE ⊥OB 于E ，∴S △AOP =12OA ×PF ，S △BOP =12OB ×PE ，∵S △AOP =S △BOP ，∴OB ×PE=OA ×PE ，∵OA=OB ，∴PE=PF ，∵PE ⊥OB ，PF ⊥OA ，∴OP 是∠AOB 的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ，∴AM ⊥y 轴，BN ⊥x 轴，∴四边形OMPN 是矩形，∵点A ，B 在双曲线y=12x上，∴S △AMO =S △BNO =6， ∵S △BOP =4，∴S △PMO =S △PNO =2，∴S 矩形OMPN =4，∴mn=4， ∴m=4n， ∴BP=|12m﹣n|=|3n ﹣n|=2|n|，AP=|12n﹣m|=8|n|，∴S △APB=12AP ×BP=12×2|n|×8|n|=8，故④错误；∴正确的有②③，故选：B ．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3.00分）（2018•湘西州）分解因式：a2﹣9= （a+3）（a﹣3）．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．14．（3.00分）（2018•深圳）一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：12．【考点】X4：概率公式．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意可知正六面体的骰子六个面三个奇数、三个偶数，从而可以求得相应的概率．【解答】解：个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率为：3 6=1 2，故答案为：1 2．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．15．（3.00分）（2018•深圳）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是8 ．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】根据正方形的性质得到AC=AF ，∠CAF=90°，证明△CAE ≌△AFB ，根据全等三角形的性质得到EC=AB=4，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=AF ，∠CAF=90°，∴∠EAC+∠FAB=90°， ∵∠ABF=90°， ∴∠AFB+∠FAB=90°， ∴∠EAC=∠AFB ， 在△CAE 和△AFB 中，{∠CAE =∠AFB∠AEC =∠FBA AC =AF ，∴△CAE ≌△AFB ，∴EC=AB=4，∴阴影部分的面积=12×AB ×CE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．（3.00分）（2018•深圳）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，AD 、BE 相交于点F ，且AF=4，EF=√2，则AC= 8√105．【考点】IJ ：角平分线的定义；KQ ：勾股定理；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】先求出∠EFG=45°，进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1，进而求出AE ，最后判断出△AEF ∽△AFC ，即可得出结论．【解答】解：如图，∵AD ，BE 是分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACB=90°，∴2（∠2+∠4）=90°，∴∠2+∠4=45°，∴∠EFG=∠2+∠4=45°，过点E 作EG ⊥AD 于G ，在Rt △EFG 中，EF=√2，∴FG=EG=1，∵AF=4，∴AG=AF ﹣FG=3，根据勾股定理得，AE=√AG 2+EG 2=√10，连接CF ，∵AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ， ∴CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACF=45°=∠AFE ，∵∠CAF=∠FAE ，∴△AEF ∽△AFC ， ∴AE AF =AF AC， ∴AC=AF 2AE =√10=8√105，故答案为8√105．【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（5.00分）（2018•深圳）计算：（12）﹣1﹣2sin45°+|﹣√2|+（2018﹣π）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2﹣2×√22+√2+1=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6.00分）（2018•深圳）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：原式=x−x+1x−1⋅(x+1)(x−1)(x+1)2=1x+1把x=2代入得：原式=1 3【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19．（7.00分）（2018•深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为100 人，a= 0.25 ，b= 15 ．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”求解可得；（2）根据频数分布表即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：（1）总人数为40÷0.4=100人，a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15，故答案为：100、0.25、15；（2）补全条形图如下：（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及利用样本估计总体，根据题意求出样本总人数是解题关键．20．（8.00分）（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【考点】N3：作图—复杂作图；S9：相似三角形的判定与性质；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB=∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA ∴四边形ACDB 是菱形，∵∠ACD 与△FCE 中的∠FCE 重合，它的对角∠ABD 顶点在EF 上，∴四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形；（2）解：设菱形ACDB 的边长为x ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CE ，∴∠FAB=∠FCE ，∠FBA=∠E ，△EAB ∽△FCE则：FA FC =AB CE ，即x 12=6−x 6，解得：x=4，过A 点作AH ⊥CD 于H 点，∵在Rt △ACH 中，∠ACH=45°，∴AH =AC√2=2√2，∴四边形ACDB 的面积为：4×2√2=8√2．【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD 是菱形是解此题的关键．21．（8.00分）（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【专题】34 ：方程思想；522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据题意得：3•1600x=6000x+2，解得：x=8，经检验，x=8是分式方程的解．答：第一批饮料进货单价为8元．（2）设销售单价为m元，根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，解得：m≥11．答：销售单价至少为11元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．22．（9.00分）（2018•深圳）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=√10 10．（1）求AB的长度；（2）求AD•AE的值；（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证．【解答】解：（1）作AM⊥BC，∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，∴CM=12BC=1，∵cosB=BMAB=√1010，在Rt△AMB中，BM=1，∴AB=BMcosB=√10；（2）连接DC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ACE+∠ACB=180°，∴∠ADC=∠ACE，∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD，∴AC AD =AE AC，∴AD•AE=AC 2=10；（3）在BD 上取一点N ，使得BN=CD ，在△ABN 和△ACD 中{AB =AC∠3=∠1BN =CD，∴△ABN ≌△ACD （SAS ），∴AN=AD ，∵AN=AD ，AH ⊥BD ， ∴NH=HD ，∵BN=CD ，NH=HD ，∴BN+NH=CD+HD=BH ．【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（9.00分）（2018•深圳）已知顶点为A 抛物线y =a(x −12)2−2经过点B(−32，2)，点C(52，2)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线AB 上有一点P ，若∠OPM=∠MAF ，求△POE 的面积；（3）如图2，点Q 是折线A ﹣B ﹣C 上一点，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，直线QN 与直线EN 相交于点N ，连接QE ，将△QEN 沿QE 翻折得到△QEN 1，若点N 1落在x 轴上，请直接写出Q 点的坐标．【考点】HF ：二次函数综合题．【专题】15 ：综合题；537：函数的综合应用．【分析】（1）将点B 坐标代入解析式求得a 的值即可得；（2）由∠OPM=∠MAF 知OP ∥AF ，据此证△OPE ∽△FAE 得OP FA=OE FE=134=43，即OP=43FA ，设点P （t ，﹣2t ﹣1），列出关于t 的方程解之可得；（3）分点Q 在AB 上运动、点Q 在BC 上运动且Q 在y 轴左侧、点Q 在BC 上运动且点Q 在y 轴右侧这三种情况分类讨论即可得．【解答】解：（1）把点B(−32，2)代入y =a(x −12)2−2，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y =(x −12)2−2；（2）由y =(x −12)2−2知A （12，﹣2），设直线AB 解析式为：y=kx+b ，代入点A ，B 的坐标，得：{−2=12k +b 2=−32k +b，解得：{k =−2b =−1，∴直线AB 的解析式为：y=﹣2x ﹣1，易求E （0，1），F(0，−74)，M(−12，0)，若∠OPM=∠MAF ， ∴OP ∥AF ，∴△OPE ∽△FAE ，∴OP FA =OE FE =134=43，∴OP =43FA =43√(12−6)2+(−2+74)2=√53，设点P （t ，﹣2t ﹣1），则：√t 2+(−2t −1)2=√53解得t 1=−215，t 2=−23，由对称性知；当t 1=−215时，也满足∠OPM=∠MAF ，∴t 1=−215，t 2=−23都满足条件，∵△POE 的面积=12OE ⋅|l|，∴△POE 的面积为115或13．（3）若点Q 在AB 上运动，如图1，设Q （a ，﹣2a ﹣1），则NE=﹣a 、QN=﹣2a ，由翻折知QN′=QN=﹣2a 、N′E=NE=﹣a ，由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE，∴QR N′S =RN′ES =QN′EN′，即QR 1=−2a−1ES =−2a −a=2，∴QR=2、ES=−2a−12，由NE+ES=NS=QR 可得﹣a+−2a−12=2，解得：a=﹣54，∴Q （﹣54，32）；若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，如图2，设NE=a ，则N′E=a，易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，∴QR=√5、SE=√5﹣a ，在Rt △SEN′中，（√5﹣a ）2+12=a 2，解得：a=3√55，∴Q （﹣3√55，2）；若点Q 在BC 上运动，且点Q 在y 轴右侧，如图3，第31页（共31页）设NE=a ，则N′E=a，易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，∴QR=√5、SE=√5﹣a ，在Rt △SEN′中，（√5﹣a ）2+12=a 2， 解得：a=3√55， ∴Q （3√55，2）．综上，点Q 的坐标为（﹣54，32）或（﹣3√55，2）或（3√55，2）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．。
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．下列对一元二次方程230x++=根的情况的判断，正确的是（）．有两个不相等实数根．有两个相等实数根A．31︒4．反比例函数k yx =则k的取值是（）A．1B．2A ．3.5B ．27．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能判定（）A ．B D ∠=∠B ．C ∠8．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如直角三角形ABC ，其中C ∠=程的其中一个正根是（）A ．线段AC 的长B ．线段9．已知P 是反比例函数6(y x=上一点，且AP BP ⊥，:AP BP A ．113B 10．矩形ABCD 中，AB =AF 分别交BD 于点M ，①135AFD AEB ∠+∠=︒；A ．1二、填空题11．已知3a b =，则a 12．若2x =是一元二次方程13．如图，在ABC 中，点H 为AF 与DG 的交点．若14．在平面直角坐标系中，点反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点，则15．如图，在菱形ABCD 中，∠边AB 关于直线MN 作轴对称得到线段三、解答题16．解方程(1)2350x x +-=(2)()22121x x -=-．17．为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．(1)九年级（1）班的学生人数m =人，扇形统计图中n =%(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为°；(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．(1)画出ABC 关于x 轴对称的1A B △(2)以原点O 为位似中心在第二象限内画一个五、应用题19．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地试点投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，九、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．(1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；(2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降价10元，则全天包车数增加8次，公司决定从11月1日起，降低租金，尽可能地让利顾客，计划11月在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车租金降价多少元？六、证明题20．在锐角三角形ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AF BC ⊥于点F ，AG DE ⊥于点G ，BAF EAG ∠=∠．(1)如图1，请直接写出CB 与AC 的比值是；如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC 七、问答题(1)求反比例函数2y的解析式和点B的坐标；y y>时，x的取值范围；(2)①直接写出当21的面积；②连接OA和OB，求AOB⊥轴交反比例函数于点Q，点(3)点P为线段AC（不含端点）上一动点，过点P作PQ xD为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当C，D，E，F四点构成的四边形为正方形时，写出点P的坐标．。
广东省深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
广东省深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．三种视图都相同2．关于x 的一元二次方程2100x bx +-=的一个根为2，则b 的值为（）A ．3-B ．2C ．3D ．73．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若50AOB ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．50︒C ．25︒D ．20︒4．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B 和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A 在数轴上表示的数是-2且点A 与刻度尺上的0刻度重合，则AB 的长度是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．宽与长的比等于()10.6182≈的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）A ．12.36米B ．18.54米C ．21.21米D ．48.54米6．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）A ．12B ．14C ．16D ．187．如图，ABC V 与DEF 是位似图形，点O 是位似中心．若2OA AD =，ABC V 的周长为4，则DEF 的周长为（）A ．6B ．8C ．9D ．128．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程25140x x +-=即()514x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图面积是()25x x ++的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即2414581⨯+=，因此2x =．则在下列四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知23a b =，则b a a -的值为．10．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a ）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b ）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为度．11．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．12．图（a ）是燕尾夹，图（b ）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC ，BD 可分别绕点M N ，旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C D ，两点重合），20mm AM BN ==，15mm CM DN ==，8mm MN =．如图（c ），当夹子完全张开时（即A B ，两点重合），夹嘴间的距离CD 的长为mm ．13．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点且满足30CBE ∠=︒，将BCE 沿BE 折叠得到BC E '△，C E '与对角线BD 交于点F ，则DFBF 的值为．三、解答题14．解一元二次方程：(1)220x x +=；(2)263910x x --=．15．化学实验课上，杨老师带来了Mg （镁）、Al （铝）、Zn （锌）、Cu （铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg Al Zn 、、可以置换出氢气，而Cu 不能置换出氢气）(1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al ”的概率为；(2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．16．如图，在平行四边形ABCD 中，=90BDC ∠︒，E 是AD 边上一点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF．(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF 是矩形的条件，并写出证明过程；①AE DE =；②BF BC =；③AE BE =．(2)若四边形ABDF 是矩形，且3AB =，5AD =，求四边形ABCF 的面积．17．已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．(1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？18．综合与实践背景晚上小明在广场上散步，如图（a ）所示，AB ，CD 是广场上的两根电线杆，小明站在点E 处，在两盏路灯B ，D 的照射下，地面上形成了他的两个影子EH ，EG ．素材1两盏路灯B ，D 的高均为10m ，两盏路灯相距40m ，小明的身高EF 为1.5m ．素材2A ，C ，E ，G ，H 在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面．问题提出小明在广场中走动时（始终保证影子EG ，EH 不为0），两个影子端点间的距离GH 是否会发生改变？问题解决任务1计算（1）如图（b ），当小明影子EG 长为4.5m 时，此时小明到电线杆CD 的距离EC 为多少？任务2说理（2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离GH 是否会改变？若GH 的长不变，请求出GH 的长；若GH 的长度发生变化，请说明理由．任务3拓展（3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中GH 最长达到10m ，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度．19．综合与探究【定义】我们把关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=与20cx bx a ++=（0ac ≠，a c ≠）称为一对“友好方程”【示例】如22730x x +-=的“友好方程”是23720x x -++=．（1）写出一元二次方程212710x x -+=的“友好方程”是________．【探究】（2）已知一元二次方程212710x x -+=的两根为113x =，214x =，请求出它的“友好方程”的两个根．【猜想】（3）当240b ac ∆=-≥时，方程20ax bx c ++=的两根1x ，2x 与其“友好方程”20cx bx a ++=的两根3x ，4x 之间存在的一种特殊关系为________．（0ac ≠，a c ≠）【证明】∵方程20ax bx c ++=的两根为1x =2x =方程20cx bx a ++=的两根为32b x c -=，①________；……（4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可）【拓展】（5）已知关于x 的方程220240x bx c +-=的两根是11x =-，212024x =．请利用上述结论，直接写出关于x 的方程()212024c x bx b --+=的两根．20．综合与探究如图，在平行四边形ABCD 中，E F ，分别是边BC ，CD 上的点，AE 与BF 交于点P ．（1）【特例感知】如图（a ），若四边形ABCD 是正方形，当APB D ∠=∠时，则线段AE 与BF 的数量关系是________；（2）【深入探究】如图（b ），若四边形ABCD 是菱形，且APB D ∠=∠，则线段AE 与BF 满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．思路一思路二如图，在BC 边上取一点M 使AM AB =，……如图，在CB 的延长线上取一点N 使，AN AE =，……（3）【类比迁移】如图（c ），若四边形ABCD 是菱形，E 为BC 的中点，60APB C ∠=∠=︒，请求出AE BF的值；（4）【联系拓广】如图（d ），在平行四边形ABCD 中，3AD =，4AB =，60C ∠=︒，F 是CD 边的中点，当点E 在直线BC 上运动，且直线AE 与直线BF 所夹的锐角为60°时，请直接写BE 的长．。
广东省深圳市福田区联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
福田区2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．下列图形中，不是相似图形的一组是 A ．B ．C ．D ．2．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为 A ．1BC ．2D ．43．方程的解是 A ．，B ．，C ．，D ．，4．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为 A ．2B ．3C ．4D ．65．下列说法正确的是 A ．菱形的对角线相等B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形6．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是 A ．B ．C ．D ．7．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，则阴影部分的面积为．因为大正方形的面积为，结合图1，则该方程的正数解为．”小皓按此法解关于()()2(1)16x -=()15x =23x =15x =-23x =13x =-25x =13x =-25x =-a b c d 2a =3b =4c =d ()()P A CD C AB BD ⊥CD BD ⊥4AB m =6BP m =12PD m =CD ()18m 8m 818m 或10m2833x x +=2x 2x 242x x +⨯223342497+⨯==7223-⨯=x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解＝ A ．4B ．6C ．8D ．108．如图，在矩形中，，，动点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动．则当点和点的距离是时，，两点出发了 A ．4s B．或4s C ．或8s D ．s 二．填空题（每题3分，共15分）9．已知关于的一元二次方程的一个根为4，则的值为 ．10．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．（提示：）11．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．12．如图，在△中，，点，，分别，，的中点，若，则的长为 ．212x x m +=x ()ABCD 8AB cm =3AD cm =P Q P A 2/cm s B B Q C 1/cm s D P Q 5cm P Q ()438383x 240x kx --=k C AB A C Rt ABC 90ACB ∠=︒D E F AB BC AC 5CD =EF13．如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则的面积的最大值是 ．三．解答题（共61分）14．（6分）解方程：（1）；（2）．15．（7分）某校为了解九年级学生对深圳哪类研学内容最感兴趣（每人仅能选一类）．源远流长的饮食文化；．享誉世界的改革开放文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图（均不完整）．抽取的学生最感兴趣研学内容统计表研学内容人数频率240.49请根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， （请填小数）；（2）若该校九年级共有540名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人？ABC ∆6AB =5BC =D E BC AC 2CD BD =2CE AE =BE AD F AFE ∆2220x x --=2(3)(3)xx x -=-:A B C D Aa BC b cD a =b =c =C（3）小聪和小睿参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率．16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，．（1）画出将△向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△；（2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出△的一个位似△，使它与△的相似比为；（3）判断△和△_____位似图形（填“是”或不是），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．17．（8分）如图，在中，分别是，的中点，，延长到点，使得，连．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的面积．OAB (0,0)O (2,1)A (1,2)B -OAB 111O A B O y OAB 22OA B OAB 2:1111O A B 22OA B M M ABC ∆DE AB AC 2BE DE =DE F EF BE =CF BCFE 6CE =120BEF ∠=︒BCFE18．（9分）根据以下素材，探索完成任务．素材1某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．素材2该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．问题解决任务1若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？任务2设镇流器补进件，若，刚补进镇流器的单价为 元，补进灯管的总价为 （用含的代数式表示，结果要求最简）；任务3若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？19．（9分）【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题．例1：把代数式进行配方．解：原式．例2：求代数式的最大值．解：原式．∵，∴．∴．x 80110x ……x 2825x m ++28169x x =+++2(4)9x =＋＋247x x -+-2(44)3x x =--+-2(2)3x =---2(2)0x -≥2(2)0x --≤2(2)33x ----≤∴代数式的最大值为．【问题解决】（1）若m ，k ，h 满足，求的值．（2）若△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，c ＝3，a ，b 满足，求△ABC 的周长．【迁移应用】（3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；②运用“配方法”求的最大值．20．（12分）综合与实践【问题解决】活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论，各小组精心设计一些题目，选取以下3个图形进行研究，已知正方形中，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点在边所在直线的上方），连接．【探索发现】（1）如图1，“会学习”小组画出了点与点重合时的图形，此时点到边所在直线的距离＝ ．（2）如图2，“勤探究”小组画出点恰好是线段中点时的图形，请解答如下问题：①判断线段与的数量关系，并说明理由；②写出此时点到边所在直线的距离，并说明理由．【拓展延伸】如图3，“能合作”小组画出了点在线段延长线上时的图形，与交于点P ．若点P 是线段AE 的三等分点，请直接写出此时DE 的长．247x x -+-3-22212112()m m m k h -=-＋＋k h ＋22810410a a b b --=＋＋ABC 12BC =8AD =PQMN BC AB AC PN x =x PQMN S S ABCD 6AB =E CD AE AE AEGF F AD DF E C F AD FD E CD AF DF F AD E CD DF AE图3。
广东省深圳市龙华区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
广东省深圳市龙华区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将一元二次方程2275x x =-化成一般形式之后，则一次项系数和常数项分别为（）A ．7-，5-B ．5，7-C ．5，7D ．7-，52．已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中3cm 6cm 9cm b c d ===，，，则线段a 的长度为（）A ．8cm B ．2cm C ．4cm D ．1cm3．如图，若直线123l l l ∥∥，且:3:4DE EF =，6AB =，则BC =（）A ．5B ．8C ．9D ．104．若1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +的值是（）A ．3-B ．15C ．5-D ．55．用配方法解一元二次方程229x x -=，配方后可变形为（）A ．()2110x -=B ．()2110x +=C ．()218x -=-D ．()218x +=-6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ．添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（）A ．AB=BEB ．BE ⊥DC C ．∠ADB=90°D ．CE ⊥DE 7．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x ，根据题意可列方程为（）A．105︒B．100︒10．如图，正方形ABCD中，P是对角线足分别为E、F，连接EF，若EFA．655B．322二、填空题14．如图，若菱形ABCD 的面积为223cm ，120A ∠=好落在菱形对角线的交点O 处，折痕为EF ，则EF 15．在ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，BE AD ⊥5AC =，4BC =，则BEC 的面积为．三、解答题16．解方程：(1)230x x -=；(2)2450x x --=；(3)()3122x x x -=-．17．不透明的盒中有4个完全相同的球，球上分别标有数字“1，2，3，4”．(1)若从盒中随机取出1个球，取出的球上的数字是奇数的概率是______；(2)若从盒中取出一个球，记录球上的数字后不放回．再从剩下的球中取出一个球，并再次记录球上的数字，求两次数字的和为偶数的概率是多少？通过画树状图或列表法解决．18．大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形AQEU ．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★1⨯．(1)如果其中亮起的3个灯号为A 、V 、E 三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数2⨯？请在图2上画出对应的图形．(2)如果获得★3⨯，其中亮起的2个灯号为A 、E 两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况．19．2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；(2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？20．如图1，在ABC 中，CAB ∠的角平分线交边BC 于点D ，甲、乙两人想作菱形AEDF ，使得E 、F 两点分别在边AB 和边AC 上，他们的作法如下：甲：作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接DE 、DF ，则四边形AEDF 即为所求；乙：分别作∥DE AC 交边AB 于点E ，DF AB 交AC 于点F ，则四边形AEDF 即为所求；(1)对于两人的作法，你认为：______A ．甲、乙都对；B ．甲、乙都错；C ．甲正确，乙错误；D ．甲错误、乙正确；请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明（作图无须用尺规）；(2)如图2，菱形AEDF 中，过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ，若点G 是AE 的中点，4AF =，求AD 的长．21．小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆；在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm ，手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm ，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径．然后将各种情形下的直径值与13cm 进行比较，若小于或等于13cm 就能盖住，反之，则不能盖住．老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示．(1)通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为______cm ．（填准确数）(2)图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为______cm ，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为______cm ．（填准确数）(3)拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心O 落在GH 边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住．（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）22．【温故知新】在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小。
广东省深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期中考试卷(解析版)
2022-2023学年度第一学期期中学情调查问卷九年级数学考试时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1. 在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）A. B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由于平行线的投影是平行或重合，根据这一特征即可作出判断．【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A 、B 、D 三个选项中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C 选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．故选：C ．【点睛】本题考查了平行投影，太阳光下的投影是平行投影，关键是掌握平行投影特点：平行物体的影子仍旧平行或重合．2. 解一元二次方程2210x x +−=，配方得到()21x a +=，则a 的值为（ ） A. 1B. 1−C. 2D. 2− 【答案】C【解析】【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程x 2+2x ﹣1＝0，配方得：x 2+2x +1＝2，即（x +1）2＝2，则a 的值为2．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 对于任意的实数m ，关于x 的方程2102x mx −−=的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】B【解析】 【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号即可.【详解】解：∵a =1，b =−m ，c =−12∴Δ=b 2−4ac =m 2+2＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．4. 如图，矩形ABCD 中，,AC BD 交于点O ，若60AOB ∠=°，则ACB ∠的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°【答案】A【解析】 【分析】由矩形的性质可得60COD OC OD ∠=°=，，再根据等边三角形的判定与性质可得60OCD ∠=°，最后由角的和差计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，60AOB ∠=°，∴9060BCD COD OD ∠=°∠=°=，，1122BD AC OC ==， ∴COD △是等边三角形，∴60OCD ∠=°，∴ACB ∠9030OCD =°−∠=°，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．5. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 上两点，且DE ∥BC ，若AD ＝2，BD ＝3，BC ＝10，则DE 的长是的（ ）A. 3B. 4C. 5D. 203【答案】B【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案.【详解】 //DE BC ，∴ADE ABC ， ∴AD DE AB BC=， 2AD =，3BD =，10BC =， ∴2510DE =， ∴4DE =.故选：B .【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型. 6. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，已知:1:4OA OD =，ABC 的面积为1，则DEF 的面积是（ ）A. 3B. 4C. 9D. 16【答案】D【解析】 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】因为ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，且:1:4OA OD =，所以211=416ABC DEFS S = （）， 因为ABC 的面积为1，所以DEF 的面积是16，故选D ．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．7. 下列命题是真命题的是（ ）A. 菱形的对角线相等B. 反比例函数6y x =，y 随x 的增大而减小C. 一条线段上只有一个黄金分割点D. 有一个角为120°的两个等腰三角形相似 【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质，反比例函数的增减性，黄金分割的性质，相似三角形的判定，逐项进行判断即可．【详解】解：A.菱形的对角线互相垂直，故A 错误；B.反比例函数6y x=，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故B 错误； C.一条线段上有两个黄金分割点，故C 错误；D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质，黄金分割，相似三角形的判定，解题的关键是熟练相关的性质．8. 如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A. ()()40234960x x −−=B. 2403440342960x x x ×−−+=C. ()()40342960x x −−=D. 403440234960x x ×−−×=【答案】A【解析】 【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植区域，然后根据已知条件，列出方程即可．【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为x 米，所以种植区域的长为（402x − ）米，宽为（34x −）米，根据矩形面积公式可得，（40﹣2x ）（34﹣x ）＝960．故选：A ．【点睛】本题考查列一元二次方程解决问题，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程． 9. 如图，在ABCD Y 中，点E 为AD 的中点，点F 为边AB 上一点，且:2:3AF BF =，连接CF ，BE ，相交于点G ，则:BG GE =（ ）A. 6:7B. 7:6C. 3:4D. 4:5【答案】A【解析】 【分析】延长,CF DA 交于点H ，根据平行四边形的性质，证明FAH FBC ∽,GHE GCB ∽,根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，延长,CF DA 交于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，=AD BC ，∴HA BC ∥，∴FAH FBC ∽， ∴AH AF BC FB=， ∵:2:3AF BF =， ∴23AH BC =， 设2AH a =，则3BC a =，∴3AD BC a ==，∵E 为AD 的中点， ∴1322AE AD a ==， ∴72HE AH AE a =+=， ∴HE BC ∥，∴GHE GCB ∽， ∴366:7772BG BC a GE HE a ====， 故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10. 如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，BC x ∥轴．直线y x =从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD 的面积为（ ）A. 3B.C. D. 4【答案】D【解析】【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ，当移动距离是6时，直线经过B ，当移动距离是7时经过D ，则743AD =−=，设直线经过点D 时，交BC 于N ，则DN =，作DM BC ⊥于点M ，由2223292DM DN ==； 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ，当移动距离是6时，直线经过B ，当移动距离是7时经过D ，则743AD =−=，设直线经过点D 时，交BC 于N ，则DN =，作DM BC ⊥于点M ，如图所示：∵移动直线为y x =，∴45NDM ∠=°，∵90DMN ∠=°，∴904545DNM ∠=°−°=°，∴NDM DNM ∠=∠，∴DM NM =，∴2223292DM DN ==， ∴43DM =或43DM =−（舍去）， ∴ABCD Y 的面积为：4343AD DM ⋅=×=，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定AD 的长，是解答本题的关键．二、填空题（每题3分，共15分）11. 如果四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且4a =，12b =，8c =，那么d 为______．【答案】24【解析】【分析】由题意可得出a c b d=，代入数据，即可求出d 的值． 【详解】∵a ，b ，c ，d 成比例线段， ∴a c b d =，即4812d=， 解得：24d =．故答案为：24．【点睛】本题考查比例线段的定义．注意各个字母的顺序是解题关键．12. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为_______．【答案】4【解析】【分析】设袋中红球的个数为x ，根据摸到红球的频率，列出方程，解方程从而可以得到红球的个数．【详解】解：设袋中红球的个数为x 依题意，0.46x x =+ 解得4x =经检验，4x =是方程的解∴估计袋中红球的个数为4个．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．13. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）的长度为__________．【答案】8m是【解析】【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．【详解】设长臂端点升高m x ，则0.5116x =，解得8x =． 故答案为：8m【点睛】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，列出比例式是解题关键． 14. 如图，POA 是等腰直角三角形，点P 在函数4(0)y x x=>的图象上，斜边OA 在x 轴上，则点A 的坐标是________．【答案】()4,0【解析】【分析】过P 作PB ⊥x 轴于B ，根据等腰直角三角形的性质得到BP=BO=BA ，设OB=a ，则P 点坐标为（a ，a ），把它代入y=4x（x>0）可求得a 的值，而OA=2a ，从而确定A 点坐标． 【详解】过P 作PB ⊥x 轴于B ，如图∵△POA 是等腰直角三角形，∴BP =BO =BA ，设OB =a ,则P 点坐标为(a ,a )，∵点P 在函数y =4x(x >0)的图象上， ∴2a =4，∴a =2，∴OA =2a =4，∴A 点坐标为(4,0).故答案为(4,0).【点睛】本题主要考查反比例函数综合，求出a 是关键.15. 在ABC 中，6,30AB AC C ==∠=°，E 为BC 中点，D 为AC 边一动点．将DEC 沿DE 翻折得到,DEC BDC ′′△△面积最大值为_____．【答案】272【解析】【分析】连接AE ，由CE ==，BECE ==CED EBC ′∠=∠，所以ED BC ′∥，则BDC BEC S S ′′∆∆=，当点G 、E 重合时，C G C E ′′==G 、E 重合时，C G C E ′′<，进而及可求解；【详解】解：连接AE ，∵6AB AC ==，且E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥，又∵30C ∠=°， ∴132AE AC ==，∴CE =∴BE CE ==由翻折知，C ED CED EC EC ′′∠=∠=，，∴BE EC EC ′==，∴EBC EC B ′′∠=∠，又∵CEC EBC EC B ′′′∠=∠+∠，∴22CED EBC ′∠=∠，∴CED EBC ′∠=∠，∴ED BC ′∥，∴BDC BEC S S ′′∆∆=，过C ′作C G BC ′⊥于G ，则12BEC S BE C G ′∆′=⋅⋅，当点G 、E 重合时，C G C E ′′==当点G 、E 重合时，C G C E ′′<，综上所述，C G C E ′′≤，即C G ′≤，∴′C G 的最大值为∴BEC ′∆的面积最大值为：1127222BE ⋅⋅=⋅=． ∴BDC ′∆的面积最大值为：272．故答案为：272． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理，正确构造辅助线是解本题的关键．三、解答题（共55分）16. 解方程：（1）22(1)180x −−=；（2）(25)410x x x −=−．【答案】（1）124,2x x ==−（2）125,22x x == 【解析】 【分析】（1）先移项，然后用直接开平方法解方程即可求解．（2）先将一元二次根式变为一般形式，然后用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：22(1)180x −−=．()219x −=．∴13x −=±．解得124,2x x ==−．【小问2详解】解：()25410x x x −=−，整理，得229100x x −+=，分解因式，得()()2520x x −−=， ∴250x −=，20x −=， 解得：152x =，22x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般步骤，是解题的关键． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和线段EF 的端点均在小正方形的顶点上．（利用格点和没有刻度的直尺作图，保留作图痕迹）（1）在方格纸1中画出ADC △，使ADC △与ABC 关于直线AC 对称；（2）在方格纸2中画出以线段EF 为一边的平行四边形EFGH （点G ，点H 均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH 的面积为4；（3）在方格纸3中，连接FM ，在FM 上确定一点P ，使得点P 为FM 中点．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据网格的特点，轴对称的性质，作B 关于AC 的对称点D ，可得ADC △；（2）利用平行四边形的性质即可画出图形；（3）取格点N ，使得,ME FN ME FN =∥，连接NE 交MF 于点P ，则点P 即为所求，根据平行四边形的性质即可求解．【小问1详解】解：如图所示，作B 关于AC 的对称点D ，连接,CD AD ，则ADC △即为所求，【小问2详解】如图所示，取格点,G H ，1GF HE ==，连接,HE GF ，则FG HE ∥∴四边形EHGF 是平行四边形，面积为144×=，则四边形EHGF 即为所求；【小问3详解】如图，取格点N ，使得,ME FN ME FN =∥，连接NE 交MF 于点P ，则点P 即为所求，∴四边形MEFN 是平行四边形，∴MP PF =，即点P 为FM 中点．【点睛】本题考查了画轴对称图形，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．18. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设欢欢、笑笑两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）笑笑每次做出的手势不是“剪刀”的概率为______．（2）用画树状图或列表的方法，求笑笑赢的概率．【答案】（1）23（2）13【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：∵共3中手势，∴笑笑每次做出的手势不是“剪刀”的概率为23， 故答案为：23． 【小问2详解】解：画树状图得：共有9种等可能的情况数，其中笑笑赢的有3种，则笑笑赢的概率是31=93． 【点睛】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19. 某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；（2）经调查发现，1条生产线产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？【答案】（1）20%（2）4条【解析】【分析】(1)设求前三季度生产量的平均增长率为x ， 根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万的个，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为()60020m −万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m 的值．【小问1详解】解：设求前三季度生产量的平均增长率为x ，依题意得：2200(1)288x +=，解得：120.220%, 2.2x x ===− (不合题意，舍去)．答：前三季度生产量的平均增长率20%；【小问2详解】解：设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为()60020m −万个/季度，依题意得：0(160026)(020)m m +−=， 整理得：2291000m m −+=，解得：14m =，225m =，∵在增加产能同时又要节省投入，∴4m =．答：应该再增加4条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20. 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC ∥交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若7AC =，24AB =，求菱形ADCF 的面积．【答案】（1）见解析 （2）84【解析】【分析】（1）可先证得△AEF ≌△DEB ，可求得AF ＝DB ，可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD ＝CD ，可证得结论；（2）根据条件可证得S 菱形ADCF ＝S △ABC ，由三角形面积公式可求得答案．【小问1详解】证明：E 是AD 的中点，AE DE ∴=，AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠，在AEF ∆和DEB ∆中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠ ∠=∠ =，(AAS)AEF DEB ∴∆∆≌，AF DB ∴=，又∵D 是BC 的中点，∴DC DB =AF DC ∴=∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=° ，D 是BC 的中点，12AD BC DC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．【小问2详解】解：设AF 到CD 的距离为h ，AF BC ∥，AF BD CD ==，90BAC ∠=°，11124784222ABC ADCF S CD h BC h S AB AC ∆∴=⋅=⋅==⋅=××=菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．21. 在等边ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在射线CB 上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系．（1）特殊情况，探索结论．如图1，当点E 在线段AB 的中点时，线段AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （选填“>”、“<”或“=”）．（2）特例启发，解决问题．如图2，当点E 在线段AB 的延长线上，线段AE 与DB 的大小关系是什么？请说明理由．（3）拓展结论，延伸应用．若直线DE 交直线AC 交于点F ，等边ABC 的边长为2，1AE =，求EF 的长．【答案】（1）=（2）AE DB =；理由见解析（3）EF 【解析】【分析】（1）ABC 为等边三角形，点E 在线段AB 的中点，得出60ABC A ACB ∠=∠=∠=°，1302BCE ACE ACB ∠=∠=∠=°，AE BE =，根据等腰三角形的判定和性质，得出BD BE =，即可得出答案；（2）过点E 作EF CD ⊥于点F ，过点A 作AG CD ⊥于点G ，根据等边三角形的性质，得出1302BAG CAG BAC ∠=∠=∠=°，根据平行线的判定和性质，得出30BEF BAG ∠=∠=°，得出2BE BF =，根据等腰三角形的性质，得出CF DF =，根据线段间的关系，即可得出答案； （3）分点E 在线段AB 上和点E 在线段BA 延长线上两种情况进行讨论，分别画出图形，求出EF 的长即可．【小问1详解】解：∵ABC 为等边三角形，点E 在线段AB 的中点，∴60ABC A ACB ∠=∠=∠=°，1302BCE ACE ACB ∠=∠=∠=°，AE BE =， ∵ED EC =，∴30D ECB ∠=∠=°，∴603030DEB EBC D ∠=∠−∠=°−°=°，DEB D ∴∠=∠，∴BD BE =，∴AE DB =，故答案为：=．【小问2详解】解：AE DB =，理由如下：过点E 作EF CD ⊥于点F ，过点A 作AG CD ⊥于点G ，如图所示：∵ABC 等边三角形，∴60ABC BAC ACB ∠=∠=∠=°，AB BC AC ==， ∵EF CD ⊥， ∴1302BAG CAG BAC ∠=∠=∠=°， ∵EF CD ⊥，AG CD ⊥，∴EF AG ∥，∴30BEF BAG ∠=∠=°，∵90BFE ∠=°，∴2BE BF =，∵ED EC =，EFCD ⊥，∴CF DF =，∵CF BC BF =+，∴DF CF BC BF ==+，∴2DB DF BF BC BF =+=+，为∵AE AB BE =+，AB BC =，2BE BF =，∴AE DB =．【小问3详解】解：①当点E 在线段AB 上时，如图所示：∵等边ABC 的边长为2，1AE =，∴点E 为AB 的中点，∴AE BE =，∵ABC ∆为等边三角形，∴CE AB ⊥，CE 平分ACB ∠， ∴1302BCE ACB ∠=∠=°，90BEC ∠=°，∵DE CE =，∴30D DCE ∠=∠=°，∴180120DEC D DCE ∠=°−∠−∠=°，∴1209030DEB DEC BEC ∠=∠−∠=°−°=°，∴30AEF DEB ∠=∠=°，∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ABC ACB ==°=∠∠∠，2AB BC AC ===， 18090AFE A AEF ∴∠=°−∠−∠=°， ∴1122AF AE ==，∴EF ②当点E 在线段BA 上时，如图所示：连接AD ，过点E 作EG BC ⊥于点G ，交AC 于点H ，连接DH ， 根据解析（2）可知，1BD AE ==，∴211CD BC BD =−=−=，∴AD BC ⊥，1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=°， ∵ED EC =，EG CD ⊥， ∴1122DG CG CD ===， ∴EG 垂直平分CD ，∴DH CH =，∵60DCH ∠=°，∴DCH 为等边三角形，∴60HDC ∠=°，∵60ABC ∠=°，∴ABC HDC ∠=∠，∴DH BE ∥，∵AD BC ⊥，EG CD ⊥，∴AD EG ，∴四边形ADHE 为平行四边形，EF DF ∴=，∵213BE AB AE =+=+=，13122BG BD DG =+=+=， 在Rt BEG △中，根据勾股定理得：EG在Rt DEGV中，根据勾股定理得：DE===，∴12EF DE==综上分析可知，EF．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．22. 如图，四边形OABC为菱形，点A坐标为(2)0，，点C坐标为，点E为对角线OB上一动点．（1）点B的坐标为_______．（2）P为OA边上动点，求AE EP+的最小值；（3）在点E运动的过程中，射线AE与线段OC交于点H，与BC延长线交于点F．当线段HE和线段HF的长度为3倍关系时，求点F的坐标．【答案】（1）(3（2（3）3F【解析】【分析】（1）由四边形OABC为菱形，BC x∥轴，OA BC=，由点A坐标为(2)0，，点C坐标为(1，即可求解；．（2）作AG OC⊥，作点P关于OB的对称点P′，连接PP P E AP′′′，，，则PE P E′=，故AE PE AE P E AP′′+=+≥，即AE PE AG+≥，即可求解；（3）设CF t=，则2BF t=+，证EBF EOA∆∆，FCH AOH∆∆，则22BF EF tOA AE+==，的2FC FH t OA AH ==，即24EF t AF t +=+，2FH t AF t =+，由3HE HF =，即可求解； 【小问1详解】解：∵四边形OABC 为菱形，∴BC x ∥轴，OA BC =∵点A 坐标为(2)0，，点C 坐标为，∴2123B C B C x x y y =+=+==，，∴(3B ．【小问2详解】∵四边形OABC 为菱形，作AG OC ⊥，作点P 关于OB 的对称点P ′，连接PP P E AP ′′′，，，则PE P E ′=，故AE PE AE P E AP ′′+=+≥，∴AP AG ′≥，∴AE PE AG +≥，∵2AC ，2OA OC AC ===∴，∴C AG y ==∴AE PE +≥，∴AE EP +的最小值为：3．【小问3详解】设CF t =，则2BF t =+，∵BF OA ∥，∴F OAE EBF EOA ∠=∠∠=∠，，F OAH FCH AOH ∠=∠∠=∠，，∴EBF EOA ∆∆ ，FCH AOH ∆∆ ，∴22BFEF t OA AE +==，2FC FH t OA AH ==，∴24EF t AF t +=+，2FH t AF t=+， ∵3HE HF =， ∴24412t EF t t FH t++==+，解得：1222t t =−+=−−（舍去），∴3F − ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的证明、勾股定理，掌握相关知识并正确构造辅助线是解题的关键．。
广东省深圳市深圳实验中学中学部2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
广东省深圳市深圳实验中学中学部2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷一、单选题1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．计算3...a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅⋅⋅144424443个的结果是（）A ．5aB ．6a C ．3a a +D ．3a a 3．关于x 的方程2441x x -=-的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根4．若二元一次联立方程式53283x y y x -=⎧⎨=-⎩的解为x a y b =⎧⎨=⎩，则a b +之值为何？（）A ．28-B ．14-C ．4-D ．145．如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点(),1M m ，(),2N n -，若12y y ＜，则x 的取值范围是（）A ．12x -<<B ．1x <-或0<<2C ．10x -<<或0<<2D ．10x -<<或>26．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等7．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（）A ．甲车行驶8h 3与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220kmC ．甲车的速度是70km /hD ．乙车中途休息36分钟8．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．正十二边形的每一个外角等于度．10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．11．如图，ABCD 中，2BC =，点E 在DA 的延长线上，3BE =，若BA 平分EBC ∠，则DE =．12．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．13．如图，ABC V ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC V 面积的2倍，则AD =．三、解答题14．()0π31-+-15．先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1a =．16．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m 54%混动n %a 氢燃料3%b 油车5%c请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中a =______，b =______；(2)请补全条形统计图；(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？17．某商店购进A 、B 两种纪念品，已知纪念品A 的单价比纪念品B 的单价高10元．用600元购进纪念品A 的数量和用400元购进纪念品B 的数量相同．(1)求纪念品A 、B 的单价分别是多少元？(2)商店计划购买纪念品A 、B 共400件，且纪念品A 的数量不少于纪念品B 数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，ABD CDB ∠=∠，BE AC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，且BE DF =．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若AB BO =，当ABE ∠等于多少度时，四边形ABCD 是矩形？19．已知反比例函数(0)k y x x=>的图象与正比例函数()30y x x =≥的图象交于点()2,A a ，点B 是线段OA 上（不与点A 重合）的一点．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，过点B 作y 轴的垂线,l l 与(0)k y x x=>的图象交于点D ，当线段3BD =时，求点B 的坐标；(3)如图2，将点A 绕点B 顺时针旋转90︒得到点E ，当点E 恰好落在(0)k y x x =>的图象上时，求点E 的坐标．20．综合与探究：如图，90AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的平分线上，PA OA ⊥于点A ．(1)【操作判断】如图①，过点P 作PC OB ⊥于点C ，根据题意在图①中画出PC ，图中APC ∠的度数为______度；(2)【问题探究】如图②，点M 在线段AO 上，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交射线OB 于点N ，求证：2OM ON PA +=；(3)【拓展延伸】点M 在射线AO 上，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交射线OB 于点N ，射线NM 与射线PO 相交于点F ，若3ON OM =，求OP OF的值．。
广东省深圳市深圳中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
2022-2023年度第一学期期中考试初三年级数学试卷一、单选题（本部分共10小题，每小题3分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正．确．的） 1. 下列各数是负数的是（ ）A. 2(1)−B. |3|−C. (5)−−D.【答案】D【解析】【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可 【详解】解：2(1)1−=，是正数，故 A 选项不符合题意； |3|3−=，是正数，故 B 选项不符合题意；(5)5−−=，是正数，故 C 选项不符合题意；2=−，是负数，故 D 选项符合题意．【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．2. 不等式432x x <+的解集是（ ）A. 2x >−B. <2x −C. 2x >D. 2x < 【答案】D【解析】【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．【详解】解：432x x <+，移项，合并同类项得：2,x <故选D【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键． 3. 若分式||11x x −+的值为零，则x 的值为（ ） A. 1B. 1−C. 1±D. 0【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：10x −=且10x +≠， 解得：1x =．故选：A【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．4. 如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【详解】解：A 、影子的方向不相同，故本选项错误；B 、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；C 、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D 、影子的方向不相同，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．5. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，如图示：故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握“从左边看得到的图形是左视图”是解本题的关键． 6. 关于x 的一元二次方程260x x m −+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【答案】A【解析】【分析】先根据判别式＞0，求出m 的范围，进而即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程260x x m −+=有两个不相等的实数根，∴()26410m ∆=−−××>，解得：m ＜9，m 的值可能是：8．故选：A .【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则240b ac ∆=−>，是解题的关键．7. 如果|x +y -1|和2（2x +y -3）²互为相反数，那么x ,y 的值为（ ）A. 12x y = =B. 12x y =− =−C. 21x y = =−D. 21x y =− =−【答案】C【解析】 【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可． 【详解】解：∵21(23)0x y x y +−++−=， ∴10230x y x y +−= +−= ，解得：21x y = =−， 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x +y -1|和2（2x +y -3）2都是非负数，所以这个数都是0． 8. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC= 【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A ，根据相似三角形的性质即可判断B 、C 、D ．【详解】解：∵DE BC ∥， ∴AD AE BD EC=，△DEF ∽△CBF ，△ADE ∽△ABC ，故A 不符合题意； ∴DEDF EF CB CF BF==，DE AE CB AC =，故B 不符合题意，C 符合题意； ∴EF AE BF AC=，故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．9. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与=b y ax（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．【详解】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数=byax（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数=byax（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数=byax（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数=byax（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．10. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD 上的动点，60BAC MAN∠=∠=°，连接MN、OM．以下结论中正确的个数是（）①AMN是等边三角形；②MN MN最小时18CMN ABCDS S=△菱形；④当OM BC⊥时，2OA DN AB=⋅．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出MAC DAN ∠=∠，然后证CAM DAN △≌△，得到AM AN CM DN ==，，即可证出．②当MN 最小值时，即AM 为最小值，当AM BC ⊥时，AM值最小，利用勾股定理求出AM =MN 的值．③当MN 最小时，点M 、N 分别为BC CD 、中点，利用三角形中位线定理得到MN BD ∥，即可证明CMN CBD ∽△△，得到214CMN CBD S CM S CB == △△，则128CMN CMN CBD ABCDS S S S ==△△△菱形，．④当OM BC ⊥时，可证OCM BCO △∽△，利用相似三角形对应边成比例可2OC CM BC =⋅，根据等量代换，最后得到答案．【详解】解：如图：在菱形ABCD 中，ABBC AD CD OA OC AC BD ====⊥，，，∵60BAC MAN ∠=∠=°， ∴ABC 为等边三角形，∴60ACB ADC ∠=∠=°，∴ADC △为等边三角形，又∵60MAC MAN CAN CAN ∠=∠−∠=°−∠，60DAN DAC CAN CAN ∠=∠−∠=°−∠，∴MAC DAN ∠=∠， 在CAM V 与DAN 中CAM DAN AC AD ACM ADN ∠=∠ = ∠=∠∴()ASA CAM DAN △≌△，∴AM AN CM DN ==，，∴AMN 为等边三角形，故①正确；∵AC BD ⊥，当MN 最小值时，即AM 为最小值，而当AM BC ⊥时，AM 值最小， ∵1212AB ,BM BC ===，∴AM =即MN =，故②正确；当MN 最小时，点M 、N 分别为BC CD 、中点，∴MN BD ∥，∴CMN CBD ∽△△，∴214CMN CBD S CM S CB == △△， ∴128CMN CMN CBD ABCD S S S S ==△△△菱形，故③正确； 当OM BC ⊥时，90BOC OMC OCM BCO ∠=∠=° ∠=∠∴OCM BCO △∽△ ∴OC CM BC OC= ∴2OC CM BC =⋅，∵CM DN BC AB ==，∴2OA DN AB =⋅故④正确；故选：D ．【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 因式分解：2312m −=__________．【答案】3(2)(2)m m +−【解析】【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12.有意义，则实数x 的取值范围是______． 【答案】x ＞3，【解析】【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可．【详解】解：由题意得，2x ﹣6＞0，解得，x ＞3，故答案为：x ＞3．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键． 13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______． 【答案】35【解析】【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，任意摸出1个，摸到红球的概率是35． 故答案为：35． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14. 如图所示，已知矩形ABCD ，24BC AB ==，将矩形绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点D 恰好落在边EF 上，则GD =______．【答案】−##−+【解析】【分析】在Rt AED △中，由勾股定理求出DE 的长，进而得到DF 的长，在Rt GDF △中，由勾股定理求出GD 的长即可．【详解】解：∵矩形ABCD ，24BC AB ==，将矩形绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ， ∴2490AE AB GF EF BC AD E F ========°，，∠∠，在Rt AED △中，由勾股定理得：DE =，∴4DF EF DE =−=−，在Rt GDF△中，由勾股定理得：2GD===−=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出DE的长，进而得到DF的长是解题的关键．15. 如图，点A、B在反比例函数()30y xx=>的图像上，连接OB、AB，以AB、OB为边作平行四边形ABOC．若点C恰好落在反比例函数()20y xx=−<的图像上，则ABOCS=______．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点B作BD x⊥轴于B，过点C作CE x⊥轴于E，连接BC，设点C的坐标为2mm−，，点B的坐标为3nn，，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出点A的坐标为23m nm n+−+，，再根据点A在反比例函数()30y xx=>上，推出n=，根据BOC COE BODCEDBS S S S=−−△△△梯形求出BOCS即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B作BD x⊥轴于B，过点C作CE x⊥轴于E，连接BC，设点C的坐标为2mm−，，点B的坐标为3nn，，∴BC中点的坐标为2322m n m n−++，，∵四边形ABOC平行四边形，∴OA与BC的中点坐标相同，是∴点A 的坐标为23m n m n +−+ ，， 又∵点A 在反比例函数()30y x x =>上， ∴323m n m n =−++， ∴223220m mn n −−=，∴n =（正值不合题意已舍）， ∴BOC COE BOD CEDB S S S S =−−△△△梯形 3122CE BD DE +⋅−− ()132 2.52n m n m =−−−12 2.52m m=−−−)123 2.54 ++−)113 2.54=++−=，∴2ABOC BOC S S ==△故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题11分，第22题8分，共55分）16. 解方程：（1）2560x x −+=；（2）2210x x −−=．【答案】（1）1223x x ==，（2）1211x x +−【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可【小问1详解】解：∵2560x x −+=，∴()()230x x −−=， ∴20x −=或30x −=， 解得1223x x ==，； 【小问2详解】解：∵2210x x −−=，∴221x x −=，∴2212x x −+=，∴()212x −=，∴1x −=，解得1211x x +【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．17. 先化简，后求值：22111x x x x −− −÷ ，其中2022x =． 【答案】11x +，12023【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：22111x x x x −− −÷ 2211x x x x x −−⋅− ()()111x x x x x −⋅−+ 11x =+， 当2022x =时，原式11202212023=+． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解题的关键．18. 如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．（1）证明：OBF ECF ∽△△；（2）若3OF =，2EF =，求BF 的长度．【答案】（1）证明见解析（2）1BF =+【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OA OC =，则ODC OCD ∠=∠，由DE BE =，得到EDB EBD ∠=∠，则ECF OBF =∠∠，再由EFC OFB =∠∠，即可证明OBF ECF ∽△△； （2）由相似三角形的性质得到BF OF CF EF=，推出32BF CF =，再证明FBO FAB △∽△，推出2133OA BF =−，再由3CF OC OF OA OF OA =−=−=−，得到233OA BF =+，则2123333BF BF −=+，由此求解即可． 【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AC 与BD 相交于点O ，∴OA OC =，∴ODC OCD ∠=∠，∵DE BE =，∴EDB EBD ∠=∠，∴ECF OBF =∠∠，又∵EFC OFB =∠∠，∴OBF ECF ∽△△；【小问2详解】解：∵OBF ECF ∽△△， ∴BF OF CF EF=，即32BF CF =， ∴32BF CF =， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，OA OC =，∴OAB OCD ∠=∠，∴FBO FAB =∠∠，∴FBO FAB △∽△， ∴OF BF BF AF=， ∴()()233BF OF AF OF OF OA OA =⋅=⋅+=+， ∴2133OA BF =−， ∵3CF OC OF OA OF OA =−=−=−， ∴233OA BF =+，∴2123333BF BF −=+， ∴22180BF BF −−=，解得1BF =+（负值已舍去）．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．19. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO ⊥OD ，EF ⊥FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．【答案】旗杆的高AB 为3米．【解析】【分析】证明△AOD ∽△EFG ，利用相似比计算出AO 的长，再证明△BOC ∽△AOD ，然后利用相似比计算OB 的长，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AD ∥EG ，∴∠ADO =∠EGF ．又∵∠AOD =∠EFG =90°，∴△AOD ∽△EFG ． ∴AO OD EF FG=． ∴ 1.820152.4EF OD AOFG ⋅×===． 同理，△BOC ∽△AOD ． ∴BO OC AO OD=． ∴15161220AO OC BOOD ⋅×===． ∴AB =OA −OB =3（米）．∴旗杆的高AB 为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．20. 预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教窒内每立方米空气中含药量y （mg ）与时间t （h ）成正比例；药物释放完毕后，y 与t 成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数解析式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？【答案】（1）23032y t t =≤≤ ；3322y t t =≥（2）6【解析】 【分析】(1) 首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小为时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为m y t=（m 常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；(2)当y =0.25mg 时，利用反比例函数解析式即可求解． 小问1详解】解：设正比例函数解析式是y ＝kt ，反比例函数解析式是m y t =， 把点（3，12）代入反比例函数的解析式，得：13322m =×=， ∴反比例函数的解析式是32y t =． 当y ＝1时，代入32y t =得32t =， 把32t =，y ＝1代入正比例函数的解析式是y kt =，得：23k =， ∴正比例函数解析式是23032y t t =≤≤ ； 【小问2详解】 解：由题意得，30252.y t=＜， 解得6t ＞， ∴从药物释放开始，至少需要经过6小时，学生才能进入教室．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．21. 如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．【（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接CB ．求ABC 的面积；（3）以线段AB 为对角线做正方形AEBF （如图），点G 是线段BF （不与点B 、F 重合）上的一动点，M 是EG 的中点，MN EG ⊥交AB 于N ，当点G 在BF 上运动时，请直接写出线段MN 长度的取值范围．【答案】（1）412a k ==，（2）8 （3MN << 【解析】【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A 的坐标，再把A 的坐标代入反比例函数解析式即可得到答案； （2）如图所示，过点C 作CF x ⊥轴于E 交AB 于F ，根据中点坐标公式求出点C 的纵坐标，进而求出点C 的坐标和点F 的坐标，再由ABCBCF ACF S S S =+△△△进行求解即可； （3）如图所示，过点A 作AH x ⊥轴于H ，连接NG NE ，，证明AHE EOB △≌△，得到OE AH =，求出点E 的坐标为()30，，同理可得点F 的坐标为()14，，求出直线BF 的解析式为31y x =+；证明NG NE =，设()13112G m m N n n ++，，，， 利用勾股定理得到()()22221131131022m n m n n n −++−−=−++− ，推出22n m =+则()222N m m ++，，求出33122m m M ++ ，，利用勾股定理得到22552m MN +=，据此求解即可． 小问1详解】 解：∵一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ， ∴对于函数112y x =+，当3y =时，1132y x =+=，解得4x =， ∴4a =，∴点A 的坐标为()43，， ∴4312k =×=；【小问2详解】解：如图所示，过点C 作CF x ⊥轴于E 交AB 于F ，【∵AC AD =，∴A 为CD 的中点，∵点D 在x 轴上，点A 的坐标为()43，， ∴点C 的纵坐标为6，∴点C 的横坐标为1226=， ∴点C 的坐标为()26，， ∴点F 的坐标为()22，， ∴4CF =， ∴114242822ABC BCF ACF S S S =+=××+××=△△△； 【小问3详解】解：如图所示，过点A 作AH x ⊥轴于H ，连接NG NE ，，∴90AHE =°∠，∵四边形AEBF 是正方形，∴90AE EB AEB ==°，∠，∴90HEA OEB HEA HAE +=°=+∠∠∠∠，∴HAE OEB =∠∠，又∵90AHE EOB ∠=∠=°，∴()AAS AHE EOB △≌△，∴OE AH =，∵点A 的坐标为()43，， ∴点E 的坐标为()30，，∵直线112y x =+与y 轴交于B ， ∴点B 的坐标为()01，， 同理可得点F 的坐标为()14，， 设直线BF 的解析式为y kx b =+， ∴41k b b += =， ∴31k b = =， ∴直线BF 的解析式为31y x =+； ∵MN GE ⊥，M 是EG 的中点，∴MN 是EG 的垂直平分线，∴NG NE =，设()13112G m m N n n ++ ，，，， ∴()22213112NG m n m n =−++−− ，()22213102NE n n =−++− ， ∴()()22221131131022m n m n n n −++−−=−++−， ∴22222229369144n n m mn n m mn n n n −++−+=−++++， ∴2105105m mn n −=−，∴22n m =+，∴()222N m m ++，，∵M 是GE 的中点， ∴33122m m M ++，， ∴22233122222m m MN m m ++ =+−++−2231322m m +− + 22961964m m m m +++−+= 2552m +=， ∵G 在BF 上（不包括B 、F ）， ∴01m <<，∴201m <<， ∴2552MN <<，MN <<．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．22. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连接MN ．（1）如图，当E 在边AD 上且2DE =时，证明：EM BC ⊥；（2）当N 在BC 延长线上时，求EN 的长；（3）当直线MN 恰好经过点C 时，请直接写出DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）103（3）【解析】 【分析】（1）只需要证明四边形AEMB 是正方形，即可证明EM BC ⊥；（2）利用勾股定理和轴对称的性质得到由轴对称的性质可知10BN BD ==，BDE BNE =∠∠，再证明BCD ECN △∽△，得到6210EN=，据此求解即可； （3）分当E 在AD 上，当E 在CD 上，两种情况利用轴对称和相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：∵2DE =，四边形ABCD 是矩形，∴8AD BC ==，90A ∠=°∴6AE AD DE =−=，由轴对称的性质可知AB MB AE ME ==，，∴6AB AE MB ME ====，∴四边形AEMB 正方形，∴EM BC ⊥；【小问2详解】解：∵在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，6890AB CD AD BC BCD =====°，，∠，∴10BD ,∴由轴对称的性质可知10BN BD ==，BDE BNE =∠∠，∴2CN BN BC =−=，又∵90BCD ECN ∠=∠=°， 是∴BCD ECN △∽△， ∴CD CN BD EN =，即6210EN=， ∴103EN =； 【小问3详解】解：如图3所示，当E 在AD 上时，由折叠的性质可知690MB AB BME BAE ====°，∠∠，∴90BMC ∠=°，∴CM ==，∵AD BC ∥，∴DEC MCB =∠∠，在DEC 和MCB △中，90D BMC DEC MCB DC MB ∠=∠=° ∠=∠ =， ∴()AAS DEC MCB △≌△，∴DE MC ==；如图4所示，当E 在CD 上时，同理可得CM =，∴8CN MN CM AD CM =−=−=−，∵90BMC CNE BCD ===°∠∠∠，∴90NEC NCE NCE MCB +=°=+∠∠∠∠，∴NEC MCB =∠∠，∴NEC MCB △∽△，∴BM CN CM NE ==∴DE NE ==综上所述，DE 的长为【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质等等，正确画出图形利用相似三角形的性质与判定求解是解题的关键．。