(新版)新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程小结与复习课件
合集下载
九年级数学上册 第21章 一元二次方程小节与复习课件1 (新版)新人教版
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
3. 关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
次项系数和次项系数．
回顾与复习 2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
下课了!
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
• 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方程方法——即方程的思想.
一半的平方;
4.变形:化成(x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
xb2b2a 4a.bc24a0 c.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
九年级数学上册 第21章 一元二次方程章末复习课件新人教版
km？
km. 根据“路程=
速度×时间”用含x 的代数式表示线段的长度, 将
问题转化到直角三角形中, 利用勾股定理构建 方
程来解答．
解
设x min后两人相距2
km, 此时甲运动到F处, 乙运动到E处,
可 知FC=x km, EC=(10-2x)km.
在Rt△ECF中, x2+(10-2x)2=(2
)2．
取值范围.
解 本题有两种情况： (1)若方程是一元二次方程, 则
m2-1≠0,
b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0,
m≠±1,
解得
m≥ - ,
即m≥- 且m≠±1.
(2)若方程为一元一次方程, 则
m2-1=0,
-2(m+2)≠0,
解得m=±1.
当m=1时, 原方程为-6x+1=0, 有实数根x=
专题二 根的判别式的应用
【要点指导】关于一元二次方程根的判别式的问题的常见题型有三
种：(1)不解方程, 判断方程根的情况；(2)由方程根的情况确定方程的
系数 中未知字母的值或取值范围；(3)进行有关一元二次方程根的情
况的证明.
例2 已知关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根, 求m的
∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0, 解得k≤
∴实数k的取值范围为k≤
,
.
(2)∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1, x2, ∴x1+x2=12k, x1x2=k2-1.
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,
人教版初三数学上册第21章 一元二次方程小结复习课件
使方程中等号左右两边相等的未知数的值
1.列式表示下列各式，哪些是方程，哪 些不是？为什么？
(1)、比x的3倍大5的数等于x的4倍
3x+5=4x 是
(2)、比x的3倍大5的数与x的4倍的差
3x+5-4x 否
2. 在x=0、x=-1、x=3中，__x_=_3_是方程 3x-9=0的解.
3、写一个解为 x2 的一元一次方程
4 解得 x=3.1
答：甲车出发后行驶3.1小时后两车相遇。
A.B两地间相距360km,甲车从A地出发 往B地,每小时行72km,甲车出发15分 钟后,乙车从B地出发开往A地,每小时 行48km，甲车出发后行驶多少小时后 ,甲车乙车相聚132km?
分析： 甲路程+乙路程=360±132
即v甲xt甲+v乙xt乙 =360±132
15分钟= 1 小时
情况1：
4
解：设甲车出发后行驶X小时后，两车相距132km。
72 x48 (x1)36 0 132 4
解得 x=2
答：甲车出发后行驶2小时后，两车相距132km。
配对问题之“量1=量2”
某每-天队--挖4-5-土人--4参-方-加-或-挖-运-土-土-和-6-运方--土，--劳应--动该，怎每样人分 配挖土和运土的人数，才能使每天挖 出的土及时运走？
一元一次方程复习（一）
汕头市碧华学校 林喜斌
回顾与思考
方程的概念
方
等式的性质
概念
程
一元一次方程
一元一次方程 与实际问题
解法 步骤
去分母
去括号
移
项
合
并
系数化为1
知识点复习一：
1、方程的概念 2、一元一次方程的定义
1.列式表示下列各式，哪些是方程，哪 些不是？为什么？
(1)、比x的3倍大5的数等于x的4倍
3x+5=4x 是
(2)、比x的3倍大5的数与x的4倍的差
3x+5-4x 否
2. 在x=0、x=-1、x=3中，__x_=_3_是方程 3x-9=0的解.
3、写一个解为 x2 的一元一次方程
4 解得 x=3.1
答：甲车出发后行驶3.1小时后两车相遇。
A.B两地间相距360km,甲车从A地出发 往B地,每小时行72km,甲车出发15分 钟后,乙车从B地出发开往A地,每小时 行48km，甲车出发后行驶多少小时后 ,甲车乙车相聚132km?
分析： 甲路程+乙路程=360±132
即v甲xt甲+v乙xt乙 =360±132
15分钟= 1 小时
情况1：
4
解：设甲车出发后行驶X小时后，两车相距132km。
72 x48 (x1)36 0 132 4
解得 x=2
答：甲车出发后行驶2小时后，两车相距132km。
配对问题之“量1=量2”
某每-天队--挖4-5-土人--4参-方-加-或-挖-运-土-土-和-6-运方--土，--劳应--动该，怎每样人分 配挖土和运土的人数，才能使每天挖 出的土及时运走？
一元一次方程复习（一）
汕头市碧华学校 林喜斌
回顾与思考
方程的概念
方
等式的性质
概念
程
一元一次方程
一元一次方程 与实际问题
解法 步骤
去分母
去括号
移
项
合
并
系数化为1
知识点复习一：
1、方程的概念 2、一元一次方程的定义
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习课件 (新版)新人教版
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
第十一页，共38页。
回顾与反思
判别式逆定理 若方程有两个(liǎnɡ ɡè) 不相等的实数根,则b24ac＞0 若方程有两个 相等(xiāngděng)的实数根,则 b2-4ac=0
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不合题意,舍去). 2
答 :小路的宽度为3m.
第二十六页，共38页。
几何(jǐ hé)与方程
例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地 (gēng〃dì)上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 水渠把耕地(gēng〃dì)分成面积均为885m2 的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
第一页，共38页。
1.一元二次方程的概念(gàiniàn)
只含有一个未知数，并且(bìngqiě)未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般(yībān) 形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 b的x 形c 式 0,我们把
ax2 bx c 0
解 : 设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.
第二十五页，共38页。
2.几何(jǐ hé)与方程
3.公式(gōngshì) 法
一般(yībān)地,对于一元二次方程 a当x2b+2 bx4+acc=00(时a≠,它0的)根是 :
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
人教版初三九年级数学第二十一章《一元二次方程复习PPT课件》
七楼A座办公家园
典型例题：
x2 -8x-9=0.
解：移项，得 x 2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方，
x 2-8x+4 2=q+4 2,
配方，得
(x-4) 2=25,
解这个方程，得 x-4=±5，
移项，得
x=4±5.
即 x 1=9,x2 =-1. (口头检验，是不是 原方程的根)
典型例题：
(1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0;
(3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0;
(5)3x2-1=4x;
(6)2x2+2x-30=0;
(7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0)；
七楼A座办公家园
公式法：
x b b2 4ac 2a
强调公式的条件：
七楼A座办公家园
应用
七楼A座办公家园
a 0,b2 4ac 0
七楼A座办公家园
根与系数关系
c x1 x2 a
b x1 x2 a
七楼A座办公家园
1.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在 初中代数里，当且仅当
b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系. 3.可以通过一元二次方程系数判断方程 根的情况.
一元二次方程 复习
七楼A座办公家园
一元二次方程概念？一般形式？ 问题1：剪一面积为20cm2的长方
形纸片，且长比宽多1cm，则纸片 长、宽各为多少？
七楼A座办公家园
问题2：如图：如果
用一正方形纸片，在
典型例题：
x2 -8x-9=0.
解：移项，得 x 2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方，
x 2-8x+4 2=q+4 2,
配方，得
(x-4) 2=25,
解这个方程，得 x-4=±5，
移项，得
x=4±5.
即 x 1=9,x2 =-1. (口头检验，是不是 原方程的根)
典型例题：
(1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0;
(3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0;
(5)3x2-1=4x;
(6)2x2+2x-30=0;
(7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0)；
七楼A座办公家园
公式法：
x b b2 4ac 2a
强调公式的条件：
七楼A座办公家园
应用
七楼A座办公家园
a 0,b2 4ac 0
七楼A座办公家园
根与系数关系
c x1 x2 a
b x1 x2 a
七楼A座办公家园
1.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在 初中代数里，当且仅当
b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系. 3.可以通过一元二次方程系数判断方程 根的情况.
一元二次方程 复习
七楼A座办公家园
一元二次方程概念？一般形式？ 问题1：剪一面积为20cm2的长方
形纸片，且长比宽多1cm，则纸片 长、宽各为多少？
七楼A座办公家园
问题2：如图：如果
用一正方形纸片，在
人教部初三九年级数学上册 21一元二次方程章末复习与归纳 名师教学PPT课件
课
堂 21章一元二次方程章末
教
复习与归纳
学
21章一元二次方程章末复习与归纳
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
一
元 配方法
二
次 方 公式法
程
的
b
b2 4ac 根的判别式
2a
Δ=b2-4ac
Δ>0, 有两个不等的实数根 Δ=0, 有两个相等的实数根 Δ<0, 无实数根
解 因式分解法
法
关于x的一元二次方程根的几种情况：
（1）方程有两个不等的实数根
Δ>0
（2）方程有两个相等的实数根
Δ=0
（3）方程无实数根
Δ<0
根与系数的关系
b
x1 x1 x2
x2
c a
பைடு நூலகம்
a
通过对一元二次方程这章的学习，那如何应 用一元二次方程解决实际问题呢？
1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出
学情 分析
设计 理念
教学 目标
重点 难点
教学 方法
教学 过程
教材解析
• 本节课是义务教育教科书九年级数学下册第二十一章《一元二 次方程》的章末复习与归纳。 • 1、一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要
的地位，学习本章内容是对一元一次方程学习的扩展。 • 2、一元二次方程可以解决更为广泛的实际问题，为后续学习起到
教学过程
环节五 ：课堂小结
通过本节课时的学习： 1、你有什么收获呢？ 2、在知识应用过程中需要注意什么？ 设计意图：本环节的设计是为了让学生更深层次的掌握知识的应用。
堂 21章一元二次方程章末
教
复习与归纳
学
21章一元二次方程章末复习与归纳
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
一
元 配方法
二
次 方 公式法
程
的
b
b2 4ac 根的判别式
2a
Δ=b2-4ac
Δ>0, 有两个不等的实数根 Δ=0, 有两个相等的实数根 Δ<0, 无实数根
解 因式分解法
法
关于x的一元二次方程根的几种情况：
（1）方程有两个不等的实数根
Δ>0
（2）方程有两个相等的实数根
Δ=0
（3）方程无实数根
Δ<0
根与系数的关系
b
x1 x1 x2
x2
c a
பைடு நூலகம்
a
通过对一元二次方程这章的学习，那如何应 用一元二次方程解决实际问题呢？
1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出
学情 分析
设计 理念
教学 目标
重点 难点
教学 方法
教学 过程
教材解析
• 本节课是义务教育教科书九年级数学下册第二十一章《一元二 次方程》的章末复习与归纳。 • 1、一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要
的地位，学习本章内容是对一元一次方程学习的扩展。 • 2、一元二次方程可以解决更为广泛的实际问题，为后续学习起到
教学过程
环节五 ：课堂小结
通过本节课时的学习： 1、你有什么收获呢？ 2、在知识应用过程中需要注意什么？ 设计意图：本环节的设计是为了让学生更深层次的掌握知识的应用。