力学第二章第六节 刚体的定轴转动(全部)

假设轮盘逆时针加速转动，规 定力矩方向以垂直纸面向外为 正。（加速转动方向与力矩方 向满足右手螺旋！）
N

T2 正 方 a2 向
P2
T1 a1
P1
正 方 向
方向垂直纸面向外.
例：一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一 质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J 1 ＝ 2 MR ，其初角速度 0＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求： (1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到＝ 0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角 速度的大小和方向
解 受力分析如图 钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）
FN
M M1 M 2
O

l m1 g cos m2 glcos 2
钟摆系统的总转动惯量
m1 g
m2 g
1 2 J J1 J 2 m1l m2l 2 3
A

0
l Md ( m1 gcos lm2gcos )d 0 2 1 2 lm1 g sin lm2 g sin J 0 2 2
不可伸缩，绳子、各滑轮的质量及 轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）： Ek 1 0
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2 v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 )
E p EP 2 EP1 mgh
机械能守恒
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r
z ω,
v
v r' an r ' 2 dv a r' dt
O
刚体
r' P θ
r
×基点O
参 考 方 向
质点系的定律或定理+定轴转动的刚体的特殊性
定轴转动刚体的动力学
思路： 把质点系对轴的角动量定理应用的刚体上，就得刚体定轴转动定理
Z
§2.6.2
刚体绕定轴转动定理
1 1
2
2
(2) 内力矩作功之和为零。 dA Md M P (3) 力矩的功率 dt dt
i
i
i
3 刚体绕定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果 设在合外力矩M的作用下 d J d Jd dA Md dt 1 2 （刚体绕定轴转动动能定理的微分形式） dA d J 2 当刚体角速度从t1时刻的ω1改变为t2时刻的ω2时，合外力 矩对刚体所作的功为
加速转动方向与力矩方向满足右手螺旋！

刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物 理量都是相对于同一转轴而言的； 刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 ； 同质点力学中的 F ma 力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生 角加速度的原因。

求 M是关键，方法同质点系所受外力对轴的力矩。
z
1. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标
f (t ) (运动学方程)
d f ' (t ) dt
d d 2 2 f " (t ) dt dt
动平面 转 O
P(t )

角速度
角加速度

x
2. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同
mgR 2mg 1 2m M R mR2 MR 2 2
mg
物体上升的高度 h = R = 6.12×10-2 m
(3)
2
10.0 rad/s
方向垂直纸面向外.
§2.6.3 定轴转动的动能定理
1、 刚体绕定轴转动的转动动能
z

mi
在刚体上任取一质点Pi
质点Pi的动能为 1 2 Eki miv i 1 m r 2 2 i i 2 2 对刚体上所有质点的动能求和 2 1 2 2 2 Ek mi ri m r i i 2 2 i i
i
例题： 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地 粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动， 对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下 端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．
2r m 2m m
r
m
假设轮盘逆时针加速转动，力矩方向以垂直纸面向里为正（轴的 正方向）。
(1)外 力不 与轴 垂直
Z
Oi i ri m i
Fi //
Fi
Fi
(2) 外力 与轴 垂直
Z
Oi
di m i
Mz ri
i
Fi
转动平面
转动平面
M z M iz ri Fi sin i
i i
M z ri Fi sin i
i
Fi sin i Fi ,t （切向力） M z ri Fi ,t
Md
力矩作功的 微分形式

O
d dr r'
P
r

F
• 对一有限过程
A Md (
1 2
积分形式 ） 若 M = C
A M ( 2 1 )
2
1
讨论
(1) 合力矩的功 A Md ( M i )d M i d Ai
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
1 解 M mglcos 2
由动能定理

O

m
l
x

C
mg
l A Md mgcosd 0 0 2 1 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 J ml 3 2 2 3gsin 3gsin 1 / 2 2 ( ) l l
2
0
R M
m
解（1）受力分析如图。 轮盘逆时针加速转动，规定力矩 方向以垂直纸面向外为正。
mg－T＝ma
TR＝J a＝R

正 方 向
m M
N
0
R
T
= mgR / (mR2＋J)
方向垂直纸面向外（是正值，与力矩方向一致）
2 2 （2） 0 2
2 0 当＝0 时， 0.612 rad 2
x
O
mi C P zi z
C
y
结论：刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。
例 如图，一钟摆由长度为l，质量为m1的均质细杆和固定在其 一端的质量为m2的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕 过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水 平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。 求 放手后钟摆摆到角位置时的角速度。
1 1 2 1 2 2 mv J kx mgxsin 0 2 2 2 1 1 v 1 mv 2 J ( ) 2 kx 2 mgxsin 0 2 2 r 2
v / r
O
ri P i
1 Ek J 2 （刚体绕定轴转动的转动动能） 2 讨论 与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J的地位对应于质 点的质量m。
(力矩的功就是力的功) 2 力矩的功 力的累积过程——力矩的空间累积效应 功的定义
•
dA F dr Fcosds
F rd
Oi ri //
Oi'
r i
pi
ri
i
mi
pi //
pi
dL z Mz dt
Lz Liz ri pi sin i
i i
Z
M iz Oi ri pi di m i i
转动平面
质元 mi 在转动平面内做圆周运动
pi pi mi ri, i , ri ri 2 2 Lz Liz mi ri
r
O
FN 2
m
k
x
FT 1 r FT1 O FT 2 m g 0 FT2
FN 2

k
x mg
m

取弹簧、滑轮、滑块、地球为研究系统， 系统机械能守恒。
取滑块的初始位置为重力势能零点， 弹簧自然长度点为弹性势能零点。
k
r
O
m
x

设滑块沿斜面下滑距离为x时的速率为v，则
dh dv v， a dt dt
mgr 2 常量 a 2 mr J Z
2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略，怎样？
例 如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。 已知滑轮半径为 r = 0.3m ，转动惯量为 J = 0.5kgm2。滑块 的质量为 m = 2kg ，斜面倾角为 = 370 ，弹簧的劲度系数 为 k = 20Nm-1 。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可 忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。 求 (1) 当滑块沿斜面滑下 1.0m时，它的速率多大？ (2) 滑块沿斜面将下滑多远？ (3) 当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？ 解
A
2
1
1 2 d Md J 1 2
2
1 2 1 2 A J2 J1 （刚体绕定轴转动的动能定理） 2 2