大学数学高数微积分专题六第4讲课堂讲解
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大学数学高数微积分第四章矩阵第六节课件课堂讲解
第i列 第j列
1
P(i, j(k))
1k
第i 行
1
第j行
1
二、初等矩阵的性质
引理 设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次
初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初 等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.
A = Q1 Q2 … Qm .
(2)
由此即得
推论 1 两个 s n 矩阵 A，B 等价的充分必
要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级 矩阵 Q 使
A = PBQ .
推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行
变换化成单位矩阵.
证明 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存
在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使
A1
.
例 4 任意输入一个 4 级矩阵 A , 判断其是否
可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 .
单
击
这
里
解
开
5/ 33 1/ 66 17/ 66 7 / 22
始
所以
A1
10 14 16 /
/ 33 / 33 33
35/ 66 8/ 33 23/ 66
1/ 66 4/ 33 5/ 66
ai1 a11
( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的
a1 j
( j = 2, 3, … , s ) 倍.
然后，用
a11 1 乘第一行，A a11
就变成
1 0 0
0
0
A1
.
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵.
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
高等数学第四章课件.ppt
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
高等数学(同济第六版)课件 第四、五章 3. 微积分基本公式
(sec x 1) sec xd sec x
2 2
4 0
sec4 xd sec x sec2 xd sec x
1 1 1 5 4 1 3 4 sec x 0 sec x 0 (4 2 1) ( 2 2 1) 5 3 5 3
4 0
2 sin x cos 2 x 1 ( 2) dx sin x d cos x d cos x cos x cos x cos x 3
1 (cos x )d cos x cos x 1 1 2 ( t )dt t ln t C t 2
mx n , ( p 2 4q 0) 型的积分 基本类型4： 2 x px q mx n mx n 先将分母分解因式： 2 x px q ( x a )( x b ) mx n A B 由： ( x a )( x b ) x a x b
| sin x cos x | dx | sin x cos x | dx (cos x sin x )dx (sin x cos x )dx
4 0 4 0
2 0
2 4 2 4
(sin x cos x )
4 0
( cos x sin x )
2 4
( 2 1) ( 1 2 ) 2( 2 1)
y x 2 和 x y 2 所围成的图形的面积. 例2 求由曲线
解 A
1
0
xdx x 2dx
0
1
2 x 3
31 2
1 21 2 1 1 x 0 3 3 3 3 0
《高等数学》第6章常微分方程知识讲解
微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
大学数学(高数微积分)专题四第讲立体几何(课堂讲义)
两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素
“补形”成为一个球内接长方体，则 4R2＝a2＋b2＋c2 求解．
28
热点分类突破
(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和
侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体
的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是
()
本 讲 栏 目 开 关
本
讲 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的
栏
目 表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球
开
关 之外，都是其侧面积和底面面积之和． 2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球 除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计 算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中 的轴截面．
坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度
不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
6
主干知识梳理
4．空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：
①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
本 讲
②S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
栏 目
③S台侧＝
22
热点分类突破
(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为________．
本 讲 栏 目 开 关
23
热点分类突破
解析 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成．
V＝10×4×5＋12×π×32×2＝200＋9π.
本 讲
(2)将三视图还原为直观图后求解．
栏
目 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，
《高等数学(一)微积分》讲义
f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
高等数学微积分教材第四章
高等数学微积分教材第四章第一节：导数的定义与基本性质微积分是现代数学中一门重要的学科，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在高等数学中，微积分是一个不可或缺的章节。
本文将重点讨论高等数学微积分教材第四章的内容，即导数的定义与基本性质。
导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在第四章中，我们将学习如何准确定义导数，并探索导数的基本性质。
首先，我们来回顾导数的定义。
对于函数f(x)，在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，可以用以下极限的形式来定义：\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]导数的几何意义是函数在该点处切线的斜率。
通过导数的定义，我们可以求解函数在某一点处的切线斜率，进而研究函数的变化情况。
接下来，我们将介绍导数的基本性质。
这些性质对于我们研究函数的变化趋势和性质非常重要。
1. 导数的线性性质：设有函数f(x)和g(x)，以及常数k，那么有以下性质成立：\[k \cdot f'(x) = (k \cdot f(x))'\]\[f(x) \pm g(x) = f'(x) \pm g'(x)\]2. 导数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积使用以下公式计算导数：\[(f \cdot g)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]3. 导数的链式法则：考虑复合函数h(x) = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导函数。
那么复合函数h(x)的导数计算如下：\[h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]这些是导数的一些基本性质，掌握了这些性质，我们就能更好地理解和分析函数的变化规律。
第二节：高阶导数与隐函数求导除了导数的定义与基本性质，高等数学微积分教材第四章还涉及高阶导数以及隐函数求导的内容。
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第4讲 算法与复数
【高考考情解读】
1．高考题中对算法的程序框图的考查主要以选择题或填空题
本
的形式为主，试题难度中等偏易，试题主要以考查循环结
讲 栏
构的程序框图为主，且常常与其它数学知识融汇在一起考
目 开
查，如算法与函数、算法和数列、算法和统计以及应用算
关
法解决实际问题.
2．复数的概念和运算主要考查复数的分类、共轭复数、复平
目 开 关
k＝3，T＝1×12×3＝31！，S＝1＋21！＋31！，
…
由于N＝10，即k>10时，结束循环，共执行10次．
所以输出S＝1＋21！＋31！＋…＋101！.
答案 (1)D
(2)B
热点分类突破
(1)高考中对于程序框图的考查主要有“输出结果 型”“完善框图型”“确定循环变量取值型”“实际应用 本 型”，具体问题中要能够根据题意准确求解．
(2)B
热点分类突破
复数的基本概念问题涉及复数的分类、共轭复数、
本 复数相等条件、复平面等基本知识，解决复数基本概念问题
讲 栏
关键是能够充分地掌握各个概念，其实质上就是对复数z＝a
目 开
＋bi(a，b∈R)中实部和虚部的限制条件的应用或运算．
关
热点分类突破
(1)复数
1＋i 1－ai
(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的
ac＋bd c2＋d2
＋
bc－da c2＋d2
i(c
＋di≠0)．
(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，r∈R).
热点分类突破
考点一 程序框图
例1 (1)(2013·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出
本 讲
结果是
栏
目
开
关
()
1
25
A.6
B.24
3
11
C.4
D.12
热点分类突破
(2)(2013·课标全国Ⅱ)执行右面的程序框图，
如果输入的N＝10，那么输出的S等于( )
A．1＋12＋13＋…＋110
本 讲
B．1＋21！＋31！＋…＋101！
栏 目 开
C．1＋12＋13＋…＋111
关 D．1＋21！＋31！＋…＋111！
热点分类突破
解析 (1)赋值S＝0，n＝2
开 关
复数z，由图中表示z的共轭复数的点是
()
A．A
B．B C．C
() D．D
热点分类突破
解析 (1)a－31－0 i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，
由a∈R，且a－31－0 i为纯虚数知a＝3.
本
讲 (2)表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，
栏
目 开
∴B点表示 z .选B.
关
答案 (1)D
其中的真命题共有2个：p2，p4.
目
开 关
答案 (1)1
(2)C
热点分类突破
考点三 复数的运算
关 S＝－1，n＝2 012，
此时2 012<2 012不成立，则输出S＝－1.
答案 (1)C
(2)－1
热点分类突破
考点二 复数的基本概念
例2
(1)(2013·安徽)设i是虚数单位，若复数a－
10 3－i
(a∈R)是
纯虚数，则a的值为
本 讲
A．－3
B．－1
C．1 D．3
栏 目
(2)(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示
讲
栏 (2)关于程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为主，求
目
开 解程序框图问题关键是能够应用算法思想列出每一次循环的
关
结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关 系．
热点分类突破
(1)执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，
那么判断框中可以是
()
本 讲 栏 目 开 关
A．k<4? C．k<6?
面和复数的四则运算为主，试题侧重对基本运算的考查，
试题难度较低易于得满分，主要分布在试卷的第1、2题位
置．
主干知识梳理
1．算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示．
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
本 讲 栏 目 开 关
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
目 开
a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.
关 要使输出的a＝341，判断框中可以是“k<6？”或
“k≤5？”．∴选C.
热点分类突破
(2)第一次运行：S＝0，n＝2； 第二次运行：S＝－1，n＝3；
第三次运行：S＝－1，n＝4；
本 第四次运行：S＝0，n＝5.
讲 栏
……
目 开
可推出其循环周期为4，从而可知，第2 011次运行时，
∴1－a＝0，a＝1.
(2)利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
本 讲 栏
∵z＝－12＋i＝－1－i，
目
开 关
∴|z|＝ －12＋－12＝ 2，
∴p1是假命题； ∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
热点分类突破
∵ z ＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
本
讲 栏
进入循环体：检验n＝2<8，
S＝0＋12＝12，
本 n＝2＋2＝4；
讲 栏
检验n<8，
目
开 关
S＝12＋14＝34，
n＝4＋2＝6；
检验n<8，
S＝34＋16＝1112，
热点分类突破
n＝6＋2＝8，
检验n＝8，脱离循环体，
输出S＝1112.
(2)k＝1，T＝11，S＝1，
本 讲 栏
k＝2，T＝1×1 2＝21！，S＝1＋21！，
值为________．
本 讲
(2)(2012·课标全国)下面是关于复数z＝－12＋i的四个命题：
栏 目
p1：|z|＝2;
p2：z2＝2i；
开 关
p3：z的共轭复数为1＋i;
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为
()
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
热点分类突破
解析 (1)11－＋aii＝1＋1i＋1a＋2 ai＝1－a1＋＋a12＋ai，
B．k<5? D．k<7?
热点分类突破
(2)执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值为_______．
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
解析 (1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；
a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；
a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4；
本
讲 栏
a4＝4a3
(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b
＝d.
本
(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数
讲 栏
时，这两个复数叫做互为共轭复数．
目 开
(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i、(a＋bi)(c＋di)＝
关
(ac－bd)＋(bc＋ad)i、(a＋bi)÷(c＋di)＝
【高考考情解读】
1．高考题中对算法的程序框图的考查主要以选择题或填空题
本
的形式为主，试题难度中等偏易，试题主要以考查循环结
讲 栏
构的程序框图为主，且常常与其它数学知识融汇在一起考
目 开
查，如算法与函数、算法和数列、算法和统计以及应用算
关
法解决实际问题.
2．复数的概念和运算主要考查复数的分类、共轭复数、复平
目 开 关
k＝3，T＝1×12×3＝31！，S＝1＋21！＋31！，
…
由于N＝10，即k>10时，结束循环，共执行10次．
所以输出S＝1＋21！＋31！＋…＋101！.
答案 (1)D
(2)B
热点分类突破
(1)高考中对于程序框图的考查主要有“输出结果 型”“完善框图型”“确定循环变量取值型”“实际应用 本 型”，具体问题中要能够根据题意准确求解．
(2)B
热点分类突破
复数的基本概念问题涉及复数的分类、共轭复数、
本 复数相等条件、复平面等基本知识，解决复数基本概念问题
讲 栏
关键是能够充分地掌握各个概念，其实质上就是对复数z＝a
目 开
＋bi(a，b∈R)中实部和虚部的限制条件的应用或运算．
关
热点分类突破
(1)复数
1＋i 1－ai
(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的
ac＋bd c2＋d2
＋
bc－da c2＋d2
i(c
＋di≠0)．
(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，r∈R).
热点分类突破
考点一 程序框图
例1 (1)(2013·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出
本 讲
结果是
栏
目
开
关
()
1
25
A.6
B.24
3
11
C.4
D.12
热点分类突破
(2)(2013·课标全国Ⅱ)执行右面的程序框图，
如果输入的N＝10，那么输出的S等于( )
A．1＋12＋13＋…＋110
本 讲
B．1＋21！＋31！＋…＋101！
栏 目 开
C．1＋12＋13＋…＋111
关 D．1＋21！＋31！＋…＋111！
热点分类突破
解析 (1)赋值S＝0，n＝2
开 关
复数z，由图中表示z的共轭复数的点是
()
A．A
B．B C．C
() D．D
热点分类突破
解析 (1)a－31－0 i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，
由a∈R，且a－31－0 i为纯虚数知a＝3.
本
讲 (2)表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，
栏
目 开
∴B点表示 z .选B.
关
答案 (1)D
其中的真命题共有2个：p2，p4.
目
开 关
答案 (1)1
(2)C
热点分类突破
考点三 复数的运算
关 S＝－1，n＝2 012，
此时2 012<2 012不成立，则输出S＝－1.
答案 (1)C
(2)－1
热点分类突破
考点二 复数的基本概念
例2
(1)(2013·安徽)设i是虚数单位，若复数a－
10 3－i
(a∈R)是
纯虚数，则a的值为
本 讲
A．－3
B．－1
C．1 D．3
栏 目
(2)(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示
讲
栏 (2)关于程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为主，求
目
开 解程序框图问题关键是能够应用算法思想列出每一次循环的
关
结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关 系．
热点分类突破
(1)执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，
那么判断框中可以是
()
本 讲 栏 目 开 关
A．k<4? C．k<6?
面和复数的四则运算为主，试题侧重对基本运算的考查，
试题难度较低易于得满分，主要分布在试卷的第1、2题位
置．
主干知识梳理
1．算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示．
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
本 讲 栏 目 开 关
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
目 开
a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.
关 要使输出的a＝341，判断框中可以是“k<6？”或
“k≤5？”．∴选C.
热点分类突破
(2)第一次运行：S＝0，n＝2； 第二次运行：S＝－1，n＝3；
第三次运行：S＝－1，n＝4；
本 第四次运行：S＝0，n＝5.
讲 栏
……
目 开
可推出其循环周期为4，从而可知，第2 011次运行时，
∴1－a＝0，a＝1.
(2)利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
本 讲 栏
∵z＝－12＋i＝－1－i，
目
开 关
∴|z|＝ －12＋－12＝ 2，
∴p1是假命题； ∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
热点分类突破
∵ z ＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
本
讲 栏
进入循环体：检验n＝2<8，
S＝0＋12＝12，
本 n＝2＋2＝4；
讲 栏
检验n<8，
目
开 关
S＝12＋14＝34，
n＝4＋2＝6；
检验n<8，
S＝34＋16＝1112，
热点分类突破
n＝6＋2＝8，
检验n＝8，脱离循环体，
输出S＝1112.
(2)k＝1，T＝11，S＝1，
本 讲 栏
k＝2，T＝1×1 2＝21！，S＝1＋21！，
值为________．
本 讲
(2)(2012·课标全国)下面是关于复数z＝－12＋i的四个命题：
栏 目
p1：|z|＝2;
p2：z2＝2i；
开 关
p3：z的共轭复数为1＋i;
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为
()
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
热点分类突破
解析 (1)11－＋aii＝1＋1i＋1a＋2 ai＝1－a1＋＋a12＋ai，
B．k<5? D．k<7?
热点分类突破
(2)执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值为_______．
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
解析 (1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；
a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；
a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4；
本
讲 栏
a4＝4a3
(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b
＝d.
本
(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数
讲 栏
时，这两个复数叫做互为共轭复数．
目 开
(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i、(a＋bi)(c＋di)＝
关
(ac－bd)＋(bc＋ad)i、(a＋bi)÷(c＋di)＝