苏科版九年级数学下册 7.5 解直角三角形同步练习

7.5解直角三角形
【方法点拨】解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°） （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．
（2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． （3）边角之间的关系
（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 1. 已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，b =3c =4，解Rt △ABC 。

2．已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是 A ．20n <<
B ．1
02
n << C ．30n << D ．30n << 3．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足是E ， A ．
2
1 B ．
37 C ．773 D ．4
3
4．如图，在RtΔABC 中，∠C ＝90O ，AC ＝6，AC 边上的中线BD ＝21， 解这个RtΔABC ．
A
B
C D
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-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------
C
A B
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠DAC=30°，BD＝2，AB＝23，求AC的长
6. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角（视线与水平线夹角）分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离。

7. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=
3
1
，BC=10,求AB的长。

8. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°∠C=120°，AB=8，求CD的长。

9. 已知△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,且BD:CD=4:3.求sinB的值.
D
C A
B
10．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC ，交BC 于点E ，若BD ＝8，sin ∠CBD =
4
3
，求AE 的长．
11．把两块相同的含30º角的三角尺ABC 和BDE 如图所示放置，若AD =6，
求三角尺ABC 各边的长。

12．如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，
（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值； （3）求证：︒=∠135AOB ．
13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方
形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，求tan ∠APD 的值．
B
D C
A
O
1
1
y
（第13题图）
A
D
C
B
P
14.已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝6cm，动点P从点B出发沿BC 方向以每秒2cm的速度向终点C运动，点Q从点C出发沿CA方向以每秒acm的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点停止运动时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求AC和BC的长；
（2）如图1，若点D为边AC上一点，且CD＝4cm，DE⊥BC于点E，在点P和Q 的运动过程中，是否存在a和t，使得△PCQ≌△DCE，若存在，求出a和t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，当a＝2时，那么当运动时间t为多少时，△PQC为等腰三角形；
（4）如图3，当a＝1时，如果点P到达C后立即以原来的速度返回点B，即点P从B 出发沿着B→C→B的路径运动，P，Q两点中有一点到达终点另一点也随之停止运动，那么当运动时间t为多少时，△PQC为直角三角形．（直接写出结果）
15.直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）．平移二次函数
y＝﹣tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C 两点（|OB|＜|OC|）．连接AB．
（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2＝|OB|•|OC|？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
参考答案
1.0
2,30,60a A B ===；2.A ；3.
4. 略；
5.
6.
7.AB=3+3；
8.
9. 10.
11.
12.（1）解：由，解得，所以y＝x+；
（2）解：C（﹣，0），D（0，）．
在Rt△OCD中，OD＝，OC＝，∴tan∠OCD＝；
（3）证明：取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE＝45度．
由勾股定理可得，OE＝，BE＝＝，OB＝，
∵OB2＝OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形．
∴∠BOE＝45度．∴∠AOB＝135度．
【点评】此题较复杂，解答此题的关键是延长AO，过B作BE⊥AE于E，构造出直角三角形，利用勾股定理即锐角三角函数的定义求解．
13.2；
14.解：（1）∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝6cm，
∴AC＝2AB＝12cm，BC＝＝＝6cm；
（2）存在，如图1，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，DC＝4，∴DE＝CD＝2cm，EC＝6cm，
由题意得：BP＝2t，CQ＝at，则PC＝6﹣2t，
当∠PQC＝90°时，有CQ＝CE，CP＝CD，则△PCQ≌△DCE，
∴at＝6，6﹣2t＝4，∴a＝6，t＝1；
（3）当a＝2时，CQ＝2t，△PQC为等腰三角形时，有三种情况：
①当PQ＝CQ时，△PQC为等腰三角形，如图2，过Q作QD⊥CP于D，∴CD＝PD，∵∠C＝30°，∴DQ＝CQ＝t，∴PD＝CD＝t，
∵BC＝BP+PD+CD＝6，∴2t+2t＝6，t＝；
②当PC＝CQ时，△PQC为等腰三角形，如图3，则6﹣2t＝2t，t＝；
③当CP＝PQ时，△PQC为等腰三角形，如图4，过P作PD⊥AC于D，
同理得：CD＝DQ＝CQ＝t，∵PC＝6﹣2t，∠C＝30°，
∴PD＝PC＝3﹣t，∴DC＝PD，即t＝（3﹣t），t＝；
点P运动的时间为：＝3秒，点Q运动的时间为：＝6秒，
综上，当运动时间t为秒或秒或秒时，△PQC为等腰三角形；
（4）当a＝1时，CQ＝t，
①当P由B向C运动时，如图5，∠CQP＝90°时，PC＝6﹣2t，
cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝；
②当P由B向C运动时，如图6，∠QPC＝90°时，PC＝6﹣2t，
cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝；
③当P由C向B运动时，∠CPQ＝90°时，如图7，
此时，CP＝2t﹣6，cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝4，
④当P由C向B运动时，∠CQP＝90°时，如图8，此时，CP＝2t﹣6，
cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝；
综上，当运动时间t为秒或秒或4秒或秒时，△PQC为直角三角形．
【点评】本题考查三角形综合题、30°角的直角三角形的性质、勾股定理、特殊的三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15.解：（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2＝|OB|•|OC|．
理由是：∵平移y＝﹣tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q，
∴抛物线F对应的解析式为：y＝﹣t（x﹣t）2+b，即y＝﹣tx2+2t2x﹣t3+b，
令y＝0，得OB＝t﹣，OC＝t+，
∴|OB|•|OC|＝|（t﹣）（t+）|＝|t2﹣|＝t2＝OA2，即，
所以当b＝2t3时，存在抛物线F使得|OA|2＝|OB|•|OC|，
即：存在这样的抛物线F，使得|OA|2＝|OB|•|OC|．
（2）∵AQ∥BC，∴t＝b，得：y＝﹣t（x﹣t）2+t，解得x1＝t﹣1，x2＝t+1．
在Rt△AOB中，①当t＞0时，由|OB|＜|OC|，得B（t﹣1，0），
当t﹣1＞0时，由tan∠ABO＝＝＝，解得t＝3，
此时，二次函数解析式为y＝﹣3x2+18x﹣24；
当t﹣1＜0时，由tan∠ABO＝＝＝，解得t＝，
此时，二次函数解析式为y＝﹣x2+x+；
②当t＜0时，由|OB|＜|OC|，将﹣t代替t，解得：t＝﹣，t＝﹣3，
同法求出y＝x2+x﹣或y＝3x2+18x+24；
故二次函数解析式为y＝x2+x﹣或y＝3x2+18x+24，
答：抛物线F对应的二次函数的解析式是y＝﹣x2+x+或y＝﹣3x2+18x﹣24或y＝x2+x﹣或y＝3x2+18x﹣24．
【点评】我们可以先假设存在这样的抛物线，如果能够求出对应的值，则存在，如果求不出，则不存在．。