2019-2020学年河北省衡水市枣强县枣强中学高二上学期期末数学试题

2019-2020学年河北省衡水市枣强县枣强中学高二上学期期

末数学试题

一、单选题

1．某工厂10名工人某天生产同一型号零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则这组数据的众数为（ ） A ．17 B ．16

C ．15

D ．14.7

【答案】A

【解析】根据同一型号零件的数据，结合众数的概念，即可求解，得到答案. 由题意，同一型号零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12， 结合众数的概念，可得数据的众数为17. 故选：A .

本题主要考查了众数的概念及其应用，其中解答中熟记众数的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．已知:1p x >，1

:

1q x

<则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必

要条件 【答案】A 【解析】由不等式

1

1x

<，解得1x >或0x <，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解，得到答案. 由题意，可得不等式

11x

<，可转化为1110x

x x --=

<，解得1x >或0x <， 所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .

本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人 B ．3人

C ．5人

D ．4人

【答案】D

【解析】根据题设求得中年人所占的比例，进而求得中年人抽取的人数，得到答案. 根据题设知，中年人所占的比例为561

2856843

=++，所以在抽取的一个容量为12的

样本中，中年人中应抽取1

1243

?=人. 故选：D .

本题主要考查了分层抽样的概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

4．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线垂直于直线1:2l y x =-，则该

双曲线的离心率为（ ）

A B ．2 C ．5

D 【答案】D

【解析】先由渐近线为b y x a =

与直线1:2l y x =-垂直，求得2b

a

=，再结合双曲线的离心率的概念，即可求解.

由题意，不妨设双曲线的一条渐近线为b

y x a

=， 因为渐近线为b y x a =

与直线1:2l y x =-垂直，则2b

a

=，

又由c e a ===故选：D .

本题主要考查了双曲线的标准方程，及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5．六名同学站一排照相，要求A ，B ，C ，三人按从左到右的顺序站，可以不相邻，也可以相邻，则不同的排法共有（ ） A ．720种 B ．360种 C ．120种 D ．90种

【答案】C

【解析】首先计算六名同学并排站成一排的总数，然后除以A,B,C 三人的排列数即可得答案．

根据题意，六名同学并排站成一排，有6

6A 种情况，

其中A ，B ，C 三人顺序固定，按从左到右的顺序站，

则不同的排法数为63

6633

654120A A A ==??=,

故选C ．

本题考查倍缩法的应用，对应某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数即可. 6．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直

C ．相交但不垂直

D ．无法判定

【答案】B

【解析】根据题意，求得向量AD u u u r 和BC uuu r

的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.

由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，

可得()3,1,6AD =--u u u r ，()2,0,1BC =u u u r

， 又由()()2310610AD BC ?=?+-?+-?=u u u r u u u r

，

所以AD BC ⊥u u u r u u u r

，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B .

本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．212n

x x ??- ?

?

?的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200 D ．-400

【答案】B

【解析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．

∴212n x x ??- ???

的通项公式为：()()6261231661212r

r r r r r r

r T C x C x x ---+??=-=- ???， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2

262612240C a --==， 当r=3时，含x 3

项的系数为()3

363612160C b --=-=，

则400a b -=, 故选B ．

本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 8．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ） A ．30 B ．60 C ．90 D ．120

【答案】D

【解析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.

由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为

21253260C C A ?=，

2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为222

53260C C A ?=

共60+60=120种， 故选D

本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.

9．一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球，其中有n 个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于8

27

，则n 的值共有（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】设每次取到红球的概率为p ，结合独立事件的概率的计算公式，求得1233

p <<，再由

12

n

p =，即可判定，得到答案. 由题意，设每次取到红球的概率为p ， 可得()2

2

2

48C 127p p ->

，即()2

19

p p ->，解得1233p <<，

因为

12

n

p =，所以()124,8n p =∈，所以5n =或6或7. 故选：C .

本题主要考查了独立事件的概率的计算公式及其应用，其中解答中正确理解题意，合理利用独立事件的概率的计算公式，求得相应的概率的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

10．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，半焦距为c .

若双曲线上存在点A 使得1290F AF ∠=?，且1224AF AF ==，则双曲线的方程为（ ）

A ．2

214

y x -=

B ．2214x y -=

C ．22123x y -=

D ．22

132

x y -=

【答案】A

【解析】根据双曲线的定义及122AF AF =，求得1a =，再由1290F AF ∠=?，利用勾股定理，求得25c =，进而由2224b c a =-=，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.

由题意，根据双曲线的定义及1224AF AF ==， 可得12222AF AF AF a -===，解得1a =， 因为1290F AF ∠=?，所以2

2212

1220F F AF AF =+=，即()2

220c =，即25c =，

又2

2

2

b a

c +=，则2

2

2

4b c a =-=，所以双曲线的方程为22

14

y x -=.

故选：A .

本题主要考查了双曲线的定义，标准方程及其应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义，以及合理利用直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，则

1B B 与平面1B EF 所成角的正弦值为（ ）

A．217

B

．

317

C．

17

D．

417

【答案】B

【解析】以1

,,

DA DC DD所在的直线为,,

x y z轴，建立如图所示坐标系，求得向量

1

BB

u u u r 和平面1B EF的一个法向量n

r

，结合空间向量的夹角公式，即可求得1B B与平面1B EF 所成的角正弦值，得到答案.

由题意，分别以1

,,

DA DC DD所在的直线为,,

x y z轴，建立如图所示坐标系，

则()

2,2,0

B，()

1,0,0

E，()

0,1,0

F，()

1

2,2,2

B，

可得()

1,1,0

EF=-

u u u r

，()

11,2,2

EB=

u u u r

，()

1

0,0,2

BB=

uuu r

，

设平面1B EF的法向量()

,,

n x y z

=

r

，则

1

220

n EF x y

n EB x y z

??=-+=

?

?

?=++=

??

u u u v

v

u u u v

v，解得3

2

x y

z y

=

?

?

?

=-

??

，不妨令2

y=，取()

2,2,3

n=-

r

.

设1B B与平面1B EF所成的角为θ，

则()

()

1

1

1

202032317

sin cos,

217

BB

n BB

BB

θ

??+?+-?

====

?

u u u r

u u u r

u u u r

n

n

.

故选：B.

本题主要考查了直线与平面所成角的求解，以及空间向量的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12．已知点O 为坐标原点，点F 是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左焦点，点

()2,0A -，()2,0B 分别为C 的左，右顶点，点P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴，过

点A 的直线l 交线段PF 于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 上靠近O 点的三等分点，则PF =（ ） A ．4 B ．2

C ．

3

2

D ．3

【答案】C

【解析】画出图形，设OE 上靠近O 点的三等分点为N ，推得MF AF a c

OE AO a -==和+3MF a c OE

a =

，进而得到3a c a c

a a

-+=，再结合椭圆的几何性质，即可求解，得到答案.

如图所示，设OE 上靠近O 点的三等分点为N ，椭圆的半焦距为c ，

在AOE △中，由//MF OE ，则MF AF a c

OE AO a -==…. ①， 在MFB ?中，由//ON MF ，则1

3OE

ON BO a MF BF a c MF

===+，

所以3OE a

a c MF =+，即+3MF a c OE a

=….②， 由①、②得

3a c a c

a a

-+=，解得2a c =，又2a =，所以1c =， 由222a b c =+，得2223b a c =-=， 将1x =-代入椭圆方程，得2

94y =，所以3

2

PF =. 故选：C .

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考

查了转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档试题.

二、填空题

13．从区间(2,3)-内任选一个数m ，则方程221mx y +=表示的是双曲线的概率为__________． 【答案】

25

【解析】由方程2

2

1mx y +=表示双曲线得到关于m 的不等式，求出m 的范围，利用几何概型公式解答．

：因为方程2

2

1mx y +=表示双曲线，则0m <，所以所求概率为

()()

022325

--=

--； 本题考查了双曲线的方程以及几何概型的概率公式，属于基础题．

14．已知32015

220180122018(1)(1)

x x a a x a x a x +-=+++?+，则122018a a a ++?+=____．

【答案】1

【解析】令展开式中的x=0,可得01=a -，令x=1,可得0122018a a a a +++?+的值，从而可得答案.

已知32015

220180122018(1)(1)

x x a a x a x a x +-=+++?+, 令x=0,可得01=a -，令x=1,可得0122018=0a a a a +++?+， 则122018=1a a a ++?+， 故答案为1

本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x 赋值为1或0或者是-1进行求解．

15．已知P 是椭圆2

214

x y +=上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，

则△F 1PF 2的面积是______．

【解析】利用余弦定理求出124

3

PF PF ?=

，再求△F 1PF 2的面积.

∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，2FF =F 1PF 2＝60°， 由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°

12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴

124 3

PF PF

?=，

∴

12

12

13

sin60

2

PF F

S PF PF?

?

=?=.

本题主要考查椭圆的定义和余弦定理，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

16．如图，已知过抛物线()

2

:20

C y px p

=>的焦点F的直线l与C交于A，B两点，且

1

2

AF FB

=，则直线l的斜率为________.

【答案】22

【解析】过A，B点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，E点，结合图象可得ADF BEF

??

∽，得到

12

12

31

42

1

2

p

x x

y y

?

=-

??

?

?=-

??

，再由A，B点在抛物线上，代入求得22

,

x y，结合直线的斜率公式，即可求解.

由题意，设()

11

,

A x y，()()

2212

,0,0

B x y y y

<>，

过A，B点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，E点.

结合图象可得ADF BEF

??

∽，则

1

2

AD DF AF

BE EF FB

===，

则

12

12

1

222

1

2

p p

x x

y y

???

-=-

?

??

??

?

?=-

??

，即

12

12

31

42

1

2

p

x x

y y

?

=-

??

?

?=-

??

，

因为A，B点在抛物线上，则

2

22

2

22

131

2

242

2

p

y p x

y px

?????

-=-

? ? ?

?????

?=

?

，解得2

2

2

x p

y

=

??

?

=

??

，

所以直线l 的斜率为2202

22

22

y p

p p

x p -==--

. 故答案为：22.

本题主要考查了直线的斜率公式，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，其中解答中结合图象，得出ADF BEF ??∽，求得点A 的坐标，结合直线与抛物线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题

17．微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人（男、女各25人），并记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表： 步数

性别 0~3000

3001~6000

6001~9000

9001~12000 >12000

男 1 1 3 15 5 女 0

4

11

8

2

若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”。

（1）利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率；

（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型

懈怠型

总计

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

【答案】（1）

7

50

P=（2）见解析

【解析】(1)根据表中数据，计算所求的概率值；

（2）根据题意填写列表联，计算观察值，对照临界表得出结论.

解：（1）根据表中数据可知，50位好友中走路步数超过12000步的有7人

由此可估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率

7

50 P=

（2）根据题意完成的22

?列联表如下：

2

K的观测值

2

50(2015105)25

7.879

302025253

k

?-?

==>

???

所以有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关

本题主要考查独立性检测的应用，相对简单，注意运算的准确性.

18．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 为抛物线C 上一点，

8MF =，且23

OFM π

∠=

（O 为坐标原点）. （1）求抛物线C 的方程；

（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求AOB ?面积的最小值. 【答案】（1）2

8y x =（2）最小值为8

【解析】（1）由抛物线的几何性质知cos60MF p MF =+?，解得p 即可. （2）由题意知直线斜率不为0，可设直线l 方程为2x ty =+，与抛物线联立，利用点到直线的距离公式及弦长公式得出面积关于t 的函数，从而得出面积的最小值． （1）由抛物线的性质，知焦点F 到准线的距离为8， 由cos60MF p MF =+?，得84p =+，即4p =. 抛物线C 的方程为2

8y x =.

（2）焦点()2,0F ，由题意知直线斜率不为0，所以设直线l 方程为2x ty =+. 与C 的方程联立2

28x ty y x

=+??

=?，得2

8160y ty --=. 由韦达定理可得128y y t +=，1216y y =-. 又坐标原点到直线的距离

d =

因为12AB y y =-，

所以121

2

AOB S d AB y y ?=

=- 8==≥.

当t=0时，取到最小值8， 故AOB ?面积的最小值为8.

本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了点到直线的距离公式及弦长公式的应用，属于中档题．

19．某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为

1

2

．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．

（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 【答案】（1）

12

；（2）（ⅰ）1395

32；（ⅱ）不应该.

【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过2台的概率即可； （2）（i ）求出X 的可能取值及其对应的概率，得出X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求出有5名维修工人时的工厂利润，得出结论．

解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．

∴该工厂正常运行的概率为：5142

2355111111()C ()C ()()222222+?+?=??．

（2）（i ）X 的可能取值有31，44，

511(31)()232P X ===，131

(44)13232P X ==-

=． ∴X 的分布列为：

∴ 13113953144323232

EX =?

+?=． （ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行， 工厂所获利润为510 1.5542.5?-?=万元， 因为

1395

42.532

>， ∴该厂不应该再招聘1名维修工人．

本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．

20．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40

记作区间[)20,40，9:40~10:00记作[)40,60，10:00~10:20记作[)60,80，10:20~10:40记作[)80,100.例如：10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布(

)2

,N μσ

，

其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

参考数据：若(

)2

,T N μσ

~，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，

()220.9545P T μσμσ-<≤+=，()330.9973P T μσμσ-<≤+=.

【答案】（1）10点04分（2）分布列见解析，()8

5

E X =

（3）819辆 【解析】（1）利用频率分布直方图和平均数的计算公式，即可求得这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值；

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法求得随机变量X 的可能取值0,1,2,3,4，求出相应的概率，得到X 的分布列，利用期望的公式，求得其数学期望；

（3）由（1）可得64,18μσ==，得到()

2,T N μσ~，得到概率，即可求解在9:46~10:40

这一时间段内通过的车辆数.

（1）由题意，这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

()300.005500.015700.020900.0102064?+?+?+??=，即10点04分.

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[)2060,这一区间内的车辆数，即

()0.0050.01520104-??=，所以X 的可能取值为0，1，2，3，1.

所以()46410C 10C 14P X ===，()3161

410C C 81C 21P X ===，()22644

10C C 32C 7P X ===， ()1364410C C 43C 35P X ===，()04

64

410C C 14C 210

P X ===，

所以X 的分布列为

所以()1834180123414217352105

E X =?

+?+?+?+?=. （3）由（1）可得64μ=，

()()()()2222

230640.150640.370640.490640.2324σ=-?+-?+-?+-?=，

所以18σ=.

估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是46100T <≤通过的车辆数，

由(

)2

,T N μσ

~，

()()()

226418642180.8186

22

P T P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤+?=

+=，

所以，估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为10000.8186819?≈辆. 本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，以及正态分布及频率分布直方图的应用，其中解答中认真审题，正确求解相应的概率，得到其分布列，利用公式准确运算时解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21．如图，四边形ABCD 为正方形，//BE DF ，且2

AB BE DF ===

，AB ⊥平面BCE .

（1）证明：平面AEC ⊥平面BDFE ； （2）求二面角A FC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）

1

3

【解析】（1）先推导出BE BC ⊥，AB BE ⊥，证得BE ⊥平面ABCD ，进而得到

BE AC ⊥，由此能力证明AC ⊥平面BDFE ，从而得到平面AEC ⊥平面BDFE ；

（2）以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面

,AFC EFC 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

（1）由题意，因为四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.

2

2

AB BC BE EC ===

Q ，222BE BC EC ∴+=，BE BC ∴⊥. 又AB ⊥Q 平面BCE ，AB BE ∴⊥.

AB BC C =Q I ，BE ∴⊥平面ABCD ，BE AC ∴⊥.

又BE BD B ?=，AC ∴⊥平面BDFE ，

AC ?Q 平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDFE .

（2）BE ⊥Q 平面ABCD ，//BE DF ，所以DF ⊥平面ABCD ， 以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，令1AB =， 则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()1,1,1E ，()0,0,1F ，

所以()0,1,1FC =-u u u r ，()1,1,0AC =-u u u r ，()1,0,1EC =--u u u r

，

设平面AFC 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1111110

0FC n y z AC n x y ??=-=???=--=??

u u u v u v

u u u v u v ， 令11x =，则111y z ==，所以()11,1,1n =u r

，

设平面EFC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，则2222220

FC n x y EC n x z ??=-=???=--=??u u u v u u v

u u u v u u v ， 令21x =，则21y =，21z =-，所以()21,1,1n =-u u r

，

12 12

12

1

cos,

3

33

n n

n n

n n

?

∴===

?

u r u u r

u r u u r

u r u u r.

因为二面角A FC E

--为锐角，所以二面角A FC E

--的余弦值为

1

3

.

本题考查了直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．已知椭圆：

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为15

原点到直线1

x y

a b

+=30.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知定点(0,2)

P，是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以||

AB为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）

22

1

53

x y

+=；（2）存在，且方程为

25

2

y=+或

85

2

y x

=+.

【解析】（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22

352050

k x kx

+++=，要使以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点()5,0

D，则0

DA DB

?=

u u u v u u u v

，结合韦达定理可得到参数值.

（1）直线1

x y

a b

+=的一般方程为0

bx ay ab

+-=.

依题意

22

222

2215

30

4

ab

a b

a b c

?=

?

=

+

=+

?

，解得

5

3

a

b

?=

?

?

=

??

C的方程式为

22

1

53

x y

+=.

（2）假若存在这样的直线l ，

当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.

由22

23515

y kx x y =+??+=?，得()22

352050k x kx +++=.

由(

)

2

2

40020350k k

?=-+>，得,k ??∈-∞?+∞ ? ?????

. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-

+，12

2

5

35x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2

121224k x x k x x =+++.

要使以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点()

D ，则0DA DB ?=u u u v u u u v

，

即(1212

y y x x

+ ()(()2

1212129k x x k x x =++++ 0=，

所以(

)(2

2

2

5201

293535k

k k k

k

+-++++ 0=，

整理解得5k =

或5

k =， 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C

的左顶点，直线l 的方程为25

y x =

+或25y x =+. 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．