第6讲 无理数与实数(培优课程讲义例题练习含答案)
无理数与实数（提高）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，
如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.
1.实数的分类 按定义分：
实数????????????????
?????????
正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 按与0的大小关系分：
实数0????
???
????????
正有理数
正数正无理数负有理数负数负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】 类型一、实数概念
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2147π，5
2
-2203，5-，38490，0.3737737773……
（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
【答案与解析】 解：有理数有：
14， 5
2
-，38，490，
327，π，220
3
，5 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……327，220
3
，5-. 举一反三：
【变式】（春?聊城校级月考）已知下列结论：
①任何一个无理数都能用数轴上的点表示； ②每个实数都对应数轴上一个点； ③在数轴上的点只能表示无理数； ④有理数有无限个，无理数有有限个；
⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数；
⑥﹣3是（﹣3）2
的算术平方根． 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ． ①②⑥ C ． ③④⑥ D ． ②④⑤ 【答案】A ．
解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确；
②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确； ③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数这种说法不正确，∴③不正确；
④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确；
… 有理数集合
…
无理数集合
⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带根号，但是它是无理数，∴⑤不正确； ⑥∵3是（﹣3）2
的算术平方根，∴⑥不正确． 综上，可得①②． 故选：A ．
类型二、实数大小的比较
2、比较20101-与19491+的大小．
【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小． 【答案与解析】 解：因为201012025145144-<
-=-=，194911849143144+>+=+=．
所以20101-＜19491+
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等. 举一反三：
【变式】解：已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：
||
||||||x z x y y z x z x z
---++++
-．
【答案】由图知0x y <<，0z >，0x z -<．
∴ 0x y -<，0y z +>，0x z +>，0x z -<．
∴ ||
||||||x z x y y z x z x z
---++++- ()
()()()1x z x y y z x z x z
--=---++++=--．
类型三、实数的运算
3、（?安徽模拟）在如图所示的数轴上，点C 与点B 关于点A 对称，C 、A 两点对应的实数分别是和1，则点B 对应的实数为 ．
【思路点拨】根据中点的性质得到AC=AB ，可得答案． 【答案与解析】 解：AC=﹣1，
AB=1﹣（﹣1）=2﹣， 点B 对应的数是2﹣．
【总结升华】本题考查了实数与数轴，利用AB=AC 得出AB=1﹣（
﹣1）是解题关键．
举一反三：
【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解． （1）求a 的值；
（2）求2
a 的算术平方根． 【答案】
解：（1）∵ a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ，
则根据题意得：1212322,0,a a a a +=??
+=?解得122,
2.
a a =??=-?
∴ a 为2
(2)4±=． （2）∵ 22
416a ==．
∴ 2
a 的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
4、已知2
(21)30a b b -++-=34c =333a b c ++
【答案与解析】
解：∵ 2(21)30a b b -++-=，且2
(21)0a b -+≥30b -≥．
∴ 2
(21)0,30a b b -+=-=且，即210a b -+=，30b -=．
解得 b ＝3，a ＝534c =得c ＝64． ∴333333353642166a b c ++++==．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210a b -+=，30b -=可求a 、b 34c =，所以c ＝64333a b c ++ 举一反三：
23|9|0
x y x -+-=，求x
y 的值． 【答案】
解：知条件得2
309030x y x x -=??-=??+≠?
①
②③，
由②得2
9x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =．
把3x =代入①得330y -=，y ＝1．
∴
3
31
x y ==．
【巩固练习】 一.选择题
1．代数式2
1a +，x ，|y |，2(1)a -，3z 中，一定是正数的有（ ）．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 2. （?定州市一模）如图，在数轴上表示数
×（﹣5）的点可能是（ ）
A ．点E
B ．点F
C ．点P
D ．点Q 3. 要使33(3)3k k -=-，k 的取值范围是（ ）．
A ．k ≤3
B ．k ≥3
C ．0≤k ≤3
D ．一切实数 4. （春?渑池县期中）有下列四个论断：①﹣是有理数；②
是分数；③2.131131113…
是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个
5. 若0a ≠，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ） A.a b 与 B.2a 与2b C.3a 与3b D.3a 与()33
b -
6. 实数x 、y 、z 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A ．x y z ++＞0
B ．x y z ++＜0
C ．xy yz <
D ．xy xz <
二.填空题