历年(2016)高考真题分类汇编(共14套)含答案精品打包下载
历年(2016)高考
真题分类汇编(共14套)含答案精品打包下载.doc
数学
A单元集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1.A1,E2[2016·北京卷] 已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=() A.{0,1} B.{0,1,2}
C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}
1.C[解析] 集合A={x||x|<2}={x|-2 20.D5,A1[2016·北京卷] 设数列A:a1,a2,…,a N(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有a k (1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素; (2)证明:若数列A中存在a n使得a n>a1,则G(A)≠?; (3)证明:若数列A满足a n-a n-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于a N -a1. 20.解:(1)G(A)的元素为2和5. (2)证明:因为存在a n 使得a n >a 1,所以{i ∈N *|2≤i ≤N ,a i >a 1}≠?. 记m =min{i ∈N *|2≤i ≤N ,a i >a 1}, 则m ≥2,且对任意正整数k (3)证明:当a N ≤a 1时,结论成立. 以下设a N >a 1. 由(2)知G (A )≠?. 设G (A )={n 1,n 2,…,n p },n 1 对i =0,1,…,p ,记G i ={k ∈N *|n i 如果G i ≠?,取m i =min G i ,则对任何1≤k 又因为n p 是G (A )中的最大元素,所以G p =?. 从而对任意n p ≤k ≤N ,a k ≤an p ,特别地,a N ≤an p . 对i =0,1,…,p -1,an i +1-1≤an i . 因此an i +1=an i +1-1+(an i +1-an i +1-1)≤an i +1. 所以a N -a 1≤an p -a 1=i =1 p (an i -an i -1)≤p. 因此G(A)的元素个数p 不小于a N -a 1. 1.A1[2016·江苏卷] 已知集合A ={-1,2,3,6},B ={x |-2 (1)求数列{a n }的通项公式; (2)对任意正整数k (1≤k ≤100),若T ?{1,2,…,k },求证:S T 20.解:(1)由已知得a n =a 1·3n - 1,n ∈N *. 于是当T ={2,4}时,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1. 又S T =30,所以30a 1=30,即a 1=1, 故数列{a n }的通项公式为a n =3n - 1,n ∈N *. (2)证明:因为T ?{1,2,…,k },a n =3n - 1>0,n ∈N *, 所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k - 1=12 (3k -1)<3k . 因此,S T (3)证明:下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D . ②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集. 令E =C ∩(?U D ),F =D ∩(?U C ),则E ≠?,F ≠?,E ∩F =?. 于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D ,得S E ≥S F . 设k 是E 中最大的数,l 为F 中最大的数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l . 由(2)知,S E 1=a l ≤S F ≤S E 从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l -1=3l -12≤3k -1 -12=a k -12≤S E -12 , 故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1, 即S C +S C ∩D ≥2S D +1. 综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D . 1.A1,E3[2016·全国卷Ⅰ] 设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( ) A .(-3,-3 2 ) B .(-3,3 2) C .1,3 2 D.32 ,3 1.D [解析] 集合A =(1,3),B =(32,+∞),所以A ∩B =(3 2 ,3). 1.A1[2016·全国卷Ⅲ] 设集合S ={x |(x -2)(x -3)≥0},T ={x |x >0},则S ∩T =( ) A .[2,3] B .(-∞,2]∪[3,+∞) C .[3,+∞) D .(0,2]∪[3,+∞) 1.D [解析] ∵S ={x |x ≥3或x ≤2},∴S ∩T ={x |0 A .3 B .4 C .5 D .6 1.C [解析] 由题可知,A ∩Z ={-2,-1,0,1,2},则A ∩Z 中元素的个数为5. 2.A1[2016·全国卷Ⅱ] 已知集合A ={1,2,3},B ={x |(x +1)(x -2)<0,x ∈Z },则A ∪B =( ) A .{1} B .{1,2} C .{0,1,2,3} D .{-1,0,1,2,3} 2.C [解析] ∵B ={x |(x +1)(x -2)<0,x ∈Z }={x |-1 2.A1[2016·山东卷] 设集合A ={y |y =2x ,x ∈R },B ={x |x 2-1<0},则A ∪B =( ) A .(-1,1) B .(0,1) C .(-1,+∞) D .(0,+∞) 2.C [解析] ∵A ={y |y >0},B ={x |-1 A .{1} B .{4} C .{1,3} D .{1,4} 1.D [解析] A ={1,2,3,4},B ={1,4,7,10},∴A ∩B ={1,4}. 1.A1[2016·浙江卷] 已知集合P ={x ∈R |1≤x ≤3},Q ={x ∈R |x 2≥4},则P ∪(?R Q )=( ) A .[2,3] B .(-2,3] C .[1,2) D .(-∞,-2]∪[1,+∞) 1.B [解析] 易知?R Q ={x |-2 4.A2,F1[2016·北京卷] 设a ,b 是向量,则“|a|=|b|”是“|a +b|=|a -b|”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.D [解析] 若|a |=|b |成立,则以a ,b 为边组成的平行四边形为菱形,a +b ,a -b 表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a +b |=|a -b |不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a +b |=|a -b |成立,则以a ,b 为边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a |=|b |不一定成立,从而不是必要条件.故选D. 7.A2,E5[2016·四川卷] 设p :实数x ,y 满足(x -1)2+(y -1)2≤2,q :实数x ,y 满足???? ?y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1, 则p 是q 的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 7.A [解析] 如图,(x -1)2+(y -1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为2的圆及其内部; ???? ?y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1 ②表示△ABC 及其内部. 实数x ,y 满足②,则必然满足①,反之不成立. 故p 是q 的必要不充分条件. 6.G3,A2[2016·山东卷] 已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 6.A [解析] 当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点. 5.D3、A2[2016·天津卷] 设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件 5.C [解析] 设数列的首项为a 1,则a 2n -1+a 2n =a 1q 2n - 2(1+q )<0,即q <-1,故选C. 15.A2[2016·上海卷] 设a ∈R ,则“a >1”是“a 2>1”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 15.A [解析] 由a >1,得a 2>1;由a 2>1,得a >1或a <-1.所以“a >1”是“a 2>1”的充分非必要条件. A3 基本逻辑联结词及量词 4.A3[2016·浙江卷] 命题“?x ∈R ,?n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A .?x ∈R ,?n ∈N *,使得n A4 单元综合 3.[2016·衡阳一模] 设集合A ={}x |-1≤x <2,B ={}x |x A .a <2 B .a >-2 C .a >-1 D .-1 3.C [解析] 结合数轴可知,只要a >-1,就可使A ∩B ≠?. 10.[2016·贵州普通高中模拟] 已知双曲线x 2a 2-y 2 4 =1(a >0)的离心率为e ,则“e >2”是 “0 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 10.B [解析] 由e =a 2+4 a >2,得02,反之不 成立.故“e >2”是“0 8.[2016·东莞模拟] 设p ,q 是两个命题,若綈(p ∨q )是真命题,则( ) A .p 是真命题且q 是假命题 B .p 是真命题且q 是真命题 C .p 是假命题且q 是真命题 D .p 是假命题且q 是假命题 8.D [解析] 綈(p ∨q )是真命题?p ∨q 是假命题?p ,q 均为假命题. 数 学 B 单元 函数与导数 B1 函数及其表示 5.B1[2016·江苏卷] 函数y =3-2x -x 2的定义域是________. 5.[-3,1] [解析] 令3-2x -x 2≥0可得x 2+2x -3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1]. 11.B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )=?????x +a ,-1≤x <0,25-x ,0≤x <1, 其中a ∈R .若f (-52)=f (92 ),则f (5a )的值是________. 11.-25 [解析] 因为f (x )的周期为2,所以f (-52)=f (-12)=-12+a ,f (92)=f(12)=110, 即-12+a =110,所以a =35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25. B2 反函数 5.B2[2016·上海卷] 已知点(3,9)在函数f (x )=1+a x 的图像上,则f (x )的反函数f - 1(x )=________. 5.log 2(x -1),x ∈(1,+∞) [解析] 将点(3,9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a =2, 所以f (x )=1+2x ,所以f - 1(x )=log 2(x -1),x ∈(1,+∞). B3 函数的单调性与最值 14.B3,B12[2016·北京卷] 设函数f (x )=? ????x 3-3x ,x ≤a , -2x ,x >a . ①若a =0,则f (x )的最大值为________; ②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是________. 14.①2 ②(-∞,-1) [解析] 由(x 3-3x )′=3x 2-3=0,得x =±1,作出函数y =x 3 -3x 和y =-2x 的图像,如图所示.①当a =0时,由图像可得f (x )的最大值为f (-1)=2.②由图像可知当a ≥-1时,函数f (x )有最大值;当a <-1时,y =-2x 在x >a 时无最大值,且-2a >a 3-3a ,所以a <-1. 13.B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a - 1|)>f (-2),则a 的取值范围是________. 13.(12,3 2) [解析] 由f (x )是偶函数,且f (x )在区间(-∞,0)上单调递增,得f (x )在区 间(0,+∞)上单调递减. 又f (2|a -1|)>f (-2),f (-2)=f (2),∴2|a - 1|<2,即|a -1|<12,∴12 . 18.B3,B4[2016·上海卷] 设f (x ),g (x ),h (x )是定义域为R 的三个函数,对于命题:① 若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是增函数,则f (x ),g (x ),h (x )中至少有一个增函数;②若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是以T 为周期的函数,则f (x ),g (x ),h (x )均是以T 为周期的函数.下列判断正确的是( ) A .①和②均为真命题 B .①和②均为假命题 C .①为真命题,②为假命题 D .①为假命题,②为真命题 18.D [解析] f (x )=[f (x )+g (x )]+[f (x )+h (x )]-[g (x )+h (x )] 2.对于①, 因为增函数减增函数不一定为增函数,所以f (x )不一定为增函数,同理g (x ),h (x )不一定为增函数,因此①为假命题.对于②,易得f (x )是以T 为周期的函数,同理可得g (x ),h (x )也是以T 为周期的函数,所以②为真命题. B4 函数的奇偶性与周期性 11.B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )=?????x +a ,-1≤x <0,25-x ,0≤x <1, 其中a ∈R .若f (-52)=f (92 ),则f (5a )的值是________. 11.-25 [解析] 因为f (x )的周期为2,所以f (-52)=f (-12)=-12+a ,f (92)=f(12)=110, 即-12+a =110,所以a =35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25. 15.B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________. 15.y =-2x -1 [解析] 设x >0,则-x <0.∵x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,∴f (-x )=ln x -3x ,又∵f (-x )=f (x ),∴当x >0时,f (x )=ln x -3x ,∴f ′(x )=1 x -3,即f ′(1)=-2,∴曲线 y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程为y +3=-2(x -1),整理得y =-2x -1. 14.B4[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x ,则f -5 2 +f (1)=________. 14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x +2). 因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ), 所以f (1)=f (-1),f (1)=-f (-1),即f (1)=0. 又f ????-52=f ????-12=-f ????12,f 12=41 2=2, 所以f ????-52=-2,从而f ??? ?-5 2+f (1)=-2. 9.B4[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x >12时,fx +12=fx -1 2 .则f (6)=( ) A .-2 B .-1 C .0 D .2 9.D [解析] ∵当x >12时,f (x +12)=f (x -1 2),∴f (x )的周期为1,则f (6)=f (1). 又∵当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ),∴f (1)=-f (-1). 又∵当x <0时,f (x )=x 3-1,∴f (-1)=(-1)3-1=-2,∴f (6)=-f (-1)=2. 13.B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a - 1|)>f (-2),则a 的取值范围是________. 13.(12,3 2) [解析] 由f (x )是偶函数,且f (x )在区间(-∞,0)上单调递增,得f (x )在区 间(0,+∞)上单调递减. 又f (2|a -1|)>f (-2),f (-2)=f (2),∴2|a - 1|<2,即|a -1|<12,∴12 . 18.B3,B4[2016·上海卷] 设f (x ),g (x ),h (x )是定义域为R 的三个函数,对于命题:① 若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是增函数,则f (x ),g (x ),h (x )中至少有一个增函数;②若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是以T 为周期的函数,则f (x ),g (x ),h (x )均是以T 为周期的函数.下列判断正确的是( ) A .①和②均为真命题 B .①和②均为假命题 C .①为真命题,②为假命题 D .①为假命题,②为真命题 18.D [解析] f (x )=[f (x )+g (x )]+[f (x )+h (x )]-[g (x )+h (x )] 2.对于①, 因为增函数减增函数不一定为增函数,所以f (x )不一定为增函数,同理g (x ),h (x )不一定为增函数,因此①为假命题.对于②,易得f (x )是以T 为周期的函数,同理可得g (x ),h (x )也是以T 为周期的函数,所以②为真命题. B5 二次函数 B6 指数与指数函数 5.E1,C3,B6,B7[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( ) A.1x -1 y >0 B .sin x -sin y >0 C.12x -1 2y <0 D .ln x +ln y >0 5.C [解析] 选项A 中,因为x >y >0,所以1x <1y ,即1x -1 y <0,故结论不成立;选项B 中,当x =5π6,y =π3时,sin x -sin y <0,故结论不成立;选项C 中,函数y =1 2x 是定义在 R 上的减函数,因为x >y >0,所以12x <12y ,所以12x -12y <0;选项D 中,当x =e -1,y =e - 2时, 结论不成立. 19.B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )=a x +b x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1). (1)设a =2,b =1 2 . ①求方程f (x )=2的根; ②若对于任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若01,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值. 19.解:(1)因为a =2,b =12,所以f (x )=2x +2- x . ①方程f (x )=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x =0. ②由条件知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2- x )2-2=[f (x )]2-2. 因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0, 所以m ≤[f (x )]2+4 f (x ) 对于x ∈R 恒成立. 而[f (x )]2+4f (x )=f (x )+4f (x )≥2f (x )·4f (x )=4,且[f (0)]2+4f (0)=4, 所以m ≤4,故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )=f (x )-2只有1个零点,而g (0)=f (0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g (x )的唯一零点. 因为g ′(x )=a x ln a +b x ln b ,又由01知ln a <0,ln b >0, 所以g ′(x )=0有唯一解x 0=log b a -ln a ln b . 令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=(a x ln a +b x ln b )′=a x (ln a )2+b x (ln b )2, 从而对任意x ∈R ,h ′(x )>0,所以g ′(x )=h (x )是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g ′(x ) 若x 0<0,则x 0 2 又g (log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g (x )在以x 0 2 和log a 2为端点的闭区 间上的图像不间断,所以在区间x 0 2 ,log a 2上存在g (x )的零点,记为x 1.因为0 又x 0 2 <0,所以x 1<0,与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾. 若x 0>0,同理可得,在x 0 2 和log b 2之间存在g (x )的非0的零点,矛盾. 因此,x 0=0. 于是-ln a ln b =1,故ln a +ln b =0,所以ab =1. 6.B6[2016·全国卷Ⅲ] 已知a =243,b =425,c =251 3 ,则( ) A .b B .a C .b D .c 6.A [解析] b =425=245<243=a ,c =523>423=24 3 =a ,故b 12.B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b +log b a =5 2 ,a b =b a ,则a =________,b =________. 12.4 2 [解析] 设t =log a b ,则log b a =1t .∵a >b >1,∴0 2 ,化简得t 2- 52t +1=0,解得t =12,故b =a ,所以a b =a a ,b a =(a )a =a 12a ,则a =12a ,即a 2-4a =0,得a =4,b =2. B7 对数与对数函数 5.E1,C3,B6,B7[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( ) A.1x -1 y >0 B .sin x -sin y >0 C.12x -1 2y <0 D .ln x +ln y >0 5.C [解析] 选项A 中,因为x >y >0,所以1x <1y ,即1x -1 y <0,故结论不成立;选项B 中,当x =5π6,y =π3时,sin x -sin y <0,故结论不成立;选项C 中,函数y =1 2x 是定义在 R 上的减函数,因为x >y >0,所以12x <12y ,所以12x -12y <0;选项D 中,当x =e -1,y =e - 2时, 结论不成立. 8.B7,B8,E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1,0 C .a log b c D .log a c 8.C [解析] 根据幂函数性质,选项A 中的不等式不成立;选项B 中的不等式可化为b c -1 1,此时-1 以化为lg c lg a 式不成立. 21.B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )=αcos 2x +(α-1)(cos x +1),其中α>0,记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x ); (2)求A ; (3)证明:|f ′(x )|≤2A . 21.解:(1)f ′(x )=-2αsin 2x -(α-1)sin x . (2)当α≥1时,|f (x )|=|αcos 2x +(α-1)(cos x +1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f (0), 因此A =3α-2. 当0<α<1时,将f (x )变形为f (x )=2αcos 2x +(α-1)cos x -1. 令g (t )=2αt 2+(α-1)t -1,则A 是|g (t )|在[-1,1]上的最大值,g (-1)=α,g (1)=3α-2, 且当t =1-α4α时,g (t )取得极小值,极小值为g (1-α4α)=-(α-1)2 8α-1=-α2+6α+1 8α. 令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去)或α>1 5. (i)当0<α≤1 5 时,g (t )在(-1,1)内无极值点,|g (-1)|=α,|g (1)|=2-3α,|g (-1)|<|g (1)|, 所以A =2-3α. (ii)当1 5<α<1时,由g (-1)-g (1)=2(1-α)>0,知g (-1)>g (1)> g (1-α4α). 又|g (1-α4α)|-|g (-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A =|g (1-α4α)|=α2+6α+18α . 综上,A =??? 2-3α,0<α≤1 5 , α2 +6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1. (3)证明:由(1)得|f ′(x )|=|-2αsin 2x -(α-1)sin x |≤2α+|α-1|. 当0<α≤1 5 时,|f ′(x )|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A . 当15<α<1时,A =α8+18α+3 4 ≥1,所以|f ′(x )|≤1+α<2A . 当α≥1时,|f ′(x )|≤3α-1≤6α-4=2A ,所以|f ′(x )|≤2A . 9.B7,E6[2016·四川卷] 设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=? ????-ln x ,0 ln x ,x >1图像上点P 1, P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△P AB 的面积 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(0,2) C .(0,+∞) D .(1,+∞) 9.A [解析] 不妨设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0 由l 1,l 2分别是点P 1,P 2处的切线,且f ′(x )=? ??-1 x ,0 x ,x >1, 得l 1的斜率k 1=-1x 1,l 2的斜率k 2=1 x 2 . 又l 1与l 2垂直,且0 x 2=-1?x 1·x 2=1, l 1:y =-1 x 1(x -x 1)-ln x 1①, l 2:y =1 x 2 (x -x 2)+ln x 2②, 则点A 的坐标为(0,1-ln x 1),点B 的坐标为(0,-1+ln x 2), 由此可得|AB |=2-ln x 1-ln x 2=2-ln(x 1·x 2)=2. 联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P =2-ln (x 1x 2)x 1+x 2=2 x 1+x 2 , 所以S △P AB =12|AB |·|x P |=12×2×2x 1+x 2 =2x 1+ 1x 1 ≤1,当且仅当x 1=1 x 1,即x 1=1时,等号 成立. 而0 12.B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b +log b a =5 2 ,a b =b a ,则a =________,b =________. 12.4 2 [解析] 设t =log a b ,则log b a =1t .∵a >b >1,∴0 2 ,化简得t 2- 52t +1=0,解得t =12,故b =a ,所以a b =a a ,b a =(a )a =a 12a ,则a =12 a ,即a 2-4a =0, 得a =4,b =2. B8 幂函数与函数的图像 7.B8,B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图像大致为( ) 图1-2 7.D [解析] 易知该函数为偶函数,只要考虑当x ≥0时的情况即可,此时y =2x 2-e x .令f (x )=2x 2-e x ,则f ′(x )=4x -e x ,则f ′(0)<0,f ′(1)>0,则f ′(x )在(0,1)上存在零点,即f (x )在(0,1)上存在极值,据此可知,只能为选项B ,D 中的图像.当x =2时,y =8-e 2<1,故选D. 8.B7,B8,E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1,0 C .a log b c D .log a c 8.C [解析] 根据幂函数性质,选项A 中的不等式不成立;选项B 中的不等式可化为b c -1 log a c log b c =log c b log c a =log a b ,此时a b >1,0 以化为lg c lg a 式不成立. 12.B8[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =x +1x 与y =f (x )图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则 (x i +y i )=( ) A .0 B .m C .2m D .4m 12.B [解析] 由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y = x +1x =1+1 x 的图像也关于点(0,1)对称, ∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i ,y i )和(x′i ,y′i )均满足x i +x′i =0,y i +y′i =2, ∴ =0+2·m 2 =m. B9 函数与方程 19.B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )=a x +b x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1). (1)设a =2,b =1 2 . ①求方程f (x )=2的根; ②若对于任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若01,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值. 19.解:(1)因为a =2,b =12,所以f (x )=2x +2- x . ①方程f (x )=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x =0. ②由条件知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2- x )2-2=[f (x )]2-2. 因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0, 所以m ≤[f (x )]2+4 f (x ) 对于x ∈R 恒成立. 而[f (x )]2+4f (x )=f (x )+4f (x )≥2f (x )·4f (x )=4,且[f (0)]2+4f (0)=4, 所以m ≤4,故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )=f (x )-2只有1个零点,而g (0)=f (0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g (x )的唯一零点. 因为g ′(x )=a x ln a +b x ln b ,又由01知ln a <0,ln b >0, 所以g ′(x )=0有唯一解x 0=log b a -ln a ln b . 令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=(a x ln a +b x ln b )′=a x (ln a )2+b x (ln b )2, 从而对任意x ∈R ,h ′(x )>0,所以g ′(x )=h (x )是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g ′(x ) 若x 0<0,则x 0 2 又g (log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g (x )在以x 0 2 和log a 2为端点的闭区 间上的图像不间断,所以在区间x 0 2 ,log a 2上存在g (x )的零点,记为x 1.因为0 又x 0 2 <0,所以x 1<0,与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾. 若x 0>0,同理可得,在x 0 2 和log b 2之间存在g (x )的非0的零点,矛盾. 因此,x 0=0. 于是-ln a ln b =1,故ln a +ln b =0,所以ab =1. 15.B9[2016·山东卷] 已知函数f (x )=? ????|x |,x ≤m , x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b , 使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________. 15.(3,+∞) [解析] 画出函数f (x )的图像如图所示,根据已知得m >4m -m 2,又m >0, 解得m >3,故实数 m 的取值范围是(3,+∞). B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算 21.B11,B12,E8[2016·四川卷] 设函数f (x )=ax 2-a -ln x ,其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性; (2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>1x -e 1- x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为 自然对数的底数). 21.解:(1)f ′(x )=2ax -1x =2ax 2 -1 x (x >0). 当a ≤0时,f ′(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减. 当a >0时,由f ′(x )=0,有x =1 2a , 此时,当x ∈(0,12a )时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(1 2a ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. (2)令g (x )=1x -1e x -1,s (x )=e x - 1-x , 则s ′(x )=e x - 1-1. 而当x >1时,s ′(x )>0, 所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增. 又s (1)=0,所以当x >1时,s (x )>0, 从而当x >1时,g (x )>0. 当a ≤0,x >1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x <0, 故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a >0. 当0 2a >1. 由(1)有f ( 12a ) )>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立. 当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x >1时,h ′(x )=2ax -1x +1x 2-e 1- x >x -1x +1x 2- 1x =x 3-2x +1x 2>x 2-2x +1 x 2 >0. 因此,h (x )在区间(1,+∞)内单调递增. 又因为h (1)=0,所以当x >1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈[1 2,+∞). B12 导数的应用 14.B3,B12[2016·北京卷] 设函数f (x )=? ????x 3-3x ,x ≤a , -2x ,x >a . ①若a =0,则f (x )的最大值为________; ②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是________. 14.①2 ②(-∞,-1) [解析] 由(x 3-3x )′=3x 2-3=0,得x =±1,作出函数y =x 3 -3x 和y =-2x 的图像,如图所示.①当a =0时,由图像可得f (x )的最大值为f (-1)=2.②由图像可知当a ≥-1时,函数f (x )有最大值;当a <-1时,y =-2x 在x >a 时无最大值,且-2a >a 3-3a ,所以a <-1. 17.G1、G7、B12[2016·江苏卷] 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1(如图1-5所示),并 要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍. (1)若AB =6 m ,PO 1=2 m ,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ,则当PO 为多少时,仓库的容积最大? 图1-5 17.解:(1)由PO 1=2知O 1O =4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB =6, 所以正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13·A 1B 21·PO 1=13 ×62×2=24(m 3 ), 正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O =62 ×8=288(m 3). 所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3). (2)设A 1B 1=a (m),PO 1=h (m),则0 因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 21+PO 21=PB 2 1, 所以2a 2 2 +h 2=36,即a 2=2(36-h 2). 于是仓库的容积V =V 柱+V 锥=a 2·4h +13a 2·h =133a 2h =26 3 (36h -h 3),0 从而V ′=26 3 (36-3h 2)=26(12-h 2). 令V ′=0,得h =23或h =-23(舍). 当0 因此,当PO 1=2 3 m 时,仓库的容积最大. 19.B6、B9、B12[2016·江苏卷] x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1). (1)设a =2,b =1 2 . ①求方程f (x )=2的根; ②若对于任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若01,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值. 19.解:(1)因为a =2,b =12,所以f (x )=2x +2- x . ①方程f (x )=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x =0. ②由条件知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2- x )2-2=[f (x )]2-2. 因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0, 所以m ≤[f (x )]2+4 f (x ) 对于x ∈R 恒成立. 而[f (x )]2+4f (x )=f (x )+4f (x )≥2f (x )·4f (x )=4,且[f (0)]2+4f (0)=4, 所以m ≤4,故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )=f (x )-2只有1个零点,而g (0)=f (0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g (x )的唯一零点. 因为g ′(x )=a x ln a +b x ln b ,又由01知ln a <0,ln b >0, 所以g ′(x )=0有唯一解x 0=log b a -ln a ln b . 令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=(a x ln a +b x ln b )′=a x (ln a )2+b x (ln b )2, 从而对任意x ∈R ,h ′(x )>0,所以g ′(x )=h (x )是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g ′(x )