人教版高中数学函数的单调性教案
基础巩固强化一、选择题1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln x C ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x[答案] C[解析] A 中，y ′＝－6x ，当－1<x <0时，y ′>0，当0<x <1时，y ′<0，故函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上不是减函数，B 中，y ＝ln x 在x ＝0处无意义；C 中，y ′＝－1(x －2)2<0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数；D 中，y ′＝cos x >0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝sin x 在(－1,1)上是增函数．2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，6)上是增函数 D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，6)上是减函数 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0,6)上单调递增．3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减． ∴x <0时f ′(x )>0，g ′(x )<0.4．(2012·辽宁文，8)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)[答案] B[解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间．∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x >0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0x >0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π [答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当－π2<x <0时，cos x >0，∴y ′＝x cos x <0. 当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 当π2<x <π时，cos x <0，∴y ′＝x cos x <0，故选A.6．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B[解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞)上小于0，故选B.二、填空题7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________． [答案] (－∞，－13)，(1，＋∞)[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， ∴由y ′>0得，x >1或x <－13.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝________，c ＝________.[答案] －3 －9[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由条件知⎩⎨⎧f ′(－1)＝0f ′(3)＝9，即⎩⎨⎧3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－3，c ＝－9.9．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，即a ≥32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 三、解答题10．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．[解析] ∵f (x )＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0)，∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′(x 2－1)2＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2∵－1<x <1，∴1＋x 2>0，(x 2－1)2>0，①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减． ②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增.能力拓展提升一、选择题11．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为()A．a≥3 B．a>3C．a≤3 D．a<3[答案] A[解析]∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立， 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立． ∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立， 又0≤3x 2<3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． 13．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( ) A ．f (a )＝f (b ) B ．f (a )<f (b ) C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 [答案] C[解析] f ′(x )＝(－xe x )′ ＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x .当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．14．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.二、填空题15．函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为________． [答案] (0，1e )[解析] 函数f (x )定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1.解f ′(x )<0得x <1e ，又x >0， ∴f (x )的减区间为(0，1e )．16．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2， 由题意得x <－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数， ∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)． 三、解答题17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 18．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a . ∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. (2)f ′(x )＝e x －a .若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(e x)max.当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1.①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(e x)min.当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．1．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋b 2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案] C[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.3．函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋a ，由条件f ′(1)＝0，∴a ＝－3，b ∈R .4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 3[解析] ∵切点M 在切线y ＝12x ＋2上，∴f (1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k ＝12，∴f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________．[答案] a >0[解析] y ′＝－4x 2＋a ，若y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.6．已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，由题意知：f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以Δ＝a2－4a≤0，所以0≤a≤4.故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．。
高中数学函数单调性教案
高中数学函数单调性教案
一、教学目标：
1.了解函数的单调性概念；
2.掌握函数单调递增和单调递减的定义；
3.能够根据函数图像确定函数的单调性；
4.能够应用函数的单调性解决实际问题。
二、教学重点：
1.函数的单调性定义；
2.函数单调递增和单调递减的判定方法；
3.函数单调性在实际问题中的应用。
三、教学难点：
1.理解函数的单调性概念；
2.根据函数图像确定函数的单调性。
四、教学准备：
1.教师准备：课件、黑板、粉笔等；
2.学生准备：课本、笔记、习题册等。
五、教学步骤：
1.引入：教师通过举例子引入函数的单调性概念，并与学生讨论函数单调递增和单调递减
的定义。
2.讲解：教师详细讲解函数单调递增和单调递减的判定方法，包括导数的应用。
3.练习：教师让学生进行练习，通过观察函数图像判断函数的单调性，并完成相关计算题。
4.拓展：教师引导学生探讨函数单调性在实际问题中的应用，并展示相关案例。
5.归纳：教师与学生一起总结本节课的内容，强化理解和记忆。
6.作业：布置相关习题作为课后作业，以巩固学生的学习成果。
六、教学反馈：
1.教师及时回答学生提出的疑问；
2.对学生的作业进行批改，并及时反馈；
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
“函数的单调性”-教学设计
“函数的单调性”教案一、教材内容分析函数的单调性是人教版数学必修一第二章第一节的内容。
在《普通高中数学课程标准按（2017年版）》中明确指出，要会借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义。
所以本节在学习函数单调性时要引导学生借助函数图像理解函数单调性，并学会用定义法来证明函数单调性。
函数的单调性是函数性质之一，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质，在函数性质中具有举足轻重的地位。
本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。
二、学生情况分析高一学生具有较强的求知欲望，但是欠缺自主探究能力和良好的学习习惯。
本班学生基础一般，两极分化较为严重，大多数学生学习兴趣较高，能够积极踊跃的发表自己的想法，与教师配合默契。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
三、教学目标1、知识目标：（1）理解函数的单调性的概念；（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性；（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。
2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度、价值观目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
四、重点难点重点：函数的单调性定义。
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
五、教学方法启发引导与自主探究讨论相结合。
六、教学过程教学中可根据学生的情况而定），并指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
问题1：如何量化的来刻画函数的增减性呢？1.请大家说说上述的“增大”是什么意思？（比较）2.比较至少是几个量之间？（两个）3.怎样取这两个量？取特殊值可以吗？（不可以，必需取遍整个区间的所有值）4.能做到一一全部都取出来吗？度抽象性造就了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象。
高中《数学》函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
高中数学(函数的单调性)教案 新人教版必修1 教案
函数的单调性【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小．(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案：(1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数．(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数．(3) 任取,因为,即，所以在为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①．②若函数．③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例证明函数在上是增函数．1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取, 设元求差变形,断号∴∴即∴函数在上是增函数．定论2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数在上是增函数．问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题．课后探究：(1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且有．(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．《函数的单调性》教学设计说明一、教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．二、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的增减性》教案
最新人教版高一数学必修1第一章《函数
的增减性》教案
一、教学目标
1. 了解函数的单调性，理解函数的增减性定义。
2. 掌握函数单调性的判定方法。
3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
二、教学重点
1. 函数单调性的定义。
2. 判定函数单调性的方法。
3. 应用函数单调性解决实际问题。
三、教学难点
1. 函数单调性的判定方法。
2. 单调性与实际问题的联系。
四、教学内容及进度安排
五、教学方法
1. 示范法。
2. 案例分析法。
3. 课堂讨论法。
4. 提问法。
5. 实践教学法。
六、教学资源
1. 人教版高中数学必修1教材。
2. 数学实验室。
七、教学评估
1. 学生作业情况及考试成绩。
2. 学生的课堂表现和参与度。
3. 教师自评。
4. 多角度综合评价。
八、教学后记
本教案以函数的单调性为主题，旨在让学生深刻理解函数的单调性概念，掌握判定函数单调性的方法，能够灵活应用函数的单调性解决实际问题。
同时，通过多种教学方法的使用，让学生充分参与教学，达到提高教学效果的目的。
高中数学函数单调性的教案
高中数学函数单调性的教案一、教学目标1. 理解函数的单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义及特点。
2. 能够通过函数的导数或图像来判断函数的单调性。
3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
二、教学重点1. 函数的单调性的概念和特点。
2. 通过导数或图像判断函数的单调性。
三、教学难点1. 如何通过导数或图像来判断函数的单调性。
2. 应用函数的单调性解决实际问题。
四、教学内容1. 函数的单调性的定义和特点。
2. 利用导数判断函数的单调性。
3. 利用图像判断函数的单调性。
4. 单调性在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入教学：通过一个生活实例引入函数的单调性的概念。
2. 讲解函数的单调性的定义和特点，引导学生理解。
3. 通过对几个函数的图像进行观察，讨论函数的单调递增和单调递减的特点。
4. 讲解如何通过导数或导数图像判断函数的单调性。
5. 练习：让学生通过计算导数或观察导数图像判断给定函数的单调性。
6. 应用：给学生一个实际问题，让他们利用函数的单调性来解决问题。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调函数的单调性在解决问题中的重要性。
六、教学资源1. 课件2. 教科书3. 练习题七、教学评估1. 课堂练习题2. 作业布置并检查八、拓展延伸1. 思考函数的极值点与单调性的关系。
2. 探究其他函数性质与单调性的联系。
以上是本节课的教学内容和组织安排，希望能够帮助学生更好地理解和掌握函数的单调性。
祝学习顺利！。
教案高中数学函数单调性分析
教案高中数学函数单调性分析
教学目标：学生能够掌握函数的单调性分析方法，能够熟练应用单调性分析解决相关问题。
教学重点：函数的单调性分析方法的掌握和应用。
教学难点：复杂函数的单调性分析。
教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、教学PPT。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
引导学生回顾函数的定义，引入单调性的概念，并介绍单调递增和单调递减的概念。
二、讲解（15分钟）
1. 解释函数的单调递增和单调递减的定义和性质。
2. 介绍函数的单调性的判断方法，包括一阶导数的判断法和函数图像的判断法。
3. 通过示例讲解单调性的判断方法和应用。
三、练习（20分钟）
1. 让学生进行单项选择题练习，巩固函数的单调性分析方法。
2. 给学生几道应用题，让学生运用单调性分析方法解决问题。
四、讲解（10分钟）
复杂函数的单调性分析方法，包括复合函数的单调性和反函数的单调性。
五、总结（5分钟）
总结本节课的内容，强调函数的单调性分析方法的重要性，鼓励学生多加练习。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生做相关练习题，复习本节课的内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的单调性分析方法有了初步认识，学生的观念变化很明显，能够更好地运用单调性分析方法解决问题。
下一步，我将设计更多的实际应用题，让学生
从中感受到函数单调性分析的实际意义。
同时，我将鼓励学生多加练习，加深对函数单调
性分析方法的理解和掌握。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》word版章节一：引言1.1 课程背景本节课主要讲解函数的单调性。
函数单调性是数学中的一个重要概念，也是高中数学的核心内容之一。
通过学习函数单调性，学生可以更好地理解函数的性质，提高解决问题的能力。
1.2 教学目标1. 理解函数单调性的概念及意义。
2. 学会判断函数的单调性。
3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
章节二：单调性的定义与性质2.1 单调性的定义本节课我们将引入单调性的定义。
一个函数在某个区间内，如果对于任意的x1和x2，当x1 < x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，则称该函数在区间内是单调递增的；如果对于任意的x1和x2，当x1 < x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，则称该函数在区间内是单调递减的。
2.2 单调性的性质本节课我们将学习单调性的几个重要性质。
如果函数在某个区间内是单调递增的，它在该区间内的任意子区间内也是单调递增的；同样地，如果函数在某个区间内是单调递减的，它在该区间内的任意子区间内也是单调递减的。
如果两个函数在某个区间内具有相同的单调性，它们的和函数在该区间内也具有相同的单调性。
章节三：判断单调性3.1 判断单调性的方法本节课我们将介绍几种判断函数单调性的方法。
可以通过求导数来判断函数的单调性。
如果函数在某个区间内的导数大于0，则函数在该区间内是单调递增的；如果函数在某个区间内的导数小于0，则函数在该区间内是单调递减的。
可以通过观察函数的图像来判断函数的单调性。
如果函数的图像在某个区间内是上升的，则函数在该区间内是单调递增的；如果函数的图像在某个区间内是下降的，则函数在该区间内是单调递减的。
3.2 判断单调性的应用本节课我们将通过一些实际问题来应用单调性的判断方法。
例如，我们可以通过判断函数的单调性来确定函数的最大值和最小值所在的区间，或者判断两个函数的交点位置等。
章节四：单调性与实际应用4.1 单调性与最值本节课我们将学习单调性与函数最值的关系。
《函数的单调性》说课稿(附教案)
《函数的单调性》说课稿一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：根据本课教材内容的特点、学生现有知识基础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。
困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。
即把某区间上“随着x 的增大，y 也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，有)()(21x f x f <”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的12x x 、。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。
针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：（1）单调性是函数的一个区间上的性质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。