2020-2021学年广东省珠海市二中高考适应性训练数学理科试卷及答案解析
2020-2021学年高考数学理科第二次适应性练习及答案解析
最新高考全国统一考试第二次适应性训练理科数学考试时间：120分钟 试卷满分：150分第一部分（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线23y x =的焦点坐标是A. 3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,012⎛⎫ ⎪⎝⎭2.《莱茵的草书》（Rhind Papyrus ）是是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三分之和的17是较小的两份之和，则最小一份为A. 53B. 103C. 56D.1163.下列命题中，假命题是A.“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数cos y x =的一个周期”B.“0m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的充分不必要条件C.“若a b ≤，则221a b≤-”的否命题 D.“任意()0,a ∈+∞，函数xy a =在定义域内单调递增”的否定 4.如图是一个有底容器的三视图，现向容器中均匀注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是5.某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1,2,3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有A. 30种B. 90种C. 150种D. 180种6.已知函数()21f x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2015S 的值为 A. 40304031 B. 20144029 C. 20154031 D. 402940317.设复数()()1,0z x yi x R y =-+∈≥，若1z ≤，则y x ≥的概率为A. 3142π+B. 1142π-C. 112π+D.112π- 8.已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于A,B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为A. 4230x y --==B. 220x y +-==C.4230x y +-==D.220x y -+= 9.对一名学生8次的数学成绩进行了统计，第次统计得到的数据i 1 2 3 4 5 6 7 8 i a 100 101 103 103 104 106 107 108在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中a 是这8个数据的平均数），则输出的S 的值是A. 9B. 8C. 7D. 610.已知11,,,,44AB AC AB AC t t t ⎡⎤⊥==∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r ，若P 是ABC V 所在平面内一点，且AB AC AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 A. []13,17 B. []12,13 C. 3,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.已知定义在[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，当()12,2n n x n N -*⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图像面积为n S ，则n S =A. nB. 2C. 2nD.2n 12.已知数列{}n a 满足，1211,2a a ==，且()()23122110,.n n n n a a n N *+⎡⎤⎡⎤+--+--=∈⎣⎦⎣⎦记2n T 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}nb 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式2111n n n T b b ⎛⎫+⋅< ⎪⎝⎭成立的最小整数n 为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4第二部分（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13:21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22:24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.在ABC V 中，角A,B,C 对应的边分别是a,b,c ，已知b =，sinA 2sinB =,则cos A =.14.已知集合(){}21|y lg ,|y 1x x e A x a x B y e ⎧⎫+==-==⎨⎬+⎩⎭，且()R C B A R =U ，则实数a 的取值范围是.15.二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中所有有理项的系数和等于（用数字作答）. 16.已知点(),A a b 与点()1,0B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法：①34100a b -+>；②当0a >时，a b +222a b +>；④当0a >且1,0a b ≠>时，1b a -的取值范围是53,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .其中所有正确的说法序号是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 已知函数()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（,a R a ∈为常数）. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值.18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AC CC AB BC ===D 是1BA 上的一点，且AD ⊥平面1.A BC（1）求证：BC ⊥平面11;ABB A（2）在1BB 棱上是否存在一点E ，使平面AEC 与平面的11ABB A 夹角等于60o ？若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分12分)第二届世界互联网大会将于2015年12月16日—18日在浙江乌镇进行，届时将有世界各国的互联网精英云集于此共商世界互联网的未来.现在人们的生活已经离不开互联网，网上购物已悄悄走进人们的生活，在刚刚过去的双十一，有4位好友相约：每个人通过执一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用,ξη本别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 分分布列与数学期望EX .20.(本小题满分12分)设12,F F 是椭圆()22:x 2y 20C λλ+=>的左、右两个焦点，P 是椭圆C 上的任意一点. （1）记12F PF θ∠=，求证：cos 0;θ≥（2）若()11,0F -，点()2,0N -，已知椭圆C 上的两个动点A,B 满足NA NB μ=u u u r u u u r ，当11,53μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线AB 斜率的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数()()0f x kxlnx k =≠有极小值1.e -（1）求实数k 的值；（2）设实数,a b 满足0a b <<. ①计算：10ln ln ;2a b x dx +-⎰ ②记①中计算结果(),G a b ，求证：()1,ln 2.G a b b a<-请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC V 中，90,ABC ∠=o以AB 为直径的圆O 交AC 于点E,点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点,M.（1）求证：DE 是圆O 的切线；（2）求证：.DE BC DM AC DM AB ⋅=⋅+⋅23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程是222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭ （1）将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A,B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值.24.(本小题满分10分)不等式选讲 已知不等式2326t t m m +--≤-对任意t R ∈恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若（1）中实数m 的最大值为λ，且实数,,x y z 满足345x y z λ++=， 求222x y z ++的最小值.。
2020年广东省高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则的取值范围为A. B. C. D.3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺4.在中，已知，，且AB边上的高为，则A. B. C. D.5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.8.已知四边形ABCD中，，，，，E在CB的延长线上，且，则A. 1B. 2C.D.9.的展开式中，的系数为A. 120B. 480C. 240D. 32010.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则A. 2B.C.D. 412.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B.C. D. ，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.已知，则______．15.从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有______对．16.如图，直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆交于C，D两点，若，设直线l的斜率为k，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式；若是等比数列，且，求数列的前n项和．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：其，中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X 的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为．求椭圆C的方程；已知O是坐标原点，向量过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．若点满足，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若函数的极小值为，求a的值；若，证明：当时，成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：因为复数，所以，由于，即，则的取值范围为，故选：A．根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．3.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：如图，在中，，，且AB边上的高CD为，，，由余弦定理可得，由正弦定理，可得．故选：B．由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为h，由，得．∽，，即，得，该圆锥的体积为．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集．7.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．8.答案：A解析：解：在中，由余弦定理有，，，易知，又，，故，．故选：A．先由余弦定理求得，再根据题设条件求得，而展开，利用数量积公式化简求解即可．本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：C．把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项，求出项的系数．本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：B解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故选：B．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．12.答案：D解析：解：因为．令，则，所以当时，，即在R上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除A，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除BC，故选：D．求导，构造辅助函数，则，当时，可知在R上单调递增，，即可判断在上为增函数，在上为减函数，由，即可证明，当时，有唯一的零点；然后验证时，函数的零点的个数，判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题．13.答案：6解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：，则．故答案为：由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．15.答案：48解析：解：根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对．故答案为：48根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为，进而可得共有对对角线所成角为，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16.答案：解析：解：由题意圆的圆心为抛物线的焦点F，再由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：，，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，由抛物线的性质可得：弦长，由题意可得为的直径2，所以，而，所以可得：，因为，所以，代入直线AB中可得，即，将A点坐标代入抛物线的方程，整理可得，解得，因为，所以，故答案为：．由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得为圆的直径，求出的值，再由题意可得的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值．本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题．17.答案：解：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，即，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．由题意，设等比数列的公比为q，则，故，．由知，，且，则，所以：，，得：，，，所以．解析：直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为，估计旧设备所生产的产品的优质品率为．补充完整的列联表如下所示，非优质品优质品合计新设备产品 30 70 100旧设备产品 45 55 100合计 75 125 200，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望．解析：由频数分布表可知，将的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将的频率组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；先填写列联表，再根据的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，，，平面PAC，平面PAC，．，O是AC的中点，．平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；解：由知，平面ABCD，．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，．四边形ABCD是菱形，，与都是等边三角形．．0，，0，，0，，，，，．，，即，得．，．设平面PAE的法向量为，由，取，得；设平面PEC的一个法向量为，由，取，得．设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面PAC，得到再由进一步得到平面ABCD；由知，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，由列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：依据题意得，所以，所以，因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：．联立，解得，，所以椭圆C的方程为：．由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：，联立，消去y并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．解析：根据题意可得方程组联立，解得b，a，进而得出椭圆C的方程．设直线l的方程为：，设，，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得，，因为，得，当时，，当时，，，因为，所以，代入化简得化简，利用基本不等式可得出答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解：函数的定义域是R，，时，对恒成立，在R递减，函数无极值，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，时，取极小值，，即，令，则，，，在递增，，；，，，令，，令，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递增，时，取极小值，又，，存在使得，在递增，在递减，在递增，，，时，，即，令，，则对于恒成立，在递增，，即当时，，时，，，故时，成立．解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到，令，根据函数的单调性求出a的值即可；令，求出，令，，求出，从而证明结论．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
广东省珠海二中高三数学练习(10) 理 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校二中2021届高三数学练习十〔理〕选择题：本大题共8小题，每题5分。
总分值40分．在每题给出的四个选项中。
只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数32ii -+的虚部为A ．iB ．-iC ．1D ．-12.设集合{|2011},{|01}M x x N x x =<=<<，那么以下关系中正确的选项是A ．M N R =B ．{|01}M N x x =<<C ．N N∈D ．MN φ=3．43sin()sin 0,352ππααα++=-<<那么2cos()3πα+等于 A ．45-B ．35-C ．35D ．454.在113(3)x x 的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为P，10P x dx =⎰A.1B. 67C.76D.11135. 函数b a x f x +=)(的图象如右图所示,那么)(log )(b x x g a +=的图象是6. 某程序框图如以下列图所示，假设输出的0=s ，那么 中可能的语句是A ．6≤i B.6≥i C ．5≥i D ．5≤i7.8.①假设向量a 与向量b 共线，向量b 与向量c 共线，那么向量a 与向量c 共线； ②假设向量a 与向量b 共线，那么存在唯一实数λ，使a bλ=； ③假设A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，且=OM31OA 31+OB 31+OC ，第11题侧视图俯视图那么点M 一定在平面ABC 上，且在ABC ∆A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每题5分．总分值30分.(一)必做题(9—13题) 9．}{n a 是等差数列，且1713a a a π++=-，那么7sin a ＝ .10． 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，那么该几何体的侧面积是______.11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，假设090BAO BFO ∠+∠=那么椭圆的离心率是 . 12．以下说法：①“,23xx R ∃∈>使〞的否认是“,3x x R ∀∈≤使2〞；②函数sin(22)36y x x ππ=+-的最小正周期是;π③“函数0()f x x x =在处有极值，那么0'()0f x =〞④()f x ∞∞是（-,0）(0,+)上的奇函数，0x >时的解析式是()2x f x =，那么0x <时的解析式为()2.x f x -=- 其中正确的说法是.13．函数2()|6|f x x =-，假设0a b <<,且()()f a f b =，那么2a b 的最小值是 .〔二〕选做题〔14—15题，考生只能从中选做一题〕 14．在极坐标系中，曲线θρcos 2=与曲线6πθ=的交点的极坐标为__________．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O交于点E ，那么线段AE 的长为_______．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题总分值12分〕(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===.〔1〕假设23a b ⋅=，记θβα=-，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θπθ2sin sin 2的值； 〔2〕假设2παk ≠，()Z k k ∈≠πβ，且a ∥()b c+，求证：2tantan βα=.17.〔本小题总分值12分〕2021年大运会，某运开工程设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D甲系列： 乙系列： 118分。
广东省珠海二中高三数学练习(11) 理 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校二中2021届高三数学练习十一〔理〕选择题：本大题共8小题，每题5分。
总分值40分．在每题给出的四个选项中。
只有一项为哪一项符合题目要求的． 1.设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，假设{}Q=0P ，那么Q=P〔A 〕{}3,0 〔B 〕{}3,0,1 〔C 〕{}3,0,2 〔D 〕{}3,0,1,22. 假设实数x ，y 满足不等式组240,230,0,x y x y x y +-≥--≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩那么x ＋y 的最小值是(A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 433．假设某程序框图如下列图，那么输出的p 的值是(A) 21 (B) 26 (C) 30 (D) 554.假设(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，那么a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝(A) 122 (B) 123 (C) 243 (D) 2445.袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．假设从袋中任取3个球， 那么所取3个球中至多有1个红球的概率是(A) 914(B)3756(C)3956(D)576.〔1〕假设直线l 上有无数个点不在平面α内，那么l ∥α.〔2〕假设直线l 与平面α平行，那么l 与平面α内的任意一条直线都平行. 〔3〕如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. 〔4〕假设直线l 与平面α平行，那么l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 37. a ，b 都为正实数，且-，那么的最大值为(A)(B)(C) (D).开始 p ＝1，n ＝1 n ＝n ＋1 P ＞20?输出p 结束 (第3题)是否p ＝p ＋n 28.点P 是椭圆221625400x y +=上一点，且在x 轴上方，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2PF 的斜率为-12PF F ∆的面积是〔A〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D〕 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每题5分．总分值30分.(一)必做题(9—13题)9． 在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点， 那么OE= 〔用，，a b c 表示〕． 10．设随机变量X 的分布列如下：假设数学期望E (X )＝10，(X)＝． 11．假设某几何体的三视图 (单位：cm) 如下列图，那么此几何体的体积是 cm 3．12．定义在[0,]π上的函数()()2sin cos f x x x =+单调递增区间是 。
广东省珠海二中2020届高三数学下学期线上检测试题理含解析
）
A. 388 【答案】B
B. 772
C. 1540
D. 3076
【解析】
【分析】
根据题中表格中距离的规律，求出距离的通式，然后即可求出第 10 个行星与太阳的平均距
离.
【详解】设金星到太阳的距离为 a1 ，地球到到太阳的距离为 a2 ，以此类推，
可知第10 个行星到太阳的距离为 a9 ，
由表格可以得到 a2 a1 3 20 ， a3 a2 3 21 ，
f x 1 cos x 1 cos x 0
可得：
x
，令 x
，
作出
y
1 x
与
y
cos
x
图像如图：
可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，
f
ln
1
，排除
C；
当
x
x0
时，
f
x0
0
，故
x 0,
x0
时，函数
f
x 单调递增，
x x0,
时，函数
f
x 单调递减，排除
A
故选：D
【点睛】本题考查了与三角函数有关的 图像的识别，利用导数判断函数的单调性、考查了数
y
3
0
4.已知实数 x, y 满足 x 2 y 4 0 ，则 z x 3y 的最小值为（ ）
A. －7
B. －6
C. 1
D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.
【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：
由图可知向上平移直线 x 3y 0 ，
4e2 a 0
1
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考适应性检测试题及答案解析
最新高三适应性训练（一）理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 满足(34)|43|i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为 （ ）A ．4-B ．45-C ．4D ．452．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B U 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 （ ） A ．{0} B ．{03}，C ．{13,4}， D ．{013,4}，，3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =（ ） A ． 3 B ． 4 C.5 D ． 6 4．函数3sin()cos()226y x x ππ=++-的最大值为 （ ）A ．213B ．413 C ．413D ．135．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是 （ ）A ．45,8B ．845,3C ．84(51),3+D ．8，8 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p =（ ）A ．2B ．32C ．1D ．37．已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）8．在平行四边形ABCD 中，AD =1，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点．若1=⋅BE AC ，则AB 的长为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．29．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（*n N ∈），且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =（ ） A ．132B ．299C ．68D ．9910．已知实数,x y 满足2211x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则2x y +的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[1,)+∞C． D．11．已知函数2()cos f x x x =-，则31(),(0),()52f f f -的大小关系是（ ）A ．31(0)()()52f f f <<-B ．13(0)()()25f f f <-<C ．31()()(0)52f f f <-<D ．13()(0)()25f f f -<<12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的半焦距为(0)c c >，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x=+与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A.815B.415C.23 D.12二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届广东省珠海市高三二模数学试题(解析版)
2021届广东省珠海市高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{|0.71,}x A x x R =>∈，2{|20,}B x x x x R =--<∈，则A B =（ ） A ．()0,1 B ．()1,0-C ．()1,2D ．()1,2-【答案】B【分析】通过解不等式分别求出集合A 、B ，进而可求得A B .【详解】由0.71x >得0x <，所以(),0A =-∞； 由220x x --<得12x -<<，所以()1,2B =-. 所以，()1,0A B =-.故选：B.2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足() 11z i i +=-， z 对应复平面内的点Z ，则OZ =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】先求出z ，从而得(0,1)Z -，再根据复数的几何意义计算即可. 【详解】由()11z i i +=-，得(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-，所以(0,1)Z -，因此(0,1)OZ =-，所以||1OZ =. 故选：A.3．已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（ ）A ．11a b< B ．0b aa b+> C ．22a b >D ．a b <【答案】C【分析】由给定条件分析出a>0，b<0及a 与b 间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.【详解】因0ab <，a b >，则a>0，b<0，110,0a b><，A 不正确；0,0b aa b <<，则0b aa b+<，B 不正确； 又0a b +>，即0a b >->，则22()a b >-，22a b >，C 正确；由0a b >->得||a b >，D 不正确. 故选：C4．已知向量a 、b 满足2a =，1a b ⋅=-，且()()3a b a b +⋅-=，则a b -=（ ）A ．3BC ．7D 【答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质可求得b 的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -. 【详解】()()223a b a b a b +⋅-=-=，可得1b =，因为()222224217a b a b a a b b-=-=-⋅+=++=，因此，7a b -=.故选：D.5．5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法 A ．24 B ．48 C ．96 D ．12【答案】C【分析】先从4人中选1人与甲组成1组，再连同剩余3人分配到4个接种点即可求解. 【详解】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有14C 种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有44A 种，故共有144442496C A =⨯= 故选：C6．函数()sin cos f x x x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数()f x 的奇偶性可以排除两个选项，再由f (1)的正负即可得解. 【详解】因()sin()()cos()sin cos ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，即函数()f x是奇函数，其图象关于原点对称，从而排除选项B ，C ，又(1)sin1cos10f =->，显然选项D 不符合此条件，A 符合要求. 故选：A7．设数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，3510a a +=，515S =，则6S =（ ） A ．18 B ．30C ．36D ．24【答案】D【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项及公差即可得解. 【详解】因数列{}n a 是等差数列，由等差数列的性质知：35452a a a +==， 而155355215a S a a +=⋅==，则33a =，等差数列{}n a 公差432d a a =-=， 首项1321a a d =-=-，则616(61)6630242S a d ⋅-=+⋅=-+=. 故选：D8．《九章算术》勾股章有一问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有三尺，牵着绳索退行，拉直绳索，绳索头与地面接触点离木柱根部八尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱中点上方的概率为（ ） A ．5573B ．55146C ．1115D ．5572【答案】B【分析】根据勾股定理求得绳索长度与木柱长度，由几何概型公式即可求解． 【详解】根据题设条件，作示意图如图所示，设绳索长为x 尺，则木柱3=-AB x ，由勾股定理，得()22238x x -+=，解得736x =，故所求的概率为： ()13552146-==x P x . 故选：B二、多选题9．已知函数()2ln f x x x =-，则（ ）A ．()0f x ≤恒成立B ．()f x 是()0,∞+上的减函数C ．()f x 在12x e -=得到极大值12eD ．()f x 只有一个零点 【答案】CD【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可判断BC 选项的正误，取01x <<可判断A 选项的正误，解方程()0f x =可判断D 选项的正误.【详解】()2ln f x x x =-，该函数的定义域为()0,∞+，()()2ln 2ln 1f x x x x x x '=--=-+.当120x e -<<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当12x e ->时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，()111221ln 2f x f e e e e ---⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭极大值，故B 选项错误，C 选项正确；当01x <<时，ln 0x <，此时()2ln 0f x x x =->，A 选项错误；由()2ln 0f x x x =-=，可得ln 0x =，解得1x =，D 选项正确.故选：CD.10．已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-，则（ ）A ．π是函数()f x 的一个周期B ．6x π=-是函数()f x 的一条对称轴C ．函数()f x 的一个增区间是,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．把函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位，得到函数()f x 的图像【答案】ACD【分析】化简函数()f x 的表达式，再逐一验证各选项即可得解. 【详解】依题意：()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+，对于A 选项：()f x 的周期22T ππ==，即A 正确； 对于B 选项：因2sin[2()]2sin()16666f ππππ⎛⎫-=-+=-=- ⎪⎝⎭，则6x π=-不是函数()f x 的对称轴，即B 不正确；对于C 选项：222()262k x k k Z πππππ-<+<+∈得()36k x k k Z ππππ-<<+∈，即()f x 单调递增区间是(,)()36k k k Z ππππ-+∈，k =0时，,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个增区间，即C 正确；对于D 选项：函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，即D 正确.故选：ACD11．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，23BC =，4AC =，A 到平面PBC 的距离为455，则（ ）A ．4PA =B ．三棱锥P ABC -的外接球的表面积为32π C ．直线AB 与直线PC 2D ．AB 与平面PBC 25【答案】ABD【分析】根据题意得AB BC ⊥，设AP a =，进而根据等体积法得4a =；再根据题意求得三棱锥P ABC -的外接球的半径为B 选项正确；再根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解讨论CD 选项. 【详解】因为2AB =，BC =4AC =， 所以222AB BC AC +=，即AB BC ⊥， 又因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，设AP a =，根据等体积法P ABC A PBC V V --=，即1111232325a ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得4a =，所以4AP a ==，故A 选项正确；所以三棱锥P ABC -的外接球的半径与以,,BC BA AP 为邻边的长方体的外接球的半径相等，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为32π，故B 选项正确； 过点B 作PA 的平行线BD ，则BD ⊥平面ABC ，所以以点B 为坐标原点，,,BC BA BD 所在边分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B，()C ，()0,2,0A ，()0,2,4P ， 所以()()0,2,0,2,4AB PC →→=-=--，所以cos ,4AB PC AB PC AB PC→→→→→→⋅===所以直线AB 与直线PC所成角的余弦值为4，故C 选项错误；因为()BC →=，()0,2,4BP →=， 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z →=，则=0=0m BP m BC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即02x y z =⎧⎨=-⎩，令1z =，所以()0,2,1m →=-，由于()0,2,0AB →=-故设AB与平面PBC所成角为θ，则425 sin cos,525AB mm ABm ABθ→→→→→→⋅====⨯.所以AB与平面PBC所成角的正弦值为255，故D选项正确；故选：ABD【点睛】本题考查空间几何的外接球的表面积，等体积法求值，异面直线所成角，线面所成角，考查运算求解能力，空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据等体积法得4PA=，进而建立空间直角坐标系求解即可.12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得14AC DB AB==，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为n a，数列{}n a的前n项和为n S，则（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．106657256S =C ．3n a <恒成立D ．存在正数m ，使得n S m <恒成立 【答案】BC【分析】推导出122n n na a +-=，利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，可判断AC 选项正误，利用分组求和法可判断B 选项的正误，利用数列{}n S 的单调性可判断D 选项的正误.【详解】由题意可得11a =，21122a a =+⨯，322122a a =+⨯， 以此类推可得1122n n n a a +=+⨯，则122n nna a +-=， 所以，()()()1213211212221222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++ 121112131212n n ---=+=--，所以，数列{}n a 不是等比数列，A 选项错误； 对于B 选项，10108121166572310261225612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-=+=-，B 选项正确； 对于C 选项，21332n n a -=-<恒成立，C 选项正确；对于D 选项，21302n n a -=->恒成立，则数列{}n S 单调递增，所以，数列{}n S 无最大值，因此，不存在正数m ，使得n S m <，D 选项错误. 故选：BC.【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m -=+时，构造等差数列；（2）当出现1n n a xa y -=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n -=+时，用累加法求解；（4）当出现()1nn a f n a -=时，用累乘法求解.三、填空题13．若()80x a ⎛-> ⎝的二项展开式中二项式系数最大项为25670x ，则a =___________.【答案】3【分析】先由二项式系数性质得出二项式系数最大项是第5项，再由通项写出第5项，比较可得a .【详解】因为8x ⎛⎝的二项展开式共有9项，所以二项式系数最大项是第5项.44844424258870T C xC a x a x -⎛=== ⎝，所以4705670a =，又0a >，所以3a =. 故答案为：3.14．已知某校期末考试数学平均分()75,100XN ，则()6595P x <<=___________.附：()0.6826P X μσμσ-≤<+=，()220.9545P X μσμσ-≤<+= 【答案】0.81855【分析】利用正态分布的性质即可计算得解. 【详解】因数学平均分()75,100XN ，则平均分X 的期望75μ=，标准差10σ==，由正态分布的性质可得：()(6585)0.6826P X P X μσμσ≤<=-≤<+=，()(5595)220.9545P X P X μσμσ≤<=-≤<+=，则()()65956585(8595)P X P X P X <<=<<+≤<()()()5595658565852P X P X P X <<-<<=<<+0.95450.68260.68260.818552-=+=.故答案为：0.8185515．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，P 为曲线C 上一点，1212::5:4:2PF PF FF =，则曲线C 的离心率为___________.【答案】29或2 【分析】按圆锥曲线C 是椭圆和双曲线两类分别讨论计算而得解.【详解】依题意：令焦距1222(0)c FF m m ==>，则125,4PF m PF m ==， 当曲线C 是椭圆时，长轴长1229a PF PF m =+=，其离心率2229c e a ==， 当曲线C 是双曲线时，实轴长122a PF PF m =-=，其离心率222ce a==， 所以曲线C 的离心率为29或2. 故答案为：29或2 16．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点E 为平面11AAC C 内的动点，12B E =，则AE 长度的最小值为___________.62【分析】根据所给条件，分析出动点E 的轨迹，再利用图形的几何意义即可得解. 【详解】在正方体1111ABCD A BC D -中，连接B 1D 1交A 1C 1于点O ，则B 1D 1⊥A 1C 1，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，即B 1D 1⊥AA 1，如图：从而有B 1O ⊥平面A 1B 1C 1D 1，连OE ，Rt △B 1OE 中，12BO =，而12B E =，则2EO =，所以点E 在平面ACC 1A 1内的以O 为圆心，2为半径的矩形ACC 1A 1内的半圆上， 而点A 及半圆弧在半圆O 的直径A 1C 1同侧，且点A 在半圆弧外，则有min ()262AE AO =-=-.故答案为：62-【点睛】关键点睛：空间几何体中符合某个条件的动点问题，探求出动点的轨迹，再借助几何意义是解题的关键.四、解答题17．在①3cos2cos 1B C -=；②tan tan 2CB =；③sin 3sin 2BC +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：如图，直角ABC 中，2A π=，4BC =，且__________，点D 在BC 的延长线上，1CD =，求AD 长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；7AD =. 【分析】若选①，根据二倍角公式求得1sin 2B =，从而求出6B π=，再用余弦定理求AD 即可；若选②，运用切化弦、二倍角公式得1cos 2C =，从而求出3C π=，再用余弦定理求AD 即可；若选③，运用辅助角公式得3C π=，再用余弦定理求AD 即可；【详解】选①直角ABC 中，2A π=()23cos2cos 312sin sin 1B C B B ∴-=--=即26sin sin 20B B +-=，得1sin 2B =02B π<<，6B π∴=4BC =，2AC ∴=且23ACD π∠=1CD =，AD ∴==.选②直角ABC 中，2A π=2sin 2sin 22tan 2cos 2sin cos 222C C C C C C ∴==⋅1cos sin cos tan sin cos sin C B C B C B C-====，得1cos 2C =02C π<<，3C π∴=4BC =，2AC ∴=且23ACD π∠=1CD =，AD ∴==.选③直角ABC 中，2A π=sin cos 2B C C C ∴+=+=1cos sin 1226C C C π⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭ 02C π<<，2663C πππ∴<+<62C ππ∴+=，3C π∴=4BC =，2AC ∴=且23ACD π∠=1CD =，AD ∴==.18．已知等差数列{}n a 满足11a =-，4232a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）若2cos2n n n b a π=，求数列{}n b 的前40项和40S . 【答案】（1）23n a n =-；（2）3120.【分析】(1)根据题设条件求出等差数列{}n a 的公差即可得解； (2)求出数列{}n b 的通项，再用分组并项求和的方法即可得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，413a a d =+，231234a a a d +=+ 由11a =-，4232a a a =+，则11334a d a d +=+，得2d =， 所以23n a n =-； （2）因2cos2n n n b a π=，则有：①n 为奇数时，0n b =， ②n 为偶数时，42,n k k N =+∈时，2n n b a =-，44,n k k N =+∈时，2n n b a =， 所以()()()()()2222222222864043442121033680S a a a a a a a a a a =---+++++--()2468402d a a a a a =+++++2201942022a d ⋅⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭3120=. 【点睛】关键点睛：通项公式中含有三角式的数列求和，对项数n 按除以所出现三角式的周期的余数情况分类是解题的关键.19．如图，圆柱1OO ，矩形11ABB A 为过轴1OO 的圆柱的截面，点1 ,C C 为弧11,AB A B 的中点，点D 为1CC 的中点.（1）求证：1//O D 平面1AB C ； （2）若12BB =，三棱锥1B ABC -的体积为 23，求二面角1 C AB B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【分析】(1)AB 1与OO 1交于点E ，连接CE ，证明O 1D 平行于CE 即可得解； (2)由已知条件求出圆柱底面圆半径，证得OC ⊥平面ABB 1A 1，由此作出二面角1 C AB B --的平面角，再经计算即可得解.【详解】（1）矩形11ABB A 为过轴1OO 的圆柱的截面，设11AB OO E ⋂=，连接CE ，则E 为1OO 中点，如图：点1 ,C C 为弧11,AB A B 的中点，则CC 1是圆柱OO 1的母线，11CC O O 是矩形，点D 为1CC 的中点，则1//O E CD ，1O E CD =，有四边形1CDO E 是平行四边形，1//O D CE ，CE ⊂平面1AB C ，1 O D ⊄平面1AB C ， 所以1//O D 平面1AB C ；（2）设圆锥底面半径r ，由点C 是弧AB 中点得OC AB ⊥，因12BB =，三棱锥1 B ABC -的体积为23，1BB ⊥平面ABC ，三棱锥1 B ABC -的体积211112223323ABCV BB S r r r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=，即22233r =，得1r =，1OA OB OC ===，取AE 中点F ，连接,CF OF ，如图：因OC AB ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，则有OC ⊥平面11ABB A ，而112OO BB ==，则1OE OA ==，CE CA AE ===1FO AB ⊥，1FC AB ⊥，OFC ∠为二面角1 C AB B --的平面角，由OF =，CF =得：cos 3OE OFC CF ∠===. 所以二面角1C AB B --的余弦值为3. 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．现有甲乙两个项目，对甲、乙两个项目分别投资202万元，甲项目一年后利润是1万元、2万元、4万元的概率分别是12、13、16；乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化，乙项目在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为()01p p <<，设乙项目一年内价格调整次数为X ，X 取0、1、2时，一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设1y 、2y 分别表示对甲、乙两个项目各投资20万元一年后的利润. （1）写出1y 、2y 的概率分布列和数学期望； （2）当()()12E y E y >时，求p 的取值范围. 【答案】（1）分布列答案见解析，()1116E y =，()232E y p =-；（2）7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据已知条件可得出1y 、2y 的概率分布列，进而可求得()1E y 、()2E y ； （2）根据()()12E y E y >可得出关于p 的不等式，结合01p <<可求得p 的取值范围. 【详解】（1）1y 的概率分布列如下：2y 的概率分布列如下：()11242366E y =⨯+⨯+⨯=， ()()()22231221132E y p p p p p =⨯-+⨯-+⨯=-；（2）()()12E y E y >得11326p -<，得712p >， 又因为01p <<，7112p ∴<<，因此，p 的范围是7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.21．已知函数()()()13cos 3,xf x x e mx n x m n R =++++∈.（1）0m >，0n =时，讨论函数()f x 的导数()f x '的单调性； （2）1n =-时，不等式()113f x mx ≥+对0x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）在(),3-∞-上单减，在()3,-+∞上单增；（2）[)3,-+∞.【分析】(1)在给定条件下求出()f x '，再次求导并讨论其为正为负的x 的取值区间即得解；(2)把给定恒成立的不等式等价转化，构造函数利用导数分类讨论即可得解.【详解】（1）0m >，0n =时，()()13xf x x e mx =+++，()()2xf x x e m '=++，令()()2xg x x e m =++，由()()3xg x x e '=+，当3x <-时，()0g x '<；当3x >-时，() 0g x '>， 所以()f x '在(),3-∞-上单减，在()3,-+∞上单增；（2）1n =-时，不等式()()13cos 3113xf x x e mx x mx =++-+≥+对0x ≥恒成立，等价于()3129cos 60xx e mx x ++-+≥对0x ≥恒成立，令()()3129cos 6,0xq x x e mx x x =++-+≥，则()()3229sin x q x x e m x '=+++，()00q =，()()023q m '=+，令()()()3229sin ,0x h x q x x e m x x '==+++≥，则()()()339cos 39cos 0x x xh x x e x xe e x '=++=++>对0x ≥恒成立，从而有()q x '在[)0,+∞上单增，①3m ≥-时，()()00q x q ''≥≥，()q x 在[)0,+∞上单增，()()00q x q ≥=，即()3129cos 60x x e mx x ++-+≥对0x ≥恒成立，②3m <-时，()()0230q m '=+<，此时2243m ->， 2232222(2)3(4)29sin(2)12229sin(2)3333m q m m e m m m m m -'-=-++->-++-2129sin(2)03m =+->，02(0,2)3x m ∃∈-，使得()00q x '=，当00x x <<时，()0q x '<，()q x 在()00,x 上单减，当00x x <≤时，()()00q x q <=，故()3129cos 60xx e mx x ++-+≥对0x ≥不成立，综上，m 的取值范围是[)3,-+∞.【点睛】思路点睛：求参数范围的函数问题，利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用．22．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且2ab =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知点,B A 为椭圆1C 的左､右顶点，点P 为椭圆1C 上不同于A ､B 的任一点，在抛物线()22:20C y px p =>上存在两点,Q R ，使得四边形AQPR 为平行四边形，求p 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）14. 【分析】（1）根据题干条件及a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b ，c 的值，即可得答案. （2）由（1）知()2,0A ，设()11,Q x y ，()22,R x y ，()33,P x y ，连接,AP QR 设交于()00,D x y ，由题意得设设():0QR y kx m k =+≠，QR 与2C 联立，根据韦达定理，可得00,x y 表达式，进而可得点P 坐标，代入曲线1C 方程，利用换元法，化简整理，即可得答案.【详解】解：（1）由题意得：222322c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩221:14x C y ∴+=（2）由（1）知()2,0A ，设()11,Q x y ，()22,R x y ，()33,P x y ，连接,AP QR 设交于()00,D x y 四边形AQPR 为平行四边形，∴D 为,AP QR 的中点且QR 与x 轴既不垂直也不平行，设():0QR y kx m k =+≠，QR 与2C 联立消y 得()22220k x km p x m +-+= （）则12,x x 是（）的二根，()12221222km p x x k m x x k ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，且()222440km p k m ∆=-->，即20km p -+>① 12022x x km p x k +-∴==-，00py kx m k =+=， 3022x x +=，302y y =∴得()3022222km p x x k -=-=--，3022py y k==()2222,km p p P k k ⎫-⎛∴--⎪ ⎝⎭ 点P 在曲线1C 上，代入可得()22222214km p k p k -⎡⎤--⎢⎥⎛⎫⎣⎦+= ⎪⎝⎭，即222211km p p k k -⎫⎫⎛⎛++= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭令22sin 1cos pkkm p k θθ⎧=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩②③，其中,k k Z θπ≠∈ 由②得2sin p k θ=代入③得241cos p km p θ=-+代入①得282201cos p km p p p θ-+=-++>+解得1cos 8p θ+>sin 0θ≠，cos 1θ∴<，1cos 184θ+∴<，14p ∴≥ p ∴的最小值为14.【点睛】根据四边形AQPR 为平行四边形，得到各点间的关系，进而求得点P 坐标式关键，再代入求解即可，难点在于：处理222211km p p k k -⎫⎫⎛⎛++= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，可采用换元法，可简化计算，属中档题.第 21 页共 21 页。
2021年广东省珠海二中高考数学测试试卷(5月份)(附答案详解)
2021年广东省珠海二中高考数学测试试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知M，N是R的子集，且M⊆N，则(∁R N)∩M=()A. MB. NC. ⌀D. R2.已知复数z=cosθ+isinθ(i为虚部单位)，则|z−2|的最大值为()A. 1B. √2C. 2D. 33.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是()A. 16B. 116C. −16 D. −1164.设a=log515，b=log618，c=log721，则()A. a>c>bB. a>b>cC. b>c>aD. c>b>a5.已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为则下列说法一定正确的是()A. E(ξ1)>E(ξ2)B. E(ξ1)<E(ξ2)C. D(ξ1)>D(ξ2)D. D(ξ1)<D(ξ2)6.已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，若a1b1=3，a2b2=7，a3b3=13则a4b4=()A. 19B. 21C. 23D. 277.若指数函数y=a x(a>1)与函数y=x4的图象恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()A. (1,e4e)B. (1,e14)C. (1,e4)D. (1,4e)8.甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛.该竞赛共有十道判断题，三位同学的答题情况如下：考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是()A. √、√、×、×、√、√、√、×、√、×B. √、√、×、×、√、×、√、×、√、×C. √、√、×、×、√、√、√、√、√、×D. √、×、×、×、√、√、√、√、√、×二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列有关回归分析的结论中，正确的有()A. 运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(x−,y−)B. 若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强C. 若相关指数R2的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A. 直线AD1与直线A1C1所成角为π3B. 直线AD1与平面ABCD所成角为π3C. 二面角D1−AB−D的大小为π4D. 平面AB1D1⊥平面B1D1C11.设直线l：y=kx+1(k∈R)与圆C：x2+y2=5，则下列结论正确的为()A. l与C可能相离B. l不可能将C的周长平分C. 当k=1时，l被C截得的弦长为3√22D. l被C截得的最短弦长为412.已知x，y是正实数，且x+y=1，则下列说法中正确的有()A. x2+2y2有最小值23B. (x+1x)(y+1y)有最小值4C. x2+y2+1xy 有最小值92D. 3x2+1xy有最小值7三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知p：x2−3x−4≤0，q：|x−3|≤m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______ ．14.写出一个以(1,0)为对称中心的偶函数______ ，该函数的最小正周期是______ ．15.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，且|b⃗ |=2|a⃗|=2，若c⃗=λa⃗+μb⃗ ，其中λ+2μ=2，则向量a⃗在c⃗上的投影的取值范围为______ ．16.函数f(x)=cosx+√2sinx的最大值为______ ，记函数取到最大值时的x=θ，则cos(θ−π6)=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1，n∈N∗.数列{b n}是公差大于0的等差数列，b2=a3，且b1，b2，a4成等比数例．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n−1b n−1+a n b n，求T n．18.已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2，cosC=−14．(1)若sinA=2sinB，求b、c；(2)若cos(A−π4)=45，求c．19.已知函数f(x)=e x⋅(1x−lnx+a)，其中a∈R．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在定义域内单调递减，求a的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，且经过点M(√2,1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．21.如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，∠ABC=60°，QC=QD=2√2，PQ=a(a>0)．(1)设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；(2)当a=√14时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值．22.某班级共有50名同学(男女各占一半)，为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分．最后25组同学得分如表：(I)完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；(Ⅱ)某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布N(μ,σ2)，首先根据前20组男女同学的分差确定μ和σ，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与μ的差的绝对值分别为x i(i=1,2，3，4，5)，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型．①存在x i≥3σ；②记满足2σ<x i<3σ的i的个数为k，在服从正态分布N(μ,σ2)的总体(个体数无穷大)中任意取5个个体，其中落在区间(μ−3σ,μ−2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)内的个体数大于或等于k的概率为P，P≤0.003．试问该课题研究小组是否会接受该模型．参考公式和数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)√0.8≈0.894,√0.9≈0.949,0.9575≈0.803,43×0.9574≈36，43×43×0.9573≈1.62×103；若X～N({μ,{σ2})，有P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9974．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据条件，用Venn图表示M，N，R如下：由图看出，(∁R N)∩M=⌀．故选：C．根据条件可画出Venn图表示出集合R，M，N，由Venn图即可得出结论．考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．2.【答案】D【解析】解：∵复数z=cosθ+isinθ(i为虚部单位)，∴z−2=(cosθ−2)+isinθ，∴|z−2|=√(cosθ−2)2+sin2θ=√cos2θ+sin2θ+4−4cosθ=√5−4cosθ，则当cosθ=−1时，|z−2|取最大值3．故选：D．z−2=(cosθ−2)+isinθ，则|z−2|=√(cosθ−2)2+sin2θ=√5−4cosθ，从而当cosθ=−1时，|z−2|取最大值3．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模的等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵双曲线y24−x2−k=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴其实轴长为4，可得2√−k=8，∴k=−16．故选：C．双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍，列出方程，可求得双曲线的虚轴长，即可得出结论．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a=log53+1=1log35+1，b=log63+1=1log36+1，c=log73+1=1log37+1，∵log37>log36>log35>0，∴1log35>1log36>1log37，∴a>b>c．故选：B．可得出a=1log35+1,b=1log36+1,c=1log37+1，然后根据log37>log36>log35>0即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：E(ξ1)=1×14+3×12+5×14=3，D(ξ1)=(1−3)2×14+(3−3)2×12+(5−3)2×14=2，E(ξ2)=1×14+2×14+4×14+5×14=3，D(ξ2)=(1−3)2×14+(2−3)2×14+(4−3)2×14+(5−3)2×14=2.5，∴E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)，故选：D．先分别求出E(ξ1)，D(ξ1)，E(ξ2)，D(ξ2)，从而得到E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2).本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．6.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=an+b，b n=cn+d，则a n b n=(an+b)(cn+d)=acn2+(ad+bc)n+bd，令c n=a n b n=acn2+(ad+bc)n+bd，则d n=c n+1−c n=ac(n+1)2+(ad+bc)(n+1)+bd−acn2−(ad+bc)n−bd=2acn+(ac+ad+bc)为等差数列，已知a1b1=3，a2b2=7，a3b3=13，则c1=a1b1=3，c2=a2b2=7，c3=a3b3=13，∴d1=c2−c1=4，d2=c3−c2=6，可得数列{d n}的公差为2，d3=c4−c3=a4b4−a3b3=d2+2=8，∴a4b4=a3b3+8=13+8=21．故选：B．分别设出两个等差数列的通项公式，可得数列{a n+1b n+1−a n b n}为等差数列，结合已知即可求得a4b4．本题考查等差数列的通项公式，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】A【解析】解：当x<0时，函数y=a x(a>1)的图象与二次函数y=x4的图象有1个交点，由题意可得当x>0时，y=a x(a>1)与y=x4有两个交点，由a x=x4，可得xlna=4lnx，即14lna=lnxx，设f(x)=lnxx ，导数为f′(x)=1−lnxx2，当x>e时，f(x)递减；当0<x<e时，f(x)递增，可得f(x)在x=e处取得极大值，且为最大值1e，由0<14lna<1e，解得1<a<e4e，故选：A．讨论x<0时，两函数的图象有一个交点，只要当x>0时，y=a x(a>1)与y=x4有两个交点，由a x=x4，可得xlna=4lnx，设f(x)=lnxx，求得导数和单调性，可得最值，即可得到所求a的范围．本题考查了函数的导数的应用，函数的最值的求法，指数函数和二次函数的图象和性质，注意运用参数分离和导数，是一道中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．根据表格分析三个人答案相同和答案不同的题目，结合都对7题，即可分析出各题的正确答案．【解答】解：甲与乙1，2，3，10题答案相同，1√，2√，3×，10×，乙与丙2，4，5，7题答案相同，2√，4×，5√，7√，甲与丙2，6，8，9题答案相同，2√，6√，8×，9√，两两都有4题答案相同，6题不同，因为都对7题，所有4题相同的都答对了，6题不同的各对了3道，所有1−10题答案为：√√××√√√×√×，故选：A．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，回归方程必定经过样本中心(x−,y−)，故选项A正确；对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；对于C，若相关指数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错误；对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D正确．故选：ABD．利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，相关系数的意义和残差图的理解等，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，连结AC，CD1，因为A1C1//AC，故直线AD1与直线A1C1所成角即为直线AD1与直线AC所成角，，故选项A正因为△ACD1为正三角形，所以该角为π3确；对于B，因为DD1⊥平面ABCD，所以直线AD1与平面ABCD 所成角为∠DAD 1，在Rt △ACD 1中，∠DAD 1=π4，所以直线AD 1与平面ABCD 所成角为π4，故选项B 错误； 对于C ，在正方体中可得，D 1A ⊥AB ，AD ⊥AB ，故二面角D 1−AB −D 的平面角为∠DAD 1=π4，故选项C 正确；对于D ，设D 1B 1∩A 1C 1=O ，假设平面AB 1D 1⊥平面B 1D 1C ，又平面AB 1D 1∩平面B 1D 1C =B 1D 1，A 1C 1⊥B 1D 1，故A 1C 1⊥平面AB 1D 1，因为AD 1⊂平面AB 1D 1，则A 1C 1⊥AD 1，而A 1C 1与AD 1不垂直，故假设不成立，故选项D 错误． 故选：AC ．利用异面直线所成角的定义找到对应的角，求解即可判断选项A ；利用线面角的定义找到其对应的角，求解即可判断选项B ；找到二面角的平面角，然后求解即可判断选项C ；利用反证法，假设平面AB 1D 1⊥平面B 1D 1C ，推出矛盾，即可判断选项D ．本题考查了空间角的求解，考查的知识点有：正方体的几何性质，异面直线所成角的定义，线面角的定义，二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：直线l ：y =kx +1(k ∈R)恒过(0,1)， 定点在圆的内部．圆的圆心(0,0)，半径为√5， 所以直线不可能与圆相离，所以A 不正确；直线可能经过圆的圆心，此时直线的倾斜角为90°，所以直线不可能平方圆的周长，所以B 正确；当k =1时，l 化为x −y +1=0，圆心到直线的距离为：d =2，弦长为：2√5−12=3√2，所以C 不正确；定点与圆心的距离为：1，最短弦长为：2√5−1=4，所以D 正确． 故选：BD ．判断直线经过的定点与圆的位置关系，然后判断选项的正误即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．12.【答案】AC【解析】解：因为x +y =1，所以x =1−y >0，0<y <1，x 2+2y 2=(1−y)2+2y 2=3y 2−2y +1=3(y −13)2+23≥23 当y =13时，等号成立，所以A 正确；因为x +y ≥2√xy ，所以0<xy ≤14，(x +1x )(y +1y )=xy +xy +yx +1xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy−2≥14+8−2=254，当且仅当x =y =12时，等号成立，所以B 错误； x 2+y 2+1xy=1−2xy +1xy ≥1−2×14+4=92，当且仅当x =y =12时等号成立，所以C 正确；3x 2+1xy=3x 2+(x+y)2xy=4x 2+2xy+y 2xy=4x y+y x+2≥2√4+2=6，当且仅当x =13,y =23时等号成立，所以D 错误； 故选：AC ．对于选项A ，利用消元法结合二次函数的性质可得；对于选项B 、C 、D ，利用基本不等式中“1”的替换即可得到答案．本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到“1”的替换等，考查学生等价转化的思想，是一道中档题．13.【答案】[4,+∞)【解析】解：p ：x 2−3x −4≤0⇒(x +1)(x −4)≤0，解得−1≤x ≤4， q ：|x −3|≤m ，解得3−m ≤x ≤m +3， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴{m +3≥43−m ≤−1，解得m ≥4，则实数m 的取值范围是[4,+∞)， 故答案为：[4,+∞)．分别化简命题p ，q ，利用p 是q 的充分不必要条件即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】f(x)=cos π2x 4【解析】解：选择一个具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行分析， 故以(1,0)为对称中心的偶函数可以为f(x)=cos π2x ， 该函数的最小正周期为2ππ2=4．故答案为：f(x)=cos π2x ；4．从具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行考虑，即可得到答案．本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性的理解和应用，解题的关键是掌握常见的基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】(−12,1]【解析】解：如图所示，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∵λ+2μ=2，λ2+μ=1，又∵c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ，∴C 在直线BD 上， 当a⃗ 与c ⃗ 同向时，即C 与D 重合时，a ⃗ 在c ⃗ 上的投影最大为|a ⃗ |⋅cos0=1， 作OC//BD ，此时a⃗ 在c ⃗ 上的投影为|a ⃗ |⋅cos 2π3=−12，但取不到，∴a ⃗ 在c ⃗ 上的投影最小值大于−12， ∴a ⃗ 在c ⃗ 上的投影的范围为(−12,1]， 故答案为：(−12,1]．先得到OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ，从而C 在直线BD 上，再由数形结合即可得到范围． 考查一个向量在另一个向量方向上投影的定义及计算公式，向量数量积的运算，属于中档题．16.【答案】√3 3+√66【解析】解：f(x)=√3(3√23，令sinα=√3，则cosα=√2√3，则f(x)=√3sin(x+α)，则函数的最大值为√3，此时θ+α=2kπ+π2，k∈Z，则θ=−α+2kπ+π2，则sinθ=sin(−α+2kπ+π2)=cosα=√2√3，cosθ=cos(−α+2kπ+π2)=sinα=√3，则cos(θ−π6)=√32cosθ+12sinθ=√323+12×√23=12+√66=3+√66，故答案为：√3，3+√66．利用辅角公式，结合两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)由S n=2a n−1，可得n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1；n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−1−2a n−1+1，化为a n=2a n−1，则a n=2n−1；数列{b n}是公差d大于0的等差数列，由b2=a3，可得b2=4，由b1，b2，a4成等比数列，可得b22=b1a4，即有16=8b1，即b1=2，则d=4−2=2，所以b n=2+2(n−1)=2n；(2)T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n−1b n−1+a n b n=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，2T n=1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+n⋅2n+1，上面两式相减可得−T n=2+22+23+24+...+2n−n⋅2n+1，=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，化简可得T n=2+(n−1)⋅2n+1．【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式可得a n ；由等差数列的通项公式求得首项和公差，可得b n ；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为sinA =2sinB ，可得a =2b ，又a =2，可得b =1， 由于cosC =a 2+b 2−c 22ab =22+12−c 22×2×1=−14，可得c =√6．(2)因为cos(A −π4)=√22(cosA +sinA)=45，可得cosA +sinA =4√25，又cos 2A +sin 2A =1， 可解得cosA =7√210，sinA =√210，或sinA =7√210，cosA =√210， 因为cosC =−14，可得sinC =√154，tanC =−√15，可得C 为钝角，若sinA =7√210，cosA =√210，可得tanA =7，可得tanB =−tan(A +C)=tanA+tanCtanAtanC−1=√157×(−√15)−1<0，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去， 所以sinA =√210，由正弦定理2sinA =csinC ，可得c =5√302．【解析】(1)由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)数f(x)=e x ⋅(1x −lnx +a)的导数为f′(x)=e x (−1x 2−lnx +a)，由切线与直线y =ex 平行，可得f′(1)=e ，即e(−1+a)=e ，解得a =2； (Ⅱ)函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递减，可得f′(x)=e x (−1x 2−lnx +a)≤0在x ∈(0,+∞)恒成立， 所以a ≤1x 2+lnx ，令g(x)=1x2+lnx，g′(x)=−2x3+1x=1x(1−2x2)，由g′(x)=0，可得x=√2，所以当0<x<√2时，g′(x)<0，g(x)递减；当x>√2时，g′(x)>0，g(x)递增，可得g(x)min=g(√2)=12+12ln2，故只需a≤g(x)min，所以a的取值范围是(−∞,12+12ln2]．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，令f′(1)=e，解方程可得所求a的值；(Ⅱ)由题意可得f′(x)≤0在x∈(0,+∞)恒成立，由参数分离，结合导数求得最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆的定义，可知2a=|MF1|+|MF2|=√(2√2)2+1+1=4．解得a=2．又b2=a2−(√2)2=2．所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1．(2)设直线l的方程为y=2x+m，联立椭圆方程，得9x2+8mx+2m2−4=0.△=64m2−72m2+144>0，得−3√2< m<3√2．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=−8m9，x1x2=2m2−49，∴|AB|=√5⋅|x1−x2|=√5⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√5⋅√64m281−8m2−169=2√5⋅√2(18−m2)9，点O(0,0)到直线l：2x−y+m=0的距离d=5，S△AOB=12⋅|AB|⋅d=12⋅2√5⋅√2(18−m2)9√5∴=√2(18−m2)⋅m29(−3√2<m<3√2)≤√2(18−m2+m22)29=√2，当18−m2=m2即m2=9，m=±3时取等；所以△AOB 面积的最大值为√2．【解析】(1)由焦点坐标及过的点和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；(2)设直线AB 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而弦长AB ，再求原点到直线的距离，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】(1)证明：设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，因为QC =QD ，所以EC =ED ， 故点E 在CD 的垂直平分线上， 因为ABCD 是菱形，且∠ABC =60°， 故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ， 因为PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ， 所以PA//QE ，故PA ，QE 共面， 所以PQFA 为平面四边形；(2)解：分别以AB ，AF ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(1,√3,0)，F(0,√3,0),P(0,0,2)， 当PQ =a =√14时，由PF =√(√3)2+22=√7，又F 为等腰三角形QCD 的底边CD 的中点，故QF ⊥CD ，所以QF =√(2√2)2−12=√7， 故PF 2+QF 2=PQ 2，又QC =2√2， 设Q(x,y ，z)，则有{(x −1)2+(y −√3)2+z 2=(2√2)2x 2+(y −√3)2+z 2=7x 2+y 2+(z −2)2=14， 解得Q(0,2+√3,√3)，设平面PBC 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2)， 则有{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a −2c =0a +√3b −2c =0，令b =1，则a =√3,c =√3，故n ⃗ =(√3,1,√3)，又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2+√3,√3−2)， 所以|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=5√2−√614， 故直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值为5√2−√614．【解析】(1)设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，通过分析可得直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ，由线面垂直的性质可得PA//QE ，由此可推出PQFA 为平面四边形； (2)建立空间直角坐标系，设Q(x,y ，z)，通过线段的长度列出关于Q 的方程组，求出点Q 的坐标，求出所需向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可．本题考查了线线位置关系的判定以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(I)由表中数据，可得列联表；所以，计算K 2=50×(10×11−14×15)224×26×25×25≈1.282<2.706，所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； (Ⅱ)由题意知，μ=0，σ2=0.8；又x 1=0，x 2=2，x 3=0，x 4=2，x 5=2，而2σ≈1.788，3σ≈2.682， 所以不存在x i ≥3σ；又满足2σ<x i ≤3σ的i 的个数为3，即k =3；当X ～N(μ,σ2)，P(μ−3σ<X <μ−2σ)+P(μ+2σ<X <μ+3σ)≈0.9974−0.9544≈0.043；设从服从正态分布N(μ,σ2)的总体(个体数无穷大)中任意取5个个体， 其中值属于(μ−3σ,μ−2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)的个体数为Y ， 则Y ～B(5,0.043)，所以，P(Y ≥3)=1−0.9575−C 51×0.043×0.9574−C 52×0.0432×0.9573≈0.0008<0.003；综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型．【解析】(I)由表中数据画出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)由题意知μ、σ2的值，利用X～N(μ,σ2)和Y～B(5,0.043)计算对应的概率值，从而得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率的计算问题，是中档题．。
2020-2021学年高考数学理科第二次适应性检测及答案解析
最新普通高考第二次适应性检测理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}2|x 2x 0,|1x 3P x Q x =-+≤=<≤，则()R C P Q I 等于 A. []1,3 B. (]2,3 C. ()1,2 D.[]1,22.设复数z 满足()3443i z i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是 A. 4 B. 4i C.45i D.453.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,3内是增函数的是A. 12log y x = B. cos y x = C. xxy e e -=+ D.1y x x=+4.从0,2中选一个数字，从3,5,7中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A. 18 B. 16 C. 12 D. 105.已知向量,a b r r满足，,2,3a b a b ⊥==r r r r ，且32a b +r r 与a b λ-r r垂直，则实数λ的值为A.32 B. 32- C. 32± D.1 6.某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为 A. 2522 B. 62322+ C. 22522+ D. 62522+7. ()522131x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A. 2-B. 2C. 3-D.38.执行如图所示的程序框图，若将输出的数组(),x y 依次记为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，则程序结束时，最后一次输出的数组(),x y 是A. ()1007,2012-B. ()1009,2016-C. ()1008,2014-D.()1010,2018-9.若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且x y +的最大值为9，则实数m =A. 1B. 1-C. 2D. 2- 10.给出如下四个命题：①若“p 且q ” 为假命题，则p,q 均为假命题； ②若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则三点1010011010,,100,,110,10100110S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共线； ③2"x R,11"x ∀∈+≥的否定是2"x R,11"x ∃∈+<； ④在ABC V 中，"A B">是"sinA sinB">的充要条件.其中正确的命题个数是A. 4B. 3C. 2D. 1 11. 定义域是R的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当(]0,2x ∈时，()(](]22,0,1log ,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若(]4,2x ∈-时，()142t f x t ≤-有解，则实数t 的取值范围是A. [)()2,00,1-UB. [)[)2,01,-+∞UC.2,⎡⎡-⎣⎣UD. [)2,1,⎡-+∞⎣U12.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中1C ，3C 有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为A.B. 1C. 1D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线12,3y y x y x ==-=-所围成图形的面积是.14在数列{}n a 中，121,2a a ==且()()211nn n a a n N *+-=+-∈，则1251a a a +++=L .15.已知四面体P ABC -，其中ABC V 是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -的外接球的表面积为. 16.已知函数()sin cos f x x x =，给出下列五个结论：①20143f π⎛⎫=⎪⎝⎭②若()()12f x f x =，则()12x x k k z π=+∈； ③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④函数()f x 的周期为π； ⑤()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称. 其中正确的结论是（写出所有正确的结论序号）.三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17.（本小题满分12分）在ABC V 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，设S 为ABC V 的面积，满足)222s a b c =+-. （1）求角C 的大小；（2）求22sin sin A B +的取值范围.18.（本小题满分12分）为了判断学生解几何题和代数题能力是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22⨯列联表：（单位：人）几何体 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计302050（1）能否就此判断有97.5%的把握认为学生解几何题和代数题能力与性别有关？（2）现从选择做几何体的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）经过多次测试后，甲每次解答一道几何体所用的时间在57-分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在68-分钟，现甲、乙各解同一道几何体，求乙比甲先解答完的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥D ABC -的底面为等边三角形，2, 2.AB CD AD BD ====（1）求证：平面ABC ⊥平面;ABD （2）试求二面角A CD B --的余弦值；（3）在CD 上存在一点E ，使二面角D AB E --的大小为3π， 求DEEC的值.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的内接等边三角形AOB 的面积为33O 为坐标原点）.（1）试求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,1M ,,P Q 两点在抛物线C 上，MPQ V 是以点M 为直角顶点的直角三角形. （ⅰ）求证：直线PQ 恒过定点；（ⅱ）过点M 作直线PQ 的垂线交PQ 于点N ，试求点N 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 21.（本小题满分12分） 已知函数()()()()220,.1axmx f x m g x x e a R x =≠=∈+（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0m >时，若对任意[]()()1212,0,2,x x f x g x ∈≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4——1：几何证明选讲 已知A,B,C,D 是O e 上的四个点.（1）如图1，若90,,ADC BCD AB BC ∠=∠==o，求证：;AC BD ⊥（2）如图2，若AC BD ⊥于点E ，6,8,AB DC ==求O e 的面积S.23.（本小题满分10分）选修4——4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数且,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2cos sin 3ρθθ-=. （1）求1C 与2C 交点的直角坐标；（2）求1C 上任意一点P 到2C 距离d 的最大值.24. （本小题满分10分）选修4——5：不等式选讲 设()12 1.f x x x =++-（1）求不等式()3f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()()log 1a f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围.。
广东省珠海二中高三数学练习(12) 理 试题
〔第2题〕心尺引州丑巴孔市中潭学校二中2021届高三数学练习十二〔理〕选择题：本大题共8小题，每题5分。
总分值40分．在每题给出的四个选项中。
只有一项为哪一项符合题目要求的． 1. a R ∈，不等式31x x a-≥+的解集为P，且2P -∉，那么a 的取值范围是 ( )A.3a >-B.32a -<<C.2a >或3a <-D.2a ≥或3a <-2. 在右图的算法中，如果输入A=138，B=22，那么输出的结果是 A ．138B ．4C ．2D ．03．假设双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的 焦点重合，那么该双曲线的离心率是A ．5 B ．62C ．2D ．2334. 下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是A ．1sin cos 5A A +=B ．0AB BC ⋅<C ．03,33,30bc B === D ．tan tan tan 0A B C ++>5.正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，那么这个四棱锥的外接球的外表积为A ．B ．C ．D ．6. ：两个非零向量a =(m －1，n －1)，b =(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，那么m ＋n 的取值范围是A ．(2，32)B ．(2，6)C ．[]232， D ．[]6,27.8. 假设函数2()2f x x ax =-+与1()(1)xg x a -=+在区间[1,2]上都是减函数，那么a 的取值范围是 A ．(-1,0)B ．(-1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每题5分．总分值30分.(一)必做题(9—13题)9．1(,,),1abi a b i a b i=-+=+是实数是虚数单位则 . 10．假设函数sin()y A x ωϕ=+〔0A >，0ω>，||2πϕ<〕在一个周期内的图象如下列图，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=〔o 为坐标原点〕，那么A ω⋅= . 11．函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点依次为,,a b c ，那么,,a b c 的大小顺序是 .12．由数字1,2,3,4,5,6组成可重复数字的三位数中，各位数字中不同的偶数恰有两个〔如：124,224,464,……〕的三位数有 个〔用数字作答〕．13．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A,B,C 三种规格的成品分别为15、18、27块，要使所用钢板张数最少， 第一、第二种钢板的张数各是 . 〔注：一种钢板的张数不少于另一种钢板的张数的一半〕 〔二〕选做题〔14—15题，考生只能从中选做一题〕 14． 〔几何证明选讲选做题〕圆的直径13AB cm =，C 为圆上一点，CB AC ⊥，CD AB ⊥，垂足为D ，且6CD cm =，那么AD = cm .15．〔坐标系与参数方程选做题〕直线的极坐标方程为sin()42πρθ+=那么点〔0,0〕到这条直线的距离是 .三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题总分值12分〕()3cos (0)f x x x ωωω=+>.(1)假设()(0)2y f x πθθ=+<<是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；(2)()(3)g x f x =在( )23ππ-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，上的取值范围.17.〔本小题总分值12分〕 点(1,0),(1,0)A B -,直线,AM BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差为1.〔1〕求点M 的轨迹C 的方程；〔2〕假设过点(0,0)F 作直线交轨迹C 于,P Q 两点，证明以PQ 为直径的圆与直线:1l y =-相切.18.〔本小题总分值14分〕一射击运发动进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p 与运发动离飞碟的距离s (米)成反比．每一个飞碟飞出后离运发动的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足15(1) (04)st t =+≤≤，每个飞碟允许该运发动射击两次 (假设第一次射击命中，那么不再进行第二次射击)．该运发动在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，那么在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1) 在第一个飞碟的射击训练时，假设该运发动第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；(2) 求第一个飞碟被该运发动命中的概率；(3) 假设该运发动进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率19. 〔本小题总分值14分〕函数22()(1)(1)(0 )x b f x x a x=-+-∈+∞，，，其中0a b <<.(1)当12a b ==，时，求)(x f 的最小值；(2)假设()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设0k c >、，当22()ak b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22()(2)a k c b k c =+=+，时，记2()()f x f x =. 求证：2124()()()c f x f x k k c +>+.20．〔本小题总分值14分〕如图1，在平面内，ABCD 是60,BAD AB a ∠=︒=且的菱形，ADD ``A 1和CD D `C 1都是正方形．将两个正方形分别沿AD ，CD 折起，使D ``与D `重合于点D 1 .设直线l 过点B 且垂直于菱形ABCD 所在的平面，点E 是直线l 上的一个动点，且与点D 1位于平面ABCD 同侧〔图2〕． 〔1〕设二面角E – AC – D 1的大小为，假设4π3π，求线段BE 长的取值范围；〔2〕在线段1D E 上存在点P ，使平面11//PAC 平面EAC ，求1D PPE与BE 之间满足的关系式， 并证明：当0 < BE < a 时，恒有1D PPE< 1． 〔第20题–1〕21．〔本小题总分值14分〕在数列{a n }中，a 1=p>0,且a n+1·a n =n 2+3n+2,n ∈N *.〔1〕假设数列{a n }是等差数列，求p 的值； 〔2〕求数列{a n }的前n 项和S n ；〔3〕当n ≥2时，求证：21211ni in a n =->+∑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
珠海市 高三高考适应性考试
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{|2,},{|lg(1)},x
M y y x R N x y x ==∈==-则下列各式中正确的是
A ．M N M =U
B ．M N N =U
C ．M N =
D ．M N =∅I 2.下列说法中，正确的是
A ．命题“11
,a b a b
><则
”的逆命题是真命题 B ．对于函数()y f x =，x R ∈“()y f x =的图象关于y 轴对称”是 “()y f x =是奇函数”的充要条件
C ．线性回归方程y bx a =+$$$对应的直线一定经过其样本数据点()()1122,,,,x y x y
(),,n n x y L 中的一个点
D ．命题“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是“2
,0x R x x ∀∈-≤”
3.设变量,x y 满足约束条件00220x x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
中，则32z x y =-的最大值为
A.0
B.2
C.4
D.6 4.在ABC ∆中，
,,a b c 分别为角A,B,C 的对边，若cos cos c B b C =，且2cos ,
3
A = 则cos
B = A.
C. D. 5.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，
则①处应填的数字为
A.4
B.5
C.6
D.7 6．正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与 平面1D EF 平行的直线
A ．有无数条
B ．有2条
C ．有1条
D ．不存在
7.若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被
抛物线2
4y bx =的焦点分成5：3两段，则此双曲线的渐近线为
A.350x y ±=
B.530x y ±=
C.150x y ±=
D.150x y ±= 8.函数()f x 的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 满
足：①()[],f x a b 在内是单调函数；②()[],f x a b 在上的值域为[],ka kb ， 则称区间[],a b 为()y f x =的k 级“理想区间”.下列结论错误的是 A.函数()()2
f x x x R =-∈存在1级“理想区间”
B.函数()()x f x e x R =∈不存在2级“理想区间”
C.函数()()2401
x
f x x x =
≥+存在3级“理想区间” D.函数()()1log 0,14x
a f x a a a ⎛⎫
=-
>≠ ⎪⎝
⎭
不存在4级“理想区间” 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.复数231i
z i
-=
+的虚部是________.
.
A
E
D
C B
O
10.一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体 积为 .
11.若2
2
()n
x x
-的二项展开式中，所有项的二项式系数和为64， 则该展开式中的常数项为 （用数字作答）．
12.已知正方形ABCD,M 是DC 的中点，由AM mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r
确定,m n 的值，
计算定积分
sin n m
xdx π
π=⎰__________.
13.在平面直角坐标系xoy 中，若直线1y kx =+与曲线11
y x x x x
=+--有四个公共点，
则实数k 的取值范围为 .
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14.（坐标与参数方程选做题） 在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+ 与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_______.
15.（几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若6AB =,2ED =,则BC =_________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分13分） 已知向量
2,1),(cos ,cos )444
x x x m n ==r
r ，记()f x m n =⋅r r
（Ⅰ）若 3()2f a =
，求 2cos()3
a π-的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
23
π
个单位得到()y g x =的图象， 若函数()y g x k =-在 70,3π⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦上有零点，求实数k 的取值范围.
17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，非常数等比数列{}n b 的公比是q ，且满足：
12a =，122231,3,b S b a b ===.
（I ）求n n a b 与；
（II ）设2
23n
a n n c
b λ=-⋅，若数列{}n
c 是递减数列，求实数λ的取值范围.
18.（本小题满分13分）
某批产品成箱包装，每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中， 第一，二，三箱中分别有0件，1件，2件二等品，其余为一等品.
（Ⅰ）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，
求恰有两次抽到二等品的概率；
（Ⅱ）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检
的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，
602=2ABC AB CB ∠==o ，.在梯形ACEF 中，EF//AC ，
且AC=2EF ，EC ⊥平面ABCD. （I ）求证：BC AF ⊥；
（II ）若二面角D AF C --为45°，求CE 的长.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为e ，半焦距为c ，()0,1B 为其上顶点，
且2
a ，2
2
,c b 依次成等差数列.
（I ）求椭圆的标准方程和离心率e ；
（II ）P,Q 为椭圆上的两个不同的动点，且2
BP BQ k k e ⋅=.
（i ）试证直线PQ 过定点M ，并求出M 点坐标；
（ii ）PBQ ∆是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ 的斜率；否则请说明理由.
21．（本小题满分14分）
对于函数))((D x x f ∈，若D x ∈时，恒有)()(x f x f >'成立，则称函数)(x f 是D 上 的“J 函数”．
(Ⅰ)当函数x me x f x
ln )(=是定义域上的“J 函数”时，求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)若函数)(x g 为()+∞,0上的“J 函数”． （ⅰ）试比较)(a g 与)1(1
g e
a -的大小（其中0a >）；
（ⅱ）求证：对于任意大于1的实数1x ，2x ，3x ，，n x 均有：
)(ln )(ln )(ln ))(ln(2121n n x g x g x g x x x g Λ++>+⋅⋅⋅++．
高三高考适应性考试数学（理科）参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．C 8．D 二、填空题
9．52-
10． 168π+ 11．240 12．1 13． 11(,)88- 14． 12
+
15．三、解答题
16.（Ⅰ）2cos(
)13a π-=； （Ⅱ）30,2k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 17.(Ⅰ)1
2,2n n n a n b -==；（Ⅱ）1
(,)3
λ∈+∞.
18.（Ⅰ）
36125；（Ⅱ）9121510123 1.250255025
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.(Ⅰ)略；
（Ⅱ）CE =
. 20.(Ⅰ)
221,3x y e +==
； （Ⅱ）定点(0,3)M -（ii
）pq k =21.(Ⅰ)()+∞,0 ；
(Ⅱ)（i ）当1>a 时，)1()(1
g e
a g a ->； 当1=a 时， )1()(1g e a g a -=
当10<<a 时， )1()(1
g e a g a -<
（ii ）略．。