古坳初中九年级数学相似三角形的应用导学案
九年级下册数学27.2相似三角形的应用举例导学案
〔学习设计〕 学习过程
新课引入： 1． 复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾相似三角形的概念及判定方法
设计意图说明
以旧引新，帮助学生 建立新旧知识间的 联系。
提出问题： 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度
的问题？（学生小组讨论） ↓
PQ90 (PQ 45) 60 。解得 PQ=90
三试牛刀： 例 5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m 和 CD=12m， 两树的根部的距离 BD=5m，一个身高 1．6m 的人沿着正对这两棵 树的一条水平直路 L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小 于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C？
备选题： 已知零件的外径为 25cm，要求它的厚度 x，需先求出它的内孔
直径 AB，现用一个交叉卡钳（AC 和 BD 的长相等）去量（如图）， 若 OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度 x。
备选题答案： x=2
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P
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P
∆PQR∽∆PST
Q
Rb
a
S
T
让学生在解决实际 问题的过程中学会 建立数学模型，通过 建模培养学生的归 纳能力。
FH 8 1.6 6.4 ，即 PQ QR ， PQ 60 ， FH 5 12 1.6 10.4 PQ QS ST PQ 45 90
分析： AB l,CD l AB∥CD，∆AFH∽∆CFK。
FH AH ，即 FH 8 1.6 6.4 ，解得 FH=8。 FK CK FH 5 12 1.6 10.4
九年级数学 相似三角形应用举例(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例【知识与技能】进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形解决不能直接测量的物体的长度和高度等一些实际问题.【过程与方法】通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型，进一步体会数学建模的思想方法.【情感态度】培养学生分析问题、解决问题能力，增强观察、归纳、建模、应用能力，在活动中也培养学生良好的情感态度，主动参与、合作交流意识.【教学重点】运用相似三角形的知识求不能直接测量的物体的长度和高度.【教学难点】在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.一、情境导入，初步认知问题一天上午10:00时，九年级的小明带着弟弟在操场上玩，弟弟看见高高的旗杆，好奇地问：哥哥，这旗杆好高啊，你知道它有多高吗？”望着高高的旗杆，小明一下子愣住了.但小明是个要强的孩子，他不愿意失去弟弟心目中“大英雄”的地位，绕着旗杆转了几圈，抬头望望，低头看看，这时他的目光停留在自己的影子和电线杆的影子上，他记得自己身高为1.60 米，联想到了刚刚学过相似三角形的知识，终于想到求出旗杆高度的方法了，并给弟弟一个满意的答案.同学们，如果是你，你有办法求出旗杆的高度吗？与同伴交流你的想法.【教学说明】通过学生能感受到的问题情境，提出问题，可激发学生的求知欲望，增强学习兴趣.在学生的相互交流过程中，慢慢感受到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度的思路方法，引入新课.二、典例精析，掌握新知例1据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，如果木杆EF长为2m，它的影长FD为3m.测得0A = 201m，求金字塔高度BO.【教学说明】利用学生刚刚获得的体验来解决金字塔的高度问题水到渠成，教学过程中教师应关注学生的说理过程，锻炼学生分析问题，解决问题及推理能力.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和点S，使P、Q、S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线b上选取适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线a的交点 R.如果测得 QS=45m，ST=90m，QR =60m，求河的宽度PQ.【教学说明】本题可让学生独立完成，选一名同学在黑板上写出解答过程，然后师生共同评析.然后教师可设置以下几个问题让学生思考：(1)PS与河垂直是必须的吗？如果不是，请用类似的方法再设计一种估算河岸的方法，试试看；(2)如果保持犘犙与河垂直，删去直线b，在PR延长线上去一点T，过T作TS⊥a，垂足为S，是否也能求出河的宽度PQ?如果可以，需测量出哪些线段长？通过学生对上述问题的思考，可增强学生的数学建模能力，锻炼一题多解的解题习惯，进一步领会用相似三角形知识可求出不能直接测量的物体的高度（或长度），达到融会贯通的目的.例3如图，左、右并排的两棵大树的高 AB=8m，CD=12m，两树根部的距离BD=5m. 一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？【教学说明】教师首先应引导学生弄清题意，即当观察者行至图（2)位置时，恰好看到较高树的顶端点C，再往右行，由于树的遮挡，就不能看到点C了，因而问题的关键转化为求图(2)中观察者所处位置M与B之间的距离.这时可设观察者的水平视线与AB、CD分别交于 P、Q，利用树的平行关系，可找出图中相似三角形进而可求线段BM的长.三、运用新知，深化理解1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？2.如图，身高1.5m的人站在离河边3m处时，恰好能看到对岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面高度ED为0.75m，电线杆高MG为4.5m，求河宽.【教学说明】对于第2题，教师可提高向学生提示应通过证△DEF∽△KMF来解题.接着让学生自主完成，教师巡视，及时指导.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解:设这栋高楼的高度是x米.由题意得：1.8390x.解得:x=54.即这栋高楼的高度为54米.四、师生互动，课堂小结用相似三角形的知识测量不能直接测量的物体的高度时，有哪几种构建三角形相似的方法，试举例说明.【教学说明】同学们相互交流后，师生共同回顾，积累构建相似三角形的经验.1.布置作业：从教材P42〜44习题27. 2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.前面的课时中探讨了如何判定两个三角形相似，本课时将实际问题转化为两个三角形相似的数学模型.在教学时教师应重点强调这个转化过程是如何实现的.总体来看，本课时首先呈现生活中常见问题，以便让学生体会其必要性，接着通过三个例题让学生掌握运用相关知识解应用题的思路.整个教学过程中都渗透了转化思想，教师应注意让学生把握这一点.27.2.3 相似三角形应用举例第1课时相似三角形应用举例（1）——测量塔高与测量河宽一、新课导入1.课题导入情景一：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万多人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.情景二：在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？那么，具体是怎样操作的呢？这节课我们一起来探讨这两个问题（板书课题）.2.学习目标(1)利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.(2)体会数学转化的思想，建模的思想.3.学习重、难点重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.难点：数学建模.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P39例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①怎样判定两个直角三角形相似？②你知道哪些利用相似三角形测物体高度的方法？③如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.∵BA ∥DE,∴∠BAO= ∠EDF ,又∵∠BOA=∠EFD= 90° ,∴△BOA ∽△EFD .∴BO OA EF FD.∵EF=2 m，FD=3 m，OA=201 m，∴BO= 134 m .④总结本题的解题思路.⑤在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？(54 m)2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生是否理解这种测量方法的原理.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化（1）以师生对话的形式推进课堂交流活动.（2）点一名学生板演自学参考提纲第⑤题.1.自学指导（1）自学内容：教材P40例5.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①你有哪些利用全等三角形的知识测量河宽的方法？②用相似三角形的知识估算河的宽度：如图,由QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 求河宽PQ，需证哪两个三角形相似？∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P ，∴△PQR ∽△PST ，∴PQ QR PS ST=，设PQ=x,可列方程604590xx=+，解得x= 90 .因此河宽约为90 m.③如图，测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽AB. ∵∠ABD=∠ECD=90°,∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.∴CE CD BA BD=.即5060120BA=.解得AB=100(m).④为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如右图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，AC；②EF，DE，BD；③DE，DC，BC；④DC，DB，AC．能根据所测数据求出A，B间距离的有（B）A.1组B.2组C.3组D.0组2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否通过阅读例题的解题过程弄清实际问题是怎样转化为数学问题的.②差异指导：根据学情指导学生画图，把实际问题抽象成数学问题.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）运用相似三角形解决实际问题的基本思路是：根据题目所给的条件和所求问题建立相似三角形模型.解题步骤为：先证三角形相似，再运用相似三角形性质得比例线段，然后列方程或直接计算求值.（2）点一名学生板演自学参考提纲第③题，点一名学生口答自学参考提纲第④题，并点评.三、评价1.学生自主学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生对学习的专注程度，小组协作状态等方面进行评价.（2）纸笔评价（课堂检测题）.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时主要是让学生经历了运用两个三角形相似解决实际问题中的测量问题的过程，体验从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力和数学应用能力.因此，为了增强数学的趣味性，在教学设计中选择有趣的实际问题，让学生在富有故事性或现实性的数学情境问题中，谈及解决问题的方法，激发学生的学习兴趣.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=8.4 m，则楼高CD是多少？解：∵EB∥DC,∴△AEB∽△ADC.∴EB AB DC AC=,即12161684....DC=+,求得DC=7.5（m）.2.(10分)为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE ⊥AC，测出AD=35 m，DC=35 m，DE=30 m,求池塘的宽AB.解：∵AC⊥AB,DE⊥AC，∴AB∥DE,∴△CDE∽△CAB,∴DE CD AB CA=,即30353535AB=+,求得AB=60(m).3.(10分)如图是一个照相机成像的示意图，MN∥AB.（1）如果像高MN是35 mm，焦距DL是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远(即LC的长度)？（2）如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？解：（1）设拍摄点离景物的距离为x mm.∵MN∥AB,∴△MNL∽△BAL,∴MN DL BA CL=,即35504900x=,解得x=7000.7000 mm=7 m.∴拍摄点离景物距离为7 m. （2）设相机的焦距为y mm.由相似三角形的性质可得：3520004000y=,解得y=70.∴相机的焦距应调整为70 mm.4.(40分)某班同学进行课外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：（Ⅰ）如图1，先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC 到D，BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为AB的距离；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，最后测出DE的长即为AB的距离.阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？可行，理由是∵DC=AC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,∴△ACB≌△DCE(SAS).∴AB=DE ；（2）方案（Ⅱ）是否可行？可行，理由是∵BF⊥DE,BF⊥AB,∴∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC≌△EDC(ASA).∴AB=ED .（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使△ABC≌△EDC ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否可行？(可行.因为△ABC依然全等于△EDC.)（4）方案（Ⅱ）中，若使BC=n·CD，能否测得（或求出）AB的长？能.理由是依题意，∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴BC AB==，若ED=m，则AB= mn .nDC ED二、综合应用（20分）5.(20分)如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直至她刚好在镜子中看到大楼顶部，这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55 m，她估计自己的眼睛离地面1.50 m，同时量得LM＝30 cm，MS＝2 m，这栋大楼有多高？解：∠LMK=∠SMT.又∵∠KLM=∠TSM=90°, ∴△KLM∽△TSM,∴KL LM TS SM=,即15032..TS=,解得TS=10(m).∴这栋大楼有10 m高.三、拓展延伸（10分）6.（10分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m，求A、B两地间的距离.解：由题意可知，CD=20 m,CE=40 m,AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m.∴AC=AD+DC=120 m,BC=BE+CE=60 m.∴13CD CECB CA==,而∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.∴13DEBA=,∴AB=135(m).∴A、B两地间的距离为135 m.。
【九年级】相似三角形导学案
【九年级】相似三角形导学案4.2相似三角形[学习目标]1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.2.能够使用相似三角形的概念来判断两个三角形的相似性3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质.[学习重点和难点]学习重点：相似三角形的概念学习难点：找出特定图形中相似三角形的对应边，写出比例公式。
你需要有一定的决心［前自学，中交流］一、合作学习与探索新知识1、将图1中△abc的边长缩小到原的，并画在图1中,记为△（点，，分别对应点a，b，c）.问题讨论1：相应角度之间的定量关系是什么△ 和△ ABC？问题讨论二：△与△abc对应边之间有什么数量关系？图12、（1）相似三角形的定义：（2）如果△ 类似于△ ABC，马克△ ABC和阅读：△ 基础知识（3）几何语言表述图1中△与△abc相似：∵∠a=，∠b=，∠c=∴△△abc3.（1）相似三角形的性质：（2）相似三角形对应边的，叫做相似三角形的相似比（或相似系数）。
两者之间的相似性比率是多少△ 和△ 图1中的ABC？两者之间的相似性比率是多少△ ABC和△?二、应用新知例1如图2所示，D和E分别是AB侧和AC侧的中点。
验证：△ 艾德≓△ 基础知识找一找：已知：如图2，图3，图4,根据3个图形，分别写出他们的对应角和对应边的比例式.(1) △ 基础知识≓△ 阿德，公元前（2）△abc∽△ade，其中∠ade＝∠c(3) △ 基础知识≓△ 阿德，公元前例2如图2，△abc∽△ade.已知ad:db=1:2,bc=9?，求de的长.变量：如图5所示，△ 基础知识≓△ 艾德，艾德=2？，ab=6ac=4找出AE的长度［当堂训练］整合工作：1．下列说法正确的是：① 两个等腰三角形必须相似② 两个直角三角形必须相似③ 两个等边三角形必须相似④ 两个等腰直角三角形必须相似⑤ 两个全等三角形必须相似2.如图,d是ab上一点,△abc∽△acd,且a d:ac=2:3,ad=4,∠adc=65°,∠b=43°（1）计算∠ ACB和∠ ACD；(2)写出△abc与△acd的对应边成比例的比例式,求出相似比..3.在以下两组图形中，每组的两个三角形相似。
相似三角形的判定(4)导学案
年级：九年级 班级： 学生姓名： 制作人： 不知名 编号：2023-1227.2.1 相似三角形的判定（4）学习目标：1. 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”和“斜边直角边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．2. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和“斜边和一条直角边成比例，两个直角三角形相似”的判定方法，并能根据条件选择合适的方法判定两个三角形相似．难点：1. 通过计算证明这两个判定方法．2. 会根据条件选择合适的方法判定两个三角形相似．预学案1. 观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能______，但它们看起来是______的.如果两个三角形的 ，那么这两个三角形相似．2. 如果两个直角三角形的那么这两个直角三角形相似．探究案【探究一】 （动手画一画）作∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使得∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，这时它们的第三角满足∠C =∠C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？ 猜测：如果两个三角形的 ， 那么这两个三角形相似．已知：求证:证明：归纳： 的两个三角形 .符号语言：∠ ，∠△ABC ∠△DEF 11AB A B 11BC B C 11AC A C C B A FE【探究二】类似判定直角三角形全等的“HL ”, 你能得到判定直角三角形相似方法吗？猜测：如果两个直角三角形的 ， 那么这两个直角三角形相似．已知： 求证:证明：归纳: 直角三角形相似的判定定理：如果两个直角三角形的 ， 那么这两个直角三角形相似．简称为： ， .符号语言： ∠ ，∠∠ABC ∠∠DEF 检测案1． 如图，CD 是Rt ∠ABC 的高，DE ∠BC ，垂足为E ，则图中与∠ABC 相似的三角形共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2． 如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有 （ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3 在∠ABC 和∠A 'B ′C ′中，如果∠A ＝48°，∠C ＝102°，∠A ′＝48°，∠B ′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________．4． 在∠ABC 和∠A 'B ′C ′中，如果∠A ＝34°，AC ＝5cm ，AB ＝4cm ，∠A ′＝34°，A 'C ′＝2cm ，A ′B ′＝1.6cm ，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．5. 已知：如图，在Rt ∠ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ∠AB 于D .(1) 求证：∠ACD ∠∠ABC (2) ∠CBD∠∠ABC(3) AC 2＝AD ·AB ； (4) 若AD ＝2，DB ＝8，求CD ；(5) 若AC ＝6，DB ＝9，求AD . FD A。
九年级数学上册3.5相似三角形的应用导学案新版湘教版
相似三角形的应用1．进一步牢固相似三角形的知识．2．能运用三角形相似的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度( 如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题 ) 等的一些实诘问题．3．经过把实诘问题转变为有关相似三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育剖析问题、解决问题的能力．阅读教材 P91，自学“动脑筋”和“做一做” ，学会运用相似三角性的判断与性质解决实诘问题，学会从实诘问题中建立数学模型 .自学反响学生独立完成后集体校订①太阳光下，同一时辰，物体的长度与其影长成(正比或反比).②太阳光下，同一时辰，物体的高度、影子、光辉构成的三角形相似吗？活动 1小组议论例 1小刚用下边的方法来丈量学校大楼AB 的高度 . 如图，在水平川面上的一面平面镜，镜子与讲课大楼的距离 EA=21 m，当他与镜子的距离CE=2.5 m 时，他恰好能从镜子中看到讲课大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6 m，请你帮助小刚计算出讲课大楼的高度AB是多少 m.( 注意 : 根据光的反射定律，反射角等于入射角)解 : 依据反射角等于入射角，则有∠DEF=∠ BEF，而 FE⊥AC，∴∠ DEC=∠ BEA.又∵∠ DCE=∠ BAE=90° ,∴△ DEC∽△ BEA.∴DC=BA.EC AE又∵ DC=1.6,EC=2.5,EA=21,∴=AB.2.5 21∴AB=13.44(m).即建筑物AB的高度为13.44 m.从实诘问题的状况中，找出相似三角形是解决本类题型的要点.活动 2追踪训练(独立完成后展现学习成就)1. 如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，并且落在离网 4 m 米的地点，则球拍球时的高度h 为m.确立相似三角形，再依据相似三角形的性质求出线段的长.2. 一束平行的太阳光从教室窗户射入的平面表示图如图，光辉与地面所成角∠ AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下沿到教室地面的距离 BC=1米，则窗户的上沿到教室地面的距离AC 为 米 .应从实诘问题中建立相似的数学模型，将实诘问题转变为数学识题.阅读教材 P92，自学“例”，学会运用相似三角性的判断与性质解决实诘问题， 学会从实诘问题中建立数学模型.活动 1 小组议论例 2 如图，测得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽 .解 : 由题意 , 可得∠ B=∠ C=90° , ∠ ADB=∠EDC ， ∴△ ADB ∽△ EDC.∴ AB =BD .EC CD即 AB=BD ·EC = 120 50 =100(m). CD 60答 : 河宽 AB 为 100 m.证明相似三角形的方法很多，要依据实质状况，选择最简单、适合的一种 .活动 2 追踪训练 ( 独立完成后展现学习成就 )如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是 10 m ，在这岸走开岸边 16 m 处看 对岸 ，看到对岸的 两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有 1 棵 树，但对岸 被遮住的两棵树之间有四棵树，求这段河的河宽是多少米？先由实诘问题建立相似的数学模型，可先证得△ADE∽△ ACB,再依据对应线段成比率可求出河宽，即线段 DC的长 .活动 3课堂小结学生试述 : 这节课学到了些什么？讲课至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学1】自学反响①正比②相似【合作研究1】活动 2追踪训练2.3 m【合作研究2】活动 2追踪训练24 m。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的应用(一)》导学案
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的应用（一）》导学案课标依据：了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比。
教学目的:1、进一步巩固相似三角形的知识．2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．重点、难点1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．一、知识链接1、判断两三角形相似有哪些方法2、相似三角形有什么性质二、.探索新知1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？2、例题讲解：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：3、课堂练习在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）A B D EC4、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS = 45 m ，ST = 90 m ，QR = 60 m ，求河的宽度PQ ．5.如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，求河宽AB 。
三、当堂检测1 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？F E DCB AL'L F'F B H2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC ⊥AB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E,使DE ⊥AC ，测出AD=35m ，DC=35m ，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB 吗?3、如图，已知零件的外径a 为25cm ，要求它的厚度x ，需先求出内孔的直径AB ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm ，求厚度x 。
九年级 相似三角形的应用1 导学案
E B C D A：1．利用三角形的相似解决一些实际问题。
2．会推断，证明具体的相似问题。
重难点：相似图形的应用。
教学方法：总结归纳法。
一、知识连接：1．相似三角形的三种判定方法。
2．文字语言与几何语言的相互转化。
二．自学探究：自学课本46页—48页例题三．合作交流，无限分享。
（1）人的实际高度|人的影长=被测物体的实际高度|被测物体的影长（2）利用标杆测物体高是相似三角形的判定与性质的实际应用，其关系式：标杆高度—人眼高度|旗杆高度—人眼高度=人到标杆的距离|人到旗杆的高度（3）人眼高度|旗杆高度=人与镜子的距离|旗杆与镜子的距离四．能力提升：1、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是 （ ）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长2、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是 （ ）A.路灯的左侧B.路灯的右侧C.路灯的下方D.以上都可以3、如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,则河宽DE 为 --------------------------------------------------------------- ( )(A).5m (B).4m (c).6m (D).8m4、在阳光下，身高1.68m 的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m ．E C A B C D E A 求旗杆的高度(精确到0.1m)．5、如图:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B 和C,使AB ⊥BC,然后,再选点E,使EC ⊥BC, 用视线确定BC 和AE 的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米, 求两岸间的大致距离AB.，6、如图,甲楼AB 高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是1: 0.5 ,已知两楼相距21米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?四．课后反思：。
初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第一课时导学案(2021年整理)
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相似三角形的判定(一)导学案学习目标：(1) 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''';(2) 知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时,△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k ．(3) 理解掌握平行线分线段成比例定理重点、难点教学重点： 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．教学难点： 掌握平行线分线段成比例定理应用．一、知识链接1、相似多边形的主要特征是什么？2、相似三角形有什么性质？二 合作探究1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中,如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． 2）问题：如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?明确 （1）在相似多边形中,最简单的就是相似三角形。
九年级数学下册 相似三角形的应用(一)导学案 新人教版
课题：相似三角形的应用（一）自研课（时段：晚自习时间： 10分钟）旧知连接：相似三角形的判定定理.新知自研：课本P49-50例3和例4内容.展示课（时段：正课）【学习主题】1、会利用相似三角形的性质，根据物体的影长求物体的长；2、会利用相似三角形的性质，求河流的宽.【定向导学·互动展示·当堂反馈】导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略（内容·学法·时间）展示方案（内容·学法·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成·同步演练）例题导析45分金字塔是埃及的象征，各国的科学家都在长期研究它的奥秘，聪明的你，能利用所学的三角形相似的知识测量出金字塔的高度吗？【学法指导】自研教材第49页的例3：·仿照例题，设计方案求学校旗杆的高度，你的方案：根据实物图，试画出几何图形标上相应的数值，求出旗杆的高度：【思維啟動】你还有其他的方案求旗杆高度吗？（详见教材67页的数学活动1，把你新的方案写在右侧的随堂笔记中）①两人小对子商讨内容：·例3如何设计方案测量金字塔的高度要求：·小对子头碰头·交流自学成果·询问价值问题②五人互助组在组长的带领下，商讨：·测量高大建筑物高度的不同方案·如何设计宽大河流不同的方案展示单元一：方案预设1：相似求高度：根据实际情况构建几何图形，标明已知条件，寻找相似，比例式解决问题；总结“相似求高度”问题的不同方法和过程.方案预设2：相似求宽度按照“例题导析→测旗杆高度方案：方案：画图标值、计算【等级认定】：同类演练一位同学想利用竹竿测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影子长为0.9m，但当他马上测量树影时，发现因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长为2.7m.该同学求得的树高是多少？“我们都有一个家，名字叫中国，家中藏有两条龙，是长江与黄河…”这首耳熟能详的歌曲中，有中国的两条巨龙—长江与黄河，那么，你能测出它们的宽画图处度吗？【例题导析】自研教材第50页的例4：①关注课本的模型建构的过程，如果实际操作，你能给大家一些提醒的注意点吗？②找到相似三角形，证明相似，利用比例式解决实际问题：※③大家还能有其他的模型建构方法吗？在右侧的构图区自主构图，自我解答（参考50页的练习题2）.（13分钟）③十人共同体·大组长和小组长分别站立本组两头，其他成员站立自己座位区，进行任务分工·部分人员板面设计·剩余同学展示预展（12 分钟）画图→解答→思路分析→注意事项”的过程进行展示；发动全班大互动，探究“相似求宽度”的更多方法.（20分钟）同类演练15分自主研读右侧同类演练，关注：1.与例题比较出现了新问题，落在墙上的影子怎么处理？建议：①可以把墙砸了，让影子全部落在地上；②你还能想到别的处理办法吗？2.按例题解决方法，解决问题.抽起小黑板，尝试自主完成同类演练.另：每组指派两名代表上大黑板自主板演.（8分钟）全班互动型展示①演练问题大搜索；②问题纠错后的自主性展示，拓展性展示；③针对小黑板自主演练的内容，回归纠错，并将同类演练的答案规范的完成在学道上.（7分钟）训练课（时段：晚自习，时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题”自评：师评：基础题：1、在同一时刻，小R量得小D的身高是1.5m，小D的影长是1 m，旗杆的影长是8 m，则旗杆的高度是 m。
相似三角形应用举例导学案
年级：九年级班级：学生姓名：制作人：不知名编号：2023-1227.2.3 相似三角形应用举例学习目标：利用三角形相似的概念解决一些简单的实际问题。
预学案1.测量不能到达顶部物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物体高与影长，或利用相似三角形来解决问题.2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造，然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离.探究案【探究1】据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.【探究2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【探究3】如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和CD=12m两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面16m她沿着正对这两棵树的一条水平直路1从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?(1) (2)检测案1.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（）A. 6cmB. 12cmC. 18cmD. 24cm第1题图第2题图第3题图2.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m则坝高CF为m.3.如图，已知有两堵墙AB，CD，AB 墙高2 m，两墙之间的距离BC 为8 m，小明将一架木梯放在距B点3 m的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E 旋转90°靠向墙CD 时木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为m. 4.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C，分别在AC，BC上取点D，E，如果测得CD =20 m，CE =40 m，AD=100 m，BE=20 m目DE=45 m，求AB的长.。
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课题27.2.2相似三角形应用举例（一）
学习目的:
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
学习重点、难点
1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
一、知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?
2、相似三角形有什么性质？
二、.探索新知
1、问题1：
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？
你有什么办法测量？
2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
3、例题讲解
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA 为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）
4、课堂练习
在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）问题：估算河的宽度，你有什么好办法吗？
5、例4 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS = 45 m ，ST = 90 m ，QR = 60 m ，求河的宽度PQ ．
6、课堂练习
如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，
求河宽AB 。
结合此题写出测量河宽的方案。
三、回顾与反思．
谈谈本节课你有哪些收获．
四、当堂检测
1 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）
发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面
的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距
离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C, 使AC ⊥AB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点
E,使DE ⊥AC ，测出AD=35m ，DC=35m ，DE =30m,
那么你能算出池塘的宽AB 吗?
3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸
边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线
杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸
相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这
两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
B
C B
A L。