平面度误差的最小二乘法分析
平面度误差分析
平面度误差分析摘要在生产生活中，有时平面的平整度尤为重要，特别是在某些精密仪器的生产组装中。
我们用平面度误差来表示客观表面具有相对不平整高度对于理想平面的偏差，以Hmax-Hmin来表示，其中Hmax表示测量点至理想平面最大距离，Hmin 表示测量点至理想平面最小距离。
因此，对于测定平面是否满足使用要求，平面度的误差分析必不可少。
本文就平面度误差分析问题，通过建立数学模型，找出较为适宜精确的平面度误差计算方案。
对于问题一，由于平面度的分析是判定相对性问题，则需找出参考的理想平面，由此想到利用常见的最小二乘法可较为直接的利用数据点拟合出理想的平面，因此构建了模型一：利用最小二乘法拟合出理想平面后计算出各点至平面的最大最小距离，两者之和便是所求的平面度误差。
但在检验模型一过程中，我们发现利用最小二乘法求解理想平面时受最大最小点变化扰动较大，使所求矩阵很可能是病态矩阵，不能保证解在最小区域范围内，这往往不能求得最优解，从而使偏差大于实际情况，这限制了模型一的使用范围只适用于变化差异不大的数据点中。
加之题中所测数据多达2500个点，变化较多，计算量较大。
很可能模型一会造成较大误差。
因此，我们改进了利用最小二乘法拟合平面模型，将三维问题简化为二维问题，建立了模型二：将三维点投影到两坐标面上，在坐标面中进行直线拟合，间接求出理想平面，类似模型一，计算出平面度误差。
利用此模型较好的简化了整体计算量，避开了较大差异点，较好的减少了所计算误差，更加直观精确。
对于问题二，我们利用matlab均匀生成了2500个测试点，代入各模型中进行计算，由所求结果可以看出，模型二较于模型一适用范围更广，准确度较好，这较好的验证了结果的准确性，一、问题重述1.1问题背景某工件的某部分是一个100cm*100cm的平面，制作完成后要检测此平面是否合格，也就是要判定这个平面是否足够“平”。
假设在这个平面上采集到2500个均匀分布的数据点（三维），不考虑测量误差，即假定数据都是足够精确的，产品合格的标准为平面度误差不超过ε=0.001mm。
平面度计算公式实例
平面度计算公式实例平面度是指基片具有的宏观凹凸高度相对理想平面的偏差。
在工程领域中，准确计算平面度对于保证产品质量和性能至关重要。
下面咱就通过一些实例来瞅瞅平面度的计算公式到底咋用。
先来说说平面度的计算公式，常见的有最小二乘法、三点法等等。
咱就以最小二乘法为例展开讲讲。
假设咱有一组测量点的坐标（x₁,y₁,z₁），（x₂,y₂,z₂），......，（xₙ,yₙ,zₙ）。
最小二乘法的基本思路就是找到一个理想平面，让这些测量点到这个平面的距离的平方和最小。
那这个理想平面的方程可以表示为 Ax + By + Cz + D = 0 。
通过一系列数学推导和计算（这部分就不展开细说了，不然脑袋得晕乎），可以得出平面度的值。
我记得之前在一个机械加工厂实习的时候，就碰到过跟平面度有关的事儿。
当时厂里在加工一批金属零件，要求平面度误差不能超过一个很小的数值。
师傅们拿着各种测量工具，忙得不亦乐乎。
我在旁边看着，心里充满了好奇。
有个师傅拿着三坐标测量仪，仔细地测量着零件上的各个点。
那认真的劲儿，就好像在对待一件珍贵的宝贝。
测完数据后，就开始用电脑软件进行计算平面度。
我凑过去看，满屏幕的数字和图表，看得我眼花缭乱。
师傅一边操作，一边跟我解释：“这平面度要是超了，零件装上去可就不灵光啦，会影响整个机器的性能。
”我似懂非懂地点点头。
后来，经过一番努力，终于算出了平面度。
结果还算不错，在允许的误差范围内。
大家都松了一口气，脸上露出了欣慰的笑容。
咱再来看个具体的计算例子。
假如有五个测量点，坐标分别是（1,1,5），（2,3,7），（3,2,6），（4,4,8），（5,5,9）。
首先，咱要建立一个方程组，然后通过求解这个方程组，得出平面方程的系数A、B、C 和 D 。
经过一番计算（过程略去，不然太复杂啦），得到平面方程比如是 2x + 3y - z + 1 = 0 。
接下来，计算每个测量点到这个平面的距离。
这距离公式是：d =|Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / √(A² + B² + C²) 。
基于Excel的平面度误差最小二乘法评定
文章 编 号
１０ —４ ０ （０ ６ ０－ ０６０ ０ ４６ １ ２ ０ ） ２ ０ ２ － ３
基 于 Ｅ ｃｌ 平 面 度 误 差 最 小 二 乘 法 评 定 ｘｅ 的
李 书平
（ 西 工 学 院 机 械 工 程 系 ， 西 柳 州 ５ ５ ０ ） 广 广 ４ ０ ６
摘
要 ： 面度 是 形 状 公 差 的 主 要 项 目之 一 ， 误 差 的 测 量 与 评 定 在 几 何 测 量 中有 着 重要 的 意 义 。根 据 最 小 二 乘 法 平 其
原 理 建 立 理 想平 面 的 数 学 模 型 ， 平 面 度 误 差 进 行 评 定 分 析 ， 举 例说 明 了 Ｅ ｃｌ 平 面 度 误 差 数 据 处 理 方 面 的 可 对 并 ｘｅ 在
行 性 。结 果 证 明 Ｅ ｃｌ 平 面 度 误 差 最 小 二 乘 法 评 定 过 程 中 进 行 数 据 处 理 简 单 实 用 ， 推 广 价 值 。 ｘｅ 在 有
则 三维空 间 实际表 面 的数学模 型表 示为 ：
Ｚ。 ＡＸ ＢＹｉ Ｃ＋ ， ， 一 ＋ ＋ （ ２）
（ ） 中 、 ｃ是三个 待估 计 的参 数 ， 、 ２式 Ｂ、 ｘ ｙ 是两 个 可 以精 确 控制 的一 般量 ， 是被 测实 际表 面上 各测
点相 对 于评定 基 准的偏 差 ， 它是 Ⅳ 个 相互 独立 且服 从 同一正 态分 布的 随机变 量［ 。 ２ ］
１ 数学 模 型 的 建 立
平 面度误 差反 映的是 实 际表面不 平 的程度 ， 三维空 间 直角 坐标 系 中， 面 的方程 可 以表 示 如下 ： 在 平
Ｚ— ｎ ＋ ｂ Ｘ Ｙ＋ ｃ （ ） １
设 被 测 面 上 有 Ｎ 个 测 量 点
平面度误差的测量及数据处理
课程设计说明书题目:平面度误差的测量及数据处理学生姓名：学院：班级：指导教师：摘要平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。
本文就平面度误差的数学模型与按最小二乘法建立理想平面（评定基准）的数学模型展开分析讨论；并结合案列分析，得出比较客观地评定平面度误差或者测量较大平面的平面度误差，最小二乘法是最佳方法[1]关键词：最小二乘法；平面度误差；最佳方法AbstractFlatness error is measured by actual surface with an ideal plane are compared, the line between the two values of distance, which is the flatness error values, or by measuring the actual surface on several points of relative height difference, conversion to line value representation of flatness error value .This paper studies the mathenatical model of flatness error and ideal plane made by least square method .With illust ration of practical cases, the author reaches the conclusion that least sauare method is the best one in judging and measuring larger plane’s flatness error.Keywords: Leastaquare method ; Flatness error；Best method目录第一章平面度的测量方法 (1)1.1引言 (1)1.2平面度误差的测量 (1)第二章平面度的评定 (3)2．1最小区域法 (3)2.2最小二乘法测量平面度误差的原理 (4)2.2．1建立被测实际表面的数学模型 (4)第三章用MATLA实现的过程 (6)3.1软件编程 (6)3.2平面度误差的最小二乘法评定及其评定结果的不确定度 (10)3.3小结 (13)第一章平面度的测量方法1.1 引言平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量。
最小二乘法 平面度
最小二乘法平面度在数学和工程领域中，最小二乘法是一种常用的数据拟合方法。
它通过最小化实际观测值与理论模型预测值之间的误差平方和，以确定最优参数估计。
本文将介绍最小二乘法在平面度评定中的应用。
首先，平面度是用来评估一个曲面或平面的表面性质的指标。
平面度的好坏直接影响着零件的质量和功能。
在实际应用中，我们常常需要对平面度进行测量和评定，以保证零件的性能和可靠性。
其次，最小二乘法在平面度评定中扮演着重要的角色。
通过采集实际测量数据，我们可以建立一个数学模型来描述曲面或平面的形状。
最小二乘法可以帮助我们找到最优的模型参数，使得模型预测的曲面或平面与实际测量数据的误差最小。
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差平方和来确定最优参数估计。
具体而言，我们可以将平面度评定问题转化为一个最小二乘拟合问题。
假设我们有一系列的测量数据点，我们的目标是找到一个平面模型，使得模型预测的点到实际观测点的距离最小。
需要注意的是，最小二乘法在平面度评定中的应用需要满足一定的前提条件。
首先，我们需要确保测量数据点是有效的、可靠的，并且在平面度评定范围内具有较好的代表性。
其次，我们需要选择适当的平面模型来描述曲面或平面的形状，以确保最小二乘法能够得到准确的结果。
此外，最小二乘法在平面度评定中的应用也需要注意参数估计的唯一性。
即使误差平方和最小，我们也需要验证所得到的最优参数估计是否具有实际意义，以及是否能够满足设计和生产要求。
综上所述，最小二乘法在平面度评定中是一种重要的数据拟合方法。
通过最小化误差平方和来确定最优参数估计，我们可以有效地评估曲面或平面的表面性质。
然而，在应用最小二乘法时，我们需要注意前提条件、模型选择以及参数估计的唯一性。
只有在满足这些要求的情况下，最小二乘法才能在平面度评定中发挥其优势。
用最小二乘法评定机床平面度
用最小二乘法评定机床平面度
方键
【期刊名称】《磨床与磨削》
【年(卷),期】1996(000)002
【摘要】JB2670-82《金属切削机床精度检验通则》标准曾规定,机床部件(工作台、底座等)的矩形平面采用“三点法”检验数据,用“三点法”评定平面度误差。
但是,这一广泛采用的评定方法存在一个问题,即基准平面的不唯一性。
笔者曾在《磨床
与磨削》92年第3期发表的“
【总页数】2页(P18-19)
【作者】方键
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TG502.13
【相关文献】
1.基于Excel的平面度误差最小二乘法评定 [J], 李书平
2.矩阵最小二乘法评定平面度误差 [J], 张少南;曹树文
3.用最小二乘法评定平面度误差及程序设计 [J], 杨刚
4.基于PLC控制的最小二乘法的平面度测量系统设计 [J], 滕斌;石安;李天龙
5.木工机床平面度测量的不确定度评定 [J], 张绍群;廉魁;李华
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平面度最小二乘法公式和原理
平面度最小二乘法公式和原理一、引言在工程领域中，我们经常需要对平面度进行评估和测量。
平面度是指一个物体或表面与一个理想平面之间的偏差程度。
平面度评估的目的是为了确定物体或表面是否符合设计要求。
平面度最小二乘法是一种常用的评估方法，本文将介绍其公式和原理。
二、平面度最小二乘法公式平面度最小二乘法的公式可以用数学语言描述如下：假设我们有n个待测点，分别表示为(xi, yi)，其中i从1到n。
我们需要找到一个平面方程z = f(x, y)，使得所有的点(xi, yi, zi)到这个平面的距离之和最小。
平面方程f(x, y)可以表示为：f(x, y) = ax + by + c其中a、b和c是待求的系数。
我们的目标是最小化所有点到这个平面的距离之和，即最小化以下目标函数：E = Σ[(axi + byi + c - zi)^2]我们需要找到a、b和c的取值，使得目标函数E达到最小值。
三、平面度最小二乘法原理平面度最小二乘法的原理是基于最小化误差的思想。
通过调整平面方程的系数a、b和c，我们可以使得所有点到这个平面的距离之和最小。
具体来说，我们可以使用最小二乘法的优化算法，例如梯度下降法或牛顿法，来求解最小化目标函数的系数a、b和c。
这些优化算法会迭代地调整系数的取值，直到目标函数达到最小值。
在实际应用中，我们可以使用计算机编程语言来实现这些优化算法，以自动化地求解系数的取值。
通过输入待测点的坐标和高度，我们可以得到最佳的平面方程，从而评估平面度。
四、应用案例平面度最小二乘法广泛应用于工程领域。
以下是一些应用案例：1. 汽车制造：在汽车制造过程中，平面度评估是确保车身和零件质量的关键步骤。
通过使用平面度最小二乘法，制造商可以检查车身表面的平整度，以确保其符合设计要求。
2. 电子制造：在电子产品的制造过程中，平面度评估对于保证电路板和元器件的连接性和稳定性非常重要。
通过使用平面度最小二乘法，制造商可以检查电路板表面的平整度，以确保其能够正常工作。
用最小区域法求解平面度误差
用最小区域法求解平面度误差
平面度误差是指一个平面上的点与该平面最小二乘面之间的偏
差大小，通常用于检测平面加工的精度。
而最小区域法是一种求解平面度误差的常用方法。
最小区域法的基本思想是，将平面上的点按照一定的方式划分成若干个小区域，并将每个小区域内的点拟合成一个平面，然后计算这些小平面与最小二乘面之间的偏差大小，最终将所有小区域的偏差大小加起来得到平面度误差。
具体操作步骤如下：
1. 将平面上的点按照一定的方式划分成若干个小区域，常用的
方式有网格法、分层法等。
2. 对于每个小区域内的点，采用最小二乘法拟合成一个平面，
即求出该平面的法向量和截距。
3. 计算每个小区域拟合出的平面与最小二乘面之间的偏差大小，通常采用欧几里得距离。
4. 将所有小区域的偏差大小加起来得到平面度误差。
最小区域法能够较准确地评估平面度误差，但需要注意的是，划分小区域的方式和大小会对结果产生影响，因此需要根据具体情况进行选择。
- 1 -。
平面度误差的解析评定法和微机数据处理
z
坐 标方 向 的 偏 差 勺 为
( 5)
二 一
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因 此 平面 度 误 差 为
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因而 这 三 个 向量 为 共 面 向量
一
所 以 它 们 的 数 量三
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( 12 )
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就 可 求 得平 面 度 误 差 值
平面度误差问题（B题）
平面度误差问题（B题）摘要对于任何一个零件，其形位误差分析，不但可以作为工件验收合格的依据，还可以进一步分析形位误差产生的原因。
平面度是表示零件形状的主要几何因素之一，在形位误差的测量和评定中占有重要地位。
本文采用最小二乘法的模型来求解平面度的相关问题。
首先，题目要求需要一个精确、直观、可行的检测方法，而数据点是均匀分布的且精确测量无误差，那么在测量的时候X坐标和Y坐标完全可人为确定测量（三维），只是Z坐标在变动。
另一方面就是数据点很多，需要能够准确地和充分地处理原始观测数据所提供的信息，迅速、较客观地评定平面度误差的数学处理方法。
所以我们选用最小二乘法处理数据，采用节距法里的栅格布点法来获得数据点，通过Z坐标与基准面的Z 的最大最小只差和题干范围比较，从而得出平面是否合格。
然后，需要对问题一的最小二乘法的算法模型进行数值检验，属于代入验算的数值问题。
对此，鉴于数据点较多，用MATLAB随机取得Z，解决本问题可借助MATLAB、Excel 等数值处理软件来解决，将数值代入问题一的模型公式，通过相关函数代码来得以实现，以此来判断产品是否合格，当差值εf，则为合格。
<>f时，则平板不合格，若ε最后，由于实际测量过程有误差，为了更准确严谨地知道平面是否合格，本文用栅格布点平差法对取点方法进行了改进，得出测量过程中对Z的误差影响，从而得到真实的Z坐标，然后代入到最小二乘法中进行计算。
另外，由于栅格布点法存在着误差，我们在这基础上还用了随机布点法进一步改进取点，这样能减少取点数，提高效率和准确性，大大节省很多事情，且方法简单，只是改变了一下X和Y的方程表达式，然后可代入最小二乘法计算。
最小二乘法的突出优点是能够准确充分的利用和处理原始数据，特别适用于数据比较多的时候，能客观地评定平面度误差，有利于电子计算机计算。
关键词：最小二乘法、平面度误差、节距法、数值实现、栅格布点平差法一、问题重述某工件的某部分是一个100cm*100cm的平面，制作完成后要检测此平面是否合格，也就是要判定这个平面是否足够“平”。
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种方 法 相 比 , 小 二 乘法 能 准确 而 充分 地 利用 全 部 最 原 始观 测 数据 所 提供 的信 息 , 客 观地 评 定 出不 需 较 要 经过 多 次试 算 的平 面 度 误差 , 且 可直 接 运用 于 而 电子计 算 机运 算 , 平 面 度 误 差 的计 算 达 到 迅 速 , 使
一
1 引 言
平 面 度误 差 是 指 被 测 实 际表 面对 其 理 想 平 面 的变 动量 .理 想 平 面 是评 定平 面 度 误 差 的评 定 基 准, 而评 定基 准 的方 位 不 同求 得 的平 面 度误 差 值 也
般方 程 可 写成 为 :
Z = 乜1+ a2 + 乜3 X y
开分 析讨 论 ; 结 合 实例 分析 , 出较 客观 地 评定 平 面度 误 差 或 测 量 较 大平 面 的平 面 度 误 差 , 并 得 最 小二 乘 法是 最佳 方 法 .
关 键 词 : 小二 乘 法 ; 面度 误 差 最 平 中 图分 类号 : G8 T 4 文 献标 识 码 : B 文章 编 号 :6 15 7 ( 0 2 0 .0 70 1 7 —2 6 2 0 )30 1 —3
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Ma h n c ieBul ig i n Au o t n, u 0 2. 3 : 7 1 d tma i J n2 0 ( ) 1 — 9 o
b s o ei jd iga dmes r gl g r l e Sf te ro . et n gn n aui re a ' l ns err n u n a p n a
Ke r s la ts u r t o ; lt e se r r y wo d : s q a e me h e d fa n s ro
表 面上各 点 相对 于测量 基 准 的平 面 度误 差 时 , 定 确
评定 基 准 的方 法 可 用 : 简便 法 , 小 二 乘 法 和 最 小 最 包容 区域 法 .本 文着 重 分 析 介 绍 按 最 小 二乘 法 来
确定 评 定 基准 , 而求 得 平 面度 误 差值 .与 另外 两 从
准确 , 靠. 可
图 1 被 测 实 际 表 面 与 评 定 基 准 示 意 图
2 建 立 被 测 实 际表 面 的 数 学 模 型
平 面 度误 差 是指 被 测 实 际表 面 不平 的程 度 , 而 平 面 在空 间 直角 坐标 系 中 , 的方 程 一般 为 : 它
AX + By + CZ + D = 0
An l ss o a tS a e M e h d o a n s r r a y i fLe s qu r t o f r Fl t e sEr o
ZHANG n Fa g
( hz o ct n l n t ueo c n l yJ h n g n 6 0 C ia S ah uVo ai a Isi t f h o g .S Z a Ni a g2 0 . hn ) o t Te o a 1 5
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机 械 制造 与 研 究 ·
张 日 平 面度误 差的 最 小二 乘 法分 析 方,
平 面 度 误 差 的最 小 二 乘 法 分 析
张 防
( 洲 职 业 工 学 院 , 苏 张 家 港 2 50 ) 沙 江 16 0
摘
要 : 文就 平 面度 误 差 的数 学模 型与按 最 小 乘 法建 立 理 想 平 面 ( 定 基 准 ) 数 学模 型展 本 评 的
若 Z 和 另两 个 自变量 X y, 间 的 内在关 系 , 之 是 一个 平 面 , 际表 面 上 的各 点 与此平 面的 偏离 是 实 由一些 随机 因素 影 响 引起 的 , 因此 可 假设 通 过试 验 测 得 N 组 观 测数 据 : x y,Z P, , , (
…
i= 0, , , 1 2
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机 械 制造 与研 究 ·
张 日 平 面度 误 差 的最 小二 乘 法分 析 方, n分别 为 a , , 3 1 a a 的最 小 二乘 估 计 , 2 则评 定 基 准 的 数 学模 型 为 = n +a Xi a . l + 2 3
设 实 际表 面 上 的任 意 点 P…点的 位 置 由 X yJZ, , , 三个 坐标 确 定 . , ,Z X y , 分 别 为被 测 实 际表 面上 任 意点 P , X 坐标 轴 , 坐标 轴 , 沿 y Z坐 标 轴方 向测 得 的 向量值 ( 1 . 图 )
就不 同.若 用 水平 仪 , 自准 直仪 按 节距 法测 量 实 际