画法几何与工程制图 第四章 直线的投影
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画法几何及工程制图
第一章 点、直线和平面的投影1-2 1-2 点的投影 1-2点的投影 1-3 1-3 直线的投影 1-3直线的投影 1-4 1-4 平面的投影 1-41-4 平面的投影 1-1 1-1 投影法的基本知识 1-1投影法的基本知识1.1.1 1.1.1 投影法概念投影法概念1.1.1 1.1.1 投影法概念投影法概念 1.1.2 1.1.2 投影法的分类投影法的分类1.1.2 1.1.2 投影法的分类投影法的分类 1.1.3 1.1.3 正投影法的基本性质正投影法的基本性质1.1.3 1.1.3 正投影法的基本性质正投影法的基本性质投影法的概念1.1.1 投影法的概念1.2.1 点在两投影面体系中的投影1.2.1 点在两投影面体系中的投影1.2.2 点在三投影面体系中的投影1.2.2 点在三投影面体系中的投影1.2.3 两点的相对位置和重影点1.2.3 两点的相对位置和重影点3. 3. 点的两面投影图 3.3. 点的两面投影图 2. 2. 两投影面体系的建立 2.2. 两投影面体系的建立 4.两投影面体系中点的投影规律 4.两投影面体系中点的投影规律1. 1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 1.1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置AAAA1.三投影面体系的建立1.三投影面体系的建立2.点的三面投影图2.点的三面投影图3.点的三面投影与直角坐标的关系3.点的三面投影与直角坐标的关系4.三投影面体系中点的投影规律4.三投影面体系中点的投影规律5.特殊点的投影5.特殊点的投影ACc c1.两点的相对位置1.两点的相对位置2.重影点2.重影点A BA1.3.1 1.3.1 直线的三面投影 1.3.1直线的三面投影 1.3.2 1.3.2 直线对投影面的相对位置 1.3.2 直线对投影面的相对位置 1.3.3 1.3.3 直线上的点 1.3.3 直线上的点 1.3.4 1.3.4 直线的实长和倾角 1.3.4 直线的实长和倾角 1.3.5 1.3.5 直线的实长和倾角 1.3.5直线的实长和倾角C。
第四章~《画法几何》
1．从属性
属于直线上的点，其投影仍属于直线的投影。
如图4-2所示，若点C AB，则必有c ab，cab，cab。
画法几何
（a）
（b）
图4-2 属于直线上点的投影
（a）
（b）
图4-3 属于直线上点的投影作图
如图4-3（a）所示，已知直线AB的三面投影和属于直线的点C的水平投影c，求点C的正面投影c′和 侧面投影c″，作图情况如图4-3（b）所示。
5
画法几何
4.2
属于直线上的点
2．定比性
直线上的点将直线分割后，则各分割线段的长度之比与各分割线段投影的长度之比相等。
如图4-2所示：AC∶CB ac∶cb ac∶cb ac∶cb 。
（a）
（b）
图4-2 属于直线上点的投影
6
4.3
各种位置直线的投影
空间直线与投影面的相对位置有平行、垂直和倾斜三种，空间直线相对于投影面 位置不同，直线的投影就各有不同的投影特性。
例如，直线AB和CD相交于点K，则其投影ab与cd相交于点k，a'b'与c'd'相交于点k'，并且点k，k'符合 直线上点的投影规律，如图4-9所示。
（a） 图4-9 相交两直线的投影
（b）
18
画法几何
4.5
两直线的相对位置
4.5.3 两直线交叉
若空间两条直线既不平行也不相交，则称其为交叉两直线。两交叉直线也称异面直线，交叉直线在三个投 影面中的投影可能有一组、两组或三组分别相交，但交点的投影并不符合直线上点的投影规律。反之，若空间两 直线的各组投影既不符合两直线平行的投影规律，也不符合两直线相交的投影规律，则这两直线一定交叉。
画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法课件
行求解。
在求解过程中，需要注意单位和 单位换算，以及角度的取值范围
。
在求解过程中，需要注意检查解 的合理性，避免出现不符合实际
情况的解。
05
应用实例
建筑图纸中的应用
建筑图纸中，直线是基本的构成元素，用于表示墙、柱、梁等结构的轮廓和位置。
通过直线的相对位置，可以确定建筑物的平面布局和立体结构，例如平行线表示平 行的墙面或地面，交叉线表示相交的墙角或交叉的梁等。
日常生活中的应用
在日常生活中，直线也无处不在，例 如道路、桥梁、栏杆、门窗等的设计 和布局都需要用到直线的相对位置和 投影定理。
直角三角性法在日常生活中的应用也 很多，例如测量角度、确定位置等。
THANKS
感谢观看
感。
注意事项
透视投影定理需要考虑观察者的 视点和视线方向，以及物体与投 影面的相对位置，因此在实际应
用中需要仔细考虑和计算。
04
直角三角形法
直角三角形的基本性质
直角三角形中，直角 所对的边是斜边，是 三角形中最长的边。
直角三角形中，斜边 的平方等于两直角边 的平方和，即 $c^2=a^2+b^2$ 。
直角投影定理在建筑图纸中也非常重要，它确保了图纸上的图形与实际物体保持一 致，特别是在绘制垂直面和倾斜面的交线时。
机械制图中的应用
在机械制图中，直线是用于表示机件 、零件的轮廓、尺寸线和装配关系的 图形元素。
直角投影定理在机械制图中也起着关 键作用，确保了图纸上的图形与实际 机件或零件相符。
通过直线的相对位置，可以确定机件 或零件的形状和大小，例如平行线表 示平行的表面或边缘，交叉线表示相 交的轴线或配合面等。
正投影定理
01
02
在求解过程中，需要注意单位和 单位换算，以及角度的取值范围
。
在求解过程中，需要注意检查解 的合理性，避免出现不符合实际
情况的解。
05
应用实例
建筑图纸中的应用
建筑图纸中，直线是基本的构成元素，用于表示墙、柱、梁等结构的轮廓和位置。
通过直线的相对位置，可以确定建筑物的平面布局和立体结构，例如平行线表示平 行的墙面或地面，交叉线表示相交的墙角或交叉的梁等。
日常生活中的应用
在日常生活中，直线也无处不在，例 如道路、桥梁、栏杆、门窗等的设计 和布局都需要用到直线的相对位置和 投影定理。
直角三角性法在日常生活中的应用也 很多，例如测量角度、确定位置等。
THANKS
感谢观看
感。
注意事项
透视投影定理需要考虑观察者的 视点和视线方向，以及物体与投 影面的相对位置，因此在实际应
用中需要仔细考虑和计算。
04
直角三角形法
直角三角形的基本性质
直角三角形中，直角 所对的边是斜边，是 三角形中最长的边。
直角三角形中，斜边 的平方等于两直角边 的平方和，即 $c^2=a^2+b^2$ 。
直角投影定理在建筑图纸中也非常重要，它确保了图纸上的图形与实际物体保持一 致，特别是在绘制垂直面和倾斜面的交线时。
机械制图中的应用
在机械制图中，直线是用于表示机件 、零件的轮廓、尺寸线和装配关系的 图形元素。
直角投影定理在机械制图中也起着关 键作用，确保了图纸上的图形与实际 机件或零件相符。
通过直线的相对位置，可以确定机件 或零件的形状和大小，例如平行线表 示平行的表面或边缘，交叉线表示相 交的轴线或配合面等。
正投影定理
01
02
(刘)第1-4章 正投影法基础及点、线、面的投影
在三面投影体系中，用正投影法将物体向各投 影面投射所得到的图形。
三面体投影体系
投影轴
OX轴：V面与H面的交线
OY轴：H面与W面的交线 OZ轴：V面与W面的交线
X
Z
V
W
H Y
o
2.三视图的形成
主视图 左视图 俯视图
⒉ 三个投影面的展开及投影规律
上
主视
上 右
左
主视
后
左视 前
下 后 左
俯视
4、点的两面投影的画法
V
H
通常不画出投影面的边界
二 、点的三面投影
Z
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ
H∩W ---- OY
空间点A在三投影面体系上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投影 点A的侧面投影
X
Z V
a●
●
A o
●
a
a
W
a● H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
空间点在三投影面上的规律
Z V
a
●
a●
X
W
Z
az
O
●
a
Y
az
A ● O
●
X
ax
a
ax
ay
a
●
ay
H Y
a
●
Y
ay
(1) aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
（2）侧垂线
三面体投影体系
投影轴
OX轴：V面与H面的交线
OY轴：H面与W面的交线 OZ轴：V面与W面的交线
X
Z
V
W
H Y
o
2.三视图的形成
主视图 左视图 俯视图
⒉ 三个投影面的展开及投影规律
上
主视
上 右
左
主视
后
左视 前
下 后 左
俯视
4、点的两面投影的画法
V
H
通常不画出投影面的边界
二 、点的三面投影
Z
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ
H∩W ---- OY
空间点A在三投影面体系上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投影 点A的侧面投影
X
Z V
a●
●
A o
●
a
a
W
a● H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
空间点在三投影面上的规律
Z V
a
●
a●
X
W
Z
az
O
●
a
Y
az
A ● O
●
X
ax
a
ax
ay
a
●
ay
H Y
a
●
Y
ay
(1) aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
（2）侧垂线
第四章点线面的投影 (1)
b′
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
建筑制图第四章直线(2~5)
（2）从属于 投影面的铅垂线 从属于V 从属于 Z a″ a′ Z
a′ A
a″
X
B b′ O a(b)
b″ X
b′ O a(b) Y
b″ YW
YH
(3) 从属于 轴的直线 从属于OX轴的直线 Z Z
X
a′ A a
b′ BO O a″b″ b Y
X a′ a
b′ b
O a″b″
YW
YH
例题1 水平线 ，通过 点，正面倾角 0 ，AB 实 水平线AB，通过A点 正面倾角60 的投影。 长20mm，求AB的投影。 ， 的投影
bc ca
X
例题2
已知点C在线段 上 求点C的正面投影 的正面投影。 已知点 在线段AB上，求点 的正面投影。 在线段 b′ c′
X Z
解法二： 解法二：
b″ c″ a″
YW
a′ a c b
YH
例题3 已知线段 的投影图，试将 分成 2 ：1 两 已知线段AB的投影图 试将AB分成 的投影图， 求分点C 的投影。 段，求分点 的投影。
Z b′ a′ b′ Z b″ a″ O YW
γ
B a″ b″ a′ X
α
α γ
A X O
a
b
Y
a
b YH
投影特性： 、 投影特性： 1、ab || OX ; a″ b″|| OZ 2、a′ b′=AB 、 3、反映α、γ角的真实大小 、
（3）侧平线 平行于侧面投影面的直线 侧平线— 侧平线
Z a′ A b′ X a B b Y b YH a″ X b′ O a b″ a′ Z a″
各种位置直线的投影特性
一、一般位置直线 二、特殊位置直线 特殊位置直线 1、投影面平行线 投影面平行线 (1) (2) (3) (1) (2) (3) 水平线 正平线 侧平线 铅垂线 正垂线 侧垂线
5、画法几何及工程制图-第四章 直线与平面的图解法
（一）直线与一般位置平面平行
c’
b’
例1 判断直线AB是否 平行于ΔCDE平面。
g’
a’ e’
d’ f’ X e d
结论：直线 AB不平行于 ΔCDE平面。
O
f a
c
g
b
（一）直线与一般位置平面平行
例2：已知空间一点M及平面ABC，求作过点 M且平行于平面ABC的直线。
b n c m
●
有无数解
有多少解？ a X a
回到课本P.62一般位置的 直线与平面相交的解题思 路）。
’
m X m
●
7’
2
● ●
O
5 4
e
●
3
k
●
两一般位置平面相交，求 交线步骤： 1．用求直线与平面交点的 方法，作出两平面的两个共 有点K、E。
6(7)
l
1 n
2．连接两个共有点，画 出交线KE。 3．判断可见性。
方法二：求相交两平面 的共有点，除利用直线与 平面的交点外，还可利用 三面共点的原理来作出属 于两平面的共有点。
直线与平面相交（包含垂直） 平面与平面相交（包含垂直）
一、直线与平面平行
§4-1 平行
直线与平面平行的几何条件： 如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行， 则这条直线必平行于该平面。
A
B
C F
D
根据上述几何条件可得有 关线、面平行的作图问题： 1.判断直线与平面是否平行； 2.作直线与已知平面平行； 3.作平面与已知直线平行。
b
●
O n m
c
（一）直线与一般位置平面平行
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
正平 线
画法几何( 2.2 )直线的投影
a’
c’ b’ c’
m’
n’
X m c b
0
Ｂ
ZA-ZB c n a Ｃ
a
b
判断下面形体的轮廓线的位置关系
(6) 6 4 (1)
3 (2)
5(7)
1
4 2 3 5
1(2)
6(7)
4 (3)
(5)
1A与4D 平行 AD与BC 平行 1A与CD 交叉 AB与57 交叉垂直 43与67 平行
AB与CE
交叉
两直线相交 两直线交叉（交错）—异面
相对位置
(1)两直线平行
b ´ a x´
c B´
d ´
C
b´
D
d´
a´
c´
A a
o
b
x
b c d
o
b
c
a
两直线平行的投影特性：
(1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。
即AB∥CD，则：ab∥cd ；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d ″。 (2)平行两线段之比等于其投影之比。 AB:CD=ab:cd= a′b′:c′d′= a″b″∥c″d″
b′
60° Δ zAB
直线AB真长
a′
30°
b1
直线的H投影长
a
b2
以直线的H投影长 为半径，作圆弧
2.2.3.2
已知直线的真长和倾角求解有关的定位 和度量问题
【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面 V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm ， 作点T的两面投影。
1’ 4’(3’) 2’
b′
a′ X
d′ 0
a′ a
3
c’ b’ c’
m’
n’
X m c b
0
Ｂ
ZA-ZB c n a Ｃ
a
b
判断下面形体的轮廓线的位置关系
(6) 6 4 (1)
3 (2)
5(7)
1
4 2 3 5
1(2)
6(7)
4 (3)
(5)
1A与4D 平行 AD与BC 平行 1A与CD 交叉 AB与57 交叉垂直 43与67 平行
AB与CE
交叉
两直线相交 两直线交叉（交错）—异面
相对位置
(1)两直线平行
b ´ a x´
c B´
d ´
C
b´
D
d´
a´
c´
A a
o
b
x
b c d
o
b
c
a
两直线平行的投影特性：
(1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。
即AB∥CD，则：ab∥cd ；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d ″。 (2)平行两线段之比等于其投影之比。 AB:CD=ab:cd= a′b′:c′d′= a″b″∥c″d″
b′
60° Δ zAB
直线AB真长
a′
30°
b1
直线的H投影长
a
b2
以直线的H投影长 为半径，作圆弧
2.2.3.2
已知直线的真长和倾角求解有关的定位 和度量问题
【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面 V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm ， 作点T的两面投影。
1’ 4’(3’) 2’
b′
a′ X
d′ 0
a′ a
3
画法几何制图-平面的投影及相对位置
分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行
“画法几何及工程制图”复习题(含答案)4
2.掌握圆的投影的画法，了解圆柱螺旋线投影的画法
3.了解曲面的形成、分类
4.掌握曲面投影的表达方法，主要是圆柱面、圆锥面、球面投影的画法
5.掌握基本曲面立体（圆柱、圆锥）的投影特性
6.掌握平面与曲面体或曲表面相交的投影画法
7.了解两曲面体或曲表面相交的投影画法
8.掌握圆柱与圆锥的轴测图画法
6组合体
1.学会使用形体分析法对组合体的形成进行分析
8钢筋混凝土结构图（了解）
1.了解钢筋混凝土结构的基本知识
2.掌握钢筋混凝土结构的图示方法
3.掌握钢筋混凝土结构图的阅读方法
9房屋建筑图（了解）
1.了解房屋的组成和各部分的作用，了解房屋的一般设计方法
2.了解房屋施工图的分类及有关规定
3.了解房屋总平面图的绘制方法
4.掌握建筑平面图、建筑立面图、建筑剖面图的绘制方法
答案：
题8：
答案：
题9：
答案：
题10：
答案：
题11：
答案：
题12：
画出下面形体的正等轴测图。
答案：
题13：
画出下面形体的正等轴测图。
答案：
题14：
答案：
题15：
答案：
题16：
答案：
题17：
答案：
题18：
答案：
题19：
画出下面形体的水平投影。
答案：
题20：
画出下面组合体的水平投影。
答案：
题21：
画出下面组合体的水平投影。
答案：B
34.下图所示圆锥被正垂面P所截（水平投影未画出截切后的情形），其截交线的形状是：
A.三角形B.椭圆弧与直线C.双曲线与直线D.抛物线与直线
答案：C
3.了解曲面的形成、分类
4.掌握曲面投影的表达方法，主要是圆柱面、圆锥面、球面投影的画法
5.掌握基本曲面立体（圆柱、圆锥）的投影特性
6.掌握平面与曲面体或曲表面相交的投影画法
7.了解两曲面体或曲表面相交的投影画法
8.掌握圆柱与圆锥的轴测图画法
6组合体
1.学会使用形体分析法对组合体的形成进行分析
8钢筋混凝土结构图（了解）
1.了解钢筋混凝土结构的基本知识
2.掌握钢筋混凝土结构的图示方法
3.掌握钢筋混凝土结构图的阅读方法
9房屋建筑图（了解）
1.了解房屋的组成和各部分的作用，了解房屋的一般设计方法
2.了解房屋施工图的分类及有关规定
3.了解房屋总平面图的绘制方法
4.掌握建筑平面图、建筑立面图、建筑剖面图的绘制方法
答案：
题8：
答案：
题9：
答案：
题10：
答案：
题11：
答案：
题12：
画出下面形体的正等轴测图。
答案：
题13：
画出下面形体的正等轴测图。
答案：
题14：
答案：
题15：
答案：
题16：
答案：
题17：
答案：
题18：
答案：
题19：
画出下面形体的水平投影。
答案：
题20：
画出下面组合体的水平投影。
答案：
题21：
画出下面组合体的水平投影。
答案：B
34.下图所示圆锥被正垂面P所截（水平投影未画出截切后的情形），其截交线的形状是：
A.三角形B.椭圆弧与直线C.双曲线与直线D.抛物线与直线
答案：C
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[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影 必互相平行。 若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间 一定互相平行。
第四章 直线的投影
第一节 直线的投影
第二节 直线与投影面的相对位置
第三节 线段的实长及其对投影面的倾角 第四节 直线上的点 第五节 两直线的相对位置直线的投影
第六节 垂直两直线的投影
第一节 直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线 二、直线的投影可由直线上两点的同面 投 投影确定
一.直线的投影一般仍为直线
W
H
三、投影面垂直线
铅垂线 正垂线
侧垂线
垂直于W 面的线
小结：
⑴.
投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定
第二节 直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线 二、投影面平行线 三、投影面垂直线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
二、投影面平行线 正平线
平行于V 面 倾斜于H 面和W 面
γ
γ
γ
α α
α
W
H
正平线的正面投影反映线的实长及α、γ
二、投影面平行线
水平线 正平线
侧平线
小结：
平行于W 面 倾斜于H 面和V 面
β α β β ⑴ . 直线在它所平行的投影面上的投影，反映该线的实长 α α 和其它两投影面的倾角； W
二、相交两直线
特殊情况: 如果空间两直线相交，则此两直线的各组同面投影 也一定相交，且交点的投影符合点的投影规律。 反之，若两直线的各同面投影均相交，且各投影的 交点符合点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。
三、交叉两直线
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ Ⅰ
[例4-5]直线AB和CD都是侧平线，试判别两直线 的相对位置。
AB 实长
2 0
β
β
2
2
β
0
AB 实长
直角三角形AB2 B 直角边AB2 = ab 直角边BB2 =Y-YA B 斜边AB=AB 实长
AB 与 ab的夹角= β 角
三、线段的实长及其对 W 面的倾角γ
0
XA– XB
3
γ
AB 实长
γ
3
AB 实长
γ
W
直角三角形AB3 B 直角边BB3 = ab 直角边AB3 =X-XB A 斜边AB=AB 实长 AB 与ab 的夹角= γ角
三、线段的实长及其对W面的倾角γ 四、小结直角三角形法
一、线段的实长及其对H面的倾角α
AB 实长
1 1
α
0
-
α
1
Z
A
α
AB 实长
0
Z
B
直角边AB 1 = ab
直角边BB 1 =Z B -Z 斜边AB=AB 实长
A
AB 与ab 的夹角=α 角
Z
α
B
Z
直角三角形AB1 B
AB 实长
A
二、线段的实长及其V面的倾角
C点在AB上
D点不在AB上
二、点分割直线成定比
点分割直线的比值投影之后不变 AC ac a' c' a" c" CB cb c' b' c" b"
例1
例2
[例1] C把线段AB按3:2分成两段，求C点的投影
Байду номын сангаас
1 2 3 4 5
过a作任意方向直线，截取5个单位长 连5b
过3点作5b的平行线交a b与c 得c′
H
四、小结直角三角形法
求α角 求β角
AB
求γ角
β
γ
AB
α
AB
直角三角形法求线段的实长及对某一投影面的倾角
直角三角形
｛
一直角边 斜边 另一直角边
在该投影面的投影 实长 线段两端点到该投影面的距离差 夹角为对该投影面的倾角
例题1
例题2
【例1】已知线段AB实长为L，投影ab 和a ′如图所示，求其正
面投影a′b。 ′
1
2
L
【例2】已知线段AB对H面倾角α =30°投影ab 和a ′，求其正面投影。
｝ ｝
1
第四节 直线上的点
一、直线上点的投影 二、点分割直线成定比
一、直线上点的投影
直线上一点的投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。
例题
[例]如图，已知AB的两投影ab，a′b′及C点、D点的投影c、d、c′、d′，试判 别C点D点是否在直线AB上。
若两直线在某投影面的投影反映直角, 又知其中一条直线平行于该投影面,
则这两条直线在空间垂直。 该逆定理也适用于两直线交叉垂直！
【例1】 判别下列直线是否垂直
X
0
AB与AC相交垂直
DE与FG交叉垂直
LM与MN只相交不垂直
【例2】 求点C到直线AB的距离
X
0
统称特殊位置直线 垂直于某一投影面
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
一、一般位置直线
βγ α
W
H
一般位置一直在三个投影面都倾斜
二、投影面平行线
平行于某一投影面而与其它两个投影面倾斜的直线. 水平线
平行于H 面 倾斜于V面和W 面
β γ
x
x W
β
y
β
γ
y H
γ
水平线的水平投影反映线段实长及β、γ。
X
0
两条直线在空间垂直, 若其中一条直线平行于某一投影面,
则这两条直线在投影面的投影反映直角。
证明： BC⊥AB, BC⊥Bb, 故BC⊥平面ABba， 又因bc∥BC， 所以bc⊥平面Abba。 因为 故bc⊥ab
此定理也适用于两直线交叉垂直
二.直角投影定理的逆定理
X
0
AB⊥AC DE⊥AB
直角投影定理的逆定理也成立：
AB、CD为平行两直线
AB、CD为交叉两直线
[例4-6] 试判别AB和CD是否相交？
AB与CD为交叉两直线
[例4-7]作直线EF与直线AB相交，与直线CD平行，并 使与AB的相交点距H面10mm。
第六节 垂直两直线的投影
一. 直角投影定理 二.直角投影定理的逆定理
例题1
例题2
一.直角投影定理
⑵ . 直线在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投
影轴，长度小于实长。
H
侧平线的正面投影反映线的实长及α、β
三、投影面垂直线
垂直于某一投影面，同时平行于其它两个投影面的直线称 为投影面垂直线。
铅垂线
垂直于H 面的线
W
H
三、投影面垂直线
铅锤线 正垂线
正垂线
垂直于V 面的线