江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷
江苏省无锡市八年级上学期数学期中考试试卷
江苏省无锡市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九下·武冈期中) 下列“表情”中属于轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·重庆模拟) 下列命题正确的是（）A . 长度为 5cm、2cm 和 3cm 的三条线段可以组成三角形B . 的平方根是±3C . 无限不循环小数是无理数D . 两条直线被第三条直线所截，同位角相等3. （2分）下列五个命题：（1）零是最小的实数；（2）数轴上的点不能表示所有的实数；（3）无理数都是带根号的数；（4）的立方根是；（5）一个数的平方根有两个，它们互为相反数.其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分） (2017八下·钦州港期末) △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分） (2020八上·昆明期末) 如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 10、15、20，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO 等于（）A . 1∶1∶1B . 1∶2∶3C . 2∶3∶4D . 3∶4∶56. （2分）已知三条线段的比是：①2：3：4；②1：2：3；③2：4：6；④3：3：6；⑤6：6：10；⑥6：8：10．其中可构成三角形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2018八上·上杭期中) 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（）A . （SAS）B . （SSS）C . （ASA）D . （AAS）8. （2分） (2016八下·枝江期中) 已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A .B . 3C . +2D .9. （2分）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（）A . 1，1，2B . 2，2，5C . 3，3，5D . 3，4，510. （2分）(2019·广西模拟) 如图，0A=OB，OC=OD，∠0=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（）A . 60°B . 50°C . 45D . 30°二、填空题 (共8题；共11分)11. （1分） (2019八上·淮安期中) 有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是________.12. （2分）如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x=________．13. （1分） (2019八上·孝南月考) △ABC≌△DEF，且△ABC的周长为11，若AB=3，EF=4，则AC=________.14. （1分） (2018九上·温州开学考) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于________度15. （1分） (2016九上·夏津开学考) 已知等腰三角形的两边a，b，满足|a-b-2|+ =0，则此等腰三角形的周长为 ________。
无锡市八年级上学期期中数学试卷
无锡市八年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A . 9cmB . 6cmC . 3cmD .2. （2分）下列计算正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）下列四个数中的负数是（）A . ﹣22B .C . （﹣2）²D . |﹣2|4. （2分）(2020·河池) 如图，在中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE 的长是（）A . 5B . 6C . 4D . 55. （2分） (2017八上·滕州期末) 下面四个数中与最接近的数是（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2017八下·蓟州期中) 下面的四组数中的三个数值分别是三角形的三边长，能够成直角三角形的一组是（）A . 1，，B . ，，C . 2，3，4D . 6，7，87. （2分）一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）A . y=1.5（x+12）（0≤x≤10）B . y=1.5x+12（0≤x≤10）C . y=1.5x+12（x≥0）D . y=1.5（x﹣12）（0≤x≤10）8. （2分）已知点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）A . （－3，2）B . （－3，－2）C . （3，2）D . （3，－2）9. （2分） (2019八上·龙华期末) 如图,数轴上表示实数的点可能是（）A . 点PB . 点QC . 点RD . 点S10. （2分）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019八上·宝安期中) 如图，已知圆柱的底面周长为6，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到对面的A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为________．12. （1分） (2018九上·顺义期末) 已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：________．13. （1分） (2016七下·重庆期中) 在平面直角坐标系中，一种走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第50步时，棋子所处位置的坐标是________．14. （1分） (2020八上·兴化期末) 已知y与x-3成正比例，当x=4时，y=3，则y与x之间的函数表达式为 ________。
2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期中数学试卷1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.如图，AC、BD相交于点O，∠1=∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，则还需要加上条件( )A. AD=BCB. BD=ACC. ∠D=∠CD. OA=AB3.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )A. BC=1，AC=2，AB=√3B. BC=1，AC=2，AB=√5C. BC：AC：AB=3：4：5D. ∠A：∠B：∠C=3：4：54.如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB.小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5.已知一个等腰三角形有一个角为50∘，则顶角是( )A. 50∘B. 80∘C. 50∘或80∘D. 不能确定6.下列说法正确的是( )A. 三个角对应相等的两个三角形全等B. 面积相等的两个三角形全等C. 全等三角形的面积相等D. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等7.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是( )A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H8.在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为( )A. 13B. 12C. 6.5D. 69.如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为( )A. 2√3B. √13C. √14D. √1510.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于( )A. 75B. 32C. 53D. 211.正方形有____________条对称轴．12.已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是______ .13.如图，P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AC于点E，PE=1.5，AE=2，则AP的长为______，点P到AB的距离是______.14.如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：______.15.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=6，分别以边AC、BC为直径向形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为______ .(结果中保留π)16.如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=6厘米，则FC=______，EF=______.17.如图，已知四边形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，CD=14cm，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B−C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．18.如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD 于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为______.19.已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO.求证：(1)△ABO≌△DCO；(2)∠OBC=∠OCB.20.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E.(1)若∠A=50∘，求∠CBD的度数；(2)若AB=7，BC的长为5，求△CBD的周长．21.如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(−3,3)，B(−4,−2)，C(0,−1).(1)直接写出△ABC的面积为______；(2)画出△ABC关于y轴的对称的△DEC(点D与点A对应，点E与点B对应)，点E的坐标为______.22.已知在四边形ABCD中，∠A=90∘，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积．23.如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规按下列要求作图：(保留作图痕迹)①作△ABC的角平分线AD；②作∠CBE=∠ADC，BE交CA的延长线于E；③作AF⊥BE，垂足为F.(2)图中BF与EF相等吗？证明你的结论．24.在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB=90∘，并画∠AOB的平分线OC.(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F(如图①).度量PE、PF的长度，这两条线段______(填“相等”或“不相等”).(2)把三角尺绕点P旋转(如图②)，PE与PF相等吗？请说明理由．(3)探究：画∠AOB=50∘，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF=130∘.∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点(如图③)，PE与PF相等吗？请说明理由．25.新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=120∘，∠BCD=150∘，则∠ABC=______∘；(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC=√2AB，∠A=60∘，∠D=150∘，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；(3)若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90∘，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．26.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，(1)试说明△ABC是等腰三角形；(2)已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)，①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．已有条件AB=AB，∠1=∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA必须添加边相等，根据判定方法可得应添加BD=AC.【解答】解：还需要加上条件BD=AC，∵在△ACB和△BDA中{AB=AB ∠1=∠2 AC=BD，∴△ACB≌△BDA(SAS)，故选：B.3.【答案】D【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵12+22=(√5)2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45∘，∠5=60∘，∠C=75∘，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D.先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．4.【答案】A【解析】解：由作图可知，OA=OC，AB=CB，在△AOB和△COB中，{OA=OC AB=CB OB=OB，∴△AOB≌△COB(SSS)，∴∠BOA=∠BOC，故选：A.根据SSS证明三角形全等可得结论．本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．5.【答案】C【解析】解：分两种情况：若该角为底角，则顶角为180∘−2×50∘=80∘；若该角为顶角，则顶角为50∘.∴顶角是50∘或80∘.故选C.已知中没有明确该角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力．6.【答案】C【解析】解：A、说明两三角形的形状相同，不能确定大小，故错误；B、强调了两三角形的大小，没有确定形状，故错误；C、由全等三角形的性质可以得出结论；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．∴正确答案为为C.故选C.根据三角形全等条件可以得出全等从形状和大小两个方面同时满足就可以从备选答案中得出结论．本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时弄清全等三角形的了两个必备条件是关键．7.【答案】B【解析】解：∵BF=AF=CF=√12+42=√17，∴到△ABC三个顶点距离相等的点是F，故选：B.根据勾股定理即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出BF=AF=CF是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：由勾股定理可知斜边长为：√52+122=13，∴斜边上的中线长为13，2故选：C.先根据题意求出直角三角形的斜边长，然后根据斜边上的中线性质即可求出答案．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：如图，连接AE，因为点C关于BD的对称点为点A，所以PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，∴AE=√22+32=√13，∴PE+PC的最小值是√13.故选：B.要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．10.【答案】A【解析】解：如图延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F.∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5.∵D为AB的中点，∴AD=BD=DC.∵1 2AC⋅BC=12AB⋅CF，∴1 2×3×4=12×5×CF，解得CF=125.由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，∴CH⊥AE，AH=HE.∵DC=DB，12BD⋅CF=12DC⋅HE，∴HE=CF=125.∴AE=245.∵AD=DE=DB，∴△ABE为直角三角形．∴BE=√AB2−AE2=√52−(245)2=75.故选：A.延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F.首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．11.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质．根据正方形是轴对称图形的性质分析．【解答】解：根据正方形的性质得到，如图：正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有4条．故答案为4.12.【答案】22或26【解析】解：当6为底时，其它两边都为6，10、10可以构成三角形，周长为26；当6为腰时，其它两边为6和10，可以构成三角形，周长为22.故答案为：22或26.因为等腰三角形的两边分别为6和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．13.【答案】2.51.5【解析】解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD长即为点P到AB的距离，在Rt△APE中，由勾股定理得，AP=√PE2+AE2=√(1.5)2+22=2.5，∵P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AC于点E，PD⊥AB，∴PD=PE=1.5，故答案为：2.5；1.5.根据勾股定理以及角平分线的性质即可求解．本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．14.【答案】∠CAB=∠DAB【解析】解：在△ABC和△ABD中{AB=AB∠CAB=∠DAB ∠C=∠D∴△ABC≌△ABD(AAS)故答案为：∠CAB=∠DAB.根据全等三角形的判定定理加条件．本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、是解题关键．15.【答案】92π【解析】解：∵以AB为直径大半圆的面积=12π×32=92π，∴这两个半圆的面积的和为=92π.故答案为：92π.根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆的面积，重在验证勾股定理．16.【答案】，2103【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，∴AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=√102−62=8cm，所以，FC=BC−BF=10−8=2cm；由折叠可知，EF=DE，设EF=x，则DE=x，CE=6−x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2=EF2，即22+(6−x)2=x2，解得x=103，即EF=103cm.故答案为：2，103.根据矩形的对边相等可得AD=BC，根据翻折变换的性质可得AF=AD，然后利用勾股定理列式计算求出BF，再根据FC=BC−BF计算即可得解；根据翻折变换的性质可得EF=DE，设EF=x，表示出CE，再利用勾股定理列方程求解即可．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．17.【答案】2或125 【解析】解：设点Q 的运动的时间为t s ，点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP =2tcm ，CP =(10−2t)cm ，CQ =xt(cm)，∵点E 为AB 的中点，∴BE =12AB =6cm ，∵∠B =∠C ，∴当BP =CP ，BE =CQ 时，根据“SAS ”可判定△BPE ≌△CPQ ，即2t =10−2t ，6=xt ，解得t =52，x =125； 当BP =CQ ，BE =CP 时，根据“SAS ”可判定△BPE ∽△CQP ，即2t =xt ，6=10−2t ，解得t =2，x =2；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或125cm/s. 故答案为：2或125.设点Q 的运动的时间为t s ，点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP =2tcm ，CP =(10−2t)cm ，CQ =xt(cm)，由于∠B =∠C ，则当BP =CP ，BE =CQ 时，△BPE ≌△CPQ ，所以2t =10−2t ，6=xt ，当BP =CQ ，BE =CP 时，SAS ”可判定△BPE ∽△CQP ，所以2t =xt ，6=10−2t ，然后分别解方程即可．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．18.【答案】8【解析】解：如图，取CD 的中点F ，连接EF ，∵CD =6，M 为CD 的中点，射线OA ⊥射线OB 于点O ，∴OF =CF =12CD =3，∵CE=4，CE⊥CD，∴FE=√CE2+CF2=√42+32=5，∴OE≤FE+OF，∴OE≤8，即点E到点O的最大距离为8，故答案为：8.取CD的中点F，连接EF，利用直角三角形斜边上中线的性质得OF的长，再利用勾股定理可得EF的长，最后利用三角形三边关系可得答案．本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形的三边关系求线段的最值是解题的关键．19.【答案】证明：(1)在△ABO和△DCO中，{∠AOB=∠COD ∠ABO=∠DCO AB=DC，∴△ABO≌△DCO(AAS)；(2)由(1)知，△ABO≌△DCO，∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB.【解析】(1)由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；(2)由等边对等角得结论．此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠A=50∘，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−50∘)=65∘，又∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=50∘，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=15∘；(2)∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴DB+DC=DA+DC=AC，又∵AB=AC=7，BC=5，∴△CBD周长为12.【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=65∘，根据线段垂直平分线的性质得到DA= DB，求出∠ABD的度数，计算即可；(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．21.【答案】192(4,−2)【解析】解：(1)S△ABC=4×5−12×1×5−12×1×4−12×3×4=192，故答案为：192；(2)如图，△DEC即为所求，E(4,−2)，故答案为：(4,−2)；(1)把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．(2)利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E即可．本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，连接BD，在R△ABD中，AB=3，DA=4，根据勾股定理得，BD=5，在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，∴BC2+BD2=122+52=132=CD2∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD+12BC⋅BD=12×3×4+12×12×5=36.【解析】先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．23.【答案】解：(1)如图，AD、∠CBE和AF为所作；(2)BF与EF相等．理由如下：∵∠CBE=∠ADC，∴BF//AD，∴∠E=∠CAD，∠ABE=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴∠ABE=∠E，∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴BF=EF.【解析】(1)利用基本作图先作BAC的平分线，再作∠CBE=∠ADC，然后过A点作BE的垂线即可；(2)先证明BF//AD，则∠E=∠CAD，∠ABE=∠BAD，接着证明∠ABE=∠E，所以△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到BF=EF.本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．24.【答案】相等【解析】解：(1)由度量可知，PE=PF，故答案为：相等．(2)PE=PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB=90∘，OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF=45∘，∵∠PEO=∠EPF=∠EOF=90∘，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO=360∘，∴∠PFO=90∘，∴∠PEO=∠PFO，∵OP=OP，∴△PEO≌△PFO(AAS)，∴PE=PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP=∠ONP=90∘，∠POM=∠PON=45∘，OP=OP，∴△POM≌△PON(AAS)，∴PM=PN，∵∠OMP=∠ONP=∠MON=90∘，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN=360∘，∴∠MPN=90∘，∵∠EPF=90∘，∴∠MPE=∠NPF=90∘−∠EPN，∵∠PME=∠PNF=90∘，∴△PME≌△PNF(ASA)，∴PE=PF，综上所述，PE=PF.(3)PE=PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG=OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG=∠POE，∵OP=OP，∴△POG≌△POE(SAS)，∴∠OGP=∠OEP，PG=PE，∴∠PGF+∠OEP=∠PGF+∠OGP=180∘，∴∠AOB=50∘，∠EPF=130∘，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP=360∘，∴∠PFG+∠OEP=180∘，∴∠PGF=∠PFG，∴PG=PF，∴PE=PF.(1)由测量可知，PE=PF；(2)PE=PF，分两种情况，当PE⊥OA时，证明△PEO≌△PFO，可得PE=PF；当PE与OA不垂直时，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，先证明△POM≌△PON得PM=PN，再证明△PME≌△PNF，可得PE=PF；(3)在OF上取一点G，使OG=OE，连接PG，先证明△POG≌△POE，可得∠OGP=∠OEP，PG=PE，再由同角的补角相等证明∠PGF=∠PFG，则PG=PF，得PE=PF.此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、多边形的内角和定理、线段相等的证明等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．25.【答案】45【解析】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，∴AB=AD，CB=CD，∵∠BAD=120∘，∠BCD=150∘，∴∠ABD=∠ADB=1×(180∘−120∘)=30∘，2∠CBD=∠CDB=1×2(180∘−150∘)=15∘，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30∘+15∘=45∘，故答案为：45.(2)如图2，连接BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60∘，AB=BD，∵∠ADC=150∘，∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=150∘−60∘=90∘，∵BC=√2AB，∴BC=√2BD，∴CD=√BC2−BD2=√(√2BD)2−BD2=BD，∴AB=AD，CD=BD，∴四边形ABCD是“等腰四边形”．(3)如图3，AB=AD，根据题意得AB=BC=CD，∠ABC=90∘，∵CB=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45∘，∴∠ADB=∠ABD=45∘，∠CDB=∠CBD=45∘，∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=45∘+45∘=90∘；如图4，AB=DB，∵AB=BC=CD，∴DB=BC=CD，∴∠CBD=∠BDC=60∘，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=90∘−60∘=30∘，∴∠BDA=∠BAD=12×(180∘−30∘)=75∘，∴∠ADC=∠BDC+∠BDA=60∘+75∘=135∘；如图5，AD=BD，设AB=BC=CD=m，作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，∴AE=BE=12AB=12m，DE垂直平分CF，∴FD=CD=m，∵∠BED=∠EBC=90∘，∴∠BED+∠EBC=180∘，∴BC//ED，∴CG=BE=12m，∴FG=CG=12m，∴CF=CG+FG=12m+12m=m，∴FD=CD=CF，∴∠CDF=60∘，∴∠EDC=12∠CDF=30∘，∵∠BDE=∠CBD，∠CDB=∠CBD，∴∠BDE=∠CDB=12∠EDC=15∘，∴∠ADE=∠BDE=15∘，∴∠ADC=∠ADE+∠BDE+∠CDB=15∘+15∘+15∘=45∘，综上所述，∠ADC的度数为90∘或135∘或45∘.(1)由“等腰四边形”的定义及题中所给的条件，可得AB=AD，CB=CD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求出∠ADC的度数；(2)连接BD，先证明△ABD是等边三角形，则∠ADB=60∘，可得∠BDC=90∘，再根据勾股定理证明CD=BD，由此证得四边形ABCD是“等腰四边形”；(3)分三种情况，一是AB=AD，则△ABD≌△CBD，可求得∠ADC=90∘；二是AB=DB，则△BCD 是等边三角形，先得到∠BDC=60∘，再求出∠BDA的度数，则可求得∠ADC的度数；三是AD=BD，作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，先证明△DCF 是等边三角形，再求出∠ADC的度数．此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解第(3)题时应进行分类讨论，以免丢解．26.【答案】(1)证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=25x2，∴AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)解：S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x>0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm.①当MN//BC时，AM=AN，即10−t=t，∴t=5；当DN//BC时，AD=AN，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6.②当点M在BD上，即0≤t<4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4<t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE=DM，则t−4=5，∴t=9；如果ED=EM，则点M运动到点A，∴t=10；如果MD=ME=t−4，过点E做EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=t，BF=7，∴FM=t−7则在Rt△EFM中，(t−4)2−(t−7)2=42，∴t=49 6.综上所述，符合要求的t值为9或10或496.【解析】(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN//BC时，AM=AN；当DN//BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即4<t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE= DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t−4；分别得出方程，解方程即可．本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．。
无锡市八年级上学期数学期中考试试卷
无锡市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共16题；共32分)1. （2分）(2020·内乡模拟) 下列命题是真命题的是（）A . 对角线互相平分的四边形是平行四边形B . 相等的两个角是对顶角C . 两边和一角分别对应相等的两个三角形全等D . 圆内接四边形对角相等2. （2分） (2018八上·兴隆期中) 已知实数x，y满足 +|y+2|＝0，则x+y的值为（）A . ﹣2B . 2C . 4D . ﹣43. （2分）当x=1时，下列分式中值为0的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018八上·兴隆期中) 下列条件中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A . 两边一角对应相等B . 两角一边对应相等C . 三边对应相等D . 两边和它们的夹角对应相等5. （2分） (2018八上·兴隆期中) 实数a ， b ， c ， d在数轴上的对应点的位置如图所示.若，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018八上·兴隆期中) 一个正方形的面积等于30，则它的边长a满足（）A . 4＜a＜5B . 5＜a＜6C . 6＜a＜7D . 7＜a＜87. （2分）(2017·迁安模拟) 若分式□ 运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（）A . +B . ﹣C . +或×D . ﹣或÷8. （2分） (2018八上·兴隆期中) 如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则图中全等三角形的对数是（）A . 2对B . 3对C . 4对D . 5对9. （2分） (2018八上·兴隆期中) 将＝2.23606797…精确到千分位是（）A . 2.2B . 2.24C . 2.236D . 2.23710. （2分） (2018八上·兴隆期中) 如图为张晓亮的答卷，每个小题判断符合题意得20分，他的得分应是（）A . 100分B . 80分C . 60分D . 40分11. （2分）下列各式中，正确的是（）A . －＝B . －＝C . ＝D . －＝12. （2分） (2018八上·兴隆期中) 下列命题中原命题和逆命题都正确的是（）A . 对顶角相等B . 两直线平行，同旁内角相等C . 全等三角形的对应角相等D . 全等三角形的对应边相等13. （2分）(2018·北京) 如果，那么代数式的值为（）A .B .C .D .14. （2分） (2018八上·兴隆期中) 如图，在中，D、E分别是AC、BC上的点，若≌ ≌ ，则的度数是A .B .C .D .15. （2分） (2018八上·兴隆期中) 关于x的方程无解，则k的值为（）A . ±3B . 3C . ﹣3D . 216. （2分） (2018八上·兴隆期中) 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共4分)17. （1分） (2020八下·黄石期中) 已知，则 =________.18. （1分） (2019七上·荔湾期末) 若﹣xmy4与 x3yn是同类项，则(m﹣n)4＝________．19. （2分） (2018八上·兴隆期中)（1）如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2．把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于三角形的面积，即为2，则这个正方形的边长就是________，它是一个无理数．（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是________，它是一个无理数．三、解答题 (共7题；共60分)20. （5分） (2019八下·呼兰期末) 先化简,再求值：；其中a= ．21. （10分） (2018八上·兴隆期中) 阅读下列材料：关于x的分式方程x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣，即x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝﹣；x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝；x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝．（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+ ＝c+ （m≠0）的解是什么？并利用方程解的概念（使得方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解）进行验证．（2）根据以上的规律方法解关于x的方程：x+ ＝a+22. （5分） (2018八上·兴隆期中) 某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数．23. （5分） (2018八上·兴隆期中) 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：△ABC，尺规作图：求作∠APC＝∠ABC．小明同学的主要作法如下：如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP．所以∠APC＝∠ABC．问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．24. （15分） (2018八上·兴隆期中) 已知：如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）△CGB≌△CFA；（3）求∠AMB；25. （10分） (2018八上·兴隆期中) 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？26. （10分） (2018八上·兴隆期中) （类比学习，从图1中找方法在图2中运用）（1）如图1，在正方形ABCD（四条边都相等，每个内角都是90°）中，E是AB上一点，G是AD上一点，F 是AD延长线上一点，且∠GCE＝45°，BE＝DF．求证：GE＝BE+G D．（2）如图2，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD＝CB，∠B+∠D＝180°．求证：AE＝AD+BE．参考答案一、单选题 (共16题；共32分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、填空题 (共3题；共4分)17-1、18-1、19-1、19-2、三、解答题 (共7题；共60分)20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：第 1，3，4 个图形均为轴对称图形，共 3 个． 故选：C． 根据轴对称图形的概念求解． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】
解：∵（±2）2=4= ，
8.【答案】A
【解析】
解：∵点 P 在∠AOB 的平分线上， ∴点 P 到 AO 的距离=点 P 到 OB 的距离=5． 由垂线段最短可知 PQ≥点 P 到 OB 的距离，即 PQ≥5． 故选：A． 依据角平分线的性质可知点P 到 OB 的距离为 5，最后，依据垂线段最短进行 判断即可． 本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6. 如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC， 则
下面结论错误的是 ） （
A.BF=EF B.DE=EF C.∠EFC=45∘ D.∠BEF=∠CBE
7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28°，则顶角是（ ）
A. 28∘
B. 118∘
C. 62∘
D. 62∘或 118∘
∴ 的算术平方根是 2． 故选：C．
根据算术平方根的定义：一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x
叫做 a 的算术平方根．记为 ． 本题考查了算术平方根，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为 逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3.【答案】B
【解析】
于点 D，交 AC 于点 E．若∠DCB=30°
，则∠DCA=
°．
江苏无锡八校联考2024年上学期八年级期中数学试卷+答案
八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.若2xx−2与3xx−8是有理数a的两个不相等的平方根，则有理数a是( )A. 2B. −2C. 4D. −43.根据下列已知条件，能画出唯一的△AAAAAA的是( )A. ∠AA=90∘，AAAA=6B. AAAA=4，AAAA=3，∠AA=30∘C. ∠AA=60∘，∠AA=45∘，AAAA=4D. AAAA=3，AAAA=4，AAAA=84.某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是( )A. 三角形三条角平分线的交点B. 三角形三边垂直平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 三角形三条高的交点5.如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是( )A. 10：05B. 20：01C. 20：10D. 10：026.下面命题中，不正确的是( )A. 在△AAAAAA中，若三个内角满足∠AA=∠AA−∠AA，则△AAAAAA是直角三角形B. 在△AAAAAA中，若三个内角满足∠AA：∠AA：∠AA=3：4：5，则△AAAAAA是直角三角形C. 在△AAAAAA中，若对应三边满足a：b：cc=3：4：5，则△AAAAAA是直角三角形D. 在△AAAAAA中，若对应三边满足(aa+bb)(aa−bb)=cc2，则△AAAAAA是直角三角形7.等腰△AAAAAA中，AAAA=AAAA，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A. 8B. 24C. 8或24D. 8或128.如图，△AAAAAA中，∠AAAAAA=90∘，AAAA=5，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为SS1、SS2、SS3，则SS1+SS2+SS3的值为( )A. 25ππB. 9ππC. 254ππD. 252ππ9.如图，在四边形ABCD中，∠AAAAAA=∠AAAAAA=90∘，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EEEE.若AAAA=10，AAAA=6，则EF的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. √ 710.如图，△AAAAAA中，∠AAAAAA=90∘，AAAA=6，AAAA=8，点D是AB的中点，将△AAAAAA沿CD翻折得到△EEAAAA，连接AE，BE，则线段AE的长等于( )A. 3B. 4C. 103D. 145二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷-(含答案)
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.的平方根是（）A. 4B. 2C.D.2.若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（）A. 或B.C. 或D.3.如图，与左边正方形图案属于全等的图案是（）A.B.C.D.4.在3.14159、、-、、π、1.20202020…，这五个数中，无理数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.下列各图中，一定全等的是（）A. 顶角相等的两个等腰三角形B. 有两边和一角分别相等的等腰三角形C. 各有一个角是，腰长都是3cm的两个等腰三角形D. 底边和顶角都相等的两个等腰三角形6.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 12，15，18B. 12，35，36C. ，，D. 5，12，137.若x＜-1，则等于（）A. B. C. 3x D.8.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS，其中正确的是（）A. ①②③B. ①C. ①②D. ①③9.野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图所示），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种10.如图1所示为三角形纸片ABC，上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线，，，其中Q、R、S、T四点会分别在，，，上，如图2所示．若△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，则△PRS面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.若，则x2008+2008y= ______ ．12.已知a、b为两个连续的整数，且＜＜，则a+b=______．13.如图，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．△BCE的周长是53cm，则BC= ______ cm．14.△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则BC的长为______．15.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=______°．16.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2016= ______ ．17.△ABC中，AB=13，BC=20，AC=21，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是______．18.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共74.0分）19.求x的值：（1）（x-1）3=-27（2）（2x+1）2=；（3）=100．20.已知5a-1的平方根是±3，b、c均为有理数，且b、c满足等式b+c+2=c2+5，求a+b+c的算术平方根．21.如图A、B在方格纸的格点位置上．（1）若要再找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的格点C在图中共有______ 个；（2）若要再找一个格点D，使△ABD的面积为3，则这样的格点D在图中共有______ 个；（3）若要再找一个个点E，使△ABE的三边均为无理数，则这样的格点E在图中共有______ 个．22.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证：OE＝OF．23.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CA=CB，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．（1）求证：AD=CE；（2）连接AE，若AB=5，BE=3，求四边形AEBC的周长和面积．24.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由；（3）连接BD，试说明：△ABD的面积和△ACE的面积相等．25.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．（1）探索AB与BF的数量关系，说明理由．（2）若BF=1，求BC的长．26.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒（1）出发1秒后，△ABP的周长=______；（2）当t=______时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？27.已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=4，4的平方根是±2．故选：D．先求得的值，然后根据平方根的定义求解即可．本题主要考查的是主要考查的是平方根和算术平方根的定义，求得的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，∴等腰三角形的一个内角为80°，①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．故选C．等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．3.【答案】C【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．故选c．根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证．本题考查的是全等形的识别，主要根据全等图形的定义做题，属于较容易的基础题．4.【答案】D【解析】解：无理数有：-，π，1.20202020…共3个．故选D．无理数就是无限不循环小数，根据定义即可判断．本题考查了无理数的定义，无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．5.【答案】D【解析】解：A、两个等腰三角形的腰不一定相等，所以A错误；B、有两边和一角分别相等的等腰三角形不一定全等，所以B错误；C、各有一个角是45°，腰长都是3cm的两个等腰三角形不一定全等，所以C也错误；D、正确，利用了AAS或ASA都可以．故选D此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．6.【答案】D【解析】解：A、不是，因为122+152≠182；B、不是，因为122+352≠362；C、不是，因为0.3，0.4，0.5不是正整数；D、是，因为52+122≠132．且5、12、13是正整数．故选D．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．7.【答案】D【解析】解：∵x＜-1，∴2x-1＜0，x+1＜0，∴|2x-1|+=|2x-1|+=1-2x-1-x=-3x．故选D．将原式化为|2x-1|+，再根据x＜-1判断出2x-1和x+1的大小，化简即可．主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=-a．8.【答案】C【解析】解：如图，在RT△APR和RT△APS中，，∴RT△APR≌RT△APS（HL），∴∠AR=AS，①正确；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选：C．易证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证RT△APR≌RT△APS是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：如图，第一个沿直角三角形作斜边上的中线切，第二个三角形在钝角处沿20°角的另一边切，第三个三角形在60°角处沿20°角的另一边切，第四个三角形无法分成两个等腰三角形，所以，她的选择最多有3种．故选C．根据翻身后饼也能正好落在“锅”中，考虑把三角形分成两个等腰三角形即可．本题考查了全等三角形的应用，判断出翻折后正好能够重合是三角形是等腰三角形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：根据题意，得△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等．又△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，∴△PRS面积等于（16-5×2）÷2=3．故选C．根据折叠，知△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等，结合已知△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，即可求解．此题主要是能够根据折叠，得到重合图形的面积相等．11.【答案】2【解析】解：由，根据二次根式的意义，得解得x=1，故y=0，∴x2008+2008y=12008+20080=2．由于已知等式的两个二次根式有意义，而二次根式要求被开方数为非负数，由此列不等式组求x、y的值，接着就可以求出结果．本题考查了二次根式的意义，指数运算，属于基础题，需要熟练掌握．12.【答案】11【解析】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．13.【答案】21【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，∴AE=EB，AE+EC=AC=32cm，∴BE+EC=32cm，∵△BCE的周长是53cm，∴BE+EC+BC=53cm，∴BC=53-BE-EC=53-32=21cm，故答案为：21．利用线段的垂直平分线的性质可得AE=EB，然后根据△BCE的周长是53cm，即可求得答案．此题考查了线段垂直平分线的性质．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】14或4【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为DC-BD=9-5=4．故答案为14或4．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．15.【答案】45【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-45°）=67.5°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵EF=BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴BF=EF=CF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．故答案为：45．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．16.【答案】22015【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1，a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1，以此类推：a2016=22015．故答案是：22015根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而得出答案．此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．17.【答案】12【解析】解：∵AD平分∠BAC，作N关于AD的对称点N′，则N′在AC上，连接MN′，则MN=MN′，过B作BE⊥AC于E，∵BM+MN=BM+MN′，∴BM+MN≥BE（垂线段最短），设AE=x，则CE=21-x，则，解得：x=5，∴BE==12，即BM+MN的最小值是12．通过作辅助线，先找出BM+MN的最小值是BE，设AE=x，根据勾股定理列方程组可求出x的值，从而得BE的长，即是BM+MN的最小值．本题考查了最短路径问题，根据角平分线的性质定理及垂线段最短，得三角形的高线BE即是最短路径．18.【答案】【解析】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．19.【答案】解：（1）由题意得x-1=3，解得：x=4；（2）由题意得：2x+1=±2，解得：x=或x=-．（3）由题意得：x-1=±100，解得：x=101，x=-99．【解析】（1）依据平方根的定义可得到x-1=3，故此可求得x的值；（2）依据平方根和算术平方根的定义可得到2x+1=±2，故此可求得x的值；（3）先依据平方根的定义得到|x-1|=100，从而可求得x的值．本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．20.【答案】解：∵5a-1的平方根是±3，∴5a-1=9∴a=2，∵b+c+2=c2+5，∴c=-2，b=9，∴a+b+c=2-2+9=9，∴9的算术平方根是3．【解析】根据平方根、算术平方根，即可解答．本题考查了实数，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根．21.【答案】10；8；16【解析】解：（1）如图所示：AB==2，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有2个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有2个；以C为顶点，CA=CB，这样的点有6个，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有10个．（2）如图所示：若要再找一个格点D，使△ABD的面积为3，则这样的格点D在图中共有8个．（3）如图所示：若要再找一个个点E，使△ABE的三边均为无理数，则这样的格点E在图中共有16个，故答案为：10；8；16．（1）根据勾股定理计算出AB=2，然后分类讨论确定C点位置；（2）找到△ABD的面积为3的格点即为所求；（3）本题需根据勾股定理和图形即可找出所有满足条件的点．．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．22.【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．23.【答案】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB=90°，∴，∠ADE=∠ADC=∠E=90°=∠ACB，∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE；（2）解：连接AE，如图所示：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴CA=CB=AB=5，∴AD=CE===4，∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE=3，∴DE=CE-CD=1，∴AE===，∴四边形AEBC的周长=AE+BE+BC+AC=+3+5+5=13+；四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积=×4×4+×4×3=14．【解析】（1）证出∠CBE=∠ACD，由AAS证明△ACD≌△CBE，得出对应边相等即可；（2）连接AE，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得出CA=CB=AB=5，由勾股定理求出AD=CE=4，由全等三角形的性质得出CD=BE=3，求出DE=CE-CD=1，再由勾股定理求出AE即可得出四边形AEBC的周长，四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积，代入计算即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）图2中△ABE≌△ACD，证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD；（2）DC=BE，CD⊥BE，理由：∵△ABE≌△ACD，∴CD=BE，∠ACD=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCB=90°，∴CD⊥BE；（3）过A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH=BC，∴S△BCD=BC•CD=AH•BE，S△ABE=BE•AH，∴S△BCD=2S△ABE，∵△ABE≌△ACD，∴S△ABD+S△ABC=S△ABE=S△ABC+S△ACE，即S△ABD=S△ACE．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，求出∠BAE=∠CAD，根据SAS证△ABE≌△ACD即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AH⊥BC于H，根据三角形面积的和差即可得到结论．本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，主要考查学生的计算能力和推理能力．25.【答案】解：（1）结论：AB=3BF．理由：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴DC=BD，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF（ASA），∴DE=DF，CE=BF，∵AE=2BF，∴AC=3BF，∴AB=3BF．（2）∵AC=AB，CD=BD，DE⊥AC，∴AD⊥BC，∴∠CDA=∠CED=90°，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CDA，∴CD2=CE•CA，∵CE=BF=1，AC=3BF=3，∴CD2=3，∴CD=，∴BC=2CD=2．【解析】（1）首先证明AC=AB，再证明△CDE≌△DBF，推出DE=DF，CE=BF，由题意AE=2BF，AC=AB=3BF．（2）只要证明△CED∽△CDA，得CD2=CE•CA，由此即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．26.【答案】（7+）cm，；1.5s或2.7s【解析】解：（1）如图1所示：由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC===4（cm），动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm，∵∠C=90°，∴PB==（cm），∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7+（cm），故答案为：（7+）cm，（2）分两种情况：①如图2所示：当点P在边AC上时，CP=BC=3cm，3÷2=1.5（s），此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；②如图3所示：当点P在边AB上时，CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高CD，则CD==2.4（cm），在Rt△PCD中，PD===1.8（cm），∴BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9-3.6=5.4（cm），则用的时间为5.4÷2=2.7（s），△BCP为等腰三角形；综上所述：当t=1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；故答案为：1.5s或2.7s；（3）分两种情况：①如图6所示：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴2t+t=4-2t+3-t+5，解得：t=2；②如图7所示：当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9∴AQ=5-（t-3）=8-t，CQ=3-（2t-9）=12-2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9，解得：t=6，综上所述：当t为2s或6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．（1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）由勾股定理得AC=4cm，有两种情况，①当点P在边AC上时；②当点P 在边AB上时；求出点P运动的路程，即可得出结果；．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，根据题意得出方程，解方程即可；当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9；根据题意得出方程，解方程即可．此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；此题涉及到了动点，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．27.【答案】解：（1）①连接CD，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF．②连接DG，∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH．（2）如图，当E在线段AC上时，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，∴AC=AE+EC=3+4=7；如图，当E在线段CA延长线时，AC=EC-AE=4-3=1，综合上述AC=7或1．【解析】（1）①连接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，证△ADE≌△CDF 即可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；（2）求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．本题考查了等腰三角形性质和判定，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．。
无锡市滨湖区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
2021－2022学年江苏省无锡市滨湖区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．）1.下列图形不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.9的算术平方根是（）A.3B.－3C.±3D.813.下列实数中，是负数的是（）A.﹣（﹣π）B.（﹣2）2C.|﹣4|D.﹣4.若△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∠E＝60°，则∠F的度数为（）A.75°B.60°C.45°D.以上都不正确5.若等腰三角形顶角为80°，则该三角形的底角的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.80°6.若[a]表示数a的整数部分，例如[π]＝3]＝（）A.4B.5C.6D.77.利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的是（）A.已知两边及夹角B.已知两角及夹边C.已知两边及一边的对角D.已知三边8.下列命题中正确的是（）A.数轴上的点与实数一一对应B.无理数是带根号的数C.无限小数都是无理数D.零是最小的实数9.将一张长方形纸片折叠，如图所示，若AB＝4，BC＝3，则AC的长为（）A.3B.4C.5D.610.如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q、关于直线OB 的对称点为点T，连接QT，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的是（）②当α＝30°时，PMNA.①②B.③④C.①②③D.①②③④二、填空题（本大题共6小题，共8空，每空3分，共24分．）11.2的平方根是_________.12.把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是____．13.如图，已知∠B＝∠C，在不添加任何字母的情况下，添加一个合适的条件____使△ABD≌△ACD．（只需填写一个符合题意的条件即可）14.已知等腰三角形两边长为3和4，那么该三角形的周长为____．15.如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分＝___，AF＝___．别为点E、F，若DE＝3，则S△BDC16.如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝．连接DE，将 ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，连接FD，且FD交AC于点G．若FD平分∠EFB，则∠ADE＝___°，FG＝___．三、解答题（本大题共9小题，共76分．）17.计算：（1）（﹣1）2021﹣30；-|．（2）2﹣1＋218.求下列式子的x的值．（1）4x2﹣49＝0；（2）2（x﹣1）3＝﹣54．19.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC//DF，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．20.若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，求﹣m＋n＋5的立方根．21.如图，网格内有两条相交的直线AB、BC，点A、B、C都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图：（求作图形用实线表示，辅助图形用虚线表示）（1）在网格内画出到直线AB、BC距离相等的所有点；（2）在网格内画出到点B、C距离相等的所有点．22.如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、DF、EF．求证：△DEF为等边三角形．23.小明在学习轴对称一章时，发现一个很有意思的问题，很多真命题将一个已知条件和结论互换后仍然成立，如图，已知△ABC中，点D在△ABC的边BC上．小明提出如下猜想：如果AD平分∠BAC，BD＝CD，那么AB＝AC．你同意小明的猜想吗？如果同意，请给出证明；如果不同意，请说明理由．24.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD交BC于点D，BC的中点为G，过点G作GE平行于AD，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝10cm，AC＝6cm，求BE．25.如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＋1，BC＝2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝1，DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE、BD、CD．（1）如图②，求证：CE＝BD；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，α＝°．（直接写出答案即可）2021－2022学年江苏省无锡市滨湖区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．）1.下列图形不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称和中心对称的定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称的定义，掌握轴对称和中心对称的定义是解题的关键．2.9的算术平方根是（）A.3B.－3C.±3D.81【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的性质计算即可；【详解】9的算术平方根是3．故答案选A．【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．3.下列实数中，是负数的是（）A.﹣（﹣π）B.（﹣2）2C.|﹣4|D.﹣【答案】D【解析】【分析】先化简各数，再判断正负即可．【详解】解：A、﹣（﹣π）＝π，是正数，不符合题意；B、（﹣2）2＝4，是正数，不符合题意；C、|﹣4|＝4，是正数，不符合题意；D D．【点睛】本题考查了实数的分类，正负数的意义以及相反数、绝对值、平方的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．4.若△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∠E＝60°，则∠F的度数为（）A.75°B.60°C.45°D.以上都不正确【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出∠D，再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∴∠D＝∠A＝75°，∵∠E＝60°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝45°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，能求出∠D的度数是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．5.若等腰三角形顶角为80°，则该三角形的底角的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.80°【答案】B【解析】【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的一个底角为（180°-80°）÷2=50°．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．6.若[a]表示数a的整数部分，例如[π]＝3]＝（）A.4B.5C.6D.7<<，进而利用]表示出一个实数的整数部分，即可得出答案．【答案】A【解析】【分析】根据题意得出45<<<<，∴45∴]=4，故选A．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数最接近的有理数是解题的关键．7.利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的是（）A.已知两边及夹角B.已知两角及夹边C.已知两边及一边的对角D.已知三边【答案】C【解析】【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据以上内容判断即可．【详解】解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，∴A、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；B、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；C、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；D、根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．8.下列命题中正确的是（）A.数轴上的点与实数一一对应B.无理数是带根号的数C.无限小数都是无理数D.零是最小的实数【答案】A【解析】【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、数轴上的点与实数一一对应，故A选项正确，符合题意；B、无理数是无限不循环小数，例如π，故B选项错误，不符合题意；C、无限循环小数是无限小数，也是有理数，故C选项错误，不符合题意；D、没有最小的实数，故D选项错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系，牢记无理数的定义是解题的关键．9.将一张长方形纸片折叠，如图所示，若AB＝4，BC＝3，则AC的长为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】延长原长方形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠ACB，根据翻折变换的性质可得∠1＝∠ABC，从而得到∠ABC＝∠ACB，再根据等角对等边可得AC＝AB，从而得解．【详解】解：如图，延长原长方形的边，∵长方形的对边平行，∴∠1＝∠ACB，由翻折变换的性质得，∠1＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB，∵AB＝4，∴AC＝4．故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键，难点在于作出辅助线．10.如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q、关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质可得OQ＝OP＝OT＝m，∠POA＝∠QOA，∠POB＝∠TOB，由此可得∠QOT＝2α，再根据等腰三角形的性质可得∠OTQ＝∠OQT＝90°﹣α，当α＝30°时，则∠QOT＝2α＝60°，根据等边三角形的判定与性质可得QT＝OT＝m，再根据垂直平分线的性质可得PM＝QM，PN＝TN，由此可得PMN的周长＝m，根据三角形三边关系可得0＜QT＜2m，最后根据四边形的内角和可得∠EPF＝180°－α，进而可得∠PQT＋∠PTQ＝α，再根据等边对等角可得∠PQT＝∠MPQ，∠PTQ＝∠NPT，由此可得∠MPN＝180°﹣2α．【详解】解：∵点P关于直线OA的对称点为点Q、关于直线OB的对称点为点T，∴OA、OB分别垂直平分PQ，PT，∴OQ＝OP＝OT＝m，∠POA＝∠QOA，∠POB＝∠TOB，∴∠QOT＝∠POA＋∠QOA＋∠POB＋∠TOB＝2(∠POA＋∠POB)＝2∠AOB＝2α，∵OQ＝OT，∴∠OTQ＝∠OQT＝1802QOT︒-∠＝18022α︒-＝90°﹣α，故①正确；当α＝30°时，则∠QOT＝2α＝60°，又∵OQ＝OT，△为等边三角形，∴OQT∴QT＝OT＝m，∵OA、OB分别垂直平分PQ，PT，点M、N分别在OA、OB上，∴PM＝QM，PN＝TN，的周长＝PM＋MN＋PN∴PMN＝QM＋MN＋TN＝QT＝m，故②正确；△中，OQ－OT＜QT＜OQ＋OT，∵在OQT∴0＜QT＜2m，故③正确；如图，∵OA⊥PQ，OB⊥PT，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，又∵∠AOB＝α，∴∠EPF＝360°－∠OEP－∠OFP－∠AOB＝180°－α，△中，∠PQT＋∠PTQ＝180°EPF＝α，∴在PQT∵PM＝QM，PN＝TN，∴∠PQT＝∠MPQ，∠PTQ＝∠NPT，∴∠MPN＝∠EPF－(MPQ＋∠NPT)＝∠EPF－(∠PQT＋∠PTQ)＝180°－α－α＝180°－2α，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共8空，每空3分，共24分．）11.2的平方根是_________.【答案】【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）．【详解】解：2的平方根是故答案为．【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12.把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是____．【答案】0.35【解析】【分析】根据题意“精确到0.01”把千分位上的数字4进行四舍五入即可．【详解】解：把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是0.3549≈0.35．故答案为0.35．【点睛】本题考查近似数和有效数字，明确精确位数，再根据精确位数的后一位四舍五入．13.如图，已知∠B ＝∠C ，在不添加任何字母的情况下，添加一个合适的条件____使△ABD ≌△ACD ．（只需填写一个符合题意的条件即可）【答案】∠CAD =∠BAD （或∠CDA =∠BDA ）【解析】【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加另一组对应角相等，利用AAS 判定其全等．【详解】解：需添加的一个条件是：∠CAD =∠BAD ，理由：∵在△ABD 和△ACD 中，B C BAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （AAS ）．故答案为：∠CAD =∠BAD （或∠CDA =∠BDA ）．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．14.已知等腰三角形两边长为3和4，那么该三角形的周长为____．【答案】10或11##11或10【解析】【分析】根据有两边相等的三角形是等腰三角形，分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当3为等腰三角形的腰，则三角形的三边长为3,3,4，则该三角形的周长为33410++=；当4为等腰三角形的腰，则三角形的三边长为4,4,3，则该三角形的周长为34411++=；所以该三角形的周长为10或11．故答案为：10或11【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．15.如图，已知△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，DE ⊥AB ，AF ⊥BC ，垂足分别为点E 、F ，若DE ＝3，则S △BDC ＝___，AF ＝___．【答案】①.15②.275##5.4【解析】【分析】过点D 作DG ⊥BC ，根据角平分线的性质可得DG =DE ＝3，从而可得△BDC 的面积，根据等面积法即可求得AF ．【详解】解：过点D 作DG ⊥BC ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DE ＝3，∴DG =DE ＝3，∵BC ＝10，∴111031522BDC S BC DG =⋅=⨯⨯= ,∵AB ＝8，∴1118312222BDA S AB DE AB DE =⋅⋅=⨯⨯= ,∴11512272ABC BDA BDC S BC AF S S =⋅==+=+ ,∴275AF =．故答案为：15，275．【点睛】本题考查角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键，还需掌握等面积法．16.如图，在RtABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD DE ，将 ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F落在BC 的延长线上，连接FD ，且FD 交AC 于点G ．若FD 平分∠EFB ，则∠ADE ＝___°，FG ＝___．【答案】①.45°②.4-【解析】【分析】先根据题意可得BD ＝4FCG ＝90°，再根据翻折的性质可得AD FD ==，A DFE ∠=∠，12ADE FDE ADG ∠=∠=，结合FD 平分∠EFB 可得DFBA ∠=∠，由此可证得∠ADG ＝∠FCG ＝90°，则1452ADE ADG ∠=∠=︒，进而可证明ADG FDB △≌△，由此可得4DG DB ==，进而即可求得FG 的长．【详解】解：∵AB ＝4，AD ，∴BD ＝AB －AD ＝4∵∠ACB ＝90°，∴∠FCG ＝180°－∠ACB ＝90°，∵翻折，∴ADE FDE △≌△，∴AD FD ==，A DFE ∠=∠，12ADE FDE ADG ∠=∠=∠，∵FD 平分∠EFB ，∴DFB DFE ∠=∠，∴DFBA ∠=∠，又∵FGC DGA ∠=∠，∴180180A DGA DFB FGC ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即∠ADG ＝∠FCG ＝90°，∴∠FDB ＝180°－∠ADG ＝90°＝∠ADG ，1452ADEADG ∠=∠=︒，在ADG 与FDB △中，ADG FDB AD FDA DFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ADG FDB ASA △≌△，∴4DG DB ==-，∴(44FG DF DG =-==，故答案为：45°；4-．【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共76分．）17.计算：（1）（﹣1）2021﹣30；（2）2﹣12-|．【答案】（1）-29（2）32【解析】【分析】（1）根据有理数与二次根式的运算法则即可化简求解；（2）根据实数的性质、负指数幂的运算即可化简求解．【详解】（1）（﹣1）2021＋﹣30=-1＋2﹣30=-29（2）2﹣12-|=1232．【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算、实数的性质及二次根式的运算法则．18.求下列式子的x 的值．（1）4x 2﹣49＝0；（2）2（x ﹣1）3＝﹣54．【答案】（1）x =72±（2）x =-2【解析】【分析】（1）根据平方根的性质即可化简求解；（2）根据立方根的性质即可化简求解．【详解】解：（1）4x 2﹣49＝0x 2=494∴x =72±（2）2（x ﹣1）3＝﹣54（x ﹣1）3＝﹣27x ﹣1＝-3∴x =-2．【点睛】此题主要考查平方根、立方根的应用，解题的关键是熟知实数的性质化简各方程求解．19.如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，AD ＝BE ，AC //DF ，AC ＝DF ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【解析】【分析】证明∠A ＝∠FDE ，AB ＝DE ，根据SAS 推出△ABC ≌△DEF ．【详解】证明:∵AC//DF ，∴∠A ＝∠FDE ，又∵AD ＝BE ，∴AB ＝DE 在△ABC 和△DEF 中，AC DF A FDE AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟知SAS 证明三角形全等的方法．20.若一个正数的两个平方根分别是2m ﹣1和2，n 是8的立方根，求﹣m ＋n ＋5的立方根．【答案】2【解析】【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数先求出m 的值，再根据立方根的定义求得n ，然后代入﹣m ＋n ＋5求出其立方根即可．【详解】解；根据题意，(21)+(2)=0m m ﹣﹣，2n ==，解得1m =-，∴﹣m ＋n ＋5=1+2+5=8，它的立方根为2．【点睛】本题考查了立方根及平方根的知识，难度不大，关键是求出m 的值．21.如图，网格内有两条相交的直线AB 、BC ，点A 、B 、C 都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图：（求作图形用实线表示，辅助图形用虚线表示）（1）在网格内画出到直线AB 、BC 距离相等的所有点；（2）在网格内画出到点B 、C距离相等的所有点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到线段的距离相等，可知需要作ABC ∠的角平分线，选取合适的格点D ，连接BD 即可；（2）根据题意可得，需要作线段BC 的垂直平分线，选取合适的格点，构造矩形，利用矩形的性质即可求解．【详解】解：（1）根据角平分线上的点到线段的距离相等，作ABC ∠的角平分线，选取格点D ，连接BD 即可，如下图：（2）根据题意可得，作线段BC的垂直平分线，如下图，选取合适的格点，构造两个以BC为边的矩形，连接对角线，两对角线分别交于E F、两点，连接EF即可．【点睛】此题考查了网格作图问题，涉及了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．22.如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、DF、EF．求证：△DEF为等边三角形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半证明DF=DE，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，即可得出∠BDE+∠CDF=120°，根据等边三角形的判定定理证明结论．【详解】证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF⊥AC，CE⊥AB，点D是BC的中点，∴DB=DE，DC=DF，DE=12BC，DF=12BC，∴∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，DF=DE，∴∠DEB+∠ABC+∠DFC+∠ACB=240°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠FDE=60°，又DF=DE，∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．23.小明在学习轴对称一章时，发现一个很有意思的问题，很多真命题将一个已知条件和结论互换后仍然成立，如图，已知△ABC中，点D在△ABC 的边BC上．小明提出如下猜想：如果AD平分∠BAC，BD＝CD，那么AB＝AC．你同意小明的猜想吗？如果同意，请给出证明；如果不同意，请说明理由．【答案】同意，理由见解析．【解析】【分析】先过点D作DM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，然后证出Rt△BDM≌Rt△CDN，得出∠B=∠C，从而证出最后结论．【详解】解：同意，理由如下：证明：如果AD平分∠BAC，BD＝CD，那么AB＝AC．过点D作DM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AC于点N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，在Rt△BDM和Rt△CDN中，∵BD CDDM DN=⎧⎨=⎩，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，在解题时要能够根据题意作出辅助线是本题的关键．24.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD交BC于点D，BC的中点为G，过点G作GE平行于AD，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝10cm，AC＝6cm，求BE．【答案】（1）见解析；（2）8cm【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质，即可求证；（2）过点C作CH∥BE交EG延长线于点H，可证得△BEG≌△CHG，从而得到CF=CH，进而得到2AE=AB-AC，即可求解．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵GF∥AD，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF；（2）如图，过点C作CH∥BE交EG延长线于点H，∵CH∥BE，∴∠BEG=∠H，∠B=∠GCH，∵BG=CG，∴△BEG≌△CHG，∴CH=BE，∵∠AEF =∠AFE ，∠BEG =∠AEF ，∴∠BEG =∠AFE ，∴∠H =∠AFE ，∴CF =CH ，∴CF =BE ，∴AC +AF =BE ，∵BE =AB -AE ，∴AB -AE =AC +AF ，∴2AE =AB -AC ，∵AB ＝10cm ，AC ＝6cm ，∴AE =AF =2cm ，∴BE =AB -AE =8cm ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是适当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．25.如图①，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC＋1，BC ＝2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD ？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；（3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，α＝°．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135α=︒．【解析】【分析】（1）利用“SAS ”证得ACE ABD ∆≅∆即可得到结论；（2）若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，再根据（1）中ACEABD ∆≅∆，推出ACE ABD ∠=∠，可得90EFB ∠=︒，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC =，AD AE =，90CAB EAD ∠=∠=︒，90CAE BAE BAD BAE ∠+∠=∠+∠=︒ ，CAE BAD ∴∠=∠，在ACE ∆和ABD ∆中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，∵AB ＝AC ＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE ，∴1122AC AD CD BC +=++===∴AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ∆≅∆，ACE ABD ∴∠=∠，90ACE AEC ∠+∠=︒ ，且AEC FEB ∠=∠，90ABD FEB ∴∠+∠=︒，90EFB ∴∠=︒，CF BD ∴⊥，BC CD = ，CF ∴是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD ∆中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD ∆的面积有最大值，∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，如图中：1AB AC ==+ ，1AD AE ==，90CAB EAD ∠=∠=︒，DG BC ⊥于G ，1222AG BC ∴==，45GAB ∠=︒，24122DG AG AD +∴=+=+=，18045135DAB ∠=︒-︒=︒，BCD ∴∆的面积的最大值为：1145)2222BC DG ⋅==，旋转角135α=︒．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．。
2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级(上)期中数学试卷[含答案]
2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．46．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）A．1B．C．2D．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜68．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2B．3C．3.5D．410．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 ．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 ．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ．（填写序号）17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 ；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝ 时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ ．2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝50°．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．【解答】解：A、∵202＝62+82，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、设∠A＝x°，则∠B＝（）°，∠C＝（）°，则x++＝180，∴x＝，即∠A＝（）°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键．【解答】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．综上，真命题有2个．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形，灵活运用相关定义是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）A．1B．C．2D．【分析】点D到AB的距离，指的是过点D作AB的垂线段DE的长度，根据角平分线的性质，可以得到DE＝CD，利用AC＝4，DC＝AD，可以求出线段CD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝，AC＝4，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，点D到AB的距离指的是过点D作AB的垂线段的长度，是解决此题的突破口．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜6【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．【解答】解：A、当AB＝BC＝4.5，即x＝4.5时，△ABC是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；B、周长为12的等边三角形，边长为4，而AC＝3，故△ABC不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；C、△ABC是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知AC＝3，AB＝x＝4时，BC＝5或AC＝3，AB＝x＝5，BC＝4都可以，原说法错误，故选项符合题意；D、根据三角形的三边关系可知3＜x＜6，说法正确，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MBN＝30°，∴∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2B．3C．3.5D．4【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣2＝3．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．10．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴折叠成直三棱柱后CM＝＝，折叠成直三棱柱后CP＝＝，折叠成直三棱柱后CN＝＝，∵＞＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，所以其另一边只能是6，故其周长为6+6+3＝15．故答案为15．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 16 ．【分析】根据线段垂直平分线得到AC＝CE＝5，直接根据周长公式计算即可．【解答】解：∵MN垂直平分AE，∴AC＝CE＝5，∴AB＝AC＝5，又∵BC＝6，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+5+6＝16，故答案为：16．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 2 ．【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝2．【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，则∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，，∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴．∵AC＝10，BC＝6，∴，故答案是：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 1.4m ．【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD、OE＝BD，求出DE的长即可解答．【解答】解：由题意可知：∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），∵AD＝1m，∴AE＝AD+DE＝1+0.4＝1.4（m）．故答案为：1.4m．【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△COE≌△OBD（AAS）是解题的关键．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ①②③ ．（填写序号）【分析】先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可解答．【解答】解：如图，连接AC，CE．由题意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝202+502．在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．∴CE2＝402+202+502＝4500．因为382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查勾股定理，求得长方体的体对角线的长度是解题的关键．17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ 6 ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）【分析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．证明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP 是矩形，推出MG＝PC＝BC，证明△MGW≌△BCT（AAS），推出MW＝BT，由MN＝BM，NW＝MT，可证△NWE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝6，【解答】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠BQM＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共线，∵四边形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，∴∠MQG＝∠BTC，∴△MGW≌△BCT（AAS），∴MW＝BT，∵MN＝BM，∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，∴S1+S5＝S3＝6，解法二：∵AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2+S左空+S右空+S5＝S3+S4+S左空+S右空，∴S1+S5＝S4＝6故答案为6．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或67.5°或45° ．【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，分三种情况：当A′D＝A′E时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；当DA′＝DE时，∴∠A′＝∠DEA′＝30°，∵∠DEA′是△ACE的一个外角，∴∠DEA′＞30°，∴此种情况不成立；当ED＝EA′时，如图：∴∠EDA′＝∠A′＝30°，∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，故答案为：22.5°或67.5°或45°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得∠B＝∠C，再利用AAS证明△ABE≌△DCF；（2）利用全等三角形的性质得∠D＝∠A＝45°，再利用三角形外角的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴∠D＝∠A＝55°，∴∠BFD＝∠C+∠D＝30°+55°＝85°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 4 ；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．【分析】（1）根据轴对称的性质确定A，B，C的对应点D，E，F，然后再顺次连接即可，再运用割补法求△ABC的面积即可；（2）先构造等腰直角三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质作图即可．【解答】解：（1）如图1：△DEF即为所求．△ABC的面积为．（2）如图2：线段BD即为所求．．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：连接AC∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132又∵AD2＝132，∴AC2+CD2＝CD2∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；答：学校需要投入7200元买草皮．【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．【分析】（1）由角的和差可得∠DAC＝∠BAE，进而证得△ACD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）如图2：连接BE，由垂直平分线的性质可得AD＝DE，进而得到△ADE是等边三角形，即；再运用全等三角形的性质可得BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，最后运用勾股定理即可解答．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）解：如图2：连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝ 1 时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．【分析】（1）先由勾股定理可得BC的长，当AP是中线时，AP平分△ABC的面积，即2t＝2，可得结论；（2）当△ABP为等腰三角形时，存在三种情况：AP＝BP或AB＝AP或AB＝BP，根据BP＝2t和等量关系列方程可解答；（3）如图4中，如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，根据对称可知：AE+EF的最小值就是AF'的长，根据面积法可得结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，当BP＝CP时，AP平分△ABC的面积，即BP＝2t＝2，∴t＝1，则当t＝1时，AP平分△ABC的面积；故答案为：1；（2）分三种情况：①如图1，AP＝PB，由题意得：AP＝BP＝2t，∴CP＝4﹣2t，由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2，∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，∴t＝；②如图2，AB＝BP＝5，∴2t＝5，∴t＝；③如图3，AB＝AP，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴BP＝2BC＝8，∴2t＝8，∴t＝4；综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值是或或4；（3）如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，则AB与A'B关于BC对称，∴EF＝EF'，∴AE+EF＝AE+EF'＝AF'，即此时AE+EF的值最小，且最小值是AF'的长，∵AC＝A'C＝3，AB＝A'B＝5，∴△ABA'的面积＝×6×4＝×5AF'，∴AF'＝，∴AE+EF的最小值是．【点评】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明△BAD≌△CAE，推得∠ADB＝∠AEC，再由∠DAE+∠DFE＝180°，∠BFC+∠DFE＝180°得∠BFC＝∠DAE＝∠BAC；（2）当点D在△ABC的内部时，延长BD交CE于点F，由（1）中的结论直接推得∠BFC＝∠DAE＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；当点D在△ABC的外部时，设BD交CE于点F，交AC于点G，先证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，由此推得∠AFC＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；（3）连接AC、BD交于点F，则∠BFC＝∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，由勾股定理可推得AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，则AD2+42＝62+52，可求出AD长．【解答】解：（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．理由：如图1，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∴∠ADF+∠AEC＝∠ADF+∠ADB＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC．（2）当点D在△ABC的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BFC＝∠DAE＝90°，∵∠DCE＝62°，∴∠BDC＝∠BFC+∠DCE＝90°+62°＝152°；当点D在△ABC的外部时，如图2乙，BD交CE于点F，交AC于点G，∵∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE＝90°+∠CAD，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠CGD＝∠AGB，∴∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠DCE＝90°﹣62°＝28°，综上所述，∠BDC＝152°或∠BDC＝28°.（3）如图3，连接AC、BD交于点F，∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BFC＝∠COD＝90°，∴∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，∴AD2＝FA2+FD2，BC2＝FB2+FC2，AB2＝FA2+FB2，CD2＝FC2+FD2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，∵AB＝6，BC＝4，CD＝5，∴AD2+42＝62+52，∴AD＝3，∴AD的长为3．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 60 、 61 ；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ ； 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ 25或52或101或29 ．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；（4）由勾股定理可得：a2+b2＝c2，再根据勾股定理可得（c﹣b）（c+b）＝400；然后根据列举法即可解答．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61．（2）观察发现：当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；证明如下：∵，∴，又∵n为奇数，且n≥3，∴n，三个数组成的数是勾股数．（3）观察发现：当a＝n（n为偶数，且n≥5）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
总分
A.
B.
C.
D.
2. 在下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 4
B. 227
C. 3−9
D. 3.14
3. 下列各组数据中的是三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是
并直接写出正方形 ABCD 的面积为
；
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2在图中以线段 AB 为一腰的等腰三角形 ABE，点 E 在格点上，则满足条件的 点 E 有 个； 3 在图中的直线 a 上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小．
23. 对于实数 a，我们规定：用符号[a]表示不大于 a 的最大整数，称[a]为 a 的根整数， 例如：[9]=3，[10]=3．
．
24. 如图，在数学活动课中，小明剪了一张△ABC 的纸片，其中 ∠A=60°，他将△ABC 折叠压平使点 A 落在点 B 处，折痕 DE，D 在 AB 上，E 在 AC 上． 1请作出折痕 DE；（要求：尺规作图，不写作法，保 留作 图痕迹） 2 判断△ABE 的形状并说明； 3 若 AE=5，△BCE 的周长为 12，求△ABC 的周长．
5.【答案】D
【解析】
解 ：∵|m-2|+|n-4|=0， 又∵|m-2|≥0，|n-4|，≥0， ∴m=2，n=4， 当 2 是等腰三角形的底时，4，4，2 能构成三角形，周长为 10， 当 4 是底时，2，2，4 不能构成三角形． 故选：D． 利用非负数的性质求出 m，n 的值，再分两种情形讨论即可； 本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解 题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
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A. 6
B. 8
C. 8 或 10
D. 10
6. 如图，E，B，F，C 四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，再添一个条件仍不能 证明△ABC≌△DEF 的是（）
A. AB=DE
B. DF//AC
C. ∠E=∠ABC
D. AB//DE
7. 如用，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
9. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2，点 D 是 BC 的中点，P 是
射线 AD 上的一个动点，则当∠BPC=90°时，AP 的长为（ ）
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A. 52 B. 5−1 C. 5+1 D. 5−1 或 5+，G 是 BC 的中点．将△ABG 沿 AG 对折至△AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是 （ ）
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25. 如图，矩形 ABCD 中，AB＝9，AD＝4．E 为 CD 边上一点，CE＝6．点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着边 BA 向终点 A 运动，连接 PE．设点 P 运动的 时间为 t 秒．
（1）求△ADE 的周长； （2）当 t 为何值时，△PAE 为直角三角形？ （3）是否存在这样的 t，使 EA 恰好平分∠PED，若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由．
S△ABC=24，DE=4，AB=5，则 AC 的长是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8. 如图，△ABC 与△AEF 中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB
交 EF 于 D．给出下列结论：①AF＝AC；②DF＝CF；③∠AFC
＝∠C；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论个数有（）
A. 4 个
八年级（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
总分
A.
B.
C.
D.
2. 在下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 4
B. 227
C. 3−9
D. 3.14
3. 下列各组数据中的是三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3
B. 3，4，5
C. 5，6，7
D. 7，8，9
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 144 的平方根等于 12
B. 25 的算术平方根等于 5
C. 16 的平方根等于±4
D. 39 的等于±3
5. 若实数 m、n 满足等式|m-2|+|n-4|=0，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长， 则△ABC 的周长是（ ）
24. 如图，在数学活动课中，小明剪了一张△ABC 的纸片，其中 ∠A=60°，他将△ABC 折叠压平使点 A 落在点 B 处，折痕 DE，D 在 AB 上，E 在 AC 上． （1）请作出折痕 DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹） （2）判断△ABE 的形状并说明； （3）若 AE=5，△BCE 的周长为 12，求△ABC 的周长．
为半径作圆弧，交 AC 的延长线于点 D，连结 BD．若 ∠A=28°，则∠CDB 的大小为______°．
15. 如图，已知 CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m， AB=26m．图中阴影部分的面积=______．
16. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 1 的点为圆心，正方形 对角线长为半径画弧，交数轴于点 A，则点 A 表示的数是______．
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三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分） 19. 求下列各式中 x 的值：
①（x+2）2=4； ②3+（x-1）3=-5．
四、解答题（本大题共 7 小题，共 62.0 分） 20. 计算
①81+3−27+（-2）2 ②(−3)2-|1-3|+（7-1）0
21. 如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证： BC∥EF．
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点 E 有______个； （3）在图中的直线 a 上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小．
23. 对于实数 a，我们规定：用符号[a]表示不大于 a 的最大整数，称[a]为 a 的根整数， 例如：[9]=3，[10]=3． （1）仿照以上方法计算：[4]=______；[37]=______． （2）若[x]=1，写出满足题意的 x 的整数值______． 如果我们对 a 连续求根整数，直到结果为 1 为止．例如：对 10 连续求根整数 2 次 [10]=3→[3]=1，这时候结果为 1． （3）对 120 连续求根整数，______次之后结果为 1． （4）只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是 ______．
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
二、填空题（本大题共 8 小题，共 18.0 分） 11. 49 的平方根是______，______的立方根是-4． 12. 等腰三角形 ABC 中，∠A=110°，则∠B=______°． 13. 近似数 5.20×104 精确到______位． 14. 如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长
17. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的中线，CE⊥AB 于 E，AC=8，BC=6，则 DE=______．
18. 如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在 杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处， 则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为______cm （杯壁厚度不计）．