高考数学理科总复习训练题：——考前回扣6 Word版含答案

回扣6 立体几何
1．概念理解
四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．
2．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图表面积体积
直棱柱长方形S＝2S底＋S侧V＝S底·h
圆柱长方形S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l 棱锥由若干三角形构成S＝S底＋S侧V＝
1
3
S底·h 圆锥扇形S＝πr2＋πrl V＝
1
3
πr2·h 棱台由若干个梯形构成S＝S上底＋S下底＋S侧
V＝
1
3
(S＋SS′＋
S′)·h 圆台扇环
S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋
πr2
V＝
1
3
π(r2＋rr′＋r′
2)·h
球S＝4πr2S＝
4
3
πr3
3.平行、垂直关系的转化示意图
1．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数1
3.
2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．
3．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________． 答案 2π
解析 几何体的底面圆半径为1，高为1，则侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 2．用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为__________． 答案 100π
解析 依题意，设球的半径为R ，满足R 2
＝32
＋42
＝25， ∴S 球＝4πR 2
＝100π.
3．(·南京高淳区质检)若正四棱锥的底面边长为22，体积为8，则其侧面积为__________． 答案 422
解析 因为V ＝13×(22)2
h ＝8，所以h ＝3，
所以斜高h ′＝32
＋(2)2
＝11.
所以其侧面积为S 侧＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×22×11＝422. 4．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①⎩⎪⎨
⎪⎧
α∥β，α∥γ
⇒β∥γ；②⎩⎪⎨
⎪⎧
α⊥β，m ∥α
⇒m ⊥β；
③⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；④⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ∥n ，
n ⊂α⇒m ∥α.
其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①③
解析 ①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中m ，β可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中m ，α可能平行或线在面内． 5．在三棱锥S －ABC 中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，SA ＝SB ＝2，则该三棱锥的体积为________． 答案
35
4
解析 如图，∵SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，且SA ∩SB ＝S ， ∴SC ⊥平面SAB ，
在Rt △BSC 中，由SB ＝2，BC ＝3，得SC ＝ 5.
在△SAB 中，取AB 中点D ，连结SD ，则SD ⊥AB ，且BD ＝3
2，
∴SD ＝
22
－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝72
，
∴V ＝13×12×3×72×5＝354
.
6．已知m ，n 为不同直线，α，β为不同平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ②若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ④若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m ；
⑤若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β. 其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ②③⑤
解析 命题①，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故不正确；命题②，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，由线面垂直的性质定理易知正确；命题③，由线面垂直的性质定理易知正确；命
题④，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m 或m ，n 异面，所以不正确；命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题．故答案为②③⑤.
7．如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，点E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为__________．
答案
36
解析 方法一 取AB 的中点G ，连结EG ，CG . ∵E 为AD 的中点，∴EG ∥BD .
∴∠GEC 为CE 与BD 所成的角．设AB ＝1， 则EG ＝12BD ＝12，CE ＝CG ＝3
2
，
∴cos ∠GEC ＝EG 2＋EC 2－GC 2
2×EG ×EC
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭
⎪⎫3222×12×32
＝
36
. 方法二 设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AC →·(AD →－AB →
)
＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB →
＝12－12cos60°－cos60°＋cos60°＝14. ∴cos 〈CE →，BD →
〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|
＝1
432
＝36.
8.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S ＝________.
答案 10π 解析
设圆锥的母线长为
l ，底面半径为r ，由已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧
l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×2，2πr l
＝π
2，
解得r ＝2，l ＝42，则S ＝πrl ＋πr 2
＝10π.
9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥BC ，G 为PA 上一点． (1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；
(2)若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．
证明 (1)∵底面ABCD 为矩形，∴BC ⊥CD ， 又∵PD ⊥BC ，PD ∩CD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴BC ⊥平面PCD .
又∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PCD . (2)连结AC 交BD 于点O ，连结GO ，∵PC ∥平面BDG ， 平面PCA ∩平面BDG ＝GO ， ∴PC ∥GO ， ∴PG GA ＝CO
OA
.
∵底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO ＝OA ， ∴PG ＝GA ，∴G 为PA 的中点．
10．在正四棱锥S －ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长为2a ，P 为侧棱SD 上的一点． (1)当四面体ACPS 的体积为6a 3
18时，求SP PD
的值；
(2)在(1)的条件下，若E 是SC 的中点，求证：BE ∥平面APC .
(1)解 设PD ＝x ，连结BD ，AC ，交点为O .过P 作PH ⊥BD 于点H ，∵平面SBD ⊥平面ABCD 且BD 为交线，则PH ⊥平面ABCD ，又SO ⊥平面ABCD ， ∴PH ∥SO .
在Rt △SOB 中，SO ＝SB 2
－BO 2
＝6
2
a ， ∵PH SO ＝PD SD
，
∴PH ＝
PD ·SO
SD
＝x ·
62a 2a
＝
3
2
x ， ∴V SPAC ＝V S －ACD －V P －ACD
＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×a ×a ⎝ ⎛⎭⎪⎫6
2a －32x ＝618a 3， 解得x ＝
2
3
a ， ∴SP PD ＝2
1
＝2.
(2)证明 取SP 的中点Q ，连结QE ，BQ ， 则EQ ∥PC ，EQ ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴EQ ∥平面PAC .
∵P 为QD 的中点，O 为BD 的中点， ∴BQ ∥PO ，又BQ ⊄平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴BQ ∥平面PAC ，
而EQ 与BQ 为平面BEQ 内的两条相交直线， ∴平面BEQ ∥平面PAC ，
而BE ⊂平面BEQ ，∴BE ∥平面APC .。