重庆市江津中学校2019届高三4月月考数学(理)试题Word版含解析

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重庆市江津中学校2018届高三4月月考数学(文)试题+Word版含解析

数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选C.2. 记为等差数列的前项和，若则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，由等差数列的性质可得：，该数列的公差：，故.本题选择B选项.3. 函数，在区间上任取一点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：求出不等式f（x0）≥的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．详解：若f（x）≥，即sinx≥，解得，则在区间[0，π]上任取一点x0，则f（x0）≥的概率P==,故选：A．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意易得：，，，∴故选：C5. ①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A. 类比推理、归纳推理B. 类比推理、演绎推理C. 归纳推理、类比推理D. 归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．故选：A．点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键．6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】观察三视图可知，这个几何体是挖去个底面圆半径为，高为的圆锥的边长为的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去个圆锥的体积，即几何体的体积.故本题正确答案为7. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据分式的特点将分式转化为斜率形式，利用数形结合即可得到结论．详解：设z=,设k=，则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率．即z=1+2k，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于直线OA上，斜率k最小为1，当Pw位于B（0，4）时，斜率k最大为5，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：A．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．考点：程序框图．9. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k 的最小值为－.10. 已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.11. 如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，为双曲线的顶点，为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据∠B1PB2为与夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，.＜0，得ac﹣b2＜0，利用椭圆的性质，可得到e2-e﹣1>0，即可解得离心率的取值范围．详解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，=（a，b），=（c，﹣b），∵向量的夹角为钝角时，.＜0，∴ac﹣b2＜0，又b2=-a2+c2，∴a2+ac-c2＞0；两边除以a2得e2-e﹣1>0，解得e的范围为，又∵1＜e＜，∴1＜e＜，故选：C．点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．12. 设函数在区间的导函数为在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于，所以，因为在区间上为“凸函数”，所以在区间上恒成立，对时恒成立，即对恒成立，所以，解得，其对应的可行域如下图所示，则的最大值是，故选C.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、线性规划.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用以及线性规划方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：根据题目条件首先对函数进行两次求导，列出关于的不等式组，并且将上述不等式组转换成关于未知数上的不等式，进而得到关于的不等式，再结合线性规划即可求得的最大值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若与平面向量方向相反的单位向量为，则的坐标为__________．【答案】【解析】试题分析：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据|，解得k．详解：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），∵|，∴，解得k=．则=，故答案为：．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.14. 已知是上的减函数，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】因为函数f(x)=在区间内是减函数，那么可以每一段都是递减的，可知3a-1<0,0<a<1,3a-1+4a,可知实数a的范围是15. 已知四面体中，其外接球的体积为，则该四面体的棱__________．【答案】【解析】试题分析：在△ABC中，由余弦定理得BC=3，故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，即有O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2．详解：如图，在△ABC中，由余弦定理得BC==3,满足AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC∵∠BAD=∠CAD=90°，∴DA⊥面ABC∴BC⊥面DAB，即BC⊥BD．故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，∴O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2故答案为：2点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 已知函数，若的图象与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：化简，从而化g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点为函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数的图象，由数形结合求实数a的取值范围．详解：∵，∴|f（x）|=，∵g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，∴函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象如下，图中A（﹣1，0），B（2，ln3），故此时直线AB的斜率k=；当直线AB与f（x）=ln（x+1）相切时，设切点为（x，ln（x+1））；则=,解得，x=e﹣1；此时直线AB的斜率k=；结合图象可知，≤a＜；故答案为：≤a＜．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角；（2）若点在边上，且的面积为，求边的长.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得，故.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由及正弦定理可得，故，而，所以，即（2）由及可得是正三角形.由的面积为可得，即，故，在中，由余弦定理可得，即.18. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；（3）已知本考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.【答案】(1)4人；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，,,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分...............19. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，点在线段上，且平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥体积最大时，求四棱锥的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【试题分析】（1）利用结合直角梯形，可知四边形是矩形，故，由于平面，所以，故平面.由此证得平面平面.（2）根据体积公式计算得，即只需取得最大值.利用基本不等式可求得的最大值为，再通过体积公式可计算得表面积.【试题解析】（1）由可得，易得四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面（2）四棱锥的体积为，要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.由条件可得，∴，即，当且仅当时，取得最大值36.，，，，则，∴，则四棱锥的表面积为.20. 已知椭圆的左右顶点分别为点坐标为为椭圆上不同于的任意一点，且满足.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一角度为的中点为，若，求直线的斜率.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）设，由两点的坐标及可得椭圆的方程；（2）由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出点的坐标，根据，结合椭圆的焦半径公式可得，根据题设条件，即可算出直线的斜率.试题解析：(1)设，∴，∴，整理得：，∵、两点在椭圆上∴椭圆的方程为.(2)由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，.联立，则，∴∴，∴，∵，又∵∴∴∴∴.点睛：用代数法解直线与圆锥曲线综合问题时，注意以下几点：（1）设直线方程时，若不知直线的斜率存在与否，则需进行讨论，分斜率不存在和斜率存在两种情况；（2）解题过程中，由于计算量较大，故解题中注意“设而不求”、“整体代换”、“韦达定理”等思想方法的运用，以简化运算，提高解题的效率，另外，对于求出的参数的值，要判断是否满足判别式的要求，这一点容易忽视，本题在求弦长问题时，可直接利用焦半径公式.21. 已知函数（是自然对数的底数）的最小值是.（1）求实数的值；（2）若存在，使得不等式成立，求正整数的最小值.【答案】(1)2；(2)2.【解析】试题分析：（1）根据题干表达式对函数求导研究函数单调性，得到，令，求得a值即可；（2），变形得，构造函数求导研究函数的单调性求得最值即可.详解：（Ⅰ）对求导可得，，于是由解得，由解得，在上单调递减，在上单调递增，，令，则，由知，于是函数在单调递减，又，的值是．（2）由（1）知，故，变形得．令函数，则．令函数，则，又，存在，使得．当，故在单调递减；当，故在单调递增．故．又，故，故，又，故，故正整数的最小值是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】(1)，；(2)或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．23. 已知不等式.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当a=1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．详解：（1）已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得.综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即. 所以，所求实数的范围为.。

高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)

2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。

2019届重庆市江津中学、合川中学等七校高三第三次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

2019届重庆市江津中学、合川中学等七校高三第三次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，()(){|120,}B x x x x Z =+-<∈，则A B I 等于（） A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为{}1,2,3A =，()(){}|120,B x x x x Z =+-<∈{}{}|12,0,1x x x Z =-<<∈=，所以集合{}1A B ⋂=，故选A. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．已知复数2z i i =+，则z 在复平面内对应的点在第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】根据共轭复数的定义，结合复数与对应点的关系，可得结果. 【详解】因为21i =-，所以21i i z i =-=++，则1z i =--，所以z 在复平面中所对应的点为()1,1--，该点在第三象限故选：C本题考查共轭复数概念以及复数所对应的点，理解概念，细心计算，属基础题. 3．安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果. 【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.4．已知向量()2,1a =-r ，()1,7b =r则下列结论正确的是（）A ．a b ⊥r rB ．a r //b rC ．()a ab ⊥+r r rD ．()a ab ⊥-r r r【答案】C【解析】采用排除法，一一进行验证，可得结果. 【详解】由()2,1a =-r ，()1,7b =r因为()211750a b ⋅=⨯+-⨯=-≠r r ，故a r 与b r不垂直，所以A 选项不对因为()2711130⨯+-⨯=≠，所以a r 与b r不共线，所以B 选项不对由()3,6a b +=r r，所以()()23160a a b ⋅+=⨯+-⨯=r r r则()a ab ⊥+r r r，所以C 选项正确由()1,8a b -=-r r，所以()()()2118100a a b ⋅-=⨯+-⨯-=≠r r r故a r 与a b -r r不垂直，所以D 选项不对【点睛】本题考查向量的位置关系，以及数量积用坐标进行运算，属容易题.5．已知函数()()23lo ,g ,323x f x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()2f =（）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】C【解析】根据分段函数的概念，由x 的取值带进相应的函数式，可得结果. 【详解】因为23<，所以()()()223log 24f f f =+=，又43>，所以()44216f ==，故选：C 【点睛】本题考查分段函数的概念，属基础题.6．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（）A ．13y x =±B．y x = C．y =D ．3y x =±【答案】B【解析】设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>设双曲线的渐近线方程为y kx =±,即0kx y ±=因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切,圆心为()2,0,半径1r =则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得1d ==解方程可得3k =±所以双曲线的渐近线方程为33y x =± 故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题.7．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）A ．3i ≤B ．4i ≤C ．5i ≤D ．6i ≤【答案】B【解析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为30时的i 值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知,0,1S i == (1) 1022,2S i =+== 是 (2) 2226,3S i =+== 是 (3) 36214,4S i =+== 是 (4) 414230,5S i =+== 否由以上循环可知, 4i ≤ 故选:B 【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题. 8．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】D【解析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2. 【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.∴四棱锥的体积是()12212232+⨯⨯⨯=. 故选D. 【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（） A ．24 B ．48C ．12D ．60【答案】A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有7(12)38112a -=-，解得3a =．∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为33224⨯=．选A ．10．已知函数()sin 3()f x x x x R =+∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（）A ．6πB ．3πC ．512π D ．23π 【答案】A【解析】试题分析：()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得()2sin(2)3g x x π=+，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得()2sin[2()]3h x x πθ=-+2sin(22)3x πθ=-+，则322432k πππθπ⨯-+=+，k Z ∈，2,23k k Z ππθ=-+∈，因为0θ>，最小值为2236πππθ=-+=．故选A ．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．11．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若1223F F OM =，则该椭圆的离心率为（）A ．3B ．31- C ．51- D ．10 【答案】B【解析】由题可知23OF OM =，解得23tan MF O ∠=，那么有211230PF F F PF ∠=∠=︒，可知1122PF F F c ==，根据正弦定理求出2PF ，再由212PF PF a +=，可得a,c 之间的关系，确定离心率e 。

【数学】重庆市江津中学校2018届高三4月月考数学(理)试题含答案

数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若i iai2121+=++，则=a （） A ．i --5 B ．i +-5 C ．i -5 D ．i +52.已知集合}032|{},1)31(|{2≥--=≤=x x x B x A x，则=⋂B A （）A ．}0|{≥x xB ．}1|{-≤x xC ．}3|{≥x xD ．3|{≥x x 或}1-≤x 3.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35,13782==+S a a ，则=8a （） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 4.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（）A ．2016B ．1024 C.21D ．1- 5.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥++001022y y x y x ，则|23|y x z -=的最大值为（）A ．0B ．3 C. 9 D ．116.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A ．43 B ．32 C. 21 D ．31 7.某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定：每场竞赛的前三名得分分别为c b a ,,（c b a >>，且*,,N c b a ∈），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在第四场竞赛中，已知甲最终得分为15分，乙最终得分为7分，丙最终得分为10分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的前三名是（）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．甲和丙都有可能8.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个322⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路程共有（）A ．360种B ．210种 C. 60种 D ．30种 9. =- 10cos )70tan 20cos 32(（）A ．21 B ．23 C. 1 D ．3 10.如图，半径为1的扇形AOB 中，P AOB ,32π=∠是弧AB 上的一点，且满足N M OB OP ,,⊥分别是线段OB OA ,上的动点，则→→⋅PN PM 的最大值为（）A ．22B ．23 C. 1 D ．211.如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点)4,2(，圆034:222=+-+x y x C ，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于N M Q P ,,,，则||4||QM PN +的最小值为（）A ．23B ．42 C. 12 D ．5212.已知实数y x ,满足)532ln()32ln(3+-+-+≤-y x y x y x ，则=+y x （） A ．512 B ．514 C. 716 D ．718第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量)1,(cos ),1,sin (),1,(sin -=-==→→→θθθc b a ，且→→→-c b a //)2(，则θ2sin 等于． 14.在nxx )1(3-展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式中常数项是． 15.下图是两个腰长均为cm 10的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为3cm ．16.设椭圆C 的两个焦点是21F F 、，过1F 的直线与椭圆C 交于Q P 、，若||||212F F PF =，且||6||511Q F PF =，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列}{n a 的前n 项和是n S ，且}{n S n 是等差数列，已知6432,14321=++=SS S a . （1）求}{n a 的通项公式；（2）若21221-+=++++n n n n n a a a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T . 18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小. （只需写出结论）19. 如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PAD 底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形,45 =∠ABC,2==AP AD E DP AB ,22==为CD 的中点，点F 在线段PB 上.（1）求证：PC AD ⊥；（2）试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角与直线EF 与平面ABCD 所成的角相等.20. 已知B A ,分别为椭圆124:22=+y x C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于B A ,两点的任意一点，直线PB PA ,的斜率分别记为21,k k .（1）求21,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线PB PA ,平行的两条射线分别交椭圆C 于点N M ,，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由.21. 已知R a ∈，函数2)1ln()(2++-+=ax x x x f .（1）若函数)(x f 在),1[+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；（2）令R b a ∈-=,1，已知函数22)(x bx b x g -+=，若对任意),1(1+∞-∈x ，总存在),1[2+∞-∈x ，使得)()(21x g x f =成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是θθρsin 3cos 424+=，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 222后得到曲线3C ，若N M ,分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求||MN 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知)(|1||2|)(R a x a x x f ∈+--=.（1）当1=a 时，解不等式2)(>x f . （2）若不等式21|1|)(2->+++a x x x f 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCDDC 6-10:CBBAC 11、12：AC 二、填空题 13. 1312-14. 220- 15. π3500 16. 119 三、解答题 17.解：（1）记11,11==∴=Sc n S c n n ，又}{n c 为等差数列，公差记为d ， 2,23342=∴=+c c c c ，得21,21+=∴=n c d n ，得22nn S n += 2≥n 时，1,1==-=-n n S S a n n n 时也满足.综上n a n =.（2）由（1）得2111)2)(1(121221+-+=++=-+++++=n n n n n n n n b n )2111()4131()3121(+++-+-+=∴n n T n2121+-=n . 18.解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：2402012400=⨯人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的所有可能取值为4,3,2,1,0.由题意可得701)0(4844===C C X P ；3587016)1(481434====C C C X P ；35187036)2(482424====C C C X P ；3587016)3(481434====C C C X P ；701)4(4844===C C X P . 所以随机变量X 的分布列为∴均值2704703702701700=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX .（3）由折线图可得差>21S 22S .（只需写出结论）19.（1）证明：在平面四边形ABCD 中，连接AC ，因为 45,2,22=∠==ABC BC AB ，由余弦定理得445cos 2222482=⋅⋅⋅-+=AC ，得2=AC ，所以90=∠ACB ，即AC BC ⊥，又BC AD //，所以AC AD ⊥，又22,2===DP AP AD ，所以A AC AP AD PA =⋂⊥,，所以⊥AD 平面PAC ，所以PC AD ⊥.（2）侧面⊥PAD 底面AD PA ABCD ⊥,，所以⊥PA 底面ABCD ，所以直线AP AD AC ,,两两相互垂直，以A 为原点，直线AP AD AC ,,为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系xyz A -，则),0,0,2(),0,0,0(-D A)2,0,0(),0,1,1(),0,2,2(),0,2,0(P E B C -，所以)2,2,2(),2,0,2(),2,2,0(-=--=-=→→→PB PD PC ，设])1,0[(∈=λλPBPF，则)22,2,2(),2,2,2(+--=→λλλλλλF PF ，所以)22,12,12(+--+=→λλλEF ，易得平面ABCD 的法向量)1,0,0(=→m .设平面PDC 的法向量为),,(z y x n =→，由00=⋅=⋅→→→→PD n PC n ，得⎩⎨⎧=--=-022022z x z y ，令1=x ，得)1,1,1(-=→n .因为直线EF 与平面PDC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|,cos ||,cos |><=><→→→→n EF m EF ，即||||||||||||→→→→→→→→⋅⋅=⋅⋅n EF n EF m EF m EF ，所以|32||122|λλ-=-，即λλ=-)1(3，解得233-=λ，所以233-=PB PF.20.（1）设),(00y x P ，则212422202020********-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ；（2）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),(2211y x N y x M ，则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+，同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(4222122212122212221212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故2,8)(22)1(164222122212=∴=++++=S k k k k S . 21.（1）因为),1(,2)1ln()(2+∞-∈++-+=x ax x x x f ，要使)(x f 在),1[+∞为减函数，则需0)(≤'x f 在),1[+∞上恒成立. 即112+-≤x x a 在),1[+∞上恒成立，因为112+-x x 在),1[+∞为增函数，所以112+-x x 在),1[+∞的最小值为23，所以23≤a .（2）因为1-=a ，所以),1(,2)1ln()(2+∞-∈++-+=x ax x x x f .1321211)(2+--=--+='x xx x x x f ，当01<<-x 时，)(,0)(x f x f >'在)0,1(-上为递增，当0>x 时，)(,0)(x f x f <'在),0(+∞上为递减，所以)(x f 的最大值为2)0(=f ，所以)(x f 的值域为)2,(-∞.若对任意),1(1+∞-∈x ，总存在),1(2+∞-∈x .使得)()(21x g x f =成立，则，函数)(x f 在),1(+∞-的值域是)(x g 在),1[+∞-的值域的子集. 对于函数222)(2)(b b b x b bx x x g ++--=++-=，①当1-≤b 时，)(x g 的最大值为b g --=-1)1(，所以)(x g 在),1[+∞-上的值域为]1,(b ---∞，由21≥--b 得3-≤b ；②当1->b 时，)(x g 的最大值为2)(b b b g +=，所以)(x g 在),1[+∞-上的值域为],(2b b +-∞，由22≥+b b 得2-≤b （舍）.综上所述，b 的取值范围是),1[]3,(+∞⋃--∞. 22.（1）1C 的极坐标方程是24sin 3cos 4,sin 3cos 424=+∴+=θρθρθθρ，整理得1,02434C y x ∴=-+的直角坐标方程为02434=-+y x .曲线1,sin cos :222=+∴⎩⎨⎧==y x y x C θθ，故2C 的普通方程为122=+y x .（2）将曲线2C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 222后得到3C 的方程为14822='+'y x ，则曲线3C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 22y x （α为参数）.设)sin 2,cos 22(ααN ，则点N 到曲线1C 的距离为5|24)sin(412|5|24sin 23cos 224|-+=-⨯+⨯=ϕαααd)324(tan 5)sin(41224=+-=ϕϕα.当1)sin(=+ϕα时，d 有最小值541224-，所以||MN 的最小值为541224-. 23.（1）当1=a 时，等式2)(>x f ，即2|1||12|>++-x x ，等价于⎩⎨⎧>++--<21211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>---≤≤-2121211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>--->211221x x x ，解得32-<x 或4>x ，所以原不等式的解集为),4()32,(+∞⋃--∞；（2）设x a x x x x f x g +-=+-+=|2||1|)()(，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-=2,392,)(a a a x a x x a x f ，则)(x f 在)2,(a-∞上是减函数，在),2(+∞a 上是增函数，∴当2a x =时，)(x f 取最小值且最小值为2)2(a a f =， 2122->∴a a ，解得∴<<-,121a 实数a 的取值范围为)1,21(-.。

重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(解析版)

高2019届高三学生学业调研抽测（第二次）理科数学试题卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系. 【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值.【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果.【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：获利亏损产品：获利亏损注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果. 【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，，，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值.【答案】（1）直线:，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，，∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴，不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

【全国百强校首发】重庆市江津中学校2018届高三4月月考数学(理)试题(pdf版)

数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．若1122aii i +=++，则a =（）A.5i -- B.5i -+ C.5i- D.5i+2．已知集合，，则（）A.B.C.D.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（）A.8B.9C.10D.114．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（）A.2016B.1024C.12D.-15．已知实数,x y 满足不等式组220{10 0x y x y y ++≥+-≤≥，则32z x y =-的最大值为（）A. B.3 C. D.116.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A.34B.23C.12D.137.某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛．规定：每场竞赛的前三名得分分别为a ，b ，c （a b c >>，且a ，b ，*c N ∈），选手的最终得分为各场得分之和．最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终分为15分，乙最终得分为7分，丙最终得分为10分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的第三名是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和丙都有可能8．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路线共有（）A.360种B.210种C.60种D.30种9．()A.B.C.D.10.如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN⋅的最大值为（） A.22 B.32C.1D.11.如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为()A.23B.42C.12D.5212．已知实数,x y 满足()()3ln 23ln 235x y x y x y -≤+-+-+，则x y +=（）A.125B.145C.167D.187第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量()sin ,1a θ= ，()sin ,0b θ=- ，()cos ,1c θ=- ，且()2//a b c -，则sin2θ等于________．14．在nx ⎛⎝展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式中常数项是__________．15．下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．16．设椭圆C 的两个焦点是1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆C 交于P 、Q ，若212PF F F =，且1156PF F Q =，则椭圆的离心率为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12212n n n n n a ab a a ++++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论）19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边形，45ABC ∠= ，2AD AP ==，AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上.(Ⅰ)求证：AD PC ⊥；(Ⅱ)试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等.20．已知,A B 分别为椭圆C ：22142x y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++.（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；（2）令1,a b R =-∈，已知函数()22g x b bx x =+-，若对任意()11,x ∈-+∞，总存在[)21,x ∈-+∞，使得()()12f x g x =成立，求实数b 的取值范围.请考生从第（22）、（23）中任选一题作答.并用2B 铅笔在答题卡上把所选题的题号涂黑.注意选做题目的题号必须与所涂题号一致.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：{ x cos y sin θθ==（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换'{'2x y y==后得到曲线3C ，若M ，N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知()()21f x x a x a R =--+∈.（1）当1a =时，解不等式()2f x >.（2）若不等式()2112f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.。

重庆市江津中学、綦江中学等六校2019-2020学年高三下学期4月复学联合诊断性考试数学(理)试题

重庆市江津中学、綦江中学等六校2019-2020学年高三下学期4月复学联合诊断性考试数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 已知，则“实数均不为零”是“实数成等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 如果向量＝(k,1)与＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为( ) A．－3 B．2C．－D．4. 若函数（其中，且）可化为，则应满足条件（）A．B．C．D．5. 已知，，满足，则实数a，b，c满足（）A．B．C．D．6. 函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数7. 已知函数的图像与直线的某两个交点的横坐标分别为，，若的最小值为，且将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的一个递减区间为（）A．B．C．D．8. 已知为上的可导函数，且有，则对于任意的，当时，有( )A．B．C．D．9. 如图所示，正方体中，点，分别为边，的中点，过点，，作一平面与线段所在直线有一交点，若正方体边长为4，则多面体的体积为（）D．32A．16B．C．10. 设点是以，为左、右焦点的双曲线右支上一点，且满足，直线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12. 函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题13. 已知复数满足，则________.14. 二项式的展开式中，常数项为________.15. 在中，已知，，，点P满足，其中，的最小值为______.16. 已知数列满足：对任意，，且，，其中，则使得成立的最小正整数为________.三、解答题17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值与最小值.18. 如图所示，平面，，，,，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.19. 新型冠状病毒属于属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员发热且咳嗽发热不咳嗽咳嗽不发热不发热也不咳嗽确诊患病200 150 80 30 确诊未患病150 150 120 120（1）能否在犯错率不超过0.001的情况下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关.0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.7063.841 6.645 7.879 10.828（2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）.根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离10天未有临床症状，若该人员居家隔离第天出现临床症状的概率为，，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）的分布列以及数学期望值.（保留小数点后两位）20. 已知函数在定义域内有两个不同的极值点. （1）求的取值范围;（2）设两个极值点分别为：，，证：.21. 已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数.（1）求直线的斜率；（2）设直线过点并交抛物线于，两点，且，直线与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为：（为参数），直线，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的取值范围.23. 已知函数.（1）求不等式恒成立，求的范围;（2）若，且对，总存在，使得，求实数的取值范围.。

重庆市江津区2019-2020学年高考数学四月模拟试卷含解析

重庆市江津区2019-2020学年高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,2,3,,M n =L （*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（） A ．{}1,5 B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】C 【解析】【分析】根据题目中的基底定义求解. 【详解】因为11213=-⨯+⨯，21203=⨯+⨯， 30213=⨯+⨯， 41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯， 61313=⨯+⨯，所以{}2,3能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（） A ．48 B ．36C ．42D ．31【答案】D 【解析】试题分析：由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==，又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0n a >，1q >，所以35a a <，故解得：354,16a a ==，从而公比12,1q a ===；那么55213121S -==-，故选D ．考点：等比数列．3．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-，所以()0g x '=，0x ∴=或43x =，因为403x << 时，()0g x '<，43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a „时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩„，3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩„，所以9322ln 2ln 5a <„. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.4．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（）A ．16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()33cos 233f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭Q ，即3x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴有且仅有12-=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，2363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.5．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>【答案】A 【解析】【分析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA=u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>>故选：A 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 6．设实数满足条件则的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯9≥，此时2BF AF =所以选B 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．8．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log2f a f fa f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <， Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题.9．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确；对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ，故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.100y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 A ．2 B．1CD1【答案】B 【解析】【分析】【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o，则||AE =，所以双曲线C的离心率为1e =.故选B ．11．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）.A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B 【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.12．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =-≥，{}2,1,0,1N =--，则M N ⋂的子集个数是（）A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个【答案】C【解析】求出集合{|02}M x x =≤≤，则可得求出M N ⋂，进而可得子集个数. 【详解】解：由已知{}2|20{|02}M x x x x x =≥=-≤≤，又{}2,1,0,1N =--，{0,1}M N ∴=I ，则M N ⋂的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算及集合子集个数的计算，是基础题.2．在复平面内，复数()12z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】将z 整理为2i -+，可得对应的点的坐标，从而得到结果. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+Q∴复数z 所对应的点为()2,1-，位于第二象限本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.3．已知平面向量(3,0)a =r ，2(1,a b +=r r ，则a r 与b r的夹角等于（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【解析】设(,)b x y =r，利用向量的坐标运算可得2(32,2)a b x y +=+rr，综合条件可列方程组求出b r ，再根据坐标运算可求a r 与b r的夹角. 【详解】解：设(,)b x y =r，则2(32,2)(1,a b x y +=+=rr，32112x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(b ∴=-r，31cos ,322||||a b a b a b ⋅-∴〈〉===-⨯⋅r r r rr r ，则a r 与b r 的夹角等于23π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算及向量夹角的坐标求解，是基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线与直线25y x =-平行，则双曲线的离心率等于（） A ．2 BC ．5D【答案】D【解析】先根据渐近线与直线25y x =-平行可得双曲线的一条渐近线，再根据,,a b c 的关系可得离心率. 【详解】解：由已知，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线为2y x =，2ba∴=，c e a ∴====【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要找到,,a b c 的关系，是基础题. 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（） A ．3y x x =+ B ．sin tan y x x =+ C ．1y x=D ．21x xy x -=- 【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断. 【详解】解：A. ()()()()33f x x x x x f x -=-+-==---，奇函数，又3y x =单调递增，y x=也单调递增，则3y x x =+单调递增，符合； B. ()sin tan f x x x =+，有0π>得()()0f f π=，则sin tan y x x =+不是单调函数，不符合； C. 1y x=，反比例函数不是单调函数，不符合； D. 21x xy x -=-，定义域为{}|0x x ≠，不是奇函数，不符合.故选：A. 【点睛】本题考查简单函数的单调性和奇偶性的判断，是基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则33S a =（） A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】由等比数列通项公式可得2311143a q a q a q =+，可得1q =或3q =，将1q =和3q =分别代入33S a 求解即可. 【详解】解：由已知2311143a q a q a q =+，整理得2430q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，313133S a aa ==；当3q =时，()21323191139139a q q S a a q ++++===，所以333S a =或139. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其应用，是基础题.7．已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为()E X ，方差记为()D X ，则（） A ．()8E X <，()6D X > B ．()8E X <，()6D X < C ．()8E X =，()6D X > D ．()8E X =，()6D X <【答案】D【解析】利用条件分别求出()E X ，()D X 即可. 【详解】解：由已知1088()811E x ⨯+==，2610(88)10()661111D x ⨯+-==⨯<. 故选：D. 【点睛】本题考查平均数及方差的运算，熟练掌握公式是关键，是基础题.8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：当1,0i S ==时，有110lg lg 1,3123S i =+=>-=+，当13,lg 5i S ==时，有131lg lg lg 1,5355S i =+=>-=，当15,lg 5i S ==时，有151lg lg lg 1,7577S i =+=>-=，当17,lg 7i S ==时，有171lg lg lg 1,9799S i =+=>-=，当19,lg 9i S ==时，有191lg lglg 191111S =+=<-，循环结束，输出的结果为9i =. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.10．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最边界上运动，并且总是保持PE AC有可有是图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证SBD //,EFG AC SBD ⊥平面平面平面AC EFG ∴⊥平面；所以P 在FG 上．故选A11．已知过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则()21sin 2ααα+的值为（） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2【答案】D【解析】作出sin (0)y x x =≥的图像，根据图像可得切点(,sin )A αα-，利用导数的几何意义可得切线方程为cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理后代入()21sin 2ααα+计算，则答案可得.【详解】解：sin (0)y x x =≥的图像如图所示：由已知得当过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像相切与点A 时，有且只有三个交点，则切点(,sin )A αα-，设sin y x =-，则cos y x '=-，过点(,sin )A αα-的切线方程为：cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理得sin cos ααα=，()2222sin 12sin cos 1sin 2cos 12cos 2sin cos cos ααααααααααα⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦曲线的应用，考查导数的几何意义求切线方程，考查计算能力与分析能力，是中档题.12．已知平面向量,,a b c r r r，2a b ==r r ，1c =r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r 的最大值是（） A．1 B1C1D．1+【答案】C【解析】由数量积运算展开，两边再平方，得出a b ⋅rr 的范围，从而得出结论. 【详解】解：()()0a c b c -⋅-=r r r rQ ，20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=r r r r r r r ，即1()a b a b c ⋅+=+⋅r r r r r ， |1||()|||a b a b c a b ∴⋅+=+⋅≤+r r r r r r r ，两边平方得：222()21282a b a b a b a b a b ⋅+⋅+≤++⋅=+⋅r r r r rr r r r r ，a b ≤⋅≤rr222||282a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅r r r r r r r r Q ，2||8a b ∴-≤+r r||1a b ∴-≤rr .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】6【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时，在y 轴上截距最小，又()3,0A ，此时max 236z =⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．()52x y -的展开式中23x y 的系数为________．【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrC x y --,令3r =可得：23x y 的系数为：()33252140C ⨯⨯-=-. 故答案为-40. 点睛：在T r ＋1＝rn rr n C ab - 中，r n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．15．六位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________. 【答案】13【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列，首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 【详解】解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L ，分别除以3得余数分别是0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、L ，由此可见余数的变化规律是按0、1、1、2、0、2、2、1循环，循环周期是8.在这一个周期内第一个数和第五个数都是3的倍数，当第50个数被报出时,其中包含6个周期再多2个数，所以在6个周期内共有12个报出的数是三的倍数，后面2个报出的数中余数是0、1 ，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有13个，也就是说拍手的总次数为13次. 故答案为：13. 【点睛】本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为__________. 【答案】32【解析】先求出过点1,F F 的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，求出c 的值，再根据基本不等式即可求出. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为1(,0)F c ，∴过点1,F F 的直线为11y x c =+-，即11y x c=-+，∵抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，∴抛物线在点M 214y x =Q ， 12y x '∴=，设点M 的坐标为()00,x y ，012x ∴=，解得0x =， 2001143y x ∴==，13M ⎫∴⎪⎪⎝⎭，1113c ∴=-+，解得c =2223a b c ∴+==， 2232a b ab ∴=+≥，即32ab ≤，当且仅当a b ==时取等号，故答案为：32. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，己知sin cos c A C =.（1）求内角C ；（2）若边2c =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）3【解析】（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，结合范围0C π<<，即可得解C 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA ＝2sinAcosA ，分类讨论分别求得a ，b 的值，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，sin C C ∴=，即tan C =0C π<<3C π∴=；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，可得：sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，∴当cos 0A =时，即2A π=时，,6B a b π===，当cos 0A ≠时，可得sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得：33a b ==∴ABC ∆的面积11sin sin 223333S ab C π==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222ABAF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20．椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且直线l 与直线x a =和x a =-分别交于,M N 两点，试探究以线段MN 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0- 【解析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即,,a b c 的关系可得椭圆的标准方程；（2）设:l y kx b =+，则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的二次方程，根据判别式等于0得2243b k -=，另外先求出点(2,2)M k b +，(2,2)N k b --+，则可求出以线段MN 为直径的圆的方程，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入即可求出定点. 【详解】解：（1）由题意设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则 2a =，由2221,2c e a b c a ===+，得23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）明显直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kbx b x +++-=，()()2222644344120k b k b ∴∆=-+-=，整理得2243b k -=，又由2y kx bx =+⎧⎨=⎩，得(2,2)M k b +，由2y kx b x =+⎧⎨=-⎩，得(2,2)N k b --+，所以以线段MN 为直径的圆为()()()()22220x x y k b y x b -+++---=，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入得224230x y by -+-+=，当0y =时，1x =±，所以以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0-. 【点睛】本题考查直线与椭圆相切的问题，考查圆过定点问题，关键是要求出圆的方程，注意以点()()1122,,,x y x y 连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=，本题考查了学生计算能力，是一道中档题. 21．已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程；（2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值. 【答案】（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =【解析】（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 【详解】解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=，由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=，将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩， 22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.23．已知a b c d ,,,均为实数. （1≥ （2）若0a >，0b >，222a b +=，证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）将不等式两边平方后作差即可；（2）利用柯西不等式()25511a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭证明即可. 【详解】证明：（1）22-()2222222222a b c d a c b d ac bd =+++++++++()22c a bd =+，又()22ac bd -+()()222222222222202abcd a c a d b c b d a c b d ad bc =-++=-+++≥，()220ac bd ∴+≥，220∴-≥，≥ （2）由柯西不等式可得()()225522114a b a b a b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭.第 21 页共 21 页即()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，考查利用柯西不等式证明不等式，考查学生计算能力，是基础题.。

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重庆市江津中学校2019届高三4月月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：，则 .本题选择D选项.2. 已知集合，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】故选C。

3. 等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵等差数列的前项和为，且，解得故选B．【点睛】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用．4. 执行如图的程序框图，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：该程序框图计算的问题可转换为如下的数列问题：已知中，，有递推关系：，求的值.该数列为周期为3的周期数列，且，输出值为： .本题选择D选项.5. 已知实数满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的最大值为故选6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响7. 某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定：每场竞赛的前三名得分分别为（，且），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在第四场竞赛中，已知甲最终得分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的前三名是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 甲和丙都有可能【答案】B【解析】总分为，∴，只有种可能或，若、、分别为、、时，若乙在“听”中得第名，得分，即使他在剩下三场比赛中都得第名，得分，不符合要求，故、、分别为、、，乙的得分组成只能“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，即乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，其余均为第三名，由于甲得分为分，其得分组成只能是“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，在“听”比赛中甲、乙、丙三人得分分别为、、分，故获得第三名的只能是丙，故选．【思路点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的常见题型，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件间的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.8. 将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路程共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列，因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以，同理2次向前是没有顺序的,再除以，接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是，则共有种；本题选择C选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．9. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.10. 如图，半径为的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵扇形的半径为1∴∵∴∵∴∴故选C点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 11. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设抛物线的方程则，∴抛物线的标准方程焦点坐标由直线过抛物线的焦点，则圆圆心，半径1，|的最小值为23，故选A．12. 已知实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，若实数满足，，则有当且仅当①时等号成立，则有令导数为当时，函数单调递减；时，函数单调递增，可得即有则可得即②由①②可得则故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则等于__________．【答案】【解析】根据题意，则，又由，则有即，化简可得，即；故答案为．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，其中解题的关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．14. 在展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项是__________．【答案】【解析】易知通项，当时，常数项为．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为，即球的半径，该球的体积，应填答案。

点睛：解答本题的关键是依据题设条件，构造符合题设条件的正方体，借助三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球的事实，求出正方体的对角线长，即三棱锥的外接球的直径，进而求得外接球的半径使得问题获解。

16. 设椭圆的两个焦点是，过的直线与椭圆交于，若，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设椭圆由椭圆的定义可得，可得①取的中点，连接，则由勾股定理可得即为化简即为，可得：6a+6c=15a-5c即则离心率即答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列的前项和是，且是等差数列，已知.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到的通项公式；（2），利用裂项相消法求出数列的前项和.试题解析：（1）记，∴，又为等差数列，公差记为，，∴，得，∴，得时，，时也满足.综上（2）由（1）得∴，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为，求前项和：；（2）已知数列的通项公式为，求前项和：；（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，.由题意可得；；；；.所以随机变量的分布列为∴均值.（3）由折线图可得.19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形为的中点，点在线段上.（1）求证：；（2）试确定点的位置，使得直线与平面所成的角与直线与平面所成的角相等. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)利用题意证得平面，然后利用线面垂直的定义得(2)建立空间直角坐标系，,利用题意得到关于的方程，求解方程即可求得. 试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，因为，，，由余弦定理得，得，所以，即，又，所以，又，，所以，，所以平面，所以．（Ⅱ）侧面底面，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，，所以，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得，令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以．点睛：利用已知的面面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．20. 已知分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为.（1）求；（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问：的面积是否为定值？请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【试题分析】（１）借助点的坐标运用斜率公式分别求出斜率，然后再求其积；（２）先运用点斜式分别求出的方程，再运用三角形面积公式探究推证：（Ⅰ）设，则；（Ⅱ）由题知，直线，直线，设，则，由，同理可得，故有，又，故，.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线之一，也是高考重点考查的知识与内容之一。