等比数列求和
等比数列求和的七种方法
等比数列求和的七种方法
1.直接求和法：用直接求和的方法求解等比数列求和问题，即在有条件求和术中，利用公式和法则，将等比数列中的每一项依次相加，以求得总和。
2.构造求和法：构造求和法是基于已知数列元素构造出一个新的求和公式，从而轻松解决等比数列求和问题。
3.公式求解法：对于等比数列求和的问题，我们可以利用解析几何求解公式，推出等比数列的公式，从而求出等比数列的和。
4.比值求和法：比值求和法是基于数列中元素的比值来求解等比数列求和问题，这种方法可以非常有效地减少解题的过程。
6.等比数列定理法：等比数列定理法是基于等比数列的定义概念和定理，以及数列中的相互关系和性质来求解等比数列的和。
7.求积分法：求积分法是基于求积分的基本思想，以及利用积分理论，通过计算某一个函数的积分来求解等比数列求和问题。
等比数列求和公式,
等比数列求和公式,等比数列求和公式______________________________等比数列（Geometric Series）是由一个有限项相加而构成的数列，其中每一项与前一项的比值相等。
在数学中，当求解等比数列的总和时，可以使用等比数列求和公式，它可以帮助我们得出有限或无限的等比数列的总和。
一、等比数列的定义等比数列是一种有序数列，其中所有项的比值都是相同的，即a1，a2，a3，…，an为等比数列的n项，其中a1为等比数列的第一项，an为等比数列的最后一项。
等比数列的公差d（即a2-a1=d）也是固定的，d必须是一个实数（即d>0或者d<0）。
二、等比数列求和公式等比数列求和公式是用来计算等比数列总和的公式。
对于有限的等比数列：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1×(1-r^n)/(1-r)；对于无限的等比数列：Sn=a1+a2+a3+…=a1/(1-r)。
三、等比数列求和公式的应用1、用等比数列求和公式可以计算有限等比数列的总和。
例如：已知有限等比数列{3,6,12,24,48}，其中a1=3,d=3,n=5，则根据等比数列求和公式可得Sn=93。
2、用等比数列求和公式可以计算无限等比数列的总和。
例如：已知无限等比数列{2,4,8,16,32,…}，其中a1=2,r=2，则根据等比数列求和公式可得Sn=2/(1-2)=-2。
四、等比数列求和公式的注意事项1、当r>1时，无限等比数列的总和是无穷大；当r<1时，无限等比数列的总和是有限的。
2、当r=1时，有限等比数列的总和是无限大；当r=1时，无限等比数列的总和也是无限大。
3、当r=-1时，有限等比数列的总和是有限的；当r=-1时，无限等比数列的总和也是有限的。
总之，要想正确使用等比数列求和公式来计算有限或无限的等比数列的总和，必须根据不同情况来选用相应的公式。
只有正确使用了这个公式，才能够得出正确的计算结果。
等比数列求和公式有哪些
等比数列求和公式有哪些等比数列是数学中的一种常见数列，其中每个项都与前一项的比值相等。
求等比数列的和是数学中的基础问题，对于等比数列的求和，常用以下两个公式：1. 等比数列前n项和公式：等比数列的前n项和记作Sn，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，n为等比数列的项数。
2. 等比数列无穷项和公式：等比数列的无穷项和记作S∞，公式为：S∞ = a / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和存在。
这两个公式是求等比数列和的基本公式，可以用来计算等比数列的和。
下面将通过例子来说明这两个公式的使用。
例1：已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的前5项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)= 2 * (1 - 243) / (-2)= 2 * (-242) / (-2)= 242根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 2 / (1 - 3)= 2 / (-2)= -1所以，该等比数列的前5项和Sn为242，无穷项和S∞为-1。
例2：已知等比数列的首项a为5，公比r为0.5，求该等比数列的前10项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 5 * (1 - 0.5^10) / (1 - 0.5)= 5 * (1 - 0.0009766) / (0.5)= 5 * (0.9990234) / (0.5)= 9.990234根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 5 / (1 - 0.5)= 5 / (0.5)= 10所以，该等比数列的前10项和Sn为9.990234，无穷项和S∞为10。
通过以上例子可以看出，等比数列的求和公式能够方便地计算等比数列的和。
等比数列求和
数列求和一、常用公式法直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：等差数列求和公式:等比数列求和公式:二、错位相减法可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.例1：求和：.设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.解：，两端同乘以，得，两式相减得于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.三、裂项相消法适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等例2 求数列{1/(＋)}的前n项和解：∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)分母有理化∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－)＝－1＋－＋…＋－＝－1说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从而S n又因中间项相消而可求。
四、分组转化法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．例3 已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和解：由210＝1024，211＝2048知210＋9×10－4＜2000211＋9×10－4＞2000∴A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则(首项为9，公差为9的等差数列)S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10(首项为2，公比为2的等比数列)＝2(210－1)＋99×5－40＝2501说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列的方法求和。
五、配对求和法对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Ｓｎ．例4, 设数列的首项为，前项和满足关系式：（1）求证：数列是等比数列。
等比数列任意求和公式总结
等比数列任意求和公式总结等比数列这玩意儿，在数学里可是个挺重要的角色。
咱今天就来好好唠唠等比数列任意求和公式。
先来说说啥是等比数列。
打个比方，就像一群人排队，后面的人跟前面的人身高有个固定的比例，这队伍就是等比数列啦。
比如说，第一个人 1 米 6，第二个人是第一个人的 1.5 倍高，那就是 2 米 4，第三个人又是第二个人的 1.5 倍，这就形成了等比数列。
等比数列的求和公式呢，分两种情况。
一种是当公比 q 不等于 1 的时候，求和公式是：Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q) 。
这里面的 a1 是首项，q是公比，n 是项数。
咱们来举个例子感受感受。
比如说有个等比数列：2，4，8，16，32。
这数列的首项 a1 就是 2，公比 q 是 2（因为后一项总是前一项的 2 倍嘛），一共 5 项，n 就是 5。
那按照公式算，Sn = 2×(1 - 2^5) / (1 - 2) ，算出来就是 62 。
还有一种情况，当公比 q 等于 1 的时候，这就简单啦，Sn = na1 。
比如说 3，3，3，3，3 这个等比数列，公比 q 就是 1，首项 a1 是 3，一共 5 项，那和 Sn 就是 5×3 = 15 。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就拿他们喜欢的糖果举例，说第一个盒子里放 1 颗糖，第二个盒子放 2 颗，第三个放 4 颗，一直这样按倍数放下去，问他们如果要知道前几个盒子一共多少糖，就得用等比数列求和公式。
这小家伙眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
其实啊，等比数列求和公式在生活里也有不少用处呢。
比如说，你存钱，每年利息固定比例增长，想知道存了几年后一共多少钱，可能就得用上这个公式。
再比如，某个产品的销量每个月按照一定比例增长，老板要算算一段时间内的总销量，也得靠它。
总之，等比数列任意求和公式虽然看起来有点复杂，但只要多琢磨琢磨，多做做例子，就能掌握得牢牢的。
等比数列的求和
等比数列的求和在数学中，等比数列是一种常见的数列形式。
它的每一项与前一项相乘得到下一项，比如1，2，4，8，16...就是一个等比数列，其中每一项都是前一项的两倍。
求和是数学中常见的操作，而对于等比数列来说，求和也有相应的方法。
本文将详细介绍等比数列的求和公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、等比数列的定义与性质首先，我们来了解等比数列的定义和性质。
等比数列的定义如下：定义1：若数列a₁，a₂，a₃，...，an，...的每一项与它的前一项的比相等（不为零），即a(n+1)/an=d（称为等比数列的公比），则称该数列为等比数列。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值为常数d，这个常数也被称为等比数列的公比。
等比数列的公比决定了数列中每一项之间的关系。
而等比数列的性质主要有以下几点：性质1：等比数列的前两项之比不为零，即a₂/a₁≠0。
性质2：等比数列的任意三项可以构成一个比例，即a₁/a₂=a₂/a₃。
性质3：等比数列的任意两项都可以构成一个等比，即an/am=a(n-m)。
性质4：等比数列中，除了首项之外，任意一项与它前一项的比值都等于公比，即a(n+1)/an=d。
通过这些性质，我们可以更好地理解等比数列的特点和规律。
二、等比数列求和公式的推导接下来，我们将推导出等比数列求和公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，首项与公比都已知。
现在我们考虑等比数列的前n项和S(n)，即S(n)=a₁+a₂+...+an。
我们将这个等比数列重复放置一次，并将两个数列按位相减，得到：a₁+a₂+...+ana₁*q+a₂*q+...+an*q------------------------------(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)可以观察到，相邻两项之间的“相同元素”(例如a₁*a₁*q)可以相加并合并为一个公比q，这样我们得到一个新的数列：(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)这个新的数列中，每一项都是原数列中对应项的公比倍。
等比数列的求和公式与性质
等比数列的求和公式与性质等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的求和公式以及性质在数学问题的解决过程中非常有用。
本文将介绍等比数列的求和公式与性质。
一、等比数列的求和公式在等比数列中，后一项与前一项的比值常数称为等比数列的公比，用q表示。
若首项为a，公比为q，求和的项数为n时，等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得出：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]该公式称为等比数列的求和公式。
其中，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
二、等比数列求和公式的推导我们来推导等比数列求和公式的过程。
设Sn为要求的等比数列的前n项和，首项为a，公比为q。
首先，我们将等比数列的前n项与公比q相乘得到新的数列，记为qSn，即：qSn = q * [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)]（式1）然后，我们将等比数列的前n项与公比q相乘后再减去等比数列本身，记为Sn - (aq)，即：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式2）对于等比数列的括号中的每一项，我们将其都乘以公比q，得到：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式3）= [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n) + (aq^(n+1))] - [(aq^(n+1))]（式4）我们可以看到，等比数列的求和Sn减去公比q与Sn的乘积aqSn 后，得到的结果就是等比数列的前n项与其下一项aq^(n+1)之和。
进一步整理上述式子，化简得到：Sn - aqSn = (aqSn - aq^(n+1)) - [(aq^(n+1))]（式5）Sn - aqSn = aqSn - 2aq^(n+1)+ aq^(n+1)（式6）Sn - (aqSn) = Sn - (aq^(n+1) - aqSn)（式7）括号内的(aqSn)与Sn相减，得到：Sn - (aqSn) = (Sn - aqSn)（式8）再进一步，将式2与式8相结合，消除公式中的Sn-aqSn，得到：Sn - aqSn = (Sn - aqSn) - (aq^(n+1) - aqSn)（式9）Sn - aqSn = 0 - aq^(n+1)（式10）根据等比数列的定义，Sn - aqSn可以表示为Sn - aqSn = Sn*(1-q)，代入式10中，得到：Sn*(1-q) = 0 - aq^(n+1)（式11）将式11两边的Sn移到一边，得到：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]（式12）经过推导，我们成功地得到了等比数列的求和公式。
等比数列求和的公式及证明
等比数列求和的公式及证明等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的数之间的比值都是相等的数列。
在数学中，我们经常会遇到等比数列，并且求解这些数列的和是很常见的问题。
本文将探讨等比数列求和的公式，并给出其证明。
一、等比数列求和的公式假设等比数列的首项为a，公比为r，该等比数列的第n项为an。
要求解等比数列的前n项和Sn。
在等比数列中，首项是a，第二项是ar，第三项是ar^2，依次类推，第n项是ar^(n-1)。
我们可以将等比数列按照如下方式排列：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)同时，我们将等比数列中的每一项与公比r相乘，得到以下数列：ar, ar^2, ar^3, ar^4, ...,ar^n我们接下来将这两个数列相减，得到：a - ar^n由于等比数列中，首项与第n项之间的差值可以表达为a - ar^n，我们可以利用这一性质来求解等比数列的和Sn。
我们将第二个数列除以r，得到：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)再将这两个数列相减，得到：a - ar^n = ar - ar^n我们可以将(a - ar^n)两边的式子因式分解，得到：a(1 - r^n) = (ar)(1 - r^(n-1))我们解这个等式得到：a - ar^n = ar(1 - r^(n-1))/(1 - r)两边同时乘以(1 - r)，得到：a - ar^n = a(1 - r^n)将上式移项得到：a(1 - r^n) = ar^n - a再将等式两边同时除以(1 - r)，得到：a = (ar^n - a)/(1 - r)我们已经得到了等比数列求和的公式：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)二、等比数列求和公式的证明为了证明等比数列的求和公式，我们假设r不等于1，即首先排除等比数列的公比为1的情况。
从等比数列求和的公式上推导，我们有：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)我们将此式两边乘以(1 - r)，得到：Sn(1 - r) = a(1 - r^n)将Sn(1 - r)展开，得到：Sn - Snr = a - ar^n将公式Sn = ar(1 - r^n)/(1 - r)代入，得到：ar(1 - r^n)/(1 - r) - ar = a - ar^n由于我们已经假设r不等于1，所以我们可以将上式两边同时乘以(1 - r)，得到：ar(1 - r^n) - ar(1 - r) = a(1 - r^n)将等式右边展开，得到：ar - ar^(n+1) - ar + ar^2 = a - ar^n化简得到：- ar^(n+1) + ar^2 = - ar^n因此，上式成立，等比数列求和的公式得到了证明。
等比数列求和
等比数列求和等比数列求和是初中数学中的一个重要概念，它在解决数学问题时起着重要的作用。
本文将从什么是等比数列、等比数列求和的公式、等比数列求和的应用等方面进行阐述，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用等比数列求和。
一、什么是等比数列等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的比都相等的数列。
比如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，因为每一项与它前一项的比都是2。
二、等比数列求和的公式对于一个等比数列，我们可以通过求和公式来计算它的和。
等比数列求和的公式如下：S = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，S表示等比数列的和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
举个例子来说明，假设有一个等比数列的首项是2，公比是3，项数是4。
我们可以利用求和公式来计算这个等比数列的和。
S = 2(1 - 3^4) / (1 - 3) = 2(1 - 81) / (-2) = 2( -80) / (-2) = 80所以，这个等比数列的和是80。
三、等比数列求和的应用等比数列求和在实际问题中有着广泛的应用。
举个例子来说明，假设小明每天存钱，第一天存1元，从第二天起，每天存的钱是前一天存钱的3倍。
问，经过10天后，小明一共存了多少钱？我们可以将这个问题转化为等比数列求和的问题。
首项是1，公比是3，项数是10。
S = 1(1 - 3^10) / (1 - 3) = 1(1 - 59049) / (-2) = 1( -59048) / (-2) = 29524所以，经过10天后，小明一共存了29524元。
等比数列求和还可以应用于计算复利。
比如，某银行的年利率是5%，如果小明每年存1000元，连续存款10年后，他一共存了多少钱？我们可以将这个问题转化为等比数列求和的问题。
首项是1000，公比是1.05（1加上利率），项数是10。
S = 1000(1 - 1.05^10) / (1 - 1.05) ≈ 1000(1 - 1.628) / (-0.05) ≈ 1000( -0.628) / (-0.05) ≈ 12560所以，连续存款10年后，小明一共存了12560元。
等比数列的公式求和
等比数列的公式求和在咱们的数学世界里，等比数列就像是一群排着整齐队伍的小精灵，而等比数列的公式求和呢，就是解开它们神秘魔法的钥匙。
先来说说啥是等比数列。
比如说有这么一组数：1，2，4，8，16……你看，后一个数跟前一个数的比值是一样的，在这个例子里比值就是 2。
这就是等比数列啦！那等比数列的求和公式是啥呢？设这个等比数列的首项是 a₁，公比是 q ，项数是 n ，当q ≠ 1 时，它的求和公式就是：Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) 。
记得我上学那会，刚开始学这个公式的时候，也是一头雾水。
老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
有一次做作业，遇到一道等比数列求和的题目，我盯着题目看了半天，愣是没思路。
抓耳挠腮之际，我决定从头再好好研究一下这个公式。
我把公式写在草稿纸上，一遍又一遍地看，一边看一边在脑子里想老师讲过的例子。
突然，就像黑暗的房间里突然亮起了一盏灯，我好像明白了！我赶紧按照公式一步一步地算，嘿，还真算出答案来了！那种恍然大悟、豁然开朗的感觉，真的太棒了！等比数列求和公式在生活中也有不少用处呢。
比如说，你要是想知道银行存款按照复利计算，若干年后能有多少钱，这就可以用等比数列求和来算。
还有那种细胞分裂的问题，一个细胞分裂一次变成两个，两个分裂成四个，依次类推，经过 n 次分裂后细胞的总数，也能通过等比数列求和来搞定。
再给大家举个例子加深理解。
假设一个等比数列，首项 a₁是 3 ，公比 q 是 2 ，一共 5 项。
那按照求和公式来算，S₅ = 3×(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 3×(1 - 32) / (-1) = 3×(-31) / (-1) = 93 。
是不是很神奇？其实啊，数学里的这些公式就像是一个个神奇的工具，只要我们掌握了它们，就能解决很多看似复杂的问题。
就像等比数列的求和公式，虽然一开始可能觉得有点难，但只要我们多琢磨、多练习，就能熟练运用，让数学为我们的生活服务。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n天之后，我们总共取的木棒长度为：
Sn=
1 1 1 n 1 2 2 1 n 1 2 1 2
8/12/2013
例1：远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 其灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？ 这首古诗的答案是什么？
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变 成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
【思路点拨】 (1) 由an＝a1q
n－ 1
例1
― → 求出q ― → 求S7 ― ― 数据 公式
代入
利用
a11－qn n－ 1 代入 (2) Sn＝ ，an＝a1q ― → 列方程组 ― 求解 ― → 已知量 1－q (3) 据an＝a1qn
－1
― → 列方程组 ― 求a1，q ― 求a4和S5 ― → →
8/12/2013
【公式的应用】
1 1 1 , , , . 例1、已知等比数列 2 4 8
（3）求此数列前2n项中所有偶数项的和。
1 1 1 偶数项： 4 , 16 , 64 , 1 确定项数为n，公比为 4
1 ， 首项为 a2 4 n 1 1 所以 1 4 4 S a 2 a4 a 2 n 1 1 4
1 1 1 2 n Sn= ( x ) ( x 2 ) ( x n ) ( x 0, x 1, y 1) y y y x x n 1 yn 1 n 1 = 1 x y yn
引申：（1）当把x≠1这个条件去掉时，上式该如何求和呢？ 分析：应该分x=1和x≠1两种情况讨论 （2）当把x≠1，y≠1这两个条件去掉时，上式又该如何求和呢？ ① x =1，y=1 ②x =1，y ≠ 1 ③x ≠ 1，y=1 ④x ≠ 1，y ≠ 1 这四种情况讨论
数学建模：已知等比数列a n ，公比q=2 n=7，S7=381求a1
解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
a1 a1q 7 a1 a1 27 即 381 S7= 1 q 1 2
解得
8/12/2013
a1 =3，
故尖头有灯3盏
练习2.
已知等比数列an 中,
1 a1 2 , S3 14.则q
当q≠1时
a1 a1q Sn 1 q
n
a1 a1 n q 1 q 1 q
an= a1qn-1
a1 a1q n 1q 1 q
a1 an q 1 q
8/12/2013
等比数列的前n项和公式为：
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q na (q 1) 1 a1 an q (q 1) (1) 或 S n 1 q (2) na (q 1) 1
我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？ 如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式
①
qSn=
8/12/2013
a1q+a1q2+a1q3 + … +a1qn
②
Sn=a1+a2+…+ an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 …… ① qSn= a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn … ②
8/12/2013
8/12/2013
即求： 1
1 + 22 + 23+ …+ 263 +2
=?
提出问题：已知等比数列{an}, 首项为a1 ，公比为q，
求 Sn=a1+a2+…+an ,
分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆 可用首项及公比来表示，因此上式可变为：
Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1
8/12/2013
8/12/2013
[解题过程]
a11－qn (1)由 Sn＝ ，an＝a1qn－1 以及已知条件得 1－q
a11－2n 189＝ ， 1－2 96＝a ·n－1， 12 192 ∴a1· ＝192，∴2 ＝ a . 2 1
n n
∴189＝a1(2 又∵2
（2）求第5项到第10项的和；
1 a5 a1q 32 1 6 1 1 6 32 2 1 4 1 10 a5 (1 q ) S 1 1 q 2 2 1 2
4
还可以： S S10 S4
解:
∵ x 0, x 1, y 1 1 1 1 2 n Sn = ( x ) ( x 2 ) ( x n )
y y y
=（x+x2+…+xn）+(
8/12/2013
x x n 1 yn 1 n 1 = 1 x y yn
1 1 1 2 n ) y y y 1 1 (1 n ) x (1 x n ) y y = 1 1 x 1 y
可得： 5000(11.1n )
11.1
n
30000
1.1
可得： 1.1 1.6 两边取对数，得： n lg
利用计算器得：
lg
1.6
n
0.20 0.041
5 (年)
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
8/12/2013
在等比数列{an}中， (1)若 a1＝1，a5＝16，且 an＞0，求 S7； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； 5 (3)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求 a4 和 S5. 4
8/12/2013
【公式的应用】
1 1 1 例1、已知等比数列 , , , . 2 4 8
（1）求前8项之和；
（2）求第5项到第10项的和； （3）求此数列前2n项中所有偶数项的和。
8/12/2013
【公式的应用】
1 1 1 , , , . 例1、已知等比数列 2 4 8
（1）求前8项之和；
① - ②得
⑴当q≠1时
⑵当q=1时 Sn=na1 a1 (1 q n ) 以上推导公式的方法我们 (q 1) 即： S n 1 q 称之为“错位相减法” na ( q 1) 1
8/12/2013
Sn-qSn=a1-a1qn (1-q)Sn=a1-a1qn n n a1 a1q a1 1 q S n= 1 q 1 q
8/12/2013
【延伸与拓展】
1、公式的推导； 2、公式的应用
(q 1) na1 S n a1 (1 q n ) a1 a n q (q 1) 1 q 1 q
8/12/2013
练习1：
①等比数列1，21，22，23，…，263 的所有项的和是（ D ）
知三求二
例2：求和：
1 1 1 2 n Sn= ( x ) ( x 2 ) ( x n ) ( x 0, x 1, y 1) y y y
分析：上面各括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项 分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。
8/12/2013
练习1：
①等比数列1，21，22，23，…，263 的所有项的和是（ D ）
A. 264
B.263－1
C.264＋1
D.264－1
264-1，这个数很大,超过了1.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g，则填满棋 盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。
②数列a，a2，a3，…，an的前n项和为（ D ）
分析：应该分
8/12/2013
例3. 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年 的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几 年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { a n } 其中 a1 5000 , q 1 10 ％=1.1 , S n 30000
§2.5
等比数列的前n项和
8/12/2013
传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国 智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派 人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢 了,我将答应你的任何要求。”智者心想，我应 该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说： “陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格， 第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去， 以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈 哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐 手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报 到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来 生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！
1 255 1 8 1 1 1 ③等比数列 ， ， ，… 前8项和为_____________ 2 256
a(1 a n ) A. 1 a
B. 0
C. n
D.以上都不对
2
4
8
8/12/2013
【等比数列前n项和公式】
(q 1) na1 S n a1 (1 q n ) a1 a n q (q 1) 1 q 1 q
n －1
n
192 －1)＝a1 a －1，∴a1＝3. 1
代换
8/12/2013
变式训练 1 在等比数列{an}中， (1)已知 a1＝3， n＝96， n＝189， n； a S 求 7 63 (2)已知 S3＝ ，S6＝ ，求 an. 2 2
8/12/2013
在等比数列{an}中， (1)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； 5 (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，求 a4 和 S5； (3)若 q＝2，S4＝1，求 S8.