【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 仿真模拟卷(二)理

高考仿真模拟卷(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合A={1,2,3,4,5},B={1,2,3},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则集合C中的元素个数为( )(A)3 (B)11 (C)8 (D)122.如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于( )(A)(B)(C)-(D)23.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)54.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )(A)任意一个有理数,它的平方是有理数(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数(C)存在一个有理数,它的平方是有理数(D)存在一个无理数,它的平方不是有理数5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|等于( )(A)(B)6 (C)12 (D)76.已知三棱柱的各侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为π,则此三棱柱的侧面积为( )(A)(B)(C)8 (D)67.已知函数f(x)=3sin （ωx-）(ω>0)和g(x)=2cos (2x+ )+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是( )(A)[-3,3] (B)[-,] (C)[-,] (D)[-,3]8.阅读如图的程序框图,若输入n=6,则输出k的值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)59.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( )(A)10 (B)8 (C)3 (D)210.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线是某个几何体的三视图(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆),则该几何体的表面积为( )(A)92+14π(B)82+14π(C)92+24π(D)82+24π第8题图第10题图11.已知f(x)=--m有两个不同的零点,则m的取值范围是( )(A)(-∞,3) (B)[3,+∞) (C)(0,3) (D)(3,+∞)12.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )(A)f()< (B)f()>(C)f()<(D)f()>二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.二项式(a>0)展开式中x2项的系数为15,则实数a= .14.在1,2,3,4共4个数字中,任取两个数字(允许重复),其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是.15.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x3,则f(x)= .16.已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线交双曲线C于A,且=2,则双曲线C的离心率是.三、解答题(共70分)17.(本小题满分12分)设数列{a n}为等差数列,且a3=5,a5=9;数列{b n}的前n项和为S n,且S n+b n=2.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若c n=(n∈N*),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.18.(本小题满分12分)某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的重量(单位:克),整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为[490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为重量超过505克的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的重量超过505克的概率(以频率作为概率).19.(本小题满分12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C PB A的余弦值.20.(本小题满分12分)如图所示,椭圆C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在A,M之间,又AB的中点横坐标为,且=λ.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ的值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈(-1,0)∪(0,+∞).(1)判断函数f(x)的单调区间;(2)若对任意的x>0,都有f(x)<kx2-x+1,求实数k的最小值.请在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D,E,若PA=2PB=10.(1)求证:AC=2AB;(2)求AD·DE的值.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.(1)求圆C的极坐标方程:(2)若α∈[0,),直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2;(2)当a>0时,不等式2a-3≥f(ax)-af(x)恒成立,求实数a的取值范围.高考仿真模拟卷(二)1.B2.C3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.B 10.A 11.C 12.C13.解析:二项式(a>0)展开式的通项公式为T r+1=x6-2r(-1)r a-r,令6-2r=2得r=2,则x2项的系数是a-2=15,又a>0,则a=1.答案:114.解析:总共有4×4=16种排列方法,一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12、21、24、42,共4种,所以所求概率P==.答案:15.解析:因为f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x3,所以f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x2,令x=1,则f′(1)=f′(1)-f(0)+1,所以f(0)=1,令x=0,所以f(0)=f′(1)e-1,所以f′(1)=e,所以f(x)=e x-x+x3.答案:e x-x+x316.解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M,设A(x A,y A),则由=2得=2,解得x A=,y A=b,得A,因为点A在双曲线上,所以-=1,即-=1,所以=,即=,即e2=,所以e=.答案:17.解:(1)由题意可得数列{a n}的公差d=(a5-a3)=2,故a1=a3-2d=1,故a n=a1+2(n-1)=2n-1,由S n+b n=2可得S n=2-b n,当n=1时,S1=2-b1=b1,所以b1=1,当n≥2时,b n=S n-S n-1=2-b n-(2-b n-1),所以b n=b n-1,所以{b n}是以1为首项,为公比的等比数列,所以b n=1·（）n-1=（）n-1.(2)由(1)可知c n==(2n-1)·2n-1,所以T n=1·20+3·21+5·22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1, 故2T n=1·21+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n, 两式相减可得-T n=1+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2×-(2n-1)·2n=-3+(3-2n)·2n.所以T n=3+(2n-3)·2n.18.解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量,则Y～B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=×0.32×0.73=0.3087.19.(1)证明:由PA垂直圆所在平面得PA⊥BC,由AB是圆的直径得AC⊥BC,又AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)解:法一过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).因为=(0,0,1),=(,-1,0),设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以不妨令x2=1,则n2=(1,,0).于是cos<n1,n2>==,所以由题意可知二面角C PB A的余弦值为. 法二过C作CM⊥AB于M,因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N,连接NC,由三垂线定理得CN⊥PB,所以∠CNM为二面角C PB A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以=,故MN=.又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.所以二面角C PB A的余弦值为.20.解:(1)由条件可知c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,故椭圆C的标准方程是+=1.(2)设点A(x1,y1),点B(x2,y2).若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意. 当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x-4).由消去y得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.①由①的判别式Δ=322k4-4(4k2+3)(64k2-12)=144(1-4k2)>0,解得k2<,由==可得k2=,将k2=代入方程①得7x2-8x-8=0,则x1=,x2=.又因为=(4-x1,-y1),=(x2-4,y2),=λ,所以λ=,所以λ=.21.解:(1)f′(x)=,设g(x)=-ln(x+1),不妨令x>-1,则g′(x)=-=,当x∈(-1,0)时,g′(x)>0,g(x)为增函数;当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数.所以g(x)≤g(0)=0,所以在x∈(-1,0)∪(0,+∞)时,f′(x)<0.所以f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)上为减函数.(2)若x>0,f(x)<kx2-x+1等价于ln(x+1)-kx3+x2-x<0,设函数h(x)=ln(x+1)-kx3+x2-x,对于函数h(x),不妨令x≥0. 所以h(0)=0,h′(x)=-3kx2+x-1==.当k≤0时,在x∈[0,+∞)时,h′(x)≥0,所以h(x)在x∈[0,+∞)上为增函数,所以h(x)≥h(0)=0,不符合题意;当0<k<,在x∈[0,]时,h′(x)≥0,所以h(x)在x∈[0,]上为增函数,所以h(x)≥h(0)=0,不符合题意;当k≥时,在x∈[0,+∞)时,h′(x)≤0,所以h(x)在x∈[0,+∞)上为减函数,所以h(x)≤h(0)=0,即ln(x+1)-kx3+x2-x<0在x>0上成立,符合题意.综上,实数k的最小值为.22.(1)证明:因为PA是圆O的切线,所以∠PAB=∠ACB,又∠P是公共角,所以△ABP∽△CAP,所以==2,所以AC=2AB.(2)解:由切割线定理得PA2=PB·PC,所以PC=20,又PB=5,所以BC=15,又因为AD是∠BAC的平分线,所以==2,所以CD=2DB,所以CD=10,DB=5,又由相交弦定理得AD·DE=CD·DB=50.23.解:(1)因为C(,)的直角坐标为(1,1),所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)-1=0.(2)将代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,得(1+tcos α)2+(1+tsin α)2=3,即t2+2t(cos α+sin α)-1=0.所以t1+t2=-2(cos α+sin α),t1·t2=-1.所以|AB|=|t1-t2|==2.因为α∈[0,).所以2α∈[0,),所以2≤|AB|<2.即弦长|AB|的取值范围是[2,2).24.解:(1)原不等式等价于当x≤1时,-2x+3≤2,即≤x≤1.当1<x≤2时,1≤2,即1<x≤2.当x>2时,2x-3≤2,即2<x≤.综上所述,原不等式的解集为{x|≤x≤}.(2)当a>0时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|, 所以2a-3≥|a-1|,所以a≥2.即实数a的取值范围为[2,+∞).。