2014年高二数学推理与证明试题
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：；；；．请你观察这四个不等式：（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；（2）证明你的结论．【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）观察所给的四个不等式，左边第一、第二个括号均为两个数的平方和，然后乘积，而右边恰是左边两个括号中的第一个数相乘加上第二个数相乘之后再平方，进而得到一般性的结论；（2）应用分析法，将要证明的不等式展开消去相同的项，最后得到一个完全平方，命题即可得以证明.试题解析：（1）一般性的结论：（4分（没写范围扣1分）（2）证明：要证只要证只要证只要证∵，∴显然成立∴原命题得证.【考点】1.归纳推理；2.分析法.2.已知通过观察上述不等式的规律，则关于正数满足的不等式是 .【答案】【解析】观察已知式子可知不等式右边根号下面前面一个数都是2，后面一个是前两个的和。
【考点】推理与证明.3.因为无理数是无限小数，而是无理数，所以是无限小数．属于哪种推理（）A．合情推理B．类比推理C．演绎推理D．归纳推理【答案】C【解析】根据题意，由于无理数是无限小数这是大前提，而是无理数是小前提，则可知结论为是无限小数，可知结论为C.【考点】演绎推理点评：主要是考查了演绎推理的概念的运用，属于基础题。
4.正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，类似地正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为( )。
A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，利用余弦定理，那么可知正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为，故可知结论为D.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
5.用反证法证明命题“如果你,那么”时，假设的内容是A．B．C．且D．或【答案】D【解析】反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
2014年高考数学二轮精品专练试卷 推理与证明 理(含2013试题)
推理与证明一、选择题1．(2013·潍坊模拟)如下图3－3－2所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ＞1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 012a 2 013＝( )图3－3－2A.2 0102 011B.2 0112 012 C.2 0122 013D.2 0132 012【解析】 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以9a n a n ＋1＝93n －1×3n ＝1n n －1＝1n －1－1n ，所以9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 012a 2 013＝1－12＋12－13＋…＋12 011－12 012＝2 0112 012，选B. 【答案】 B2．观察下列分解式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，若m 3的分解式中最小的数为31，则自然数m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 由2n ＋1＝31得n ＝15，又2＋3＋4＋5＝14， ∴m ＝6. 【答案】 B3．如图3－3－3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )图3－3－3A.1140B.1105C.160D.142【解析】 由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理，第7行第3个数130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.【答案】 A4．(2013·某某模拟)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，则52 014的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125【解析】 由题意可得：58＝390 625,59＝1 953 125，经观察易知，每个数的末四位数呈周期变化，T ＝4，又因为2 014＝4×503＋2，所以52 014的末四位数字为5 625.【答案】 B5．(2013·某某模拟)已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d ，则由题意知d ＝OM ，设各个面的面积为S ，则由等体积法得：4·13S ·OM ＝13S ·AM ，4OM ＝AM ＝AO ＋OM ，从而AOOM ＝31＝3.【答案】 C 二、填空题6．(2013·某某高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________ 【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋12.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋127．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有________．【解析】T 20T 10＝b 11b 12…b 20，T 30T 20＝b 21b 22…b 30，T 40T 30＝b 31·b 32…b 40， ∵b 21b 22…b 30b 11b 12…b 20＝b 31b 32…b 40b 21b 22…b 30＝(q 10)10＝q 100，∴T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30成等比数列，公比为q 100. 【答案】T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30成等比数列，公比为q 1008．(2013·东城模拟)定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R }，B ＝R ，已知对所有的有序正整数对(m ，n )满足下述条件：①f (m,1)＝1，②若n ＞m ，f (m ，n )＝0；③f (m ＋1，n )＝n [f (m ，n )＋f (m ，n －1)]，则f (2,2)＝________；f (n,2)＝________.【解析】 根据定义得f (2,2)＝f (1＋1,2)＝2[f (1,2)＋f (1,1)]＝2f (1,1)＝2×1＝2.f (3,2)＝f (2＋1,2)＝2[f (2,2)＋f (2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2， f (4,2)＝f (3＋1,2)＝2[f (3,2)＋f (3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－2，f (5,2)＝f (4＋1,2)＝2[f (4,2)＋f (4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f (n,2)＝2n－2.【答案】 2 2n －2 三、解答题9．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x ＋a.(1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明；(3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )． 【解】 (1)f (0)＋f (1)＝11＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝a a，f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a 2＋a＝1a＝aa. (2)由(1)归纳得到对一切实数x ， 有f (x )＋f (1－x )＝a a. 证明如下f (x )＋f (1－x )＝1a x ＋a ＋1a 1－x ＋a＝1a x ＋a ＋a xaa ＋a x＝a ＋a x aa ＋a x ＝1a ＝aa.(3)设S ＝f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )， 又S ＝f (n )＋f (n －1)＋…＋f (2)＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－(n －1))， 两式相加，得(由(2)的结论) 2S ＝2n ·a a ，∴S ＝n a a. 10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，是b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．11．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋2>2b n ＋1；②b n <M (n ∈N ＋，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“好数列”．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n a n ＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明此时数列{1b n}为“好数列”．【证明】 (1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)，所以a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aa －1a n －aa －1a n －1，即a na n －1＝a ，故{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．∴a n ＝a ·an －1＝a n(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1·b 3，而b 1＝3，b 2＝3a ＋2a ，b 3＝3a 2＋2a ＋2a2， 故(3a ＋2a )2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13. 再将a ＝13代入得b n ＝3n成等比数列，所以a ＝13成立．由于1b n ＋1b n ＋2＝13n ＋13n ＋2>213n ·13n ＋2＝23n ＋1＝2b n ＋1，所以满足①，(或作差：因为1b n ＋1b n ＋22－1b n ＋1＝53n ＋2－13n ＋1＝23n ＋2>0，所以1b n ＋1b n ＋2>2b n ＋1也成立)1b n ＝13n ≤13，故存在M >13，所以满足②， 故{1b n}为“好数列”．。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)
2013-2014高二理科数学期末复习（推理与证明）考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n ，与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2【训练1】1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________解析 13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，故第五个等式即为当n ＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝⎝⎛⎭⎫6×722＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 解析 法一 由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.法二 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 答案 1233. 观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________．解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<1164. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 归纳类比，得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，从而有g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )5. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i (i －1)2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60； 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°；②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°；④sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 法一(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S△ABC＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点．[规范解答] 第二步：由等差数列“S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝________. 解析 利用等比数列性质，即若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ， 得T 2n ＝(b 1b 2…b n )·(b n b n －1…b 2b 1)＝(b 1b n )n ，即T n ＝(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案 1∶83．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________．解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得n T n ＝b 1(q )n －1.答案 n T n ＝b 1(q )n －16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sinB ＋sinC 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝323. 答案 32 37．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y 2＝1. 答案 x 4＋y2＝17. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系． 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．考向四 数学归纳法的原理1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于________．解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 答案 32．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．答案2k3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．①n ＝6时该命题不成立；②n ＝6时该命题成立；③n ＝4时该命题不成立；④n ＝4时该命题成立． 解析 法一 由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立．法二 其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．答案 ③ 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)【例1】用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，所以等式成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫k 4＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4 ＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，原等式对于任意的n ∈N *成立．【训练】 1已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋1a n －1(n ≥2)，a n ≥12n 13.求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.证明 由题得a 2n ＋1＝a 2n ＋1a n ，即a 2n ＋1－a 2n ＝1a n ，于是有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 2n ＋1－a 21＝a 2n ＋1－1. 要证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1，只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝1，12<a 1<2，则当n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时，12k 13≤a k ≤2k 13成立，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a k ≤4k 23＋112k 13＝4k 23＋2k 13，只要证明4k 23＋2k 13≤4(k ＋1)23，只需2k ＋1≤2k 13(k ＋1)23，只需(2k ＋1)3≤8k (k ＋1)2，化简后恒成立，于是a k ＋1≤2(k ＋1)13，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…. (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．3. 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512. n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．。
2014年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编
2014年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编1. （2014安徽理21）设实数0c >，整数1p >，n *∈N ．⑴证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+； ⑵数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>． 【解析】 ⑴ 证明：用数学归纳法证明：①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2*)p k k k =N ≥，∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立． 当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++所以1p k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，当10x x >-，≠，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立． ⑵ 证法一：先用数学归纳法证明1pn a c >． ①当1n =时，由题设11pa c >知1p n a c >成立． ②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式1pn a c >成立． 由111pn n n p c a a a p p-+-=+易知0*n a n >N ，∈． 当1n k =+时，11111p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=+- ⎪⎝⎭． 当10pk a c >>得11110p k cp p a ⎛⎫-<-<-< ⎪⎝⎭． 由⑴中的结论得11111ppk p k k a c p a p a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+->+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．11p p k kcc p a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因此1pk ac +>，即11pk a c +>．所以1n k =+时，不等式1rn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立． 再由1111n p n n a ca p a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得11n n a a +<，即1n n a a +<．综上所述，11pn n a a c +>>，*n N ∈．证法二：设111()p p p cf x x x x c p p --=+，≥，则p x c ≥， 并且11()(1)10p p p c p c f x p x p p p x ---⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，1p x c >．由此可得，()f x 在1pc ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，上单调递增．因而，当1px c >时，11()()p pf x f c c >=， ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知12111111111p p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并且121()pa f a c =>，从而112p a a c >>．故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()pk k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>．所 以1n k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．2. （2014安徽文12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12123567AA a A A a A A a ===，，…，，则7a =______________．【解析】 14由BC =11212321AB a AA a A A a ==⇒=====，由此可归纳出{}n a 是以12a =6671124a a q =⨯=⨯=⎝⎭． 3. （2014广东理15）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF △的面积△的面积=________．【解析】9． 由CDF AEF △∽△，3AE CD =，面积之比为对应边的平方比，所以为9．4. （2014广东文15）A 1A 4A 3A 2第（12）题图ABC图3FE D CBA如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE AC =，与DE 交于点F ，则CDF AEF =△的周长△的周长____________．【解析】3． 5. （2014湖北理15）如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A B ，，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C D ，两点，若13QC CD ==，，则_____PB =【解析】 4由切割线定理得21(13)4QA QC QD =⋅=⨯+=，∴2QA =， ∵Q 为PA 的中点，∴24PA QA ==．故4PB PA ==．6. （2014湖南理12）如图，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于____________【解析】 32设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC ==ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE ⋅=⋅⇒=，则直径332AE r =⇒=，故填32． 7. （2014江苏理21A ）如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：OCB D ∠=∠．图3FED CBA第15题图A图3【解析】OC OB =，∴OCB B ∠=∠，又∵B D ∠=∠，∴OCB D ∠=∠ 8. （2014江苏理23）已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N⑴求12πππ2()()222f f +的值⑵证明：对任意*n ∈N，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．【解析】 ⑴ 0()sin xf x x =,两边求导得01()()cos f x xf x x +=两边再同时求导得122()()sin f x xf x x +=- (*) 将π2x =代入(*)式得12πππ2()()1222f f +=-⑵ 下证命题：1sin ,4cos ,41()()sin ,42cos ,43n n x n kx n k nf x xf x x n k x n k -=⎧⎪=+⎪+=⎨-=+⎪⎪-=+⎩，*k ∈N 恒成立当0n =时，0()sin xf x x =成立当1n =时，10()()cos xf x f x x +=，由(1)知成立 当2n =时，21()2()sin xf x f x x +=-，由(1)知成立当3n =时，上式两边求导322()()2()cos xf x f x f x x ++=-，即 32()3()cos xf x f x x +=-假设当n m =(3)m ≥时命题成立，下面证明当1n m =+时命题也成立 若14m k +=，*k ∈N ，则41m k =-，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1()()()sin m m m xf x f x mf x x +++= 即1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=，命题成立同理，若141m k +=+，*k ∈N ，则4m k =，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=，命题成立 若142m k +=+，*k ∈N ，则41m k =+，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=-，命题成立 若143m k +=+，*k ∈N ，则42m k =+，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=-，命题成立 综上所述，命题对*n ∀∈N 恒成立 代入π4x =得1πππ()()444n n nf f -+=两边同时取绝对值得1πππ()()444n n nf f -+=9. （2014辽宁理22文22）如图，EP 交圆于E C ，两点．PD 切圆于D G ，为CE 上一点且PG PD =．连接DG 并延长交圆于点A ．作弦AB 垂直EP ．垂足为F ． ⑴求证：AB 为圆的直径；⑵若AC BD =，求证：AB ED =．【解析】 ⑴ 因为PD PG =，所以PDG PGD ∠=∠由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠， 又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠ 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠由于AF EP ⊥，所以90PFA ∠=︒，于是 90BDA ∠=︒，故AB 是直径．⑵ 连接BC DC ，.由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠=∠=︒， 在Rt BDA △与Rt ACB △中，,AB BA AC BD == 从而Rt BDA △≌Rt ACB .△于是DAB CBA ∠=∠.又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠，故//DC AB ， 由于AB EP ⊥，所以DC EP DCE ⊥∠，为直角， 于是ED 为直径，由⑴得ED AB =．10. （2014陕西理15B 文15B ）如图，ABC △中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若2AC AE =，则EF =________．EPGFDCBACB FEAEPGFDCBA【解析】3 ∵四边形BCFE 内接于圆，∴AEF ACB ∠=∠，又A ∠为公共角， ∴EF AEAEF ACB BC AC∴=△△，∽，又∵62BC AC AE ==，．∴3EF =． 11. （2014天津理6文7）如图ABC △是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅．则所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④【解析】 D由AD 平分BAC ∠知,BAD CAD BD CD ∠=∠=，由弦切角以及圆周角关系可知：FBD BAD DBC DAC BAD DAC FBD DBC ∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠，，，，因此①正确；由切割线定理可直接得出②正确；易证AE BEACE BDE CE DE∴=∴，，△△∽③不正确；在ABF △和BDF △中，FBD BAD BFD BFA ∠=∠∠=∠，，AF ABABF BDF BF BD∴∴=，△△∽,AF BD AB BF ∴⋅=⋅，④正确．故选D ． 12. （2014新课标1理22文22）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．⑴证明：D E ∠=∠；⑵设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形．【解析】 ⑴ 由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠由已知得，CBE E ∠=∠，所以D E ∠=∠；⑵ 设BC 中点为N ，连接MN ，则由MB MC =，知MN BC ⊥， 所以O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM AD ⊥，FDCEBA(第6题图)E即MN AD ⊥所以AD BC ∥，故A CBE ∠=∠． 又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠由（1）知D E ∠=∠．所以ADE △为等边三角形．13. （2014新课标2理22文22）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点2B C PC PA =，，，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ．证明： ⑴BE EC =；⑵22AD DE PB ⋅=．【解析】 ⑴ 连接AB AC ，．由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠．因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =． 因此BE EC =．⑵ 由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==，所以2DC PB BD PB ==，． 由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅， 所以22AD DE PB ⋅=．14.（2014重庆理14）过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B C ，．若6PA =，8AC =，9BC =，则AB =________．【解析】4P。
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
高二数学第二章逻辑推理与证明(含答案)
高二数学第二章逻辑推理与证明一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2·an (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想an 等于( ) A ．2(n+1)2B ．2n(n+1)C ．22n −1 D ．22n−12.用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n−1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，第二步由k 到k ＋1时不等式左边需增加( )A ．12kB ．12k−1+1＋12kC ．12k−1+1＋12k−1+2＋12kD ．12k−1+1＋12k−1+2＋…＋12k 3.在圆内接三角形ABC 中，AB ＝AC ，弧AB 对应的角度为130°，则∠A 等于( )A ． 130°B ． 50°C ． 100°D ． 90°4.下面几种推理中是类比推理的是( )A ．n 边形内角和为f (n )＝(n －2)π，则5边形内角和为f (5)＝(5－2)π＝3πB ． 某班张三、李四、王五身高都超过1.8米，猜想该班同学身高都超过1.8米C ． 猜想数列1×2,2×3,3×4，…的通项公式为an ＝n (n ＋1)(n ∈N *)D ． 由平面直角坐标系中两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2，推测空间直角坐标系中两点P 1(x ，y ，z )，P 2(a ，b ，c )之间距离为 d ＝√(x −a)2+(y −b)2+(z −c)2 5.先阅读下面的文字：“求√1+√1+√1+⋯的值时，采用了如下方法：令√1+√1+√1+⋯＝x ，则有x ＝√1+x ，两边同时平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1+√52(负值已舍去)”可用类比的方法，求得1＋12+11+12+⋯的值等于( )A ．√3−12B．√3+12C．1−√32D．−1−√326.在研究函数f(x)＝a1x(a＞1)的单调区间时，可用如下作法：设g(x)＝log af(x)＝1得到f(x)在(－∞，0)，x(0，＋∞)上是减函数，类比上述作法，研究y＝xx(x＞0)的单调性，则其单调增区间为()A． (0,1)B． (1，＋∞)，+∞)C．(1e)D．(0，1e7.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2 013次跳后它将停在的点是()A． 1B． 2C． 3D． 48.在演绎推理“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分．”中“正方形是平行四边形”是“三段论”的()A．大前提B．小前提C．结论D．其他9.我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ． (n ＋1)210.设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ． 至少有一个不大于2B ． 都小于2C ． 至少有一个不小于2D ． 都大于211.利用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *，n ≥2)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项共有( )A ． 1项B ．k 项C ． 2k －1项D ． 2k 项12.已知数列{an }，{bn }的通项公式分别为an ＝an ＋2，bn ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 无穷多个分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为________________． 14.有n 粒球(n ≥2，n ∈N *)，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为Sn .例如对于4粒球有如下两种分解：(4)→(1,3)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2,2)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝2×2＋1×1＋1×1＝6.于是发现S4为定值，请你研究Sn的规律，归纳Sn＝________.15.把已知正整数n表示为若干个正整数(至少3个，且可以相等)之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有________个．16.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.设a，b是两个不相等的正数，若1a ＋1b＝1，用综合法证明：a＋b>4.18.数列{an}满足a1＝12，Sn＝n2an(n≥1)．(1)求S1，S2，S3，并猜想Sn；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的正确性．19.用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数：f(n)＝12n(n－3)(n≥3，n∈N*)．20.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝a n3a n+1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3－2Sn(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想an的表达式．(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{an}是等比数列.22.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f(n)．(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；(2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式；(3)求证：11 3f(1)+3＋113f(2)+5＋113f(3)+7＋…＋113f(n)+2n+1<2536(n∈N*)．答案解析1.【答案】B【解析】由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜想an ＝2n(n+1).2.【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n−1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，假设n ＝k 时不等式成立，左边＝1＋12＋13＋…＋12k−1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k−1＋12k−1+1＋…＋12(k+1)−1∴由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边需增加12k−1+1＋…＋12(k+1)−1＝12k−1+1＋…＋12k . 3.【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D .在Rt △OAD 中，∠AOD ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°，∴∠BAO ＝90°－65°＝25°，∴∠BAC ＝2∠BAO ＝2×25°＝50°.4.【答案】D【解析】对于A ，n 边形内角和为f (n )＝(n －2)π，则5边形内角和为f (5)＝(5－2)π＝3π，是演绎推理；对于B ，某班张三、李四、王五身高都超过1.8米，猜想该班同学身高都超过1.8米，是归纳推理；对于C ，猜想数列1×2,2×3,3×4，…的通项公式为an ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，是归纳推理； 对于D ，由平面直角坐标系中两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2，推测空间直角坐标系中两点P 1(x ，y ，z )，P 2(a ，b ，c )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2+(z −c)2，是类比推理．5.【答案】B【解析】设1＋12+11+12+⋯＝x ，则1＋12+1x ＝x ， ∴2x 2－2x －1＝0，∴x ＝1±√32， ∵x ＞0，∴x ＝√3+12. 6.【答案】C【解析】设g (x )＝ln y ＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )＞0，则x ＞1e ，即g (x )在(1e ，+∞)上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，得y ＝xx (x ＞0)的单调增区间为(1e ，+∞)．7.【答案】D【解析】按照规则，前面几次跳的点数依次为：5→1→2→4→1→2→4→1→2→4…，所以从第一次起跳开始，每跳过三次，就会落在4点上，而2 013＝3×671，∴最后青蛙停在4点上． 8.【答案】B【解析】“平行四边形的对角线互相平分”是大前提，“正方形是平行四边形”是小前提，“正方形的对角线互相平分”是结论．9.【答案】C【解析】当n ＝1时，第n 个正方形数是1＝12，当n ＝2时，第n 个正方形数是4＝22，当n ＝3时，第n 个正方形数是9＝32，当n ＝4时，第n 个正方形数是16＝42，当n ＝5时，第n 个正方形数是25＝52，…，由此归纳猜想：第n 个正方形数是n 2.10.【答案】C【解析】假设a ，b ，c 三个数均小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x <2，于是有a ＋b ＋c <6. 而又有a ＋b ＋c ≥2＋2＋2＝6，这与<6相矛盾，故假设错误，即a ，b ，c 中至少有一个不小于2. 11.【答案】D【解析】∵n ＝k 时，左边最后一项为12k ，n ＝k ＋1时，左边最后一项为12k+1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项共有2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .12.【答案】A【解析】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an ＋2＝bn ＋1，得到(a －b )n ＝－1，这样的n 是不存在的，故假设不成立．13.【答案】x ＝a 或x ＝b【解析】否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .14.【答案】n 2−n 2【解析】(2)→(1,1)，此时S 2＝1×1＝1； (3)→(1,2)→(1,1,1)，此时S 3＝1×2＋1×1＝2＋1＝3；(4)→(1,3)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝1×3＋1＋2＋1×1＝3＋2＋1＝6；(5)→(1,4)→(1,1,3)→(1,1,1,2)→(1,1,1,1,1)，此时S 5＝1×4＋1×3＋1×2＋1×1＝4＋3＋2＋1＝10， 归纳猜想：Sn ＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1＝1+(n−1)2×(n －1)＝n 2−n 2.15.【答案】19【解析】∵30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6.∴可以考虑以下等差分拆． ①以10为等差中项的3个整数的分拆共有以下10个：30＝1＋10＋19＝2＋10＋18＝…＝10＋10＋10；②30等差分拆为4个数的共有以下2个：6,7,8,9；3,6,9,12；③30等差分拆为5个数的共有以下3个：6,6,6,6,6；4,5,6,7,8；2,4,6,8,10；④30等差分拆为6个数的只有以下1个：5,5,5,5,5,5；⑤30等差分拆为10个数的只有以下1个：3,3，…，3(共10个3)；⑥30等差分拆为15个数的只有以下1个：2,2，…，2(共15个2)；⑦30等差分拆为30个数的只有以下1个：1,1，…，1(共30个1)．综上可知，正整数30的不同等差分拆共有19个．16.【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【解析】“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”． 17.【答案】证明 因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝1＋1＋b a ＋a b >2＋2√b a ·a b ＝4. 所以a ＋b >4.【解析】18.【答案】(1)解 当n ≥2 时，Sn －Sn －1＝an ，故Sn ＝n 2n 2−1Sn －1.又S 1＝a 1＝12，故可得S 2＝23，S 3＝34.猜想：Sn ＝n n+1(n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即Sk ＝k k+1.当n ＝k ＋1时，Sk ＋1＝(k+1)2(k+1)2−1Sk＝(k+1)2(k+1)2−1·k k+1＝k+1k+2＝k+1(k+1)+1，故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，结论对一切n ∈N *均成立．【解析】19.【答案】证明 ①当n ＝3时，f (x )＝12×3×0＝0，凸三边形没有对角线，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形的对角线条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥3)，当k ＝k ＋1时，k ＋1边形是在k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 变形的一边A 1Ak ， 增加的对角线条数为(k －3)＋2＝k －1，∴f (k ＋1)＝12×k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2)＝12×(k ＋1)[(k ＋1)－3]， 综上当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥3命题成立．【解析】20.【答案】解 (1)∵a 1＝2，an ＋1＝a n 3a n +1， ∴a 2＝a 13a1+1＝27； a 3＝a 23a2+1＝273×27+1＝213； a 4＝2133×213+1＝219.(2)由(1)可猜想：an ＝26n−5. 证明：①当n ＝1时，a 1＝2，等式成立；②假设n ＝k 时等式成立，ak ＝26k−5， 则当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝a k 3a k +1＝26k−53×26k−5+1 ＝26+6k−5＝26(k+1)−5，即n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，对任意n ∈N *，an ＝26n−5.【解析】21.【答案】(1)解 ∵an ＝3－2Sn ，∴a 1＝3－2S 1＝3－2a 1，解得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝19，a 4＝127，…，猜想an ＝(13)n －1.(2)证明 大前提：数列{an }，若a n+1a n ＝q ，q 是非零常数，则{an }是等比数列，小前提：由an ＝(13)n －1， 又a n+1a n ＝13， 结论：{an }是等比数列．【解析】22.【答案】解 (1)由题意有f (1)＝3，f (2)＝f (1)＋3＋3×2＝12， f (3)＝f (2)＋3＋3×4＝27，f (4)＝f (3)＋3＋3×6＝48，f (5)＝f (4)＋3＋3×8＝75. (2)由题意及(1)知，f (n ＋1)＝f (n )＋3＋3×2n ＝f (n )＋6n ＋3, 即f (n ＋1)－f (n )＝6n ＋3，所以f (2)－f (1)＝6×1＋3， f (3)－f (2)＝6×2＋3， f (4)－f (3)＝6×3＋3， …，f (n )－f (n －1)＝6(n －1)＋3,将上面(n －1)个式子相加，得：f (n )－f (1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋3(n －1)＝6×(1+n−1)(n−1)2＋3(n －1)＝3n 2－3， 又f (1)＝3，所以f (n )＝3n 2.(3)∵f (n )＝3n 2，∴113f (n )+2n+1＝1n 2+2n+1＝1(n+1)2<1n(n+1)＝1n －1n+1. 当n ＝1时，113f (1)+3＝14<2536，原不等式成立．当n ＝2时，113f (1)+3＋113f (2)+5＝14＋19＝1336<2536，原不等式成立．当n ≥3时，113f (1)+3＋113f (2)+5＋113f (3)+7＋…＋113f (n )+2n+1<113×3+3＋113×12+5＋(13－14)＋(14－15)＋…＋(1n －1n+1) ＝14＋19＋13－1n+1)＝2536－1n+1)<2536，原不等式成立．综上所述，对于任意n ∈N *，原不等式成立．。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）A．将结论与条件同时否定，推出矛盾B．肯定条件，否定结论，推出矛盾C．将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件【答案】B【解析】由反证法定义知，用反证法证明一个命题时，应是“肯定条件，否定结论，推出矛盾”，选B。
【考点】本题主要考查反证法的定义点评：反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”．2.若下列方程：，，，至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围．【答案】当或时，三个方程至少有一个方程有实根．【解析】解：设三个方程均无实根，则有解得即．所以当或时，三个方程至少有一个方程有实根．【考点】本题主要考查一元二次方程根的判别式、不等式组的解法、综合法的定义和方法。
点评：当论题从正面不容易或不能得到解决时，往往考虑问题的方面，此即所谓“正难则反”．3.已知，求证：不能同时大于．【答案】见解析。
【解析】证明：假设三式同时大于，即，，．三式同向相乘得．①又，同理，．．②因①②矛盾，故原结论正确．【考点】本题主要考查不等式的性质、以及反证法的定义及方法。
点评：反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”．4.用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）A．将结论与条件同时否定，推出矛盾B．肯定条件，否定结论，推出矛盾C．将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件【答案】B【解析】由反证法定义知，用反证法证明一个命题时，应是“肯定条件，否定结论，推出矛盾”，选B。
【考点】本题主要考查反证法的定义点评：反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”．5.使不等式成立的条件是（）A．B．C．且D．且【答案】D【解析】本题是选择题，可取几组数据进行验证，判定是否能使不等式成立，从而得到结论。
《推理与证明》试卷讲评课学案
高2014级《推理与证明》单元检测试题讲评课学案重庆铁中高二数学备课组陈昭旭学习目标：能以错悟理，加深对基础知识，基本概念的理解，强化基本方法的运用，提高解题能力。
学习要求：认真细致进行错例分析，用心思考，积极交流，总结经验，查漏补缺，体会数学方法和思想在解题中的应用。
学习过程：一、总体评价(试卷分析)（一）成绩分布表：班级100以上99－90 89－80 79－70 69－60 59－50 49－40 39－30 30以下备注试卷反思诊断表：失分原因知识遗忘审题失误粗心大意解题不规范计算失误速度慢时间不够难题放弃其他失分情况题号分数（二）错点公布：第一题：5、9、10第二题：12、1４第三题17、20、21二、错例分析：题10. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖。
”乙说：“甲、丙都未获奖。
”丙说：“我获奖了。
”丁说：“是乙获奖了。
”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁考点定位：本题主要考察演绎推理与合情推理的关系。
变式题1.住在某个旅馆的同一房间的四个人A、B、C、D正在听一组流行音乐，她们当中有一个人在修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，另一个人在看书。
1.A不在修指甲，也不在看书；2.B不躺在床上，也不在修指甲；3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲；4.C既不在看书，也不在修指甲；5.D不在看书，也不躺在床上。
她们各自在做什么呢？题14.若10,10<<<<ba，且ba≠，则在22,2,baabba++ab2,中最大的是________．变式题2. （07安徽、文8)设1a>，且2l o g(1)am a=+，log(1)an a=-，log(2)ap a=，则m n p，，的大小关系为（）Ａ．n m p>>Ｂ．m p n>>Ｃ．m n p>>Ｄ．p m n>>题17．已知：23150sin90sin30sin222=++23125sin65sin5sin222=++通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.考点定位：本题主要考察同角三角函数基本关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，考察运算能力，特殊与一般思想，化归与转化思想。
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2014年高二数学推理与证明试题1.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣3，将数列中各项进行如下分组：第1组1个数（a1），第2组2个数（a2，a3）第3组3个数（a4，a5，a6），依此类推，…，则第16组的第1个数解：∵前15组一共有1+2+3+…+15=个数，∴第16组的第1个数是a121=2×121﹣3=239．故选A．2.探索以下规律：则根据规律，从2004到2006，箭下的，而2004恰是4的整数倍，所以其对应的箭头的方向依次是↓→．故选A3．某同学在电脑上打下一串符号，如图所示：○○○□□△○○○□□△○○○…，按照由于37=6×6+1，第37个图案相当于第1个符号○故选A4．如图所示，把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第20个三角形数是（）第一个三角形数是1，第二个三角形数是3=1+2，第三个三角形数是6=1+2+3，第四个三角形数是10=1+2+3+4…那么，第n个三角形数就是：l+2+…+n=．∴第20个三角形数是=210．故选C．5．将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第4个数是（）n则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1，∴a20==571∴数阵中第20行从左至右的第4个数是571+9=580，故选：A．6．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a2012﹣5=（）n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2；n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3；…由此我们可以推断：a n=2+3+…+（n+2）=×[2+（n+2）]×（n+1）∴a2012﹣5=×[2+（2012+2）]×（2012+1）﹣5=1008×2013﹣5=1009×2011故选D．7．如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2011次跳后它将停在的点是（）由1起跳，1是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在2上2是偶数，沿沿顺时针跳两个点，落在4上．由4起跳，是偶数，沿沿顺时针跳两个点，落在1上．5﹣1﹣2﹣4﹣1﹣2，周期为3；又由2011=3×670+1，∴经过2011次跳后它停在的点所对应的数为1．故选A．8．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，332+3+4+…+m=个，59是从3开始的第29个奇数当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个故m=8 故选C9.下列类比推理命题（R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；③“若a，b∈R，则（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2”类比推出“若a，b∈C，则（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2”；④“若a，b∈R，则|a|=|b|⇒a=±b”类比推出“若a，b∈C，则|a|=|b|⇒a=±b”．b相等．故①正确；②若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故②错误③“若a，b∈R，则（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2”类比推出的结论“若a，b∈C，则（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2”，可知其在复数范围内仍然成立．故③正确④“若a，b∈R，则|a|=|b|⇒a=±b”类比推出“若a，b∈C，则|a|=|b|⇒a=±b”是错误的，因为两个复数的模相等，它们的方向不一定平行．故④错误．其中类比结论正确的个数是①③．故选C．10．已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S=（a+b+c）•r，四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，类比三角形的面积DV=则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：V=R（S1+S2+S3+S4）．故选C．11．若数列{a n}是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，BD解：∵数列{a n}是等差数列，∴数列=也为等差数列∵正项数列{c n}是等比数列，设首项为c1，公比为q∴==∴是等比数列故选D．12．观察sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=和sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，…，由此得出的以下推广命题中，不正确的是（）解：观察等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=②sin220°+cos250°+sin20°cos50°=③sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是S in2α+cos2（30°+α）+sinαcos（30°+α）右边的式子：，故得出的推广命题为：．对照选项得：不正确的是（B）．故选B．13．已知圆x2+y2=r2（r＞0）的面积为S=π•r2，由此推理椭圆的面解：将圆x2+y2=r2（r＞0）的方程写成，与椭圆比照，类比猜想：a⇔r，b⇔r，从而推理椭圆的面积最有可能是π•r2=π•r•r=π•ab．故选C．14．公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n}解：由公比为4的等比数列{b n}中，T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列{a n}中，S n是{a n}的前n项和，则S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30也成等差数列，且公差为3×100=300．故选C．15.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）．．D则=2，=，∵1＜2＜＜4∴．故选B．16.设a＞0，b＞0．若的最小值为（），当且仅当即时“=”成立，故选择B．解：又∵a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=（a1﹣a2）b1+（a1﹣a2）b2=（a2﹣a1）（b2﹣b1）＞0∴a1b1+a2b2＞（a1b2+a2b1）而1=（a1+a2）（b1+b2）=a1b1+a2b1+a1b2+a2b2＜2（a1b2+a2b2）∴解法二：取，，，即可．故选A18.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为D∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．19.已知函数f（x）=lg，若f（a）+f（b）=0且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是（）]）]）解：∵函数f（x）=lg，若f（a）+f（b）=0，∴，∴，可得：ab=1﹣a﹣b+ab，∴a+b=1，∵0＜a＜b＜1，则0＜ab=，ab的取值范围是：（0，）．20.设{b n}是等差数列，b1+b2+b3=15，b3+b5+b7=33，S n是数列{b n}前n项和，令的最小值为（）C D解：由等差数列的性质知：b1+b2+b3=3b2=15，b3+b5+b7=3b5=33，∴b2=5，b5=11，∴d==2，∴b n=5+2（n﹣2）=2n+1，S n=n2+2n，∴T n==（2n+1）++2＞6，∴当2n+1=3，即n=1时，T n的最小值为T1=．故选B21.已知a，b为正数，求证：．证明：∵a＞0，b＞0，所以∴22．已知x，y为正实数，求证：．证：因为x，y为正实数，要证+≤，只要证≤，即证3x2+12xy+3y2≤2（2x+y）（x+2y）即证x2﹣2xy+y2≥0，即证（x﹣y）2≥0，显然成立所以原不等式成立．23.已知a，b，x，y都是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx﹣ay）≥xy．证明：（ax+by）（bx﹣ay）=ab（x2+y2）+xy（a2+b2）≥ab•2xy+xy（a2+b2）=xy（a+b）2∵a+b=1故（ax+by）（bx﹣ay）≥xy24．设a、b、c均为正实数，求证：++≥++．证明：∵a、b、c均为正实数，∴（+）≥≥，当a=b时等号成立；（+）≥≥，当b=c时等号成立；（+）≥≥．三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立．25.已知m，n是正数，证明：≥m2+n2．证明：两边同乘mn，得m4+n4≥m3n+n3m，m，n＞0作差得，m4+n4﹣m3n﹣n3m=m3（m﹣n）+n3（n﹣m）=（m3﹣n3）（m﹣n）=（m﹣n）2（m2+mn+n2）≥0，∴≥m2+n2．假设是有理数假设或+故选D27．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab不能被5整除，a与b都不能被5整除”时，假设的内解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选C．而要证命题：“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故应先假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B．29．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为．解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：“a，b都不能被3整除”，故答案为a，b都不能被3整除30．已知直线a、b、c，其中a、b是异面直线，c∥a，b与c不相交．用反证法证明b、c 是异面直线．证明：假设b、c不是异面直线，则b、c共面．∵b与c不相交，∴b∥c．又∵c∥a，∴根据公理4可知b∥a．这与已知a、b是异面直线相矛盾．故b、c是异面直线．31．若a、b、c是正实数，则关于x的方程：至少有一个方程有两个不相等的实数根证明：假设三个方程都没有两个不等实根，则，三式相加得：32（a+b+c）≤0，即a+b+c≤0与已知a、b、c是正实数，矛盾．故至少有一个方程有两个不相等的实数根．32．已知x∈R，a=x2+，b=2﹣x，c=x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3而a+b+c=2x2﹣2x++3=2+3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1．。