4.3.2空间两点间的距离公式-例题
4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【学习目标】1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．2.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．【学习重难点】重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 【预习指导】（1）一楼屋顶C ’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A 处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？（2）在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB|=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？（3）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？【合作探究】空间两点间的距离公式问题：在研究这一问题之前，我们先想想平面两点距离是怎样推出来的呢？如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？O yzxMP 1P 2NM 1N 2N 1M 2H 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=例1 课堂一开始提到的问题。
例2在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，H 为三角形ABC 的外心，求点P 与H 的距离？ 【巩固练习】 教材P138练习1、2、3、4题 【当堂检测】1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.63【解析】设P(x ，y ，z)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.【答案】 A图4-3-32．如图4-3-3，空间直角坐标系Oxyz 中，正三角形ABC 的顶点A ，B 分别在xOy 平面和z 轴上移动．若AB ＝2，则点C 到原点O 的最远距离为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．3【解析】 连结OA ，△AOB 为直角三角形(图略)，设D 为AB 的中点，当OD⊥AB 时，O 到AB 的距离最大为1，又C 到AB 的距离为3，所以C 到O 的最远距离为3＋1，故选C.【答案】 C3．(2014·景德镇高一期末)在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】 S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2， S △ABC ＝34×|AB|2＝34×8＝2 3.故三棱锥的表面积S ＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3图43 44．(2014·江苏苏州中学周练)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图434所示的空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP|的最小值． 【拓展延伸】图4-3-1如图4-3-1，以棱长为a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ|的最小值．【解】 (1)当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q(0，a ，z)． 则|PQ|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2.当z ＝a 2时，|PQ|取得最小值，且最小值为22a.即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为22a.(2)因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ⊥AB 时，|PQ|最短．连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ|＝|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最小值为22a.【课堂小结】今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？【课外作业】习题4.3组第3题【教学反思】。
4.3.2 空间两点间的距离公式2
x y z (2)空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为|OP|=__________.
2 2 2
1.点A(3，6，1)与B(5，3，-1)的距离是(
A.4 B. 7 C. 17
2
)
D. 19
2 2
【解析】选C.|AB|=
3 5 6 3 1 1
问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD是直角?
【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0).
设P(1,x,0)(0<x<2),
所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2=x2+2,
PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2=(x-2)2+1,
x 2 y 2 z 2 ,当
OP为定值时, x 2 y 2 z 2 =r(r>0)的几何意义是以原点O为球心, 以r为半径的球面.
【探究总结】对空间两点间距离公式的三点说明 (1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定理 推出的. (3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以变换.
4.3.2 空间两点间的距离公式
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程和方法.
2.掌握空间两点间的距离公式.
3.能够应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.
空间两点间的距离 (1)已知空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则
x1 x 2 y1 y2 z1 z 2 |P1P2|=___________________式
4.3.2 空间两点间的距离公式3
2
2 2 2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, =
M 2 M 3 = (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
M 3 M 1 = (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
所以 M2 M3 = M3 M1 ,
提示：在空间中，到定点 的距离等于定长的点的轨 迹是 以原点为球心，
z
P
O y
半径长为 r 的球面．
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？ 提示：如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2） 是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、 P2（x2，y2，z2） 在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M（x1，y1， 0）， N（x2，y2，0）.
2 2
即 (0 4)2 (0 1)2 ( z 7)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
14 解之得 z 9
14 (0, 0, ). 9
所以所求点的坐标是
【变式练习】 在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等. 答案：(0, 0, 3)
x z
P2 P1
O
M1 N1 M M2
H N2 y N
2 2 MN = (x x ) +(y y ) . 在xOy平面上, 2 1 2 1
过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 .
在RtΔP1HP2中，
P1H = MN = (x2 - x1 ) +(y 2 - y 1 ) ,
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
4.3.2 空间两点间的距离公式参考答案
14.3.2空间两点间的距离公式【学习探究】【预习提纲】222zy x ++ ；221221221)()()(z z y y x x -+-+-.【处理方式】类比平面上的两点间的距离公式得出空间两点间的距离公式. 【基础练习】1．6.2. )3,0,0(-.3. 29.4.求证：以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -三点为顶点的三角形是等腰三角形. 证明：根据空间两点间距离公式，得7)96()11()410(||222=-+--+-=AB ，7)39()41()24(||222=-+-+-=BC ，98)36()41()210(||222=-+--+-=AC .因为,9877>+且||||BC AB =，所以ABC ∆是等腰三角形.【典型例题】例1【审题要津】建立如图坐标系，易求点1B ，D B ,的坐标，借助中点坐标公式可求出点E 的坐标，利用两点间的距离坐标公式即可解答此类问题.解：由题意得：)2,4,3(),0,4,0(),0,0,3(1B C A .设)0,,(y x E ，在ADC Rt ∆中，5||,4||,3||===AC CD AD ， 512||=∴DE ，在ADE Rt ∆中，2548325144|,|||2==∴⋅=x AD x DE .在CDE Rt ∆中，2536425144|,|||2==∴⋅=y AD y DE .)0,2536,2548(E ∴. 52934)25364()25483(||221=+-+-=∴E B .【方法总结】结合具体图形建立适当的空间直角坐标系，可以求图形中一些特殊点之间的距离，与平面直角坐标系中一样，在空间直角坐标系中，也可以求满足一定条件的点的轨迹方程.例2 【审题要津】（1）点P 为对角线的中点，易求点P 的坐标，而点Q 在棱CD 上运动，其坐标是随Q 点的位置变化，它的横、纵坐标不变，而竖坐标在变化，设出点Q 的坐标，建立||PQ 与竖坐标的函数关系，借助代数思想解决即可（2）同（1）的解法. 解：设正方体的棱长为a ，（1）当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是)2,2,2(aa a .2点Q 在线段CD 上，设),,0(z a Q ，2221)2(||aa z PQ +-=∴.∴当2a z =时，||PQ 的最小值为a 22，即当Q 为棱CD 的中点时，||PQ 有最小值a 22.（2） 点P 在对角线AB 上运动，Q 为定点， ∴当AB PQ ⊥时，||PQ 最短.当点Q 为棱CD 的中点时，QAB BQ AQ ∆=|,|||是等腰三角形， ∴点P 是AB 的中点时，||PQ 取得最小值a 22.【方法总结】建立空间直角坐标系，用点的坐标表示给定的点的位置，将空间几何问题转化为代数问题，借助函数的知识加以解决是一种重要的思想方法.【自我检测】1.D2.C3.C4.D 5．球面 ；6.230;7. 解：由已知，得点N 的坐标为)0,32,3(a a ，点M 的坐标为)32,,,3(a a a .所以a a a a a a MN 35)320()32()33(||222=-+-+-=.8. 解：由题意得：)1,0,0(),0,1,1(1D B ，故1BD 的中点为)21,21,21(P . 点Q 在棱1CC 上，Q ∴的坐标可设为)10)(,1,0(≤≤a a . ||||21QC Q C =，)32,1,0(,32||Q QC ∴=∴.从而619)3221()121()021(||222=-+-+-=PQ .9.解： 面⊥ABCD 面ABEF ，面 ABCD 面,,BE AB AB ABEF ⊥=⊥∴BE 面ABC .BE BC AB ,,∴两两垂直.∴以B 为原点，分别以BC BE BA ,,所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,22,22(),221,0,22(a a N a a M -.3222)0221()220()2222(--+-+-=∴a a a a MN21)22(1222+-=+-=a a a .∴当22=a 时，MN 最短，最短为22，此时，N M ,恰好为BF AC ,的中点.。
4.3.2空间两点间的距离公式课件
升
答案：x+y+z-3=0
目 3.（5分）对于任意实数x,y,z,则 x2+y2+z2 +
录
课
(x+1) 2+(y-2) 2+(z-1) 2的最小值为________.
典 型
程
例
目 标
【解析】设P(x,y,z),M(-1,2,1),则
x2+y2+z2 +
题 精
设
析
置
(x+1) 2+(y-2 =) 2|+ P( Oz- |1 +) |2PM|(O是坐标原点），
知
题
2
能
探
巩
究 导
整理得 z2+1=∴z52,=4.
固 提
学
升
∵z∈［0,4］,∴z=2.
故MN上的点Q（0,2,2)使得△AQB为直角三角形.
目
录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
置
主
知
题
能
探
巩
究
固
导
提
学
升
析
主 题
(x-3)2+22+(-2)2,x=3 2.
知 能
探 究
答案：（ 3 0, ,0)
巩 固
导
2
提
学
升
目
录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
置
主
知
题
能
探
巩
究
固
导
【人教A版】必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》课后导练含解析
课后导练基础达标1若A(1,3,-2)、B(2,-2,3),则A,B 两点间的距离为（ ）A.B.25C. D.615162解析：由两点间的距离公式得，|AB|=.51)32()23()21(222=--+++-答案：C2在长方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A 1(4,0,3),则对角线AC 1的长为（ ） A.9B.C.5D.2962解析：∵|AB|==2,|AD|=4,|AA 1|==3, 22)02()44(-+-222)30()00()44(-+-+-∴|AC 1|=.2991642122=++=++AA AD AB 答案：B3已知点A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 解析：∵|AB|=，89)311()22()41(222=-+--+-|AC|=， 35)411()12()61(222=-++-+-|BC|=，14)34()21()46(222=-+--+-∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC 为直角三角形. 答案：C4设点B 是点A(2,-3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB|等于( )A.10B.C. D.381038解析：由对称点的性质知，B （2，-3，-5），∴|AB|==10. 222)55()33()22(++-+-答案：A5点M(2，-3，5)到Ox 轴的距离d 等于( )A. B.C. D.38341329解析：点M （2，-3，5）到Ox 轴的距离为.345)3(22=+-答案：B6在y 轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C 的坐标为__________. 解析：设C （0,y,0）,由于|AC|=|BC|， ∴，得y=.4)5(949)1(1622+-+=+-+y y 27-答案：(0,,0) 27-7设A(4,-7,1)、B(6,2,z)、|AB|=11,则z=____________. 解析：由两点间的距离公式知|AB|==11,222)1()27()64(z -+--+-∴(z-1)2+4+81=112,得z=7或-5. 答案：7或-58在空间直角坐标系中,到点M(-4,1,7)和N(3,5,-2)等距离的动点P 的轨迹图形与Ox 轴交点的坐标为____________.解析：设所求的点的坐标为（x,0,0）,由两点距离公式得得x=-2.22222)2(5)3(71)4(-++-=+++x x 答案：(-2,0,0) 综合运用9在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A(3,-1,2),其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于____________.解析：设正方体的棱长为a ，由条件知|AM|=，所以正方体的对角线长为13049=++2|AM|=，即a=,1323132∴a=. 3932答案： 393210设点P 在x 轴上，它到P 1（0，，3）的距离为到点P 2（0，1，-1）距离的两倍，求2点P 的坐标.解析：由条件可设P(x,0,0),则|PP 1|=2|PP 2|,即,平方得x 2=1,11232222++=++x x ∴x=±1.故点P 的坐标为(1,0,0)和(-1,0,0).11在坐标平面yOz 内的直线2y-z=1上确定一点P,使P 到Q(-1,0,4)的距离最小. 解析：∵P 在yOz 平面内,∴可设P(0,y,2y-1),由两点间的距离公式得 |PQ|=当y=26)2(526205)412()0()10(22222+-=+-=--+-++y y y y y 时,|PQ|取得最小值为,这时P(0,2,3).6拓展探究12如图,在河的一侧有一塔CD=5 m,河宽BC=3 m,另一侧有点A,AB=4 m,求点A 与塔顶D 的距离AD.解：以CD 所在直线为z 轴,BC 所在直线为x 轴,建立空间直角坐标系,由条件知CD=5 m,BC=3 m,AB=4 m.从而可得D(0,0,5),A(3,-4,0).由两点间距离公式得|AD|= m. 25)04()03(22=--+-答:点A 与塔顶D 的距离AD 为 m. 25。
高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
时 A，B 两点的坐标，并求此时的|AB|.
解析：由空间两点间的距离公式得|AB|＝
栏
（1－x）2＋[（x＋2）－（5－x）]2＋[（2－x）－（2x－1）]2
目
链
＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－782＋57.
接
当 x＝78时，|AB|有最小值 57＝ 735，
此时 A87，277，79，B1，272，67. 点评：解决该类问题的关键是根据点的坐标特征，利用方程的思想求
4．3.2 空间两点间的距离公式
栏 目 链 接
掌握空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初 步建立将空间问题向平面问题转化的思想意识．z
典例精析
栏 目 链 接
题型一 求空间两点间的距离
如图所示，在长方体 OABCO1A1B1C1 中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2， E 是 BC 中点，作 OD⊥AC 于 D，求点 O1 到点 D 的距离．
栏 目 链 接
分析：关键是求 D 点坐标，O1(0，0，2)，利用两点间距离公式求解． 解析：由题意得：A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，设 D(x，y，0)． 在 Rt△AOC 中，
OA＝2，OC＝3，AC＝
13，∴OD＝
6 ＝6 13
1313.
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，
栏
优越性．
目
链
解析：∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，
接
AB⊥BE，
∴BE⊥平面 ABCD.∴AB，BC，BE 两两垂直．
∴以 B 为原点，以 BA，BE，BC 所在直线为 x 轴，y 轴和 z 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，
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《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第四章 圆与方程 69 第 35 讲 §4.3.2 空间两点间的距离公式
¤学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距 离公式.
¤知识要点：
1. 空间两点 1111 (,,) P x y z 、 2222 (,,) P x y z 间的距离公式： 222 12121212 ||()()() PP x x y y z z =-+-+- .
2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各 相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案.
3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P (x , y , z ) 关于坐标平面xOy 、yOz 、zOx 的对称点的坐标 分别为(x ,y,z )、(x ,y , z )、(x , y ,z )；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x , y , z )、(x ,y ,z )、(x ,y ,z )； 关于原点的对称点的坐标为(x ,y,z ).
¤例题精讲：
【例1】已知A (x ,2,3)、B (5,4,7)，且|AB |=6，求x 的值.
解：Q |AB |=6，∴ 222 (5)(24)(37)6 x -+-+-= ，
即 2 (5)16 x -= ，解得x =1或x =9.
【例2】求点P (1,2,3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.
解：设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ¢，连PP ¢交坐标平面xOy 于Q ，
则PP ¢ ^坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ¢Q|，
∴P ¢在 x 轴、y 轴上的射影分别与 P 在 x 轴、y 轴上的射影重合， P ¢在 z 轴上的射影与 P 在 z 轴上的射 影关于原点对称，
∴P ¢与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴ 点P (1,2,3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(1,2,3).
【例3】在棱长为a 的正方体ABCD 1111 A B C D 中，求异面直线 11 BD CC 与 间的距离.
解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设P 、Q 分别是直线 1 BD 和 1 CC 上的动点，其坐标分别为(x ,y , z )、(0，
1 , a z )，则由正方体的对称性，显然 有x =y . 要求异面直线 11 BD CC 与 间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离.
设P 在平面AC 上的射影是H ，由在D 1 BDD 中，
1 PH BH D D BD = ，所以 2
2 2 z a x a x a a
a -- == ，∴x =a z ， ∴ P 的坐标为(a z ,a z ,z )
∴ |PQ |= 222 1 ()() a z z z z -++- = 2 22 1 ()2()22 a a z z z -+-+ ∴ 当 1 2 a z z == 时，|PQ |取得最小值，最小值为 2 2
a . ∴ 异面直线 11 BD CC 与 间的距离为 2 2
a . 点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标 函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.
【例4】在四面体P ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA =P B =PC =a ，求点P 到平面ABC 的距离. 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，
则P (0,0，0)，A （a ,0,0），B （0,a ,0），C （0,0,a ）.
过P 作PH ^平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离.
Q PA =PB =PC ,∴H 为D ABC 的外心，
又Q D ABC 为正三角形，
∴H 为D ABC 的重心，可得H 点的坐标为(,,) 333
a a a . ∴|PH |= 222 3 (0)(0)(0) 3333
a a a a -+-+-= ,
∴点P
到平面ABC 的距离为
3 3
a 点评：重心H 的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本 题也可以用几何中的等体积法来求解.。