2.1.3参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程的互化
x 22 {
2 cos
( 为 参 数 )， 则 直 线 l与 圆 C的
y 2 2 2 sin
位置关系是 ( D )
A、 相 交 但 不 过 圆 心 ， B、 相 交 且 过 圆 心
C、 相 离 ， D、 相 切
6、设直线的参数方程为{ x1t (t为参数) y 22t
它与椭圆4x2 y2 1的交点为A和B，求线段 99
{x 3 1 t 2 (t为参数 )和{x 3 1 t 2
y 2t
y 2t
思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程？
分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。
5 、 若 x 2 y 2 4 , 则 x y 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _
解 ： x2y24的 参 数 方 程 为 {xy 22cso ins (为
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
2 、 若 曲x线 y1{scio2nθ s 2(θ θ 为 参 则 数 点 ) ,(yx),的
轨迹是（ D ）
A 、 直 线 2xy20 ,B 、 以 ( 2 , 0 点 ) 为的端射 线
C、圆(1x)2 y2 1,D、以(2,00),和 1)(为端点的线
令
Байду номын сангаас
x 3
cos ,
y 2
sin
x 3cos
y
2
sin
为 参 数
(2)设 y=2t， t为 参 数 .
(2)设 y=2t， t为 参 数 .
（2）把 y 2t代入椭圆方程，得 x2 4t 2 1 94
于是 x 2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结在数学的学习中，参数方程与普通方程的互化是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有着广泛的应用，对于解决实际问题也具有重要的意义。
下面我们将通过一些例题来深入理解参数方程与普通方程的互化，并对相关知识点进行总结。
一、参数方程的概念参数方程是指在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标＼（x\）、＼（y\）都是某个变数＼（t\）的函数，并且对于＼（t\）的每一个允许的取值，由方程组确定的点＼（（x,y)＼）都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数＼（x\）、＼（y\）的变数＼（t\）叫做参变数，简称参数。
例如，圆的参数方程为：＼（＼begin{cases}x ＝ r\cos\theta ＼＼ y＝ r\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数），其中＼（r\）为圆的半径。
二、普通方程的概念普通方程是指用＼（x\）和＼（y\）直接表示其关系的方程。
例如，圆的普通方程为：＼（x^2 ＋ y^2 ＝ r^2\）。
三、参数方程与普通方程互化的方法1、消去参数消去参数的方法主要有代入消元法、加减消元法、利用三角函数的恒等式消元法等。
例如，对于参数方程＼（＼begin{cases}x ＝ t ＋ 1 ＼＼ y ＝t^2\end{cases}＼），可以通过将＼（x ＝ t ＋ 1\）变形为＼（t ＝ x 1\），然后代入＼（y ＝ t^2\）中，得到普通方程＼（y ＝（x 1)＾2\）。
2、利用三角函数的恒等式对于形如＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）的参数方程，可以利用三角函数的平方和恒等式＼（＼cos^2\theta ＋＼sin^2\theta ＝ 1\）进行消参。
例如，将＼（x ＝ a\cos\theta\）两边平方得＼（x^2 ＝a^2\cos^2\theta\），将＼（y ＝ b\sin\theta\）两边平方得＼（y^2 ＝b^2\sin^2\theta\），然后将两式相加可得：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）。
2.3 参数方程和普通方程的互化 课件 (北师大选修4-4)
x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
解： 因为x t 1 1 (1) 所以普通方程是y 2 x （x 1) 3
(2)因为：x sin cos 2 sin( ) 4 所以x 2, 2 2 所以普通方程是x y , x 2, 2 .
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 y t 2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小
普通方程
结
参数方程
引入参数 消去参数
3、参数方程和普通方程 的互化
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
由参数方程得： cos x 3 ,sin 2 cos 2 ( x 3) 2 y 2 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点）
例２、求参数方程
x | cos 2 sin 2 |, (0 2 ) 表示 y 1 (1 sin ) 2
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。
参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。
接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。
1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。
下面以一个简单的例子来说明这个过程。
考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。
观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。
我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。
然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。
2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。
下面同样以一个例子来说明。
考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。
我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。
通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。
3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。
参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。
在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。
普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。
在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。
4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
参数方程和普通方程的互化 课件
那么可以利用t＋1t 2－t－1t 2＝4 消参．
(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数， 就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过 程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和 消去参数后的普通方程是等价的．
已知曲线
C1：xy＝＝3－＋4s＋inctos
t， (t
为参数)，
(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1. C1 为圆心是(－4，3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
π (2)当 t＝ 2 时，P(－4，4)，Q(8cos
θ，3sin
θ)，
故 M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．M 到 C3 的距离 d
4 x＝t＋1， y＝（t－1）2，(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的 中点的直角坐标为________．
[命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互 化，射线的极坐标方程及联立方程解方程组的解题思想．
π [解析] 记 A(ຫໍສະໝຸດ 1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝ 4 ，转化 为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)，曲线为 y＝(x－2)2，联 立上述两个方程得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故 线段 AB 的中点坐标为(52，52)． 答案：(52，52)
(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它 将决定参数方程是否与普通方程等价．
分别在下列两种情况下，把参数方程
x＝12（et＋e－t）cos y＝12（et－e－t）sin
θ，
化为普通方程：
θ
(1)θ 为参数，t 为常数；
(2)t 为参数，θ为常数．
2.1.3 参数方程和普通方程的互化 课件(人教A选修4-4)
返回
1 x＝t＋ ， t 2．方程 表示的曲线是( y＝2 A．一条直线 C．一条线段 B．两条射线
)
解析：t＞0 时
D．抛物线的一部分 1 x＝t＋ t ≥2
1 1 当 t＜0，x＝t＋ t ＝－(－t＋ )≤－2. －t 即曲线方程为 y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
答案：y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)
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(θ 为参数)．
t＋1 (1)可采用代入法，由 x＝ 解出 t 代入 t－1
(2)采用三角恒等变换求解． Nhomakorabea返回[解]
t＋1 x＋1 (1)由 x＝ ，得 t＝ . t－1 x－1
2
x＋1x－1 2t 代入 y＝ 3 化简得 y＝ (x≠1)． t －1 3x2＋1 x x＝5cos θ cos θ＝5 (2)由 得 y＝4sin θ－1 sin θ＝y＋1 4 y＋12 x 2 2 ① ＋② 得 ＋ ＝1. 25 16
答案：B
返回
x＝sin θ－cos 3． 把参数方程 y＝sin 2θ
θ，
(θ 为参数)化成普通方程
是________．
解析：将 x＝sin θ－cos θ 两边平方得 x2＝1－sin 2θ， 即 sin 2θ＝1－x2，代入 y＝sin 2θ，得 y＝－x2＋1. π 又 x＝sin θ－cos θ＝ 2sin(θ－ )，∴－ 2≤x≤ 2， 4 故普通方程为 y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)．
x－12 y－22 (1) ＋ ＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) 3 5 (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
参数方程和普通方程的互化
吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数
方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一
个．
陕西省周至中学
淳朴 团结 勤奋 向上
我的疑惑 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________
[考题印证]
(2013·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π与曲线 4
x＝t＋1， y＝ t－1 2，
(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的
直角坐标为________．
陕西省周至中学
，(其中 t 是参数，a∈
R)，点 M(3,1)在该曲线上．(1)求常数 a；(2)求曲线 C 的普通 方程．
陕西省周至中学
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解：(1)由题意可知有
1＋2t＝3 at2＝1
，
故ta＝＝11，， ∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t，
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取值 范围 保持一致．
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[小问题·大思维]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．
2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的
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第三课时 参数方程与普通方程互化
一、教学目标：
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：参数方程与普通方程的互化
教学难点：参数方程与普通方程的等价性
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
（1）、圆的参数方程；
（2）、椭圆的参数方程；
（3）、直线的参数方程；
（4）、双曲线的参数方程。
（二）、新课探究：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。
（1）圆222r y x =+参数方程⎩
⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θ
θsin cos 00r y y r x x （θ为参数）
（3）椭圆122
22=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θ
θsin cos b y a x （θ为参数） （4）双曲线122
22=-b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θ
θtan sec b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22=参数方程⎩
⎨⎧==Pt y Pt x 222 （t 为参数） （6）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程
⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。
（二）、例题探析
例1、将下列参数方程化为普通方程
（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2
222t y t t x （2）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t t y t t x （4）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x （5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)1(3)1(222t t y t t x 学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。
例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t
y t x 4321 （t 是参数） （2） θθ2cos cos 2==y x （θ是参数） （3） 222
212121t t y t t
x +-=-=
（t 是参数） 学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。
例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q （4，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。
（三）、巩固导练：
1、（1）方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=2
1y t t x 表示的曲线（ ）。
A 、一条直线 B 、两条射线
C 、一条线段
D 、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点
A 、⎩⎨⎧==2t y t x
B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t x sin sin 2 C 、⎩⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t
y t t xos x tan 2cos 121
2、P 是双曲线⎩
⎨⎧==θθtan 3sin 4y x （t 是参数）上任一点，1F ，2F 是该焦点： 求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。
3、 已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几种方法。
抓住重点题目反思归纳方法，进一步深化理解。
（五）、作业：
五、教学反思：。